Вероятность наступления события

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автономная образовательная некоммерческая организация высшего профессионального образования

«Институт менеджмента, маркетинга и финансов»

Кафедра Финансы и кредит

Cпециальность Финансы и кредит

Контрольная работа

по дисциплине Математика (Теория вероятностей и математическая статистика)

Выполнил(а)

студент(ка) гр. ФК-124

Ларина Кристина

Руководитель

Моисеев Сергей Игоревич

Воронеж 2013



Задание 1

вероятность событие дискретный лаплас регрессия

Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

Решение: общее число исходов n=36. C36 - полная группа равновероятных и несовместных событий. Число благоприятствующих событий: 1 туз можно выбрать С₄¹ способами, а 2 другие карты С²₃₂ способами.

В=В₁+В₂+В₃ (где В₁- появление 1 туза, В₂ - 2 тузов, В₃ - 3 тузов).

Р(В)=Р(В₁)+Р(В₂)+Р(В₃)=С₄¹ * С₃₂² / С₃₆³ + С₄² * С₃₂¹ / С₃₆³ + С₄³ * С₃₂⁰ / С₃₆³ =0,3053

Задание 2

На сборку попадают детали с 3 автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй 0,2% и третий 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго 2000 и с третьего 2500 деталей.

Решение: Пусть А - событие бракованная деталь, В₁ - произвел ее 1 автомат, В₂ - произвел ее 2 автомат, В₃ - произвел 3 автомат.

Найдем условные вероятности события А:

Р(А/В₁)=0,003

Р(А/В₂)=0,002

Р(А/В₃)=0,004

Р(В₁)=2/11

Р(В₂)=4/11

Р(В₃)=5/11

По формуле полной вероятности находим:



Р(А)= Р(В₁)* Р(А/В₁)+ Р(В₂)* Р(А/В₂)+ Р(В₃)* Р(А/В₃)

Р(А) = 2/11*0,003+4/11*0,002+5/11*0,004=0,00309

((1000*0,3+2000*0,2+2500*0,4)/100/5500=0,00309)

Задание 3

Дана вероятность p(=0,6) появления события А в серии из n(=4) независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:

а) ровно k=3 раз;

б) не менее k=3 раз;

в) не менее k1 =3 раз и не более k2 =4 раз.

Решение: Исходные данные: p = 0,6; q = 1- p = 1 - 0,6 = 0,4

Формула Бернулли:

а) событие наступит ровно k = 3 раз:

б) событие наступит не менее 3 раз:

Р₄(3)+Р₄(4)=0,4752

в) событие наступит не менее 3 и не более 4 раз;

Вероятность того, что в n=4 испытаниях событие наступит не менее 3 и не более 4 раз равна:



P(k₁ ? x ? k₂) = P_n(k₁) + P_n(k₁+1) + ... + P_n(k₂)

P(3 ? x ? 4) = 0.3456 + 0.1296 = 0.4752

По интегральной теореме Лапласа:

6) событие наступит не менее 3 и не более 4 раз;

m=n*p=4*0.6=2.4, у = vnpq=v0,96

P₄(3 < x < 4) = Ф((4-2,4)/0,9798) - Ф((3-2,4)/0,9798) = Ф(1,63) - Ф(0,61) = 0,4495 - (0,2324) = 0,2171

Задание 4

Таблицей задан закон распределения дискретной случайной величины Х.

Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение у(X).

Закон распределения:

X -7 -5 -2 3

P 0,4 0,4 0,1 0,1

Решение:

М(х)=-7*0,4+(-5)*0,4+(-2)*0,1+3*0,1= - 4,7

D(x)=M(x²) - (M(x))² =30,9-(-4,7)² = 8,81



М(х²)=49*0,4+25*0,4+4*0,1+9*0,1=30,9

у(X)=vD(x)=v8,81

Задание 5

Дана интегральная функция распределения случайной величины Х.

Найти дифференциальную функцию распределения, математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение у(X).

0, х< -1

F(х)= х+1, -1<=x<=0

1, х>0

Решение: Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):

f(x) = dF(x)/dx = 1

f(x) =

Математическое ожидание:

Наша функция вне промежутка [-1;0] равна 0.



Дисперсия:

¹/₃*0³ - (¹/₃*(-1)³) - (^-1/₂)² = ¹/₁₂

Среднеквадратическое отклонение:

у=vD(x)=v1/12

Задание 6

Диаметры деталей распределены по нормальному закону. Среднее значение диаметра равно d мм, среднее квадратическое отклонение у мм (7). Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше б (16)мм и меньше в(20) мм; вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более, чем на Д(1,5) мм. а=13

Решение: Пусть Х - диаметр детали. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то вероятность ее попадания на отрезок [a;b]:

Р(б<х<в) = Ф((в-a)/у) - Ф((б-a)/у).

Тогда вероятность того, что диаметр будет больше 16мм и меньше 20мм:

Р(16<х<20)=Ф((20-13)/7)) - Ф((16-13)/7))=Ф(1)-Ф(3/7)=0,3413-0,1664=0,1749

Вероятность отклонения диаметра детали от стандарта не более, чем на Д(1,5) мм, есть вероятность того, что диаметр детали попадет в интервал:[а- Д; а+ Д] вычисляется с помощью функции Лапласа:

Р(13-1,5<х<13+1,5)=Ф((14,5-13)/7) - Ф((11,5-13))/7)=

=Ф(1,5/7)+Ф(1,5/7)=2Ф(0,21)=2*0,0832=0,1664

Задание 7

Признак Х представлен дискретным выборочным распределением в виде таблицы выборочных значений. Требуется:

? составить интервальное распределение выборки;

? построить гистограмму относительных частот;

? перейти от составленного интервального распределения к точечному выборочному распределению, взяв за значения признака середины частичных интервалов;

? построить полигон относительных частот;

? найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

? вычислить все точечные статистические оценки числовых характеристик признака: среднее X; выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию; выборочное с.к.о. и исправленное выборочное с.к.о. s;

? считая первый столбец таблицы выборкой значений признака Х, а второй - выборкой значений Y, оценить тесноту линейной корреляционной зависимости между признаками и составить выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х.



54,3 58,1 45,1 46,1 62,3 63,4 88,9 46,1 60,6 62,4

14,1 25,1 49,1 25,6 50,1 48,1 46,6 59,1 53,1 52,8

79,1 67,1 19,4 59,1 50,6 57,1 66,9 82,6 71,1 38,6

54,0 52,9 53,8 73,1 34,1 36,1 26,5 56,1 74,5 63,1

27,9 54,1 75,3 27,1 51,9 51,5 54,9 82,4 31,1 60,7

55,4 62,7 32,5 46,5 58,5 55,8 52,9 53,5 61,6 51,7

37,6 54,1 31,1 43,8 61,6 51,9 22,5 39,7 32,5 41,7

53,6 30,8 58,1 72,7 33,4 66,8 35,3 47,9 48,1 73,2

50,4 80,8 41,2 73,3 43,4 34,1 47,1 50,2 94,1 67,1

34,2 47,9 68,9 26,1 42,9 46,4 68,9 45,1 21,9 34,1

Решение: 1) составить интервальное распределение выборки: отметим, что х_min=14,1; х_max=94,1, т.е. R=94,1-14,1=80. Определим длину каждого интервала, воспользовавшись формулой Стэрджеса:

L =R/ (1+3.322lgn)=80/(1+3,322lg100)=10,47, где n-объем выборки.

Установим границы частичных интервалов. Нижняя: х₀= х_min-l/2=14,1-10/2=9,1. Верхняя граница: х_l= х₀+l=9,1+10=19,1. Итак до х_max=94,1. Если значение повторяется, то относим его к левому интервалу.

Группы	Кол-во, ni	Частота, w=ni/n
9.1-19.1	1	0.01
19.1-29.1	9	0.09
29.1-39.1	14	0.14
39.1-49.1	19	0.19
49.1-59.1	29	0.29
59.1-69.1	15	0.15
69.1-79.1	8	0.08
79.1-89.1	4	0.04
89.1-99.1	1	0.01
-		0
	100	1



построить гистограмму относительных частот:

hi=wi/l	0,001	0,009	0,014	0,019	0,029	0,015	0,008	0,004	0,001

Рис. 1. Гистограмма относительных частот

перейти от составленного интервального распределения к точечному выборочному распределению, взяв за значения признака середины частичных интервалов: точечное распределение имеет вид следующей таблицы:

Середина интервала, xi	Кол-во, ni	Частота, w=ni/n
14.1	1	0.01
24.1	9	0.09
34.1	14	0.14
44.1	19	0.19
54.1	29	0.29
64.1	15	0.15
74.1	8	0.08
84.1	4	0.04
94.1	1	0.01
0		0
	100	1



построить полигон относительных частот: это ломаная линия, вершины которых находятся в точках (х_i, w_i):

Рис. 2. Полигон относительных частот

найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график: строится по формуле

F(x)=n_x/n.

0, х

0,01, 14,1

0,10, 24,1

0,24, 34,1

F(x)= 0,43, 44,1

0,72, 54,1

0,87, 64,1

0,95, 74,1

0,99, 84,1

1, х>94,1



Графиком является кумулята относительных частот - ломаная линия с вершинами в точках (х_i; n_x/n).

Рис. 3. Кумулята относительных частот

вычислить все точечные статистические оценки числовых характеристик признака: среднее X; выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию; выборочное с.к.о. и исправленное выборочное с.к.о. s.

xц	xi*ni	[x*i]2fi
14.1	-4	16
24.1	-27	81
34.1	-28	56
44.1	-19	19
54.1	0	0
64.1	15	15
74.1	16	32
84.1	12	36
94.1	4	16
0	-0	0
	-31	271



Х_ср= 1/n

Х_ср =1/100(1*14.1+9*24.1+34.1*14+44.1*19+54.1*29+64.1*15+74.1*8+

+84.1*4+94.1*1)=51

D_выб=1/n

D_выб =1/100(1361.61+6512.49+3998.54+904.59+278.69+2574.15+

+4268.88+4382.44+1857.61)=26139/100=261.39

S²=n*D_выб/(n-1)=100/99*261,39

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки):

Исправленное с.к.о. S=vу²_n-1=v264.03=16,25

считая первый столбец таблицы выборкой значений признака Х, а второй - выборкой значений Y, оценить тесноту линейной корреляционной зависимости между признаками и составить выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х. Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу.

x	y	x2	y2	x * y
54.3	58.1	2948.49	3375.61	3154.83
14.1	25.1	198.81	630.01	353.91
79.1	67.1	6256.81	4502.41	5307.61
54	52.9	2916	2798.41	2856.6
27.9	54.1	778.41	2926.81	1509.39
55.4	62.7	3069.16	3931.29	3473.58
37.6	54.1	1413.76	2926.81	2034.16
53.6	30.8	2872.96	948.64	1650.88
50.4	80.8	2540.16	6528.64	4072.32
34.2	47.9	1169.64	2294.41	1638.18
460.6	533.6	24164.2	30863.04	26051.46

Параметры уравнения регрессии:

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Рассчитаем показатель тесноты связи - выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:



Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < r_xy < 0.3 слабая;

0.3 < r_xy < 0.5 умеренная;

0.5 < r_xy < 0.7 заметная;

0.7 < r_xy < 0.9 высокая;

0.9 < r_xy < 1 весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X заметная.

Уравнение регрессии:

(у=a+bx):

а= (533,6*24164,2 - 26051,46*460,6)/(10*24164,2-212152,36)=30,34

b= (10*26051,46-460,6*533,6)/(10*24164,2-212152,36)=0,5

Линейное уравнение регрессии имеет вид (у=a+bx):

y = 0.5 x + 30.34

Задание 8

Даны среднее квадратичное отклонение у(13), выборочная средняя х_в (111,2) и объем выборки n (20) нормально распределенного признака генеральной совокупности.

Найти доверительные интервалы для оценки генеральной средней х_г с заданной надежностью г(0,99).

Решение: Доверительный интервал находится по формуле:



(х_в - tу/vn; х_в + tу/vn).

Где t - решение уравнения 2 Ф(t)= г, а Ф(t) - функция Лапласа.

Ф(t)=0,99/2=0,495. Следовательно, t=2,58

Доверительный интервал:

(111,2 - 2,58*13/v20; 111,2 + 2,58*13/v20)= (103,7;118,70)

Задание 9

Даны исправленное среднее квадратичное отклонение S (9), выборочная средняя х_в (128,8) и объем выборки n (29)нормально распределенного признака генеральной совокупности. Пользуясь распределением Стьюдента, найти доверительные интервалы для оценки генеральной средней х_г с заданной надежностью г(0,95).

Решение: Пользуясь распределением Стьюдента находим доверительные интервалы по формуле (х_в - t_гs/vn; х_в + t_гs/vn). При n=29 и г=0,95 t_г=2,0484.

Доверительный интервал: (128,8 - 2,0484*9/v29; 128,8 + 2,0484*9/v29) = (125,4; 132,2)

Задание 10

При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты.

Эмпирические частоты n _i 4 8 16 44 17 17 4

Теоретические частоты n_i? 7 12 10 55 12 13 1

Решение: В соответствии с критерием Пирсона ч² определим:

Ч²_набл= (4-7)² / 7 + (8-12)²/12 + (16-10)²/10 + (44-55)²/55 + 5²/12 + 4²/13 + 3²/1= 9/7+16/12+36/10+121/55+25/12+16/13+9/1=20,73

Число степеней свободы: k=m-3=7-3=4. Следовательно, ч_кр² = ч² (0,05;4) = 9,5

Так как ч_набл²> ч_кр², то есть основания отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Размещено на Allbest.ru