Предельные теоремы теории вероятностей

Центральная предельная теорема теории вероятностей как совокупность предложений, устанавливающих условия возникновения нормального закона распределения. Теорема Ляпунова и Лапласа как простейшие формы центральной предельной теоремы и их доказательство.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 18.03.2014
Размер файла 34,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Предельные теоремы теории вероятностей

1. Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема теории вероятностей представляет собой совокупность предложений, устанавливающих условия возникновения нормального закона распределения.

Пусть на заданы независимые случайные величины с числовыми характеристиками

(10.1.1)

Рассмотрим случайные величины

(10.1.2)

и установим условия, при которых распределение случайной величины с возрастанием п становится сколь угодно близким к нормальному N(0,1), т.е. .

Будем говорить, что последовательность случайных величин удовлетворяет центральной предельной теореме, если .

Заметим, что означает, что при достаточно большом n распределение Yn становится близким к нормальному .

В самом деле, пусть . Тогда для любого сколь угодно малого существует , что при выполняется условие

Здесь - функция распределения : Ф(y) - функция распределения .

Положим . Тогда для :

(10.1.3)

Поскольку

где - распределение , а - распределение , то вместо (10.1.3) можно записать:

Случайную величину , очевидно, можно представить в виде

(10.1.4)

где - независимые случайные величины с характеристиками

(10.1.5)

Если - характеристическая функция , то характеристическая функция случайной величины в силу независимости имеет вид:

(10.1.6)

Теперь, учитывая теорему единственности, вопрос о можно свести к установлению сходимости

(10.1.7)

Этот прием будет основным в доказательстве следующей теоремы, дающей достаточное условие для .

2. Теорема Ляпунова

Пусть - независимые и одинаково распределенные случайные величины с числовыми характеристиками

(10.2.1)

Тогда

(10.2.2)

Доказательство. Прежде всего отметим, что выражение вида (10.2.2) совпадает с в выражениях (10.1.2), если считать выполненными условия (10.2.1). Поэтому доказательство должно сводиться к установлению сходимости (10.1.7).

Далее, в выражение (10.2.2) для входят только центрированные составляющие , случайных величин , поэтому доказательство можно проводить, полагая в (10.2.2) , т.е. при условиях

(10.2.3)

где - независимые и одинаково распределенные. Поскольку , одинаково распределены, то их характеристические функции совпадают:

(10.2.4)

Учитывая независимость , получим следующее выражение характеристической функции случайной величины :

Отсюда следует

(10.2.5)

Разлагая в ряд по степеням правую часть уравнения (10.2.5) при достаточно больших п получим с учетом теоремы о дифференцируемости характеристических функций

Отсюда найдем

В силу условия и формулы получим

Теперь можно записать

Отсюда следует требуемое

К числу простейших форм центральной предельной теоремы относится также теорема Лапласа.

3. Теорема Лапласа

Если - число появлений случайного события А в п независимых повторных испытаниях с исходами , вероятности которых , то

теорема ляпунов вероятность лаплас

(10.3.1)

Доказательство. Пусть - число появлений события А в i-м независимом повторном испытании в серии из п испытаний. Очевидно это - дискретная случайная величина с рядом распределения:

0

1

q

р

где .

Очевидно, существуют

(10.3.2)

В силу независимости испытаний случайные величины можно считать независимыми.

Таким образом, для рассматриваемых здесь случайных величин выполняются все условия теоремы Ляпунова.

Следовательно, имеет место соотношение (10.2.2).

Случайную величину в выражении (10.2.2) в рассматриваемом случае можно представить в виде

(10.3.3)

где

при условии независимости случайных величин .Таким образом, доказано, что если выполнены условия теоремы Лапласа, то

Отсюда, учитывая определение стандартного нормального закона , находим, что соотношение (10.3.1) справедливо.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Условия неограниченного приближения закона распределения суммы n независимых величин к нормальному закону распределения. Сущность центральной предельной теоремы. Определение с помощью теоремы Муавра-Лапласа вероятности наступления события в серии опытов.

    презентация [91,7 K], добавлен 01.11.2013

  • Общая характеристика сходимости последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Значение метода характеристических функций в теории вероятностей. Методика решения задач о типах сходимости. Анализ теоремы Ляпунова и Линдеберга.

    курсовая работа [2,6 M], добавлен 22.07.2011

  • Теорема Бернулли как простейшая форма закона больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей и объяснение природы устойчивости частоты появлений события. Качественные и количественные утверждения закона больших чисел, его практическое применение.

    курсовая работа [75,2 K], добавлен 17.12.2009

  • Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.

    реферат [146,5 K], добавлен 19.08.2015

  • Основные понятия, которые касаются центральной предельной теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин и проверки статистических гипотез. Анализ сходимости последовательностей случайных величин и вероятностных распределений.

    курсовая работа [582,0 K], добавлен 13.11.2012

  • Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряды Тейлора и Макларена. Теорема Дерихле. Основные понятия в теории вероятностей. Теорема умножения и сложения вероятностей независимых событий. Формулы Бейеса, Бернулли. Локальная теорема Лапласа.

    методичка [96,6 K], добавлен 25.12.2010

  • Принципы решения задач по основным разделам теории вероятностей: случайные события и их допустимость, непроизвольные величины, распределения и числовые характеристики градировки, основные предельные теоремы для сумм независимых вероятностных величин.

    контрольная работа [129,1 K], добавлен 03.12.2010

  • Закон распределения случайной величины дискретного типа (принимающей отдельные числовые значения). Предельные теоремы схемы Бернулли. Вычисление вероятности появления события по локальной теореме Муавра-Лапласа. Интегральная формула данной теоремы.

    презентация [611,2 K], добавлен 17.08.2015

  • Формулировка и доказательство теоремы о сложении вероятностей двух несовместных событий. Следствие теоремы в случае, когда события составляют полную группу несовместных событий, и в случае противоположных событий. Примеры вычисления вероятности событий.

    презентация [77,5 K], добавлен 01.11.2013

  • Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.

    научная работа [22,6 K], добавлен 12.06.2009

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.