Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Набережночелнинский институт социально-педагогических технологий и ресурсов»

Факультет математики и информатики

Кафедра математики и методики ее преподования

Курсовая работа

«Свойства замечательных кривых»

Специальность 050102.65 «Математика с дополнительной специальностью информатика»

Выполнила студентка

021 группы 2курса

Шадрина Кристина Николаевна

Научный руководитель

Матвеев Семен Николаевич

Набережные Челны 2013г.



Оглавление

Введение

1. История о замечательных кривых

2. Замечательные кривые и их свойства

2.1 Циклоида

2.2 Эпициклоида

2.3 Гипоциклоида

2.4 Дельтоида

2.5 Астроида

2.6 Овал Кассини

2.7 Лемниската

2.8 Лемниската Бернулли

2.9 Улитка Паскаля

2.10 Декартов лист

2.11 Спираль Архимеда

2.12 Логарифмическая спираль

2.13 Гиперболическая спираль

2.14 Конохоида Никомеда

2.15 Кардиоида

2.16 Трактриса

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Сами по себе кривые очень разнообразны и имеют богатую историю. Ещё с древних времён они представляют огромный интерес для учёных. В своё время кривые изучал Декарт, Архимед, Аристотель. Самые простые из них - прямая и окружность встречаются в природе. Если уже созданы сферы, то отбрасываемые ими тени имеют очертания конических сечений, поэтому и учение о конических сечениях можно считать вполне естественным.

Интерес к коническим сечениям возрастал по мере того, как увеличивалось количество решаемых с их помощью задач. Свойства конических сечений стали предметом специального теоретического исследования. Коническим сечениям был посвящен ряд сочинений, но все эти сочинения были забыты, когда появился труд Аполлония о конических сечениях. Он не имеет себе равных по полноте, общности и систематичности изложения теории конических сечений.

Данную работу я также посвятила кривым, так как считаю эту тему очень занимательной и интересной. Столкнувшись с данной темой, я была поражена многообразием кривых. В школе изучаются лишь плоские кривые второго порядка, такие как окружность, гипербола, парабола и одна из кривых третьего порядка - кубическая парабола, даже эллипсу не уделено должного внимания, хотя у него имеются очень интересные свойства, и окружность мы получаем как раз как предельный случай эллипса, если сближать его фокусы. Изучая данную тему я впервые столкнулась с изображением таких замечательных кривых как астроида (что в переводе с греческого означает «звездообразная»), дельтоида (свое название она получила из-за сходства с прописной греческой буквой ) или еще её называют кривой Штейнера, кардиоида (сердцевидная кривая), улитка Паскаля, нефроида (что означает - напоминающая очертаниями почку), лемниската Бернулли, овалы Кассини, локон Аньези, конхоида Никомеда, Декартов лист, трех- и четырехлепестковая розы, спирали: Архимеда и Галилея, гиперболическая и логарифмическая. Каждая из этих кривых имеет присущий только ей вид и свойства. Даже со многими из этих названий до написания данной курсовой работы я раньше не встречалась, не говоря уже о том, как и при помощи чего они могут быть построены (например, все гипоциклоиды могут быть построены при помощи специального приспособления называемого спирографом) Все вышеперечисленные кривые каким-либо образом затрагиваются в представленной курсовой работе.

Все вышесказанное подчеркивает актуальность выбранной темы курсовой работы.

Целью является изучение теории замечательных кривых.

Объектом исследования явились замечательные кривые, а также задачи, связанные с ними.

Предметом исследования является изучение теории замечательных кривых.

Цель исследования обусловила выбор следующих частных задач:

1.отобрать теоретический материал по теме курсовой работы;

2.обобщить и систематизировать материал;

3.рассмотреть основные типы задач и их решение.



1. История о замечательных кривых

Циклоидальные кривые

Первым из учёных обратил внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке, но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке. Название циклоида придумал Галилей (во Франции эту кривую сначала называли рулеттой). Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея Мерсенн. Среди трансцендентных кривых, то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде многочлена от x,y, циклоида -- первая из исследуемых.

Паскаль писал о циклоиде: Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса.

Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, братья Бернулли и другие корифеи науки XVII--XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы математического анализа.

Тот факт, что аналитическое исследование циклоиды оказалось столь же успешным, как и анализ алгебраических кривых, произвёл большое впечатление и стал важным аргументом в пользу «уравнения в правах» алгебраических и трансцендентных кривых.

Приложим к нижнему краю классной доски линейку (L) и будем катить по ней обруч или круг (картонный или деревянный), прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую, называемую циклоидой (что по-гречески значит “кругообразная”). Одному обороту обруча соответствует одна “арка” циклоиды MM'M''N', если обруч будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.(Отрезок MN равен длине обруча.)

Если же точку М взять внутри круга, то получим кривую называемую укороченная циклоида.(рис.а) А если точку М взять вне (снаружи) круга, то имеем кривую, называемую удлиненная циклоида.(рис.б)

Однако круг можно катить не только по прямой

Возьмем в качестве линии L окружность некоторого радиуса R и будем рассматривать круг, катящийся без скольжения по окружности L с внутренней ее стороны. Отметим на окружности катящегося круга некоторую точку А и проследим ее траекторию, т.е. линию, которую эта точка вычерчивает при качении круга.

Циклоиды могут иметь самый разнообразный вид. Представим некоторые из них.

Если по кругу радиуса R вне его без скольжения катится круг с отмеченной точкой М радиусом r, то точка М описывает кривую, называемую эпициклоидой.

R = r r = R/2

кардиоида нефроида

Если по кругу радиуса R внутри него без скольжения катится круг с отмеченной точкой М радиусом r, то точка М описывает кривую, называемую гипоциклоидой.

r = R/4

астроида r = R/3 кривая Штейнера

Количество заострений графика равно R/r.

Конхоида

Данную кривую открыл древнегреческий ученый Никомед (хотя свое название она получила от Прокла: конхоида - похожая на раковину).

Никомед (3-2 в.до н.э.), помимо кривой, изобрел и прибор для ее механического черчения. С помощью конхоиды Никомед решал задачи об удвоении куба и трисекции угла. В 17 и 18 вв. конхоиду исследовали другие ученые. Исаак Ньютон применял ее для геометрического решения уравнения третьей степени.

Улитка Паскаля (или Лимакон Паскаля)

Была открыта Этьеном Паскалем ( отцом Блеза Паскаля) и названа другим французом Gilles-PersonneRoberval в 1650 году, когда он использовал ее как пример его методов проведения касательных, то есть дифференцирования. Ее название произошло от латинскогоlimax, что значит - улитка.

В 1625 Этьен Паскаль в своей переписке с Мерсенном описал метод построения новой кривой, обладающей интересными свойствами ( которую впоследствии назвали Улиткой) и опубликовал свои изыскания в "UnderweysungderMessungpublished".

Декартов лист

«Цветок Жасмина»

Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где x и y принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ.jasmineflower, фр. fleur de jasmin).

В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.

Спираль Архимеда

Вообразим бесконечно длинную секундную стрелку, по которой, начиная от центра циферблата, неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью v см/с. Через минуту жучок будет на расстоянии 60v см от центра, через две - 120v и т.д. Вообще, через t секунд после начала пробега расстояние жучка от центра будет равно vt см. За это время стрелка повернется на угол, содержащий 6 t° (ведь за одну секунду она успевает повернуться на угол 360°:60 = 6°). Поэтому положение жучка на плоскости циферблата через любое число t секунд после начала движения находится так. Нужно отложить от начального положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий 6t°, и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние r = vt см. Тут мы и настигнем жучка (рис. 1.).

Рис. 1

Очевидно, что соотношение между углом поворота a стрелки (в градусах) и пройденным расстоянием r (в сантиметрах) будет такое: r = (va)/6

Иными словами, r прямо пропорционально a, причем коэффициент пропорциональности k = v/6.

Приладим к нашему бегуну маленькую, но неистощимую баночку с черной краской и допустим, что краска, вытекая через крошечное отверстие, оставляет на бумаге след от уносимого вместе со стрелкой жучка. Тогда на бумаге будет постепенно вырисовываться кривая, впервые изученная Архимедом (287 - 212 до н.э.). В его честь она называется спиралью Архимеда. Нужно только сказать, что у Архимеда не было речи ни о секундной стрелке (тогда и часов с пружиной не было: их изобрели только в XVII в.), ни о жучке. Мы ввели их здесь для наглядности.

Рис. 2 Рис. 3

Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре циферблата, и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов. На рис. 3 изображены первый виток и часть второго.

Логарифмическая спираль

Кривую эту можно было бы назвать по имени Декарта, так как впервые о ней говорится в одном из его писем (1638 г.). Однако подробное изучение ее свойств было проведено только полвека спустя Якобом Бернулли. На современных ему математиков эти свойства произвели сильное впечатление. На каменной плите, водруженной на могиле этого знаменитого математика, изображены витки логарифмической спирали.

Архимедову спираль описывает точка, движущаяся вдоль луча («бесконечной стрелки») так, что расстояние от начала луча возрастает пропорционально углу его поворота: r=ka. Логарифмическая спираль получится, если потребовать, чтобы не само расстояние, а его логарифм возрастал прямо пропорционально углу поворота.

Конечно, угол поворота а можно измерять по-прежнему в градусах. Но математики предпочитают измерять его в радианах. Из многих свойств логарифмической спирали, отметим одно: любой луч, выходящий из начала, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом. Величина этого угла зависит только от числа k в уравнении спирали. При этом под углом между лучом и спиралью понимается угол между этим лучом и касательной к спирали, проведенной в точке пересечения.

Лемниската Бернулли

Обратимся к кривой, описываемой точкой М на плоскости так, что остается неизменным произведение р расстояний этой точки до двух определенных точек F1 и F2 той же плоскости. Такая кривая называется лемнискатой (лемниската по-гречески значит «ленточная»). Если длина отрезка F1F2 есть с, то расстояния от середины О отрезка F1F2 до F1 и F2 равны с/2 и произведение этих расстояний равно - с2/4. Потребуем сначала, чтобы величина р неизменного произведения равнялась как раз с2/4; тогда точка О будет лежать на лемнискате, а сама лемниската будет иметь вид «лежащей восьмерки» (рис. 4).

Рис. 4

Если продолжить отрезок F1F2 в обе стороны до пересечения с лемнискатой, то получим две точки А1 и А2. Выразим расстояние между А1А2= х через известное расстояние с: (х/2+с/2)(х/2-с/2)=х2/4-с2/4.

Если величину неизменного произведения р взять не равной с2/4, то лемниската изменит свой вид. И при р меньше с2/4, лемниската состоит из двух овалов, каждый из которых содержит точки F1 и F2, соответственно (рис.5).

Рис. 5

Рис. 6

Т.о. задавая различные условия для р и с2/4 будем получать лемнискаты различного вида (рис. 6).

Возьмем теперь на плоскости любое количеств точек. F1,F2, ..., Fn и заставим точку М двигаться так, чтобы для нее оставалось неизменным произведение расстояний до каждой из взятых точек. Получим Кривую, форма которой будет зависеть от того, как расположены точки F1,F2, ..., Fn друг относительно друга и какова величина неизменного произведения. Кривая эта называется лемнискатой с n фокусами.

Выше мы рассматривали лемнискаты с двумя фокусами. Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний. Будем вести острие карандаша из некоторой точки А, не отрывая от бумаги, так, чтобы оно в конце вернулось в исходную точку А. Тогда оно опишет некоторую кривую; мы потребуем только, чтобы эта кривая нигде не пересекала саму себя.

Рис. 7

Очевидно, что таким путем могут получиться кривые, имеющие, например, очертания человеческой головы или птицы (рис. 7). Оказывается, что, имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число п и расположение фокусов F1,F2, ..., Fnи назначить такую величину для неизменного произведения расстояний МF1 МF2… МFn= p, что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой.

Иными словами, возможные отклонения точки М, описывающей лемнискату, от нарисованной кривой - не будут превосходить ширину карандашного штриха (карандаш можно заранее отточить как угодно хорошо так, что штрих будет очень узким). Этот замечательный факт, говорящий о необычайном разнообразии н богатстве форм лемнискат с многими фокусами.



Трактриса

Открытие и первое исследование трактрисы (1670 год) принадлежит французскому инженеру, врачу и любителю математики Клоду Перро, брату знаменитого сказочника. Новая кривая заинтересовала математиков, её свойства выясняли Ньютон (1676), Гюйгенс (1692) и Лейбниц (1693).

Кардиоида

Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Карре (LouisCarrи, 1705 г.). Название кривой дал Джованни СальвеминидиКастиллоне (GiovanniSalveminidiCastiglione, упоминается также как JohannFrancescoMelchioreSalveminiCastillon) в 1741 г.

«Спрямление», то есть вычисление длины кривой, выполнил Ла Ир (PhilippedeLaHire), который открыл кривую независимо, в 1708 г. Также независимо описал кардиоиду голландский математик Й. Коерсма (J.Koersma, 1741 г.). В дальнейшем к кривой проявляли интерес многие видные математики XVIII-XIX веков.

Название кардиоиды происходит от греческих слов чбсдйб - сердце, и ейдпт - вид, вместе - сердцевидная.



2. Замечательные кривые и их свойства

2.1 Циклоида

Цикломида (от греч.кхклпейдЮт -- круглый) -- плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.

Уравнения

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r.

· Циклоида описывается параметрическими уравнениями

Уравнение в декартовых координатах:

· Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:

Свойства

· Циклоида -- периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2рr. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t = 2рk, где k -- произвольное целое число.

· Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.

· Длина арки циклоиды равна 8r. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658).

· Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли уверяет, что этот факт был открыт Галилеем.

· Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен .

· «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.

· Период колебанийматериальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.

· Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной, а именно -- параллельно сдвинутой так, что вершины переходят в «острия».

· Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида) (ср. построение лемнискаты Бернулли).

2.2 Эпициклоида

Эпицикломида (от греч.?рЯ -- на, над, при и кхклпт -- круг, окружность) -- плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по другой окружности.

Уравнения

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен R, радиус катящейся по ней окружности равен r, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно :

где б -- угол поворота эпициклоиды относительно центра неподвижной окружности, -- параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси OX.

Можно ввести величину , тогда уравнения предстанут в виде

Величина k определяет форму эпициклоиды. При k = 1 эпициклоида образует кардиоиду, а при k = 2 -- нефроиду.



Эпициклоиды при разных значениях параметра k:
k = 1 (кардиоида)	k = 2 (нефроида)	k = 3	k = 4

2.3 Гипоциклоида

Красная кривая -- гипоциклоида: r = 1,0, R = 3,0. Для этой гипоциклоиды k = R / r = 3.

Гипоцикломида(от греческих слов ?рь -- под, внизу и кэклпт -- круг, окружность) -- плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.

Уравнения

Описывается параметрическими уравнениями

где , где R -- радиус неподвижной окружности, r -- радиус катящейся окружности.

Модуль величины k определяет форму гипоциклоиды. При k = 2 гипоциклоида представляет собой диаметр неподвижной окружности, при k = 4 является астроидой.

Пример гипоциклоид

k=3 -- Дельтоида	k=4 -- Астроида	k=5	k=6
k=2,1	k=3,8	k=5,5	k=7,2

2.4 Дельтоида

Дельтоида (кривая Штейнера) -- плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой втрое больше радиуса первой.

Название кривая получила за сходство с греческой буквой Д. Её свойства впервые изучались Л. Эйлером в XVIII веке, а затем Я. Штейнером в XIX.

Дельтоида является частным случаем гипоциклоиды при k = 3.

Уравнения

· Неявное уравнение в прямоугольной системе:

· Параметрическое:

, где -- треть полярного угла.

Свойства

· Длина кривой , где R -- радиус неподвижной окружности.

· Площадь, ограничиваемая дельтоидой, .

2.5 Астроида

Астроида -- плоская кривая, описываемая точкой M окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R = 4r. Иначе говоря, астроида -- это гипоциклоида с модулем m = 4.

Уравнения

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

| x | 2 / 3 + | y | 2 / 3 = R2 / 3

параметрическое уравнение:

x = Rcos3t y = Rsin3t

Свойства

· Длина дуги от точки с 0 до

· Длина всей кривой 6R.

· Радиус кривизны:

· Площадь, ограниченная кривой:

· Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.

· Астроида является алгебраической кривой 6-го порядка.

2.6 Овал Кассини

Овал Кассини -- геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа a.

Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном 2a является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами.

Кривая была придумана астрономом и инженером Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее и определяет орбитуЗемли, чем эллипс[1].

Уравнения

Расстояние между фокусами 2c.

· В прямоугольных координатах:

Фокусы -- F1( ? c;0) и F2(c;0). Возьмём произвольную точку M(x;y), найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к a2: Возводим в квадрат обе части равенства: Раскрываем скобки в левой части: Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель:

· Явное уравнение в прямоугольных координатах:

· В полярной системе координат:

Свойства

Чёрная окружность -- множество максимумов и минимумов; синяя лемниската -- множество точек перегиба

· Овал Кассини -- алгебраическая кривая четвёртого порядка.

· Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.

· Приимеет два абсолютных максимума и два минимума:

Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов -- окружность радиуса c с центром в середине отрезка между фокусами.

· Прикривая имеет четыре точки перегиба. Их полярные координаты:

Геометрическое место точек перегиба -- лемниската с вершинами .

· Радиус кривизны для представления в полярных координатах:

2.7 Лемниската

Лемнискаты с тремя фиксированными фокусами.

Лемниската (от лат. lemniscatus -- украшенный лентами) -- плоская алгебраическая кривая порядка 2n, у которой произведение расстояний от каждой точки до n заданных точек (фокусов) постоянно.

Примеры

· Лемнискатой с одним фокусом (n = 1) является окружностьрадиусаr, а с двумя фокусами -- овал Кассини.

· Частным случаем овала Кассини является лемниската Бернулли, по имени швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало изучению лемнискат.

Свойства

· Уравнение лемнискаты на комплексной плоскости

· Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний, например, очертания человеческой головы или птицы. Имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число фокусов F1, F2, …, Fn, их расположение и назначить такую величину p для неизменного произведения расстояний , что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами, произвольную кривую можно приблизить последовательностью леминискат.

Лемниската Бута -- плоскаяалгебраическая кривая четвёртого порядка, частный случай кривой Персея. Названа в честь Джеймса Бута.

Уравнение в прямоугольных декартовых координатах:

(x2 + y2)2 ? (2m2 + c)x2 + (2m2 ? c)y2 = 0.

Виды

Форма кривой зависит от соотношения между параметрами m и c. Если c> 2m2, то уравнение лемнискаты принимает вид

(x2 + y2)2 = a2x2 + b2y2, гдеa2 = 2m2 + cиb2 = c ? 2m2.

В этом случае лемниската Бута является подеройэллипса относительно его центра и называется эллиптической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

с2 = a2cos2ц + b2sin2ц.

Если c< 2m2, то уравнение лемнискаты принимает вид

(x2 + y2)2 = a2x2 ? b2y2, гдеa2 = 2m2 + cиb2 = 2m2 ? c.

В этом случае лемниската Бута является подеройгиперболы относительно её центра и называется гиперболической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

с2 = a2cos2ц ? b2sin2ц.

Частные случаи:

· При c = 2m2 лемниската Бута вырождается в две окружности

· При c = 0 лемниската Бута вырождется в лемнискату Бернулли.

Свойства:

· Лемниската Бута -- ортогональная проекция на плоскость xOy линии пересечения поверхности параболоидаx2 + y2 = cz с поверхностью конуса а2x2 + b2y2 = c2z2.

· Лемнискату Бута можно получить инверсией кривой второго порядка с центром в начале координат.

2.8 Лемниската Бернулли

ЛемнискамтаБернумлли -- геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската по форме напоминает восьмёрку. Её название восходит к античному Риму, где «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнения:

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

· в прямоугольных координатах:

Вывод

Фокусы лемнискаты -- F1( ? c;0) и F2(c;0). Возьмём произвольную точку M(x;y). Произведение расстояний от фокусов до точки M есть

,

и по определению оно равно c2:

Возводим в квадрат обе части равенства:

Раскрываем скобки в левой части:

Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:

Выносим общий множитель и переносим:

Далее можно сделать замену a2 = 2c2, хотя это не обязательно:

В данном случае a -- радиус окружности, описывающей лемнискату.

Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

Вывод

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

Приводим к виду

Это квадратное уравнение относительно y2. Решив его, получим

Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:

где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный -- нижнюю.

· в полярных координатах:

Вывод

Используя формулы перехода к полярной системе координат получим:

Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождествоsin2б + cos2б = 1:

Используем ещё одно тождество: cos2б ? sin2б = cos2б:

Делим на с2, предполагая, что :

Как и в случае прямоугольной системы можно заменить a2 = 2c2:

· Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

·

, где

Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Пусть, например, -- фокусы.

Существует прямоугольная система координат (на рисунке -- ), в которой уравнение лемнискаты имеет вид

Необходимо определить преобразование системы координат, переводящее в . Это преобразование осуществляется в два этапа: параллельный перенос и поворот.

Середина отрезка F1F2 -- , значит перенос только на по оси OX:

После переноса системы координат её надо повернуть на некоторый угол. Для определения угла сначала найдём расстояние между фокусами:

значит .

Теперь из геометрических соображений находим синус и косинус угла наклона F1F2 к OX:

ормулы преобразования:

Совместив оба преобразования, получим конечные формулы перехода:

Для того, чтобы получить уравнение в стандартной системе координат, подставим эти соотношения в исходное уравнение кривой:

После преобразований:

Это уравнение задаёт лемнискату с фокусами в стандартной прямоугольной системе координат.

Свойства:

· Лемниската -- кривая четвёртого порядка.

· Она имеет две оси симметрии: прямая, на которой лежит F1F2, и серединный перпендикуляр этого отрезка, в простейшем (данном) случае -- ось OY.

· Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.

· Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:

· Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра (оси OY в данном случае) равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.

· Касательные в двойной точке составляют с отрезком F1F2 углы .

· Лемнискату описывает окружность радиуса , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

· Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.

· Для представления в полярных координатах, верно следующее

o Площадь полярного сектора, при:

§ В частности, площадь каждой петли .

o Радиус кривизны лемнискаты есть

2.9 Улитка Паскаля

Три улитки паскаля, конхоиды чёрной окружности: зелёная , красная (кардиоида) и синяя

Улитка Паскаля Ї плоская алгебраическая кривая 4-го порядка; подера окружности, конхоида окружности относительно точки на окружности, частный случай Декартова овала, она также является эпитрохоидой. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

Уравнения:

Уравнение в прямоугольных координатах:

в полярных координатах:

Свойства:

· Начало координат Ї

o узловая при .

o точка возврата при(в этом случае Улитка Паскаля называется кардиоидой).

o двойная точка, изолированная при.

· Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода.

· Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:

;

приплощадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.

· В случае , улитка Паскаля также называется трисектримса.

2.10 Декартов лист

Декартов лист -- плоская кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системеx3 + y3 = 3axy. Параметр 3a определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

Уравнения:

· В прямоугольной системе по определению:

· В полярной системе:

.

· Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

, где .

Повёрнутый декартов лист

Уравнения:

· В прямоугольной системе:

, где

· Параметрическое:

· В полярных координатах:

Систему координат XOY преобразуют в систему координат UOV, которая получается поворотом осей OX и OY по часовой стрелке на угол и переориентацией оси OX в противоположном направлении: Выражение старых координат XY через новые UV выглядит так: , или , После подстановки выражений старых координат через новые уравнение декартова листа преобразуется к следующему виду: . Вводим параметр , последнее уравнение перепишется так: или . Заменяем переменные u и v на привычные x и y и получаем уравнение декартового листа в новой системе координат: Подставив в уравнение предыдущее , получаем уравнение декартова листа в полярной системе координат: . Решая данное выражение относительно с, получаем: .

Свойства:

· Прямая OA -- ось симметрии, её уравнение: y = x.

· Точка A называется вершиной, её координаты .

· Для обеих ветвей существует асимптота UV, её уравнение: x + y + a = 0.

· Площадь области между дугами ACO и ABO

Площадь S1, заключённая между дугами ACO и ABO вычисляется так: , где . Этот интеграл вычисляется с помощью подстановки: . Пределы интегрирования: Интеграл преобразуется к виду: или Первый интеграл из этого уравнения: . Подстановка: . Пределы интегрирования: . Интеграл преобразуется к виду: Второй интеграл: Подстановка: . Пределы интегрирования: . Интеграл преобразуется к виду: . Итак: . Площадь S1 равна .

· Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли .

· Объём тела, образованного при вращении дуги ACO вокруг оси абсцисс

2.11 Спираль Архимеда

Архимедова спираль -- спираль, плоская кривая, траектория точки M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль лучаOV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние с = OM пропорционально углу поворота ц луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение с.

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так: (1) где k -- смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану.

Повороту прямой на 2р соответствует смещение a = |BM| = |MA| = 2kр. Число a -- называется шагом спирали.

Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

2.12 Логарифмическая спираль

Логарифмимческаяспирамль или изогональная спираль -- особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spiramirabilis, «удивительная спираль».

Уравнения

В полярных координатах кривая может быть записана как

либо

что объясняет название «логарифмическая».

В параметрической форме может быть записана как

где a, b -- действительные числа.

Свойства

· Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от параметра b.

o В терминах дифференциальной геометрии это может быть записано как

· Производная функциипропорциональна параметру b. Другими словами, он определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В предельном случае, когда спираль вырождается в окружность радиуса a. Наоборот, когда bстремится к бесконечностиспираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий до 90°, называется наклоном спирали.

· Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной. Возможно, в результате этого свойства, логарифмическая спираль появляется в определённых растущих формах, подобных раковинам моллюсков и шляпкам подсолнечников.

2.13 Гиперболическая спираль

Гиперболическая спираль -- плоская трансцендентная кривая.

Уравнение гиперболической спирали в полярной системе координат является обратным для уравнения Архимедовой спирали и записывается так:

сц = a

Уравнение гиперболической спирали в декартовых координатах:

Параметрическая запись уравнения:

Спираль имеет асимптотуy = a: при tстремящемся к нулю ордината стремится к a, а абсцисса уходит в бесконечность:

2.14 Конхоида Никомеда

Три конхоиды прямой с общим центром, красная , зелёная и синяя

Конхоида Никомеда Ї конхоидапрямой, плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Конхоида имеет две ветви, сама прямая конхоиды является асимптотой обеих ветвей.

Название происходит от греческого слова konchoeidзs -- «похожий на раковину».

Уравнения:

Декартовы координаты

Если центр конхоиды помещён в начале координат, а прямая задана уравнением y + a = 0 в декартовых прямоугольных координатах то уравнение конхоиды имеет вид

Начало координат является двойной точкой, характер которой зависит от величин a и :

· приЇ изолированная точка

· приЇ узловая точка

· приЇ точка возврата

Полярные координаты

В полярных координатах, если начало координат находится на расстоянии a от прямой, уравнение конхоиды имеет вид

.

2.15 Кардиоида

Построение кардиоиды

Кардиомида(греч.КбсдЯб -- сердце, греч.Е?дпт -- вид) -- плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля, эпициклоиды и синусоидальной спирали.

Уравнения

· В прямоугольных координатах:

· В прямоугольных координатах (параметрическая запись):

x = 2rcost(1 + cost)

y = 2rsint(1 + cost)

· В полярных координатах:

Свойства:

· Кардиоида -- алгебраическая кривая четвёртого порядка.

· Кардиоида имеет один касп.

· Длина дуги одного витка кардиоиды, заданной формулой:

равна: s = 8a.

· Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, заданной формулой:

равна: .

2.16 Трактриса

Общий вид графика

Трактримса (линия влечения) -- (от лат. trahere -- тащить) -- плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.

Такую линию описывает предмет, волочащийся на верёвке длины a за точкой, движущейся по оси абсцисс. Трактриса также является кривой погони.

Уравнения:

· Параметрическое описание:

· Уравнение в декартовых координатах:

, при

Свойства:

· Площадь, ограниченная трактрисой и её асимптотой:

· Длина дуги, от точки (0 ; a) до произвольной точки трактрисы:

· Радиус кривизны:

· Поверхность вращения трактрисы вокруг своей асимптоты (оси x), является псевдосферой.

· Эволюта (огибающая нормалей): y(x)= achx/a (цепная линия)

· При a> 0, 0 >t> р трактриса имеет отрезок касательной постоянной длины, равный a.

· Заключение

На этом очерк о замечательных кривых заканчиваем. Мы рассмотрели лишь немногие из них и ни в какой мере не исчерпали их свойства. Для составления материалов, посвященных замечательными кривым, изучили имеющуюся литературу в национальной библиотеке РТ. Перечень пособий, рассмотренных нами на русском и иностранных языках в количестве 19 источников, приводится в списке литературы.

Большой трудностью для нас представляло составление чертежей (на компьютере) и упрощение громоздких теоретических выкладок, связанных с получением уравнения кривых. Тем не менее, мы постарались привести для наглядности чертежи всех рассмотренных в этой работе замечательных кривых. При этом, как правило, выкладки и доказательства опускались. Кроме того, изучение свойств кривых представляет собой большой интерес в плане ознакомления с жизнью и деятельностью каждого ученого.

Например, изобретение спирали Архимеда приписывается по некоторым источникам (Папп) Конону Самосскому, однако свойства ее были изучены Архимедом, который не только определил способ построения касательной к этой кривой, но и выполнил ее квадратуру. Он показал также, что спираль может быть использована для квадратуры круга. Другим примером является квадратриса Динострата.

Квадратриса является одной из многих кривых, открытых древними в поисках решения задачи о делении угла в заданном отношении и о квадратуре круга. Несмотря на то, что ее изобретение приписывается знаменитому софисту из Элиды (420 г. до н.э.), который занимался первой из указанных задач, возможность решения задачи о квадратуре круга с помощью этой кривой показал впервые Динострат (2-я половина 4-го века до н.э.).

Читатель, который пожелает расширить приобретенные сведения, может обратиться к книге польского математика Г. Штейнгауза «Математический калейдоскоп» (М.: Гостехиздат, 1949). Более обстоятельной является книга советского популяризатора математической науки Г.Н. Герман «Циклоида» (М.: Гостехиздат, 1954).

Интересные очерки о кривых и их свойствах можно прочитать в отдельных номерах журнала «Квант». Заметим, что более детальное изучение свойств кривых требует более основательных математических знаний, в частности знакомства с дифференциальным и интегральным исчислением.



Список литературы

1. А. И. Маркушевич «Замечательные кривые»; Москва; Наука - 1978г.32

2. Г. Н. Берман «Циклоида»; Москва; ?ГосТехИздат? - 1954г.



Приложение:

Найти площадь петли декартова листа .

Решение. Перейдем к полярным координатам по обычным фор-мулам , .Тогда заданное уравнение перепишется в виде,или

01	12

. Из этого уравнения вытекает, во-первых, что при и при и, во-вторых, при и . Последнее означает, что декартов лист имеет асимптоту, уравнение которой можно найти обычным обра-зом в декартовых координатах. Следовательно, петля декартова ли-ста описывается при изменении от 0 до и лежит в первой четверти (рис.3.5).Таким образом, искомая площадь равна . Пользуясь симметрией кривой от-носительно биссектрисы , т, е. относительно луча , мы можем вычислить площадь половины петли (от до ) и затем удвоить ее. Это позволит воспользоваться заменой

0	01

, , что дает. Новая замена, , приводит к интегралу.

Вычислить площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли r2 = a2cos 2ц.

Решение

В полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной дугой кривой r = f(ц) и двумя полярными радиусами ц1 = ? и ц2 = ?, выразится интегралом

В силу симметрии кривой определяем сначала одну четвертую искомой площади

Следовательно, вся площадь равна S = a2.

Определить длину дуги одной арки циклоиды

Решение

Найти площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды

, и осью .

Решение: Здесь граница фигуры состоит из дуги циклоиды и отрезка оси . Применим формулу . Так как на отрезке оси имеем то остается вычислить интеграл (с учетом направления обхода границы):

Вычислить длину дуги астроиды x2/3 + y2/3 = a2/3.

Решение.

Запишем уравнение астроиды в виде

(x1/3)2 + (y1/3)2 = (a1/3)2.

Положим x1/3 = a1/3cos t, y1/3 = a1/3sin t.

Отсюда получаем параметрические уравнения астроиды

x = a cos3t, y = a sin3t, (*)

где 0 ? t ? 2р.

Ввиду симметрии кривой (*) достаточно найти одну четвертую часть длины дуги L, соответствующую изменению параметра t от 0 до р/2.

Получаем

dx = -3a cos2t sin t dt, dy = 3a sin2t cos t dt.

ОтсюданаходимdL= v(dx)І+(dy)І= 3a sint cost

Интегрируя полученное выражение в пределах от 0 до р/2, получаем

Отсюда L = 6a.

Найти длину первого витка спирали Архимеда = а

Решение.Так как линия задана в полярной системе координат, то используется формула (21), причем первый виток спирали соответствует изменению угла от 0 до 2:

=

.

Рассмотрим неопределенный интеграл

.

Таким образом,

.

Задача

Написать уравнение строфоиды в прямоугольной декартовой системе координат, осями которой являются прямые AB и CD, а направление оси OX определяется направлением оси строфоиды.

Решение

Пусть O - начало координат; ось OX направлена по лучу OB; AO=a, AOD=б; когда строфоида - косая, система координат - косоугольная, ось OY направлена по лучу OD:

(1)

Для прямой строфоиды уравнение (1) приводится к виду

.

Пусть уравнение кривой L в полярных координатах r= r(ц), б ? ц ?в,

причем функция r= r(ц) непрерывно дифференцируема на [а,b]. Используя формулы перехода от полярных координат к декартовым и принимая за параметр угол имеем параметрические уравнения кривой

L: x = r(ц) cosц, y= r(ц) sinц. Тогда

Вычислить длину дуги логарифмической спирали

Рис. 18.10

Дельтоид как часть геометрического чертежа в задачах из учебника

На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла - точки В и С такие, что

АDВ=АDС. Докажите, что ВD =СD

Дано: А, биссектриса а (1=2) , АDВ=АDС

Доказать: ВD=СD

Доказательство:

1) ВD входит в АВD, СD входит в АСD.

2) Рассмотрим АВD и АСD:

1) 1= 2, по условию

2) АDВ = АDС, по условию

3) АD - общая, следует АВD= АСD,

по стороне и двум прилежащим углам (II признак равенства треугольников), из этого ВD=СD. Ч.т.д.

Найти стороны и диагонали дельтоида если его периметр равен 116 см. разность боковых сторон равна 3 см. и главная диагональ точкой пересечения диагоналей делится в отношении 2:1.

Дано: ABCD-дельтоид, ВО:ОD=2:1,

РABCD=116 см., АВАD на 3 см.

Найти: AB, BC, CD, DA, AC, BD.

Решение

1)Пусть АD= Х см, тогда АВ=(Х+3)см. Получим:

2( х + (х+3)) = Р

2( х + х+3) = 116

2( 2х+3) = 116

2х+3 = 58

2х = 55

Х = 27,5

Отсюда DС = АD = 27,5, ВС = АВ = 27.5+3=30,5

2) Пусть АО = у, ОD = к, тогда ОС = у, ВО = 2к, составим систему и решим её:

у2 = 930, 25

к2+у2 = 756, 25

у2 = 756, 25 - к2

756, 25 - к2 = 930, 25

3к2 = 174

к2 = 58, тогда у2 = 756, 25 - 58 = 698, 25

отсюда АС = 2 , ВD = 3

Ответ: АВ=ВС=30,5см., АD=DС=27,5см., АС = 2 , ВD =3

Вычислить полную длину дуги кардиоиды с = a(1 + cos ц).

Решение

Имеем с' = -a sin ц . Поэтому

и, следовательно, . Обозначая длину дуги верхней части кардиоиды через , получим

Отсюда для длины дуги L всей кардиоиды находим L = 8a.

Пример: найти отношение длины дуг эпициклоиды

;

.

И гипоциклоиды

,

.

Решение. Дифференцируем уравнение кривых и вычислим для эпициклоиды.

,

,

;

Для гипоциклоиды

,

,

;

Длины дуг эпициклоиды и гипоциклоиды равна соответственно

.

Ответ. .

Размещено на Allbest.ru