Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

Факультет прикладної математики

Реферат з основ геометрії на тему:

"Леонард Ейлер - швейцарський математик та фізик"

Виконала: Солтис О.В.

Викладач: доц. Мартинюк О.В.

Чернівці 2014

План

Розділ 1. Біографія Леонарда Ейлера

Розділ 2. Пряма Ейлера, коло Ейлера і нерівність

Розділ 3. Вклад в науку

Висновок

Список літератури

Розділ 1. Біографія Леонарда Ейлера

15 квітня 1707 p. в Швейцарії в сім'ї сільського пастора Пауля Ейлера народився син Леонард. Батько Леопарда за молодих літ вивчав математику під керівництвом відомого професора Якоба Бернуллі. Інтерес до математичних знань не залишав пастора протягом усього життя. Не дивно, що, навчаючи сина грамоти, батько збудив у нього інтерес до математики.

Діставши початкову домашню освіту, Леонард вступив до гімназії у м. Базелі. Хлопець мав гостру пам'ять і допитливий, кмітливий розум. Він швидко і легко опановував курс наук, а у вільний час відвідував в університеті лекції з математики, які читав Йоганн Бернуллі.

Йоганн Бернуллі звернув увагу на неабиякі математичні здібності хлопчика і почав працювати з ним окремо. Леонард подружився з синами Йоганна - Миколою і Данилом, які поглиблено вивчали фізику і математику. Дружба з братами Бернуллі і визначила дальший життєвий шлях Леопарда Ейлера.

В університеті Ейлер вивчав філософію, теологію, давньоєврейську мову і медицину, але дедалі більше захоплювався математикою і фізикою. У 1723 р. Ейлер склав екзамени на магістра наук. Це надавало йому право викладати гуманітарні науки і філософію.

На конкурс, оголошений Паризькою академією наук, Ейлер подав свій перший науковий твір про розміщення щогл на кораблях. У цій праці юнак, який ніколи не бачив ні моря, ні морських суден, користуючись законами математики і фізики, обґрунтував міркування про найвигідніше розміщення щогл на судні. Працю було відзначено премією і опубліковано в академічному збірнику. На той час авторові було лише 20 років.

Діставши право на викладання в університеті, Ейлер повинен був пройти ще жеребкування, щоб зайняти вакантну посаду. Проте до цієї процедури його, як дуже молоду людину, не допустили, і Леонард залишився без роботи.

На той час у Петербурзі за указом Петра Першого було створено Академію наук. Уряд розіслав у європейські країни, зокрема і в Швейцарію, листи, в яких запрошував учених на роботу до Академії. У 1724 р. до Росії прибули Микола і Даніїл Бернуллі, а навесні 1727 р. і Леонард Ейлер.

Ейлер знайшов у Петербурзькій Академії наук широке поле для наукової діяльності. Академії були підпорядковані університет і гімназія. Досить швидко опанувавши російську мову, молодий учений читав там лекції з фізики і математики, друкував багато статей у періодичних академічних збірниках, брав участь у роботі екзаменаційних комісій університету, гімназії, військових офіцерських шкіл, створював фундаментальні праці з усіх галузей математики, займався багатьма суто практичними справами. Разом з Даніїлом Бернуллі у 1732 р. він розробив техніку підняття великого дзвона в Москві. Через три роки після цього Ейлер включився в роботу географічного департаменту Академії наук і багато працював над створенням географічних карт Російської імперії. Для складання точних карт треба було провести багато астрономічних обчислень. На це завдання академікам потрібно було кілька місяців. Ейлер узявся виконати цю роботу за три дні і додержав свого слова. Але внаслідок надзвичайно напруженої праці вчений захворів на нервову гарячку. Під час хвороби в нього витекло праве око.

Протягом перших восьми років перебування в Петербурзькій академії наук Ейлер був відомий порівняно вузькому колу вчених. Увагу багатьох учених до Ейлера привернула його праця "Механіка, або наука про рух, викладена аналітичне", що вийшла у 1736 р.

У 1738 р. Ейлер одержав премію Паризької академії наук за працю про природу вогню і теплоти, а в 1739 р. опублікував трактат з музики, в якому виклав теоретичні основи будови музичних інструментів. Надруковану через рік працю Ейлера про теорію морських припливів і відпливів вважали чудом математичного аналізу, застосованого для глибокого розкриття причин одного з явищ природи. Так за чотирнадцять років роботи в Петербурзькій Академії наук Ейлер здобув славу світового вченого. За цей час він опублікував у мемуарах Академії близько 60 наукових праць.

З 1740 р. для Росії настав важкий час: це був період регентства Бірона. Становище Академії стало хитким. Малоосвічений і малокультурний псевдовчений Шумахер, який очолював Академію, не поважав учених, знущався з них, затримував їм плату, а з тими, хто чинив опір його безглуздим розпорядженням, розправлявся з допомогою поліції.

Багато вчених-іноземців після закінчення строків контрактів виїжджали з Росії, навіть достроково залишали роботу під різними приводами. Посилаючись на погані кліматичні умови, Ейлер клопотався про дозвіл на виїзд до Берліна і 29 травня 1741 р. одержав його. Вченому присвоїли звання почесного члена Академії, призначили щорічну пенсію і в свідоцтві записали, що в будь-який час він може повернутися в Росію і працювати в Академії.

Ейлер зайняв посаду директора математичного відділу Берлінської академії. Тут він щороку публікував від трьох до дев'яти праць. Крім того вчений не поривав зв'язків з Петербурзькою Академією наук. Він систематично повідомляв її про технічні винаходи і наукові відкриття закордонних учених, брав участь в організації і проведенні конкурсів, оголошених Академією, давав теми конкурсних робіт, рецензував надіслані на конкурс праці. Як почесний член Академії він регулярно надсилав туди свої статті. Ейлер дбав і про підготовку російських учених. Він був учителем, наставником С.К. Котельникова, С.Я. Румовського, М. Софронова.

Працюючи в Берліні, Леонард Ейлер став ніби повноважним представником Петербурзької Академії наук за кордоном. Він запрошував іноземних учених на роботу в Петербург, за дорученням Академії діставав і надсилав у Росію наукову літературу, прилади для дослідів, друкарські верстати, хімікати тощо.

За 25 років перебування в Берлінській академії наук Ейлер написав багато важливих праць. Так, у 1744 р. було опубліковано його тритомну "Теорію руху планет і комет, яка містить у собі легкий метод, що дає можливість за допомогою кількох спостережень визначити орбіти як планет, так і комет". Того самого року вчений одержав премію Паризької академії наук за працю з теорії магнетизму.

У 1749 р. Петербурзька Академія наук опублікувала двотомний твір Ейлера "Морська наука, або трактат про будування і водіння кораблів". Учений вдало застосував тут методи вищої математики до розв'язання питань стійкості й рівноваги суден, до визначення найкращої їх форми, до техніки кораблебудування і з'ясування способів керування суднами під час руху їх за допомогою вітру. Згодом Ейлер на основі свого трактату створив популярний підручник, який у 1778р. був перекладений з німецької мови на російську його учнем М. Головіним. Ця книжка стала першим підручником для учнів російських морських шкіл.

Ще визначніша праця Ейлера - п'ятитомний трактат з математичного аналізу. За загальним визнанням сучасних учених у цьому трактаті є майже все, що викладається тепер у курсі вищої математики. Крім цього і інших творів з математики, Ейлер написав багато інших оригінальних і важливих праць з оптики і механіки.

У 1746 р. новий президент Академії Розумовський запросив Ейлера повернутися в Росію. Але той відмовився, бо Шумахер фактично все ще продовжував управляти справами Академії. Проте і в Берліні погіршилися умови для наукової праці. Прусський король Фрідріх II спрямовував діяльність працівників Берлінської академії на розв'язування лише практичних справ, а не на розвиток теорії. Не дивно, що в наукових збірниках Берлінської академії наук публікувалися ті праці Ейлера, які мали переважно практичний зміст, тоді як у Петербурзьких збірниках з року в рік з'являлися ґрунтовні теоретичні статті.

Тим часом у Росії почалося царювання Катерини II, яка вважала себе "просвітителькою" і заради слави намагалася оточити себе видатними вченими і філософами. Дізнавшись, що Ейлер, ім'я якого відоме було всій Європі, незадоволений умовами в Берлінській академії, вона наказала будь-що домогтися повернення вченого в Росію. Фрідріх II довго не погоджувався відпустити його, але, нарешті, дав дозвіл. 9 червня 1766 р. Ейлер із сім'єю залишив Берлін. З того часу до кінця життя він працював у Петербурзькій Академії.

Невдовзі після приїзду до Петербурга Ейлер остаточно осліп і міг тільки диктувати свої твори, виконуючи основні обчислення усно. Та працездатність ученого, якому на той час було близько 60 років, не тільки не зменшилась, а ще більше зросла. Вже через два роки після повернення в Петербург вийшла праця Ейлера "Елементи алгебри".

Ця книжка витримала 30 видань шістьма європейськими мовами.

У 1769--1771 pp. учений видав три томи під спільною назвою "Діоптрика", в яких об'єднав усе, що написав у різний час з теорії оптичних інструментів, і виклав загальну теорію діоптрики - науки, якої до нього не існувало взагалі.

Поки друкувалася "Діоптрика", Ейлер устиг продиктувати і здати до друку три томи "Листів до німецької принцеси", три томи твору "Інтегральне числення", книги "Навігація", "Нова теорія Місяця", "Обчислення затемнення Сонця і про походження Венери" та багато інших.

У книжці "Листи до німецької принцеси" Ейлер популярно виклав багато питань фізики, астрономії, хімії, математики і філософії. Твір видавався близько 40 разів дев'ятьма європейськими мовами.

У період напруженої роботи в Петербурзькій Академії наук з Ейлером знову трапилося нещастя: у 1771 р. пожежа знищила його будинок. Удалося врятувати лише дещо з майна і значну частину рукописів. Невдовзі після того йому зняли катаракту з лівого ока, але заборонили певний час працювати. Однак Ейлер порушив цю заборону і назавжди втратив зір. Він ледве розрізняв силуети. Диктуючи, учений користувався чорною поверхнею стола, на якій виводив крейдою формули і проводив обчислення.

До останніх днів Ейлер не залишав наукової роботи. Помер віл 18 вересня 1783 року.

Поховано Ейлера в Петербурзі на Смоленському кладовищі. У 1837 р. з нагоди 130-річчя з дня народження видатного вченого, на його могилі було споруджено пам'ятник, на полірованій плиті якого вибито латинською мовою напис: "Леопарду Ейлеру Петербурзька Академія".

Значення Ейлера у розвитку науки величезне. Немає жодної галузі математики, на якій не позначився б його геній. Аналітичні методи дослідження найскладніших залежностей у математиці, фізиці й техніці він застосовував, обходячись без графіків і малюнків. Наприклад, в його книжках з аналізу нескінченно малих та з диференціального числення на 800 сторінках тексту немає жодного малюнка. Ейлер не мав суперників у техніці обчислень, у майстерності застосування формул та їх перетворенні.

Ейлер створив варіаційне числення, надав сучасної форми інтегральному численню, викладу тригонометрії й арифметики. Його праці виділили теорію диференціальних рівнянь в окрему дисципліну. Учений заклав основи теорії поверхонь. Він був по суті засновником теоретичної фізики, механіки твердих тіл і, разом з Данилом Бернуллі, основоположником гідродинаміки та гідравліки як самостійних наук. Ейлер створив науку мореплавства, теорію корабля, теорію розрахунку турбін, в якій настільки випередив свій час, що лише в 1943 р. вперше було побудовано модель турбіни за його описом.

У своїх працях учений розробив питання кінематики фігурних коліс, зовнішньої балістики, біологічної фізики, теорії кольорів і музики, ряд важливих питань з теоретичної астрономії, оптики і теорії ймовірності. Неоціненний його внесок у теорію чисел. Він не тільки довів, а й узагальнив відому в теорії чисел малу теорему Ферма, довів так звану велику теорему Ферма про неможливість розв'язати в цілих додатних числах рівняння

хп+уп=п

(при п>2) для випадку п = 3. Ейлер довів помилковість припущення Ферма про те, що вираз 22п+1 є просте число при будь-якому п, показавши, що, коли п = 5, ми дістанемо складне число 4 294 967 297, яке ділиться на просте 641.

За час своєї наукової діяльності Ейлер написав понад 880 творів. Повне видання математичної спадщини геніального вченого становило б 60 томів по 500 сторінок у кожному.

З усієї своєї плідної наукової діяльності (близько 56 років) Ейлер 31 рік віддав Петербурзькій Академії наук. Він був свідком зростання її слави і одним з тих, хто активно збагачував російську науку.

15 квітня 1957 року наша країна разом з прогресивним людством усього світу урочисто відзначила 250-річчя з дня народження Леонарда Ейлера, ім'я якого займає почесне місце серед імен видатних людей нашої планети.

Розділ 2. Пряма Ейлера, коло Ейлера і нерівність

Чому в Канаді дитя ставлять на ковзани вже змалечку? Мабуть, щоби воно не боялося падати, щоби для нього це було природно. Щоби з часом дитина стала вправною у справді складних задачах із катання на ковзанах.

Так і в геометрії - чим раніше ми познайомимо учня з важливими, корисними і, до того ж, красивими фактами геометрії трикутника, тим впевненіше він себе почуватиме під час розв'язання геометричних задач, часом доволі складних. Тим легше буде надихнути дитину на творчість та імпровізацію.

Все, що пов'язано з ім'ям Ейлера в геометрії трикутника, є дуже важливим, більше того - це є просто необхідною складовою ерудиції учня.

Тому спробуємо показати, як легко, майже весело і грайливо, познайомити учнів із надзвичайно важливим геометричним матеріалом.

Для цього учні повинні вже знати, крім традиційних теорем (Фалеса, про середню лінію трикутника, про вписаний кут), ще одну важливу теорему, яку ми зараз наведемо.

Теорема. Точки, симетричні ортоцентру відносно сторін трикутника , належать описаному навколо цього трикутника колу.

Доведення. Нехай - точка, симетрична ортоцентру відносно сторони (рис.1). Якщо ми доведемо, що кут , то навколо чотирикутника можна описати коло (сума протилежних кутів дорівнює ). А це рівносильне доведенню теореми.

Неважко обчислити, що (із чотирикутника ). Тоді й вертикальний із ним . З міркувань симетрії

. Теорему доведено.

Пряма Ейлера

Продовжимо висоту трикутника до перетину з описаним колом в точці , причому (рис.2). Проведемо ( - точка на колі). Оскільки , то - діаметр і його середина - точка - центр кола. Нехай відрізокперетне в точці . Очевидно, що ( - середня лінія в трикутнику ). З'єднаємо точку з точкою. Тоді - середня лінія в , тобто і . Отже, , або співпадає з серединним перпендикуляром до . А точка співпадає з - серединою .

Отже, ось вона - перша важлива формула:

.

Зазначимо, що і - медіани в , які перетинаються в точці . Таким чином, і .

Але також є медіаною в і (де - центроїд, або точка перетину медіан в ). Отже, . Стає очевидним, що точки належать одній прямій - прямій Ейлера. Більше того, ми отримали другу важливу формулу:

.

Коло Ейлера

Нехай - середина відрізка (рис.3). Очевидно, що - середня лінія в і

.

З'єднаємо точки і . Тоді - середня лінія в , отже

.

Нехай також - середина відрізка . Тоді - середня лінія в і

.

Таким чином,

,

а коло з центром в точці - середині - радіуса пройде через точки ; ; .

Аналогічно ми можемо показати, що

 і .

Тоді робимо висновок: У трикутнику АВС

основи висот (точки ; ; ),

середини сторін (точки ; ; ),

середини відрізків , , (точки ; ; )

належать одному колу - колу Ейлера.

Центр кола - середина відрізка , його радіус дорівнює .

І ще одне зауваження.

Неважко побачити, що кола "9 точок" для трикутників , , і співпадають. Доведемо цей факт.

Оскільки, скажімо, в точки ; і є серединами його сторін (рис.4), то коло "9 точок" для трикутника проходить через ці 3 точки. Таким чином, воно співпадає з колом "9 точок" для трикутника .



Нехай радіус вписаного в трикутник кола дорівнює (нагадаємо, що його центр - точка перетину бісектрис ). Опишемо коло навколо (рис.5). Очевидно, що радіус цього кола дорівнює ( подібний до із коефіцієнтом подібності ).

Якщо останнє коло не виходить за межі трикутника , то точки ; ; співпадають з точками дотику вписаного кола до сторін трикутника (що можливо лише у рівносторонньому трикутнику).

У трикутнику загального вигляду це коло вийде за межі трикутника , як і зображено на рис.5. Проведемо дотичні до кола паралельно відповідним сторонам трикутника . Після чого отримаємо - з відповідно паралельними до сторонами.

Усі розміри трикутника не менші відповідних розмірів трикутника . При цьому відповідні сторони (ще раз нагадаємо) паралельні. Тоді очевидно, що радіус вписаного в кола не менший за , тобто . Але

,

оскільки описане навколо коло є вписаним колом в . Отже або .

Ми отримали відому нерівність для елементів трикутника: радіус описаного навколо довільного кола не менший за подвоєний радіус кола, вписаного в цей трикутник.

Розділ 3. Вклад в науку

Ейлер вважається найвидатнішим математиком 18-го століття, а, можливо, навіть усіх часів. Він також є одним із найплідніших - збірка всіх його творів зайняла б 60-80 томів. Вплив Ейлера на математику описує висловлювання "Читайте Ейлера, читайте Ейлера, він є метром усіх нас", яке приписується Лапласові. ейлер математичний фізика нерівність

Ейлер є автором 866 наукових публікацій, зокрема у галузях математичного аналізу, диференціальної геометрії, теорії чисел, теорії графів, наближених обчислень, небесної механіки, математичної фізики, оптики, балістики, кораблебудуванні, теорії музики, що мали значний вплив на розвиток науки. Саме він ввів більшість математичних понять та символів у сучасну математику, наприклад: f(x), e, р (пі), уявна одиниця i, символ суми ? і багато інших.

Вклад Ейлера в науку є досить значним.

Математичні позначення:

Ейлер ввів та спопуляризував у своїх широко поширених у той час підручниках декілька позначень. Зокрема, він представив концепцію функції і вперше написав f(x), щоб позначити функцію f застосовану до аргументу x. Він також ввів сучасні позначення тригонометричних функцій, букву e як основу натурального логарифму (зараз відома також як число Ейлера), грецьку літеру У для суми і букву i, щоб позначити уявну одиницю. Використання грецької літери р, щоб позначити відношення довжини кола до його діаметру було також спопуляризоване Ейлером, хоча не було ним придумане.

Аналіз:

У 18-ому столітті відбувався значний прогрес аналізу нескінчено малих. Завдяки впливу Бернуллі (друзів сім'ї Ейлерів), дослідження у цьому напрямі стали основними в роботах Ейлера. Хоча деякі з доказів Ейлера не є прийнятними за сучасними стандартами математичної строгості, його ідеї призвели до значного прогресу.

Ейлер добре відомий в аналізі з частого використання і розвитку степеневих рядів, які виражають функцію у вигляді суми нескінченної кількості степеневих функцій, наприклад

Саме Ейлер прямо довів розклад у ряд експоненти і арктангенса (непряме доведення через обернені степеневі ряди було дане Ньютоном і Лейбніцом між 1670 і 1680 роками). Використання ним степеневих рядів дозволило розв'язати в 1735 році знамениту Базельську проблему (строгіше доведення було ним здійснено в 1741 році):



Геометрична інтерпретація формули Ейлера

Ейлер започаткував використання в аналітичних доведеннях експоненти і логарифмів. Йому вдалося розкласти в степеневий ряд логарифмічну функцію і, за допомогою цього розкладу, визначити логарифми для від'ємних і комплексних чисел. Він також розширив множину визначення експоненційної функції на комплексні числа, і виявив зв'язок експоненти з тригонометричними функціями. Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого дійсного числа виконується рівність:

Частковим випадком формули Ейлера при є тотожність Ейлера, що пов'язує п'ять фундаментальних математичних констант:

названою Ричардом Фейнманом "найчудовішою математичною формулою". У 1988 році читачі журналу Mathematical Intelligencer у голосуванні назвали її "найкрасивішою математичною формулою всіх часів".

Наслідком Формули Ейлера є формула Муавра.

Крім того, Ейлер розробив теорію спеціальних трансцендентних функцій, увівши гамма-функцію й представив нові методи розв'язку рівняння четвертого степеня. Він також знайшов спосіб обчислення інтегралів з комплексними межами, що випереджувало розвиток сучасного комплексного аналізу, і започаткував варіаційне числення, в тому числі отримав його найвідоміший результат, рівняння Ейлера--Лагранжа.

Ейлер також був піонером у використанні аналітичних методів розв'язування задач теорії чисел. Таким чином, він об'єднав дві розрізнені області математики і впровадив нову галузь досліджень, аналітичну теорію чисел. Початком було створенням Ейлером теорії гіпергеометричних рядів, Q-Series, гіперболічних тригонометричних функцій та аналітичної теорії узагальнених дробів. Наприклад, він довів нескінченність простих чисел за допомогою розбіжності гармонічного ряду, використовував методи аналізу, щоб довідатися про розподіл простих чисел. Ейлерові роботи в цій галузі призвели до появи теореми про розподіл простих чисел.

Теорія чисел

Зацікавлення Ейлера теорією чисел можна пояснити впливом Христіана Гольдбаха, друга з Санкт-Петербурзької Академії. Багато ранніх робіт Ейлера з теорії чисел базувалось на роботах П'єра Ферма. Ейлер опрацював деякі ідеї Ферма, і спростував деякі з його припущень.

Ейлер пов'язав характер розподілу простих чисел з ідеями з аналізу. Він довів, що сума обернених до простих чисел розходиться. У цей спосіб він виявив зв'язок між дзета-функцією Рімана і простими числами, результат відомий як "тотожність Ейлера у теорії чисел".

Ейлер довів тотожності Ньютона, малу теорему Ферма, теорему Ферма про суми двох квадратів, зробив значний внесок в теорему Лагранжа про чотири квадрати. Він також винайшов функцію Ейлера ц(N), яка дорівнює кількості додатних чисел, що не перевищують натурального N і які є взаємно прості з N. Використовуючи властивості цієї функції, він узагальнив малу теорему Ферма до того, що зараз називається теоремою Ейлера. Він зробив значний внесок у теорію досконалих чисел, якою математики були зачаровані з часів Евкліда. Ейлер також досяг прогресу в напрямку теореми про розподіл простих чисел і висунув гіпотезу квадратичної взаємності. Ці два поняття розглядаються в якості основних теорем теорії чисел, а його ідеї підготували ґрунт для робіт Гауса.

До 1772 року Ейлер довів, що 231 ? 1 = 2 147 483 647 є числом Мерсенна. Правдоподібно, це число було найбільшим відомим простим до 1867 року.

Теорія графів:

Карта Кенігсберга з часів Ейлера, показано фактичне розташування семи мостів через річку Преголя.

У 1736 році, Ейлер розв'язав проблему, відому як Сім мостів Кенігсберга. Місто Кенігсберг (сьогодні Калінінград) в Пруссії розташоване на річці Преголя і включає два великі острови, які були пов'язані один з одним і з материком сімома мостами. Проблема полягає в тому, чи можна знайти шлях, який проходить кожним мостом рівно один раз і повертається до початкової точки. Відповідь є негативна: немає циклу Ейлера. Це твердження вважається першою теоремою теорії графів, зокрема, в теорії планарних графів.

Ейлер також довів формулу

V ? E + F = 2,

що пов'язує число вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, а отже, і планарних графів (для планарних графів V ? E + F = 1). Ліва сторона формули, відома тепер як ейлерова характеристика графа (або іншого математичного об'єкта), пов'язана з поняттям роду поверхні.

Вивчення та узагальнення цієї формули, зокрема Коші та L'Huillier, були початками топології.

Прикладна математика:

Серед найбільших успіхів Ейлера були аналітичні розв'язки практичних задач, опис багаточисленних застосувань чисел Бернуллі, рядів Фур'є, діаграм Венна (відомі також як круги Ейлера), чисел Ейлера, констант е і р, ланцюгових дробів і інтегралів.

Він поєднав диференціальне числення Лейбніца з Ньютонівським методом флюксій, і створив інструменти, які зробили застосування аналізу до фізичних проблем простішим. Він добився великих успіхів у вдосконаленні чисельного наближення інтегралів, винайшов те, що в наш час відоме як метод Ейлера та формула Ейлера-Маклорена. Він також сприяв використанню диференціальних рівнянь, зокрема, вводячи сталу Ейлера-Маскероні:

Одним з найбільш незвичних інтересів Ейлера було застосування математичних ідей в музиці. У 1739 році він написав Tentamen novae theoriae musicae, сподіваючись врешті-решт долучити музичну теорію до математики. Ця частина його роботи, проте, не набула широкої уваги і була одного разу названа "занадто математичною для музикантів і дуже музичною для математиків".

Фізика:

Леонард Ейлер зробив значний внесок у розвиток механіки, зокрема у розв'язок задачі про обертання абсолютно твердого тіла. Підхід Ейлера пов'язаний із поняттями Ейлерових кутів та кінематичних рівнянь Ейлера. В 1757 Ейлер опублікував мемуар "Principes generaux du mouvement des fluides" (Загальні принципи руху флюїдів), в якому записав рівняння руху нестисливої ідеальної рідини, що отримали назву рівнянь Ейлера. Результатом праці над задачею про деформацію бруса при навантаженні стали рівняння Ейлера-Бернуллі, які згодом знайшли застосування в інженерній науці, зокрема при проектуванні мостів.

Ейлер працював над загальними проблемами механіки, розвиваючи принцип Мопертюї. Основні рівняння лагранжевої механіки часто називають рівняннями Ейлера-Лагранжа.

Ейлер застосовував розроблені математичні методи для розв'язку проблем небесної механіки. Його праці в цій області отримали кілька нагород Паризької академії наук. Серед його досягнень визначення з великою точністю орбіт комет та інших небесних тіл, пояснення природи комет, розрахунок паралаксу Сонця. Розрахунки Ейлера стали значним внеском у розробку точних таблиць широт.

Важливе значення для свого часу мав внесок Ейлера в оптику. Він заперечував панівну тоді корпускулярну теорію світла Ньютона. Праці Ейлера впродовж 1740-их років допомогли утвердитися хвильовій теорії світла Христіана Гюйгенса.

Астрономія:

Велика частина астрономічних творів Ейлера присвячена актуальним у той час питанням небесної механіки, а також сферичній, практичній і морехідній астрономії, теорії припливів, теорії астрономічного клімату, рефракції світла в земній атмосфері, паралаксу і аберації, обертанню Землі. У області небесної механіки Ейлер вніс істотний внесок у теорію збудженого руху. Ще в 1746 він обчислив збурення Місяця і опублікував місячні таблиці. Одночасно з А.К. Клеро і Ж.Л. Д'Аламбером і незалежно від них Ейлер розробляв загальні теорії руху Місяця, в яких він досліджувався з вельми високою точністю. Перша теорія, в якій застосовано метод розкладання шуканих координат до лав за ступенями малих параметрів і дана часткова розробка аналітичного методу варіації елементів орбіти, була опублікована у 1753. Ця теорія була використана Т.Й. Маєром при складанні високоточних таблиць руху Місяця. Досконаліша аналітична теорія, в якій дано чисельний розвиток методу і обчислені таблиці, викладена в роботі, виданої в Петербурзі в 1772 латинською мовою. Її скорочений переклад на російську мову під назвою "Нова теорія руху Місяця" був виконаний О.М. Криловим і виданий у 1934. Обчислювальні методи, запропоновані Ейлером для отримання точних ефемерид Місяця і планет, зокрема запроваджені ним прямокутні рівномірно обертаються осі координат, були широко використані згодом Дж.В. Гіллом. За висловом М.Ф. Суботіна, вони стали одним з найважливіших джерел подальшого прогресу всієї небесної механіки. Широкі можливості для застосування цих методів виникли з появою ЕОМ. Сучасна точна і повна теорія руху Місяця була створена в 1895-1908 Е.В. Брауном. Роботи Ейлера і Гілла дали початок загальної теорії нелінійних коливань, що грає велику роль в сучасних науці і техніці.

Важливе значення для астрономії мала праця Ейлера "Про поліпшення об'єктивного скла зорових труб" (1747), в якій він показав, що, комбінуючи дві лінзи зі скла з різною заломлюючою здатністю, можна створити ахроматичний об'єктив. Під впливом роботи Ейлера перший об'єктив такого роду був виготовлений англійською оптиком Дж. Доллондом в 1758.

Його ім'ям названо:

Тотожність Ейлера - співвідношення між основними математичними константами

Формула Ейлера пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями дійсної змінної

Теорема Ейлера про відстань між центрами вписаного і описаного кола трикутника

Лінія Ейлера

Рівняння Ейлера - рівняння руху ідеальної рідини.

Ейлерові кути - кути, якими описується обертання твердого тіла.

Число e, основу натурального логарифму, іноді називають числом Ейлера.

Стала Ейлера - Маскероні.

Гіпотеза Ейлера.

Висновок

Ейлер залишив найважливіші праці з самих різних галузей математики, механіки, фізики, астрономії і по ряду прикладних наук. З точки зору математики, XVIII століття - це століття Ейлера. Якщо до нього досягнення в галузі математики були розрізнені і не завжди узгоджені, то Ейлер вперше пов'язав аналіз, алгебру, тригонометрію, теорію чисел і ін. дисципліни в єдину систему, і додав чимало власних відкриттів. Значна частина математики викладається з тих пір "по Ейлера".

Завдяки Ейлеру в математику увійшли загальна теорія рядів, дивовижна за красою " формула Ейлера ", операція порівняння з цілого модулю, повна теорія безперервних дробів, аналітичний фундамент механіки, численні прийоми інтегрування і рішення диференціальних рівнянь, число e, позначення для уявної одиниці, гамма - функція з її оточенням і багато іншого. По суті саме він створив кілька нових математичних дисциплін - теорію чисел, варіаційне числення, теорію комплексних функцій, диференціальну геометрію поверхонь, спеціальні функції. Інші області його праць: Діофантом аналіз, астрономія, оптика, акустика, статистика і т. д. Пізнання Ейлера були енциклопедичні, окрім математики, він глибоко вивчав ботаніку, медицину, хімію, теорію музики, безліч європейських і стародавніх мов.

Список літератури

1. П.Я. Великина "Сборник задач по геометри": М., Просвещение, 1985.

2. См.: Игорь Макаров. Инвестиции в "чистую науку" - www.spbumag.nw.ru/2006/04/8.shtml // Санкт-Петербургский университет: журнал. - 7 марта 2006. - № 4 (3726).

3. Глейзер Г.И. История математики в школе - ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm - М .: Просвещение, 1964. - С. 232.

Размещено на Allbest.ru