Основы теории дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Общие сведения

дифференциальный математика уравнение производная

Уравнение называется дифференциальным, если, кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, оно содержит производные неизвестных функций (или их дифференциалы).

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если неизвестные функции зависят от одной независимой переменной.

Дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных, если оно содержит несколько независимых переменных, функции этих переменных и частные производные этих функций.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения называется система функций, подстановка которых вместо неизвестных обращает уравнение в тождество.

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений решения могут быть общими, частными и особыми.

Общими решениями дифференциальных уравнений называются решения, содержащие столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частными решениями дифференциальных уравнений называются решения, получающиеся из общих при частных значениях произвольных постоянных.

Особыми решениями дифференциальных уравнений называются решения, которые вообще не содержатся в общих решениях, т.е. не получаются из них при частных значениях произвольных постоянных.

Решения дифференциальных уравнений в частных производных содержат произвольные функции.

Частное решение получается надлежащим выбором произвольных функций.



2. Обыкновенные уравнения первого порядка

Основные понятия

Обыкновенным уравнением первого порядка называется уравнение вида , где - известная функция трех переменных, - независимая переменная, y - неизвестная функция, - ее производная.

- неявный вид уравнений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида

или

называют уравнениями в нормальной форме (в явном виде).

Функция при всех из называется решением дифференциального уравнения, если она при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Соотношениеназывается общим интегралом уравнения, если у как неявная функция - решение дифференциального уравнения.

Частный интеграл получается из общего при частном значении С.

Особый интеграл не содержится в общем интеграле.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой.

Условия

при

в силу которых функция принимает заданное значение у₀ в заданной точке х₀, называют начальными условиями решения.

Если дифференциальное уравнение первого порядка имеет решение, то решений у него, вообще говоря, бесконечно много и эти решения могут быть записаны в виде , где - произвольная константа.

Выражение называют общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка если:

при всех допустимых значениях функция является решением уравнения,

при любых начальных условиях решения существует единственное значение константы такое, что функция удовлетворяет данным начальным условиям .

Выражение называют частным решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Оно получается из общего решения при определённом значении константы _.

Задача об отыскании частного решения дифференциального уравнения называют задачей Коши.

Геометрически общее решение - система интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной C, а частное решение - одна интегральная кривая этого семейства, проходящая через заданную точку .

Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными

Уравнением с разделёнными переменными называется уравнение вида

где - непрерывные функции.

Переменными здесь считаются величины х и у. Это самый простой тип уравнений. Решение его находится непосредственным интегрированием:

,



где - произвольная постоянная.

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

где - непрерывные функции.

Пример. Решить уравнение

.

Решение. В данном уравнении

.

Разделяя переменные, получаем

.

Интегрируя, имеем

Потенцируя, находим что



эквивалентно уравнению

.

Полагая , окончательно получаем

Линейные уравнения

Уравнение вида

где и - непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если , то уравнение

называется линейным однородным уравнением

.

Очевидно, что однородное линейное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и его общее решение вычисляется по формуле

где - произвольная постоянная.

Если , то уравнение

называется линейным неоднородным уравнением.

Решение неоднородного уравнения находится по методу вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что исходное уравнение записывается в форме:

Общее решение имеет вид:

.

Уравнение Бернулли

Уравнение вида

,

) - непрерывные функции, называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли решается, так же как и линейное, подстановкой

или вариацией произвольной постоянной.

К линейному уравнению сводится подстановкой

Уравнения в полных дифференциалах

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида



называется уравнением в полных дифференциалах, если левая его часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции в некоторой области G.

Решение такого уравнения имеет вид:

Решение такого уравнения имеет вид:

3. Обыкновенные уравнения высших порядков

Основные понятия

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

где - известная функция переменных, - независимая переменная, y - неизвестная функция, n - порядок уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной - уравнения, записанные в нормальной форме:

Функция называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке и удовлетворяет уравнению для всех из .

Общим решением уравнения называется 

содержащая n произвольных постоянных и обращающая уравнение в тождество.

Соотношение

определяющее общее решение как неявную функцию независимой переменной, называется общим интегралом уравнения.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений. Чтобы выделить единственное решение уравнения, т.е. решить задачу Коши, достаточно определить начальные условия:

_.

При определенных ограничениях на правую часть уравнения эта задача имеет единственное решение.

Понижение порядка дифференциального уравнения

Важным методом решения уравнения

является замена переменных, приводящая к уравнениям низшего порядка.

Пример 1.1. Уравнение

Последовательным интегрированием получаем общее решение:

или

Пример 1.2. Уравнение

заменой

приводится к уравнению

Используя решение последнего уравнения: находим из уравнения



Пример 1.3. Уравнение

сводится к уравнению порядка после замены:

Пример 1.4. Уравнение

называется однородным порядка относительно если имеет место тождество:

.

Порядок уравнения понижается на 1 заменой

Линейные дифференциальные уравнения n - го порядка

Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида

,



где - неизвестная функция,

- известные непрерывные функции.

Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором - го порядка:

Уравнения

и ,

называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальными уравнениями - го порядка.

Часто однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения записывают в виде: и соответственно.

Если в однородном уравнении те же самые, как и в неоднородном, то однородное уравнение называется соответствующим данному неоднородному уравнению.

Если - частные решения однородного линейного уравнения , то их линейная комбинация



при произвольных постоянных так же является решением того же уравнения.

Система функций

называется линейно независимой, если их линейная комбинация

ни при каких значениях кроме , не обращается тождественно в нуль.

Если функции - линейно независимые частные решения однородного линейного уравнения, то их называют фундаментальной системой решений.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

,

где - фундаментальная система решений, - произвольные постоянные. Последние можно определить так, чтобы частное решение удовлетворяло начальным условиям

при

Если известен частный интеграл однородного уравнения, то подстановкой , а затем получим линейное уравнение порядка Общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Если известно общее решение соответствующего однородного уравнения, то решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных.

Решение имеет вид:

,

где неизвестные функции находятся из системы уравнений относительно:

Решив систему и получив находим

- постоянные интегрирования.

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида



где - искомая функция, - вещественные числа.

Решением такого уравнения является функция где - корень характеристического уравнения

.

Если все корни различны, то - фундаментальная система решений и

- общее решение однородного уравнения; - произвольные постоянные.

Если корни комплексные, то они (при вещественных ) попарно сопряжённые.

Например:

тогда и заменяются действительными функциями:

и

с получением новой фундаментальной системы.

Если корень имеет кратность , то в фундаментальную систему решений, кроме , надо включить функции:



Если корень - корень кратности- корень той же кратности, если - вещественные), то в фундаментальную систему решений входят функции:

Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

решается методом вариации произвольных постоянных.

Его частное решение можно найти по формуле:

Здесь - решение соответствующего однородного уравнения с условиями:

.

Общее решение имеет вид



Здесь - общее решение соответствующего однородного уравнения.

В случае, когда

,

где - многочлены от x, частное решение уравнения находится методом неопределённых коэффициентов.

Если - не является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, то решение подбирается в форме правой части

.

Если - корень кратности характеристического уравнения, то решение подбирается в форме:

.

Здесь - многочлены от с неопределёнными коэффициентами степени, совпадающей с наибольшей из степеней

Если

то частное решение:

,



где - решения уравнений

соответственно.

4. Дифференциальные уравнения в частных производных

Линейные уравнения первого порядка

Решение однородного линейного дифференциального уравнения в частных производных

где - независимые переменные, зависят от

и имеют непрерывные производные, - искомая функция, равносильно решению системы обыкновенных уравнений

Если

 - искомое решение этой системы, то



- общее решение уравнения в частных производных, причём Ф - произвольная дифференцируемая функция своих аргументов.

В случае неоднородного уравнения

,

где общий интеграл определяется из равенства

произвольная дифференцируемая функция, а

- система интегралов системы уравнений

Некоторые уравнения математической физики

Наиболее часто встречаются на практике линейные уравнения 2 порядка, называемые уравнениями математической физики.

Волновое уравнение описывает колебания некоторой среды:



Телеграфное уравнение:

Уравнение распространения тепла:

Уравнения теории потенциала:

- уравнение Лапласа;

- уравнение Пуассона.

При решении уравнений второго порядка, обычно ищут частное решение, удовлетворяющее начальным и граничным условиям.

Размещено на Allbest.ru