Решение систем линейных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

алгебраический матрица уравнение предел

В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины параллелепипеда АВСD А₁В₁С₁D₁. А(1; 1; 6), В(2; 0; 9) D(2; 10; -17) А₁(3; 4; 5).

Найти:

1) Объем параллелепипеда;

2)

3) Высоту параллелепипеда из вершины А₁

4) ;

5)

6) Уравнение плоскости В₁АС;

7) Уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно прямой АС₁;

8) Уравнение прямой, проходящей через точку D и параллельно прямой АС₁;

9) Разложить вектор по векторам .

Решение:

1) Объем параллелепипеда:

Объем параллелепипеда найдем, используя смешанное произведение векторов:

Если даны точки М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), то координаты вектора находятся следующим образом:



Координаты векторов

2)

Площадь грани АВСD найдем используя векторное произведение:

то есть вектор векторного произведения имеет координаты (-4; -1; 1).

3) Высоту параллелепипеда из вершины А₁;

Составим уравнение грани АВСD

Уравнение плоскости проходящей через три точки М₀(х₀; у₀; z₀), М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), имеет вид:



- уравнение грани АВСD.

Расстояние d между точками М₁(х₁; у₁; z₁) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 по формуле:

Найдем длину высоты пирамиды, опущенной из вершины А₁ на грань АВСD

Для дальнейших вычислений нужно произвести определенные расчеты. Сделаем чертеж:

Найдем координаты точки С

Найдем координаты точки В₁

Найдем координаты точки С₁

4) ;

косинус угла между векторами находится по формуле:

Косинус угла б, образованного векторами и , равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

Найдем координаты векторов

Если даны точки М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), то координаты вектора находятся следующим образом:

Найдем угол между векторами

5)

6) Уравнение плоскости В₁АС

Уравнение плоскости проходящей через три точки М₀(х₀; у₀; z₀), М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), имеет вид:

- уравнение плоскости В₁АС.

7) Уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно прямой АС₁;

Плоскость, проходящая через точку М₀(х₀; у₀; z₀) и перпендикулярная прямой

Имеет нормальный вектор представляется уравнением

Уравнение прямой проходящей через точки М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), имеет вид:

Найдем уравнение прямой АС₁: А(1; 1; 6)

- уравнение прямой АС₁.

- уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно прямой АС₁;

8) Уравнение прямой, проходящей через точку D и параллельно прямой АС₁;

Прямая проходящая через точку М₀(х₀; у₀; z₀) и параллельно прямой представляется уравнением



D(2; 10; -17); - уравнение прямой АС₁.

- уравнение прямой, проходящей через точку D и параллельно прямой АС₁.

9) Разложить вектор по векторам .

разложение вектора по базису .

Разложение вектора по векторам имеет вид

разложим вектор по базису

Задание 2

Решить систему линейных уравнений

а) по формулам Крамара; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы. Выполнить проверку.

Решение:

а) по формулам Крамара

Найдем определитель матрицы:

- значит система имеет решение.

теперь воспользуемся формулами Крамара:

Получаем:

Сделаем проверку:

Равенство выполнено, значит уравнение решено верно.

в) методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу

Первую строку сложим со второй домножив на (-3) и с третьей.

Помножим вторую строку на (2/11) и сложим с первой и с третьей домножив на (9/11).

Помножим третью строку на (-1/3) и сложим с первой.

Получаем:

в) с помощью обратной матрицы

Обозначим через А - матрицу коэффициентов при неизвестных; Х - матрицу-столбец неизвестных Х₁, Х₂, Х₃; Н - матрицу-столбец свободных членов:

, ,

С учетом этих обозначений данная система принимает следующую матричную форму:

А*Х = Н.

Если матрица не вырожденная (ее определитель отличен от 0), то она имеет обратную матрицу А^-1. Х = А^-1*Н.

Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу:

.

Тогда

Где А_ij - алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (-1)^i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения

- следовательно матрица А имеет обратную матрицуА^-1.

Теперь можем найти решение данной системы:

Значит:

Ответ: (1; 1; 1)

Задание 3

Построить пространство решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными и указать какой-либо базис:

Решение:

С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы системы. Для этого приведем матрицу к трапециевидному виду, число ненулевых строк в трапециевидной матрице и будет равно рангу матрицы.



первую строку домножим на 3 и сложим со второй, помножим первую строку на (-4) и сложим с третьей.

затем помножим первую строку на (-3) и сложим с четвертой.

Сложим вторую строку с третьей домножив на (-3), и с чеивертой домножив на (2).

Получили трапециевидную матрицу, в которой только две ненулевые строки. Значит ранг r = 2. Число неизвестных в системе n = 4. Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от n - r = 4 - 2 = 2 параметров. Базисный минор это отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы. Пусть - базисный минор. Тогда х₁ и х₂ - базисные неизвестные, т. к. коэффициенты перед ними образуют базисный минор, х₃ и х₄ - параметры. Обозначим для удобства х₃ =С₁ и х₄ = С₂ и выразим базисные неизвестные через параметры. Так как r = 2, то достаточно взять два уравнения, соответствующие базисному минору:



Решим эту систему с помощью формул Крамара.

Тогда:

Общее решение исходной системы имеет вид:

Частные решения системы линейных уравнений получаем, придавая параметрам конкретные числовые значения. Множество решений однородной системы линейных уравнений образует линейное пространство размерности n - r = 4 - 2 = 2, т. е. базис в этом пространстве состоит из двух линейно независимых решений. Придадим параметрам С₁ и С₂ поочередно следующие значения: С₁ = 1 и С₂ = 0 и С₁ = 0 и С₂ = 1, тогда получим два частных решения системы, линейно-независимых между собой,

Решения Е₁ и Е₂ образуют один из базисов пространства решений данной системы, которое можно записать, как оно состоит из бесчисленного множества четверок вида , где С₁ и С₂ принимают произвольные значения. Размерность этого пространства равна двум.

Задание 4

Вычислить предел функции.

Решение:

Вычислим предел подставив в него (-3):

- неопределенность

Для устранения неопределенности разложим числитель дроби на множители по формулам:

ах² + bx + с = 0

ах² + bx + с = а(х-х₁)(х-х₂)

Тогда получим:

Получаем:

Вычислим предел подставив в него 1:

- неопределенность.

Для устранения неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя.

Вычислим предел подставив в него 0:

 - неопределенность.

Для устранения неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя.

Задание 5

Найти производные функций

Решение:



Задание 6

Исследовать функции и построить их графики.

Решение:

Решение:

1) Область определения.

Все предусмотренной формулой функции операции, кроме деления, - т.е. операции сложения и возведения в натуральную степень - выполняются при любых значениях аргумента х, а деление возможно, если делитель не равен нулю. Поэтому данная функция определена, если знаменатель задающей ее дроби не равен нулю: если

,

Таким образом,

.

2) Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ т.е. у=0:

- точка пересечения с осою ОХ.

С осью ОУ т.е. х=0:

- точка пересечения с осою ОУ.

3) Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x), то функция нечетная, при хD(y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.



Функция нечетная.

4) Исследуем на наличие асимптот.

Вертикальные асимптоты.

Поскольку вертикальные асимптоты следует искать лишь в точках разрыва данной функции, единственными «кандидатами» в нашей задаче являются прямые .

Так как выполняется:

Значит точки разрыва 2-го рода. Прямые являются вертикальными асимптотами.

Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид

,

; .

В частности, получается, что если , а при этом существует, по этим формулам находится горизонтальная асимптота .

Выясним наличие наклонных асимптот.

;

- уравнение наклонной асимптоты.

5) Найдем экстремумы и интервалы монотонности. Действуем по следующей схеме.

Вычислим первую производную данной функции:

Действительных корней нет, значит, точек подозрительных на экстремум нет.

Исследуем поведение функции справа и слева от точек в которых функция не существует.



Значит на всем промежутке функция возрастает.

6) Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Для этого поступаем так.

Вычислим вторую производную данной функции:

(0; 0) - точка подозрительная на перегиб.

Исследуем поведение функции справа и слева от точек, в которых функция не существует и точки подозрительной на перегиб.



х				0
у??	+		-	0			+
у				Т. перегиба



1) Область определения:

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой т.к.

Значит

2) Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ т.е. у=0:

так как

то получаем

(-1,5; 0) - точка пересечения с осью ОХ.

С осью ОУ т.е. х=0:

 - точка пересечения с осою ОУ.

3) Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x), то функция нечетная, при хD(y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.

Функция ни четная, ни нечетная

4) Исследуем на наличие асимптот.

Вертикальных асимптот нет т.к. нет точек разрыва.

Наклонные асимптоты:

y = kx + b - уравнение наклонной асимптоты.

тогда

у=0 - наклонная асимптота.

5) Исследуем функцию на наличие точек экстремума (точек максимума и минимума), промежутки возрастания и убывания функции.

(-1; 1) - точка подозрительная на экстремум.

Исследуем поведение функции справа и слева от точек подозрительной на экстремум.

- значит на промежутке (-1;) функция убывает.

- значит на промежутке (-; -1] функция возрастает.

х	(-; -1]	-1	(-1;)
у?	-	0	+
у		т. min

(-1; 1) - точка минимума.

6) Исследуем функцию на наличие точек перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости функции.

- точка подозрительная на перегиб.

Исследуем поведение функции справа и слева от точки подозрительной на перегиб.



х		-0,5
у??	-	0	+
у		т. перегиба

координаты точки перегиба.

Список использованной литературы

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: АСТ: Астрель, 2006. - 991 с.

2. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Под ред. А.И. Кирилова. - 3-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 368 с.

3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: АСТ: Астрель, 2007. - 509 с.

4. Красс М.С., Чупрыков Б.П. Математика для экономистов. - СПб.: Питер 2007. - 464 с.

Размещено на Allbest.ru