Предельные теоремы теории вероятностей
Центральная предельная теорема теории вероятностей как совокупность предложений, устанавливающих условия возникновения нормального закона распределения. Теорема Ляпунова и Лапласа как простейшие формы центральной предельной теоремы и их доказательство.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.03.2014 |
| Размер файла | 34,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Предельные теоремы теории вероятностей
1. Центральная предельная теорема
Центральная предельная теорема теории вероятностей представляет собой совокупность предложений, устанавливающих условия возникновения нормального закона распределения.
Пусть на заданы независимые случайные величины с числовыми характеристиками
(10.1.1)
Рассмотрим случайные величины
(10.1.2)
и установим условия, при которых распределение случайной величины с возрастанием п становится сколь угодно близким к нормальному N(0,1), т.е. .
Будем говорить, что последовательность случайных величин удовлетворяет центральной предельной теореме, если .
Заметим, что означает, что при достаточно большом n распределение Yn становится близким к нормальному .
В самом деле, пусть . Тогда для любого сколь угодно малого существует , что при выполняется условие
Здесь - функция распределения : Ф(y) - функция распределения .
Положим . Тогда для :
(10.1.3)
Поскольку
где - распределение , а - распределение , то вместо (10.1.3) можно записать:
Случайную величину , очевидно, можно представить в виде
(10.1.4)
где - независимые случайные величины с характеристиками
(10.1.5)
Если - характеристическая функция , то характеристическая функция случайной величины в силу независимости имеет вид:
(10.1.6)
Теперь, учитывая теорему единственности, вопрос о можно свести к установлению сходимости
(10.1.7)
Этот прием будет основным в доказательстве следующей теоремы, дающей достаточное условие для .
2. Теорема Ляпунова
Пусть - независимые и одинаково распределенные случайные величины с числовыми характеристиками
(10.2.1)
Тогда
(10.2.2)
Доказательство. Прежде всего отметим, что выражение вида (10.2.2) совпадает с в выражениях (10.1.2), если считать выполненными условия (10.2.1). Поэтому доказательство должно сводиться к установлению сходимости (10.1.7).
Далее, в выражение (10.2.2) для входят только центрированные составляющие , случайных величин , поэтому доказательство можно проводить, полагая в (10.2.2) , т.е. при условиях
(10.2.3)
где - независимые и одинаково распределенные. Поскольку , одинаково распределены, то их характеристические функции совпадают:
(10.2.4)
Учитывая независимость , получим следующее выражение характеристической функции случайной величины :
Отсюда следует
(10.2.5)
Разлагая в ряд по степеням правую часть уравнения (10.2.5) при достаточно больших п получим с учетом теоремы о дифференцируемости характеристических функций
Отсюда найдем
В силу условия и формулы получим
Теперь можно записать
Отсюда следует требуемое
К числу простейших форм центральной предельной теоремы относится также теорема Лапласа.
3. Теорема Лапласа
Если - число появлений случайного события А в п независимых повторных испытаниях с исходами , вероятности которых , то
теорема ляпунов вероятность лаплас
(10.3.1)
Доказательство. Пусть - число появлений события А в i-м независимом повторном испытании в серии из п испытаний. Очевидно это - дискретная случайная величина с рядом распределения:
|
0 |
1 |
|
|
q |
р |
где .
Очевидно, существуют
(10.3.2)
В силу независимости испытаний случайные величины можно считать независимыми.
Таким образом, для рассматриваемых здесь случайных величин выполняются все условия теоремы Ляпунова.
Следовательно, имеет место соотношение (10.2.2).
Случайную величину в выражении (10.2.2) в рассматриваемом случае можно представить в виде
(10.3.3)
где
при условии независимости случайных величин .Таким образом, доказано, что если выполнены условия теоремы Лапласа, то
Отсюда, учитывая определение стандартного нормального закона , находим, что соотношение (10.3.1) справедливо.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Условия неограниченного приближения закона распределения суммы n независимых величин к нормальному закону распределения. Сущность центральной предельной теоремы. Определение с помощью теоремы Муавра-Лапласа вероятности наступления события в серии опытов.
презентация [91,7 K], добавлен 01.11.2013Общая характеристика сходимости последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Значение метода характеристических функций в теории вероятностей. Методика решения задач о типах сходимости. Анализ теоремы Ляпунова и Линдеберга.
курсовая работа [2,6 M], добавлен 22.07.2011Теорема Бернулли как простейшая форма закона больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей и объяснение природы устойчивости частоты появлений события. Качественные и количественные утверждения закона больших чисел, его практическое применение.
курсовая работа [75,2 K], добавлен 17.12.2009Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.
реферат [146,5 K], добавлен 19.08.2015Основные понятия, которые касаются центральной предельной теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин и проверки статистических гипотез. Анализ сходимости последовательностей случайных величин и вероятностных распределений.
курсовая работа [582,0 K], добавлен 13.11.2012Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряды Тейлора и Макларена. Теорема Дерихле. Основные понятия в теории вероятностей. Теорема умножения и сложения вероятностей независимых событий. Формулы Бейеса, Бернулли. Локальная теорема Лапласа.
методичка [96,6 K], добавлен 25.12.2010Принципы решения задач по основным разделам теории вероятностей: случайные события и их допустимость, непроизвольные величины, распределения и числовые характеристики градировки, основные предельные теоремы для сумм независимых вероятностных величин.
контрольная работа [129,1 K], добавлен 03.12.2010Закон распределения случайной величины дискретного типа (принимающей отдельные числовые значения). Предельные теоремы схемы Бернулли. Вычисление вероятности появления события по локальной теореме Муавра-Лапласа. Интегральная формула данной теоремы.
презентация [611,2 K], добавлен 17.08.2015Формулировка и доказательство теоремы о сложении вероятностей двух несовместных событий. Следствие теоремы в случае, когда события составляют полную группу несовместных событий, и в случае противоположных событий. Примеры вычисления вероятности событий.
презентация [77,5 K], добавлен 01.11.2013Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
научная работа [22,6 K], добавлен 12.06.2009