Секущие равного наклона. Теорема о секущих равного наклона к паре ориентированных прямых. Следствие

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Содержание

Секущие равного наклона. Теорема о секущих равного наклона к паре ориентированных прямых

Следствие

Литература

секущая прямая наклон теорема

Секущие равного наклона. Теорема о секущих равного наклона к паре ориентированных прямых (Теорема 1).

Определение. Секущей равного наклона к двум данным прямым называется прямая, которая при пересечении с данными образует равные односторонние углы.

Для начала докажем существование секущих равного наклона.

Теорема 1. Пусть на плоскости дан пучок ориентированных прямых. Тогда для любой пары прямых пучка через каждую точку одной из них проходит секущая равного наклона к обеим прямым и притом только одна.

Если данные две прямые a и b пересекаются в точке О (Рис.1), то, как легко видеть, секущие равного наклона можно получить, откладывая от точки О равные отрезки OA и OB на лучах a и b, тогда прямая AB и будет секущей равного наклона.

A₁

A a

0

B b

B₁

B1 Рис.1.

Если данные прямые a и b расходятся, то по теореме существует единственный общий их перпендикуляр CD, который является секущей равного наклона (Рис.2). Откладывая CA=DB, CA1=DB1 и т.д., получим секущие равного наклона AB , A1B1, и т.д.

a C A A₁

b

D B B₁

Рис.2.

Если прямые a и b параллельны, то фиксируем на них по произвольной точке C и D и проводим секущую CD (Рис.3). Биссектрисы углов ACD и BDC пересекутся в некоторой точке О, лежащей между прямыми a и b. Из точки О опустим перпендикуляры OE на CD, OA на a и OB на b. Ясно, что

OA=OB= OE по свойству биссектрис. Докажем, что AB есть секущая равного наклона. Действительно, треугольник OAB - равнобедренный, следовательно , а потому . Итак, мы построили некоторую секущую равного наклона. Отложим теперь от A и B на прямых a и b равные отрезки AA1 = BB1 оба в сторону параллельности или оба в противоположном направлении. Тогда A1B1 есть также секущая равного наклона. Чтобы в этом убедиться, заметим, что (по двум сторонам и углу между ними), откуда AB1=BA1. Далее, (по трем сторонам), следовательно , т.е. A1B1 - секущая равного наклона.

Рис.3.

Итак, мы видим, что через всякую точку A1 одной из параллельных прямых a можно провести секущую равного наклона A1B1 к a и b, для чего достаточно построить одну произвольную секущую равного наклона AB и отложить BB1 =AA1 , тогда A1B1 и будет секущей равного наклона.

Докажем ее единственность. Пусть AB - секущая равного наклона к a и b, проведенная в точке А. Предположим, что через А проходит другая секущая равного наклона АС (Рис.4), тогда угол 1 равен углу 2.

Рис.4.

Но с другой стороны, угол 1 меньше, а угол 2 больше соответствующих левых внутренних односторонних углов при А и В, образованных секущей равного наклона АВ к прямым a и b, следовательно угол 1 меньше угла 2. Полученное противоречие и доказывает единственность секущей равного наклона АВ.

Из единственности секущей равного наклона следует обратное предложение:

Теорема 2. Если к ориентированным прямым a и b проведены две секущие равного наклона АВ и А1В1, то АА1=ВВ1 (рис.4).

Следствие

Теорема 3. Если на плоскости даны 3 прямые: a, b, c, принадлежащие одному пучку и проходящие соответственно через точки А, В, С, и если АВ есть секущая равного наклона к a и b, ВС - секущая равного наклона к b и c, то АС есть секущая равного наклона к a и c.

Если a, b, c принадлежат эллиптическому пучку, то А и В, а также В и С равноудалены от центра пучка, а потому А и С равноудалены от центра пучка, следовательно, АС есть секущая равного наклона.

Если a, b, c принадлежат гиперболическому пучку, то аналогично докажем, что А и С равноудалены от базы пучка, а потому АС есть секущая равного наклона.

Пусть теперь a, b, c принадлежат параболическому пучку. Проведем через середины сторон треугольника АВС перпендикуляры l, m, n (рис.5). Перпендикуляр l не может пересечь ни прямую а, ни прямую b. На основании теоремы заключаем, что l параллельны a и b в том же направлении. Аналогично докажем, что m??b, m??c. Отсюда вытекает, что l??m. Но тогда по Теореме 1 (см.1 часть реферата) перпендикуляр n параллелен прямым l и m, а значит, n??a, n??c.

Рис.5.

Следовательно, углы 1 и 2 суть углы параллельности при прямых а и с относительно прямой n, а так как AN=CN, то эти углы параллельности равны между собой, т.е. АС есть секущая равного наклона к а и с.

Попутно мы доказали следующую очень полезную теорему:

Теорема 4. Если АВ есть секущая равного наклона к параллельным прямым а и b, то перпендикуляр h к отрезку АВ в его середине параллелен а и b в том же направлении (рис.6).

Рис.6

Литература

Л.С.Атанасян, Г.Б.Гуревич. Геометрия. Часть 2. - М.: Просвещение, 1976.

Я.Л.Трайнин. Основание Геометрии. - М.: Просвещение, 1961.

Размещено на Allbest.ru