Матрицы и действия над ними
Рассмотрение систем линейных уравнений. Общие определения, связанные с понятием матрицы. Алгоритмы составления обратной матрицы. Сложение, умножение матриц на число, обращение и транспонирование матрицы. Сочетательный и переместительный законы.
Рубрика | Математика |
Вид | лекция |
Язык | русский |
Дата добавления | 18.04.2014 |
Размер файла | 230,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Тема 1
Лекция 2. Матрицы и действия над ними
Основные вопросы
1. Матрицы и действия над ними.
1.1 Общие определения, связанные с понятием матрицы.
1.2 Действия над матрицами.
2. Обратная матрица.
1. Матрицы и действия над ними
Матрицы, впервые появившиеся в середине 19-го века в работах английских математиков У. Гамильтона (1805-1865) и А. Кэли (1821-1895), в настоящее время весьма широко используются в прикладной математике, они значительно упрощают рассмотрение сложных систем уравнений.
1.1 Общие определения, связанные с понятием матрицы
матрица умножение сложение обратный
Если при рассмотрении систем линейных уравнений из коэффициентов при неизвестных составить таблицы вида или , то такие таблицы называются матрицами.
В общем случае матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел или каких-либо других объектов. В дальнейшем будем рассматривать матрицы, составленные из вещественных чисел.
Матрицы обозначают одной буквой, например, где круглые скобки, или двойные черточки - знак матрицы, а числа а11 , а12 ,… - элементы матрицы.
Каждая матрица имеет определенные размеры (mЧn) , т.е. количество строк m и количество столбцов n .
В общем, матрица имеет вид
,
т.е. номер строки i меняется от 1 до m , номер столбца j - от 1 до n .
Разновидности матриц.
Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадрат-ной , тогда говорят о её порядке. Квадратная матрица имеет определитель, составленный из элементов матрицы и обозначаемый (например, для матрицы А) .
Не следует смешивать понятия определителя и матрицы. Матрица есть только таблица, а определитель есть число, и он всегда квадратной формы.
Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной, если же он равен нулю, то матрица - вырожденная.
Квадратная матрица, у которой равны нулю все элементы, кроме стоящих на главной диагонали, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной и обычно обозначается буквой Е.
Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой (нуль-матрицей).
Матрица может содержать только один столбец, тогда она называется матрицей-столбцом, или только одну строку, тогда она называется матрицей-строкой.
Матрицы, имеющие одинаковое число строк и число столбцов, а также равные соответствующие элементы, называются равными .
Так, если , то ^ А = В при условии, что
Матрицы А и В называются соответственными, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
В процессе дальнейшего изучения укажем ещё ряд матриц (симметрическая, транспонированная и др.).
1.2 Действия над матрицами
Над матрицами можно производить следующие действия (операции): сложение, умножение матриц, а также обращение матриц.
1. Сложение матриц. Заметим, что складывать можно только матрицы одинаковых размеров.
Определение 3. Суммой двух матриц и называется матрица элементы которой определяются равенством .
Обозначается : С=А+В .
Пример 1.
.
Сложение матриц подчиняется переместительному закону, т.е. А+В=В+А, и сочетательному закону, т.е. (А+В)+С=А+(В+С).
2. Умножение матриц на число.
Определение 4. Произведением матрицы А на число л называется матрица
Матрица записывается как -А и называется матрицей, противоположной матрице А.
3. Умножение матриц. Отметим, что перемножать можно только соответственные матрицы .
Определение 5. Произведением имеющей m строк и k столбцов, на матрицу , имеющей k строк и n столбцов, называется матрица , имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент Cij равен сумме произведений элементов i - той строки матрицы А и j -го столбца матрицы В, т.е.
.
Обозначается .
Пример 2.
Можно показать, что умножение матриц подчиняется сочетательному закону и распределительному закону но не подчиняется переместительному закону, т.е. АВ ? ВА.
Замечание. Единичная матрица Е перестановочна с любой матрицей А того же порядка, что и матрица Е, т.е. АЕ = ЕА = А, т.е. только в этом случае умножение матриц подчиняется переместительному закону.
Убедимся в этом на примере матриц второго порядка
2. Обратная матрица. Рассмотрим так называемую обратную матрицу, понятие которой вводится только для квадратной матрицы.
Определение 6. Матрица А-1 называется обратной для квадратной матрицы А , если АА-1 = А-1А = Е.
Не любая матрица может иметь обратную.
Справедлива следующая теорема: Для существования обратной матрицы А-1 необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был не равен нулю () , т.е. чтобы матрица А была невырожденной. При составлении обратной матрицы осуществляется, так называемое, транспонирование матрицы.
Определение 7. Матрица АТ называется транспонированной по от-ношению к матрице А, если столбцы матрицы А являются строками матрицы АТ. Таким образом, транспонирование - это переход от матрицы А к АТ, заключающийся в замене соответствующих столбцов матрицы А строками .
Пример 3. Пусть
.
Транспонированной матрицей АТ будет .
Алгоритмы составления обратной матрицы.
1. Вычислить определитель матрицы А , т.е. (если ? ? 0, то матрица А имеет обратную).
2. Вычислить алгебраические дополнения всех элементов определителя матрицы А, т.е. Аij .
3. Составить матрицу В путем замены в матрице А каждого элемента его алгебраическим дополнением, т.е. аij заменить на Аij .
4. Составить транспонированную матрицу ВТ по отношению к матрице В , поменяв местами в матрице В её строки и столбцы.
5. Разделив все элементы матрицы ВТ на определитель ? , составить обратную матрицу А-1, т.е.
.
6. Проверка. Найти произведение АА-1 , которое должно быть равно матрице Е .
Пример 4. Найти матрицу, обратную матрице
Решение.
1) , следовательно существует А-1 ;
2)
3)
4)
5)
6) Проверка.
Вывод: Обратная матрица А-1 составлена правильно.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [462,6 K], добавлен 12.11.2010Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Понятие матрицы, ее ранга, минора, использование при действиях с векторами и изучении систем линейных уравнений. Квадратная и прямоугольная матрица. Элементарные преобразования матрицы. Умножение матрицы на число. Класс диагональных матриц, определители.
реферат [102,8 K], добавлен 05.08.2009Общие определения, связанные с понятием матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков, порядка n, порядок их вычисления и характерные свойства. Обратные матрицы и их ранг. Понятие и этапы элементарного преобразования матрицы.
лекция [30,2 K], добавлен 14.12.2010Основные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц или перемножение матриц. Блочные матрицы. Понятие определителя. Панель инструментов Матрицы. Транспонирование. Умножение. Определитель квадратной матрицы. Модуль вектора.
реферат [109,2 K], добавлен 06.04.2003Понятие матрицы, его источники и развитие в математической науке, основные элементы и их взаимодействие. Описание действий с матрицами: сложение, вычитание, умножение между собой и на число, транспортирование. Свойства транспортированных матриц.
контрольная работа [92,9 K], добавлен 02.06.2010Применение матриц и их виды (равные, квадратные, диагональные, единичные, нулевые, вектор-строка, вектор-столбец). Примеры действий над матрицами (умножение на число, сложение, вычитание, умножение и транспонирование матриц) и свойства полученных матриц.
презентация [74,7 K], добавлен 21.09.2013Понятие матрицы. Метод Гаусса. Виды матриц. Метод Крамера решения линейных систем. Действия над матрицами: сложение, умножение. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Элементарные пребразования систем. Математические перобразования.
лекция [45,4 K], добавлен 02.06.2008Понятие обратной матрицы. Пошаговое определение обратной матрицы: проверка существования квадратной и обратной матрицы, расчет определителя и алгебраического дополнения, получение единичной матрицы. Пример расчета обратной матрицы согласно алгоритма.
презентация [54,8 K], добавлен 21.09.2013Размеры прямоугольной, квадратной, диагональной, скалярной матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение строки на столбец (скалярное произведение). Транспонирование матрицы, ее элементы. Образование треугольной таблицы, состоящей из строк, столбцов.
презентация [1,4 M], добавлен 03.12.2016