Метод преобразований Лапласа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

лаплас интегрирование дифференцирование преобразование

Прежде всего, если речь идет об управлении, то имеется объект управления, т.е. некий механизм, агрегат или устройство, некий технологический, энергетический или транспортный процесс, желаемое поведение или протекание которого должно быть обеспечено.

Поведение объекта управления, результат его действия определяется некоторыми показателями. Чаще всего ими являются значения каких-то физических величин, которые называют выходными величинами или выходными координатами объекта управления.

В реальных условиях на каждое устройство или процесс многочисленные воздействия оказывает внешняя среда. Все воздействия, с точки зрения их влияния на действие объекта, на его выходные величины, разделяются на две принципиально отличительные группы. Некоторые из воздействий обеспечивают желаемое изменение поведения объекта, достижение поставленных целей. Такие воздействия называют управляющими, при их отсутствии задача управления вообще не имеет решения.

Другие воздействия, напротив, мешают достижению цели, и изменить их, как правило, невозможно. Такие воздействия называют возмущающими (или просто возмущениями).

Задача управления, по существу, заключается в формировании такого закона изменения управляющих воздействий, при котором достигается желаемое поведение объекта независимо от наличия возмущений.

Сложная и разностороння задача управления включает более узкую задачу регулирования, которую главным образом и будем рассматривать в дальнейшем. Задача регулирования заключается в поддержании выходных величин объекта равными (или пропорциональными) некоторым эталонным функциям времени - задающим воздействиям. Последние могут быть постоянными или изменяющимися как по заданному, так и по заранее неизвестному закону.

Объект управления может принадлежать как к неживой природе, в частности, быть техническим устройством, так и к живой природе (коллектив людей). В свою очередь, само управление также может осуществляться как человеком (пилот управляет самолетом), так и техническим устройством (самолетом управляет автопилот).

Управление, осуществляемое без участия человека, называется автоматическим управлением. Предметом настоящей дисциплины является теория автоматического управления техническими объектами. Общая теория управления, охватывающая как неживую, так и живую природу, является предметом науки кибернетики. Теория автоматического управления - часть кибернетики.

Для осуществления автоматического управления создается система, состоящая из объекта управления и управляющего устройства, или регулятора. Такая система соответственно называется системой автоматического управления.

Впервые, по-видимому, с необходимостью построения регуляторов столкнулись создатели высокоточных механизмов, в первую очередь - часов. Даже небольшие, но все время действующие в них помехи приводили в конечном итоге к отклонениям от нормального хода, недопустимым по условиям точности. Противодействовать этим помехам (возмущениям) чисто конструктивными средствами, например, улучшая обработку деталей, повышая их массу или увеличивая развиваемые устройствами полезные усилия, не удавалось, и для решения проблемы точности в состав системы стали вводить регуляторы. На рубеже нашей эры арабы снабдили поплавковым регулятором уровня водяные часы. Гюйгенс в 1657 г. встроил в часы маятниковый регулятор хода.

Хотя отдельные автоматические регуляторы и появились в те далекие времена, они оставались любопытными для истории техники эпизодами и сколько-нибудь серьезного влияния на формирование техники и теории автоматического регулирования не оказали. Развитие промышленных регуляторов началось на рубеже XVIII и XIX столетий, в эпоху промышленного переворота в Европе. Первыми промышленными регуляторами являются автоматический поплавковый регулятор питания котла паровой машины, построенный в 1765 г. И.И. Ползуновым, и центробежный регулятор скорости паровой машины, на который в 1784 г. получил патент Дж. Уатт. Эти регуляторы как бы открыли путь потоку предложений по принципам регулирования и изобретений регуляторов, относящимся к механике.

Первые публикации исследований в этой области начинаются с 30-х годов прошлого века (первая известная публикация Д.С. Чижова была в 1823 г.). Наиболее важными, признанными фундаментальными, явились три теоретические работы, содержащие основы новой науки. Это работы Д.К. Максвелла "О регуляторах" (1866) и работы И.А. Вышнеградского "Об общей теории регуляторов" (1876) и "О регуляторах прямого действия" (1877). Д.К. Максвелл и И.А. Вышнеградский рассмотрели машину (т.е. объект) и регулятор как единую динамическую систему, обосновали общий методологический подход к исследованию самых разнородных по физике и конструкции систем, заложили основы теории устойчивости, установили ряд важных общих закономерностей регулирования по принципу обратной связи.

Крупный вклад в теорию регулирования внесен Н.Е. Жуковским, автором труда "О прочности движения" и первого учебника "Теория регулирования хода машин" (1909).

В первые десятилетия XX в. теория автоматического управления, вышедшая из рамок прикладной механики, формируется как общетехническая дисциплина. В этот период появляется целый ряд работ, рассматривающих приложение теории и распространяющих ее выводы на самые разнообразные технические процессы: на регулирование электрических машин и систем; двигателей внутреннего сгорания; тепловых и паросиловых устройств; турбин; различных производственных процессов. В 1932 г. появляется работа Х. Найквиста, в которой предлагается критерий устойчивости радиотехнических усилителей с обратной связью.

Исключительно интенсивным и многогранным было развитие теории автоматического управления в послевоенный период. Это обусловлено в первую очередь развитием военной и космической техники, бурным прогрессом вычислительной техники и электроники.

В настоящее время буквально все окружающие нас технические устройства содержат в своем составе то или иное число автоматических регуляторов. Ограничиваясь для примера бытовой электроникой, перечислим лишь некоторые характерные термины: автоматическая регулировка усиления; автоподстройка частоты; стабилизация напряжения и т.д.

Системы автоматического управления (САУ) различной физической природы и совершенно различного функционального назначения могут иметь одинаковое математическое описание, то есть описываться одинаковыми уравнениями (отличаться будут лишь размерности величин). Но в САУ с одинаковым математическим описанием и процессы при управлении будут протекать одинаково, хотя действовать в них будут различные физические величины. Какие процессы могут происходить при управлении?

Во-первых, в результате приложения конечного по величине воздействия САУ должна перейти из одного равновесного состояния в другое (в противном случае она будет неустойчивой).

Во-вторых, переход из одного состояния в новое осуществляется за некоторое определенное время, на протяжении которого величина (или величины), характеризующая состояние САУ, изменяется по какому-либо закону.

В-третьих, переход САУ в новое равновесное состояние осуществляется с какой-либо точностью.

Эти вопросы, а также влияние на процесс управления отдельных параметров САУ и изучаются в настоящей дисциплине.

Причем необходимо отметить, что составление математического описания отдельных элементов или систем в целом может быть произведено лишь на основе четкого понимания физических процессов, протекающих в этих объектах и алгоритмах их функционирования. Поэтому задача получения исходного математического описания относится к предмету специальных дисциплин, в которых эти элементы изучаются.



1. Теоретический раздел

1.1 Метод преобразований Лапласа

1.1.1 Основные понятия

Преобразование Лапласа -- интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинала). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.

Преобразованием Лапласа функции действительной переменной , называется функция комплексной переменной , такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция действительного переменного, такая что:



где -- некоторое вещественное число. Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

1.1.2 Свойства преобразований Лапласа

Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при у = у₀, то есть существует предел

то он сходится абсолютно и равномерно для и F(s) -- аналитическая функция при ( -- действительная часть комплексной переменной s). Точная нижняя грань у_a множества чисел у, при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции f(x).

Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

Случай : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл

Случай у > у_a: преобразование Лапласа существует, если интеграл



существует для каждого конечного

x₁ > 0 и для

Случай у > 0 или у > у_a (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции f'(x) (производная к f(x)) для у > у_a.

Примечание: это достаточные условия существования.

Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение F(s) -- аналитическая функция для и имеет порядок меньше ?1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём

для

2. Пусть

,

так что

аналитична относительно каждого z_k и равна нулю для

, и



тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов.

Умножение изображений

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа.

В более общем случае (производная n-го порядка):

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, деленное на свой аргумент.



Дифференцирование и интегрирование изображения. Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком.

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, деленный на свой аргумент.

Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

Запаздывание оригинала:

Примечание: u(x) -- Функция Хэвисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):



Все полюсы в левой полуплоскости. Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, к примеру, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

Другие свойства

Линейность

Умножение на число

1.2 Временные характеристики

Временные характеристики представляют собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче на ее вход некоторого типового воздействия. В ТАУ используются два вида временных характеристик:

- переходная характеристика (переходная функция);

- импульсная переходная характеристика (функция веса).

Переходная функция , иногда называют переходной процесс -- в теории управления реакция динамической системы на входное воздействие в виде функции Хевисайда, при заданных начальных условиях. В электронике переходную функцию часто определяют как изменение выходных сигналов системы как реакцию на изменение входного сигнала от нуля до единицы за достаточно короткий промежуток времени. С практической точки зрения знание того, как система реагирует на быстрое изменение входного сигнала, является важным, поскольку скачок во входном сигнале может оказать серьёзное влияние на поведение всей системы или каких-то её компонент. Помимо этого, по виду переходной функции можно судить об устойчивости системы, времени переходного процесса, величине перерегулирования, статической ошибке и других динамических характеристиках системы.

Зная переходную характеристику, можно определить реакцию линейной системы (или линеаризованной) на произвольное входное воздействие с помощью интеграла Дюамеля:

,

где символически обозначено: -- свёртка двух функций, -- производная воздействия по времени.

Импульсная переходная функция (весовая функция, импульсная характеристика) -- выходной сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака. В цифровых системах входной сигнал представляет собой простой импульс минимальной ширины (равной периоду дискретизации для дискретных систем) и максимальной амплитуды.

1.3 Частотные характеристики

Частотные характеристики описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на входе. Рассмотрим такой режим.

Пусть на вход звена подано гармоническое воздействие

,

где x_max - амплитуда, а щ - угловая частота этого воздействия.

По окончании переходного процесса на выходе звена будут существовать гармонические колебания с той же частотой, что и входные колебания, но отличающиеся в общем случае по амплитуде и фазе. Т.е. в установившемся режиме выходная величина звена

,

где y_max - амплитуда выходных установившихся колебаний.

При фиксированной амплитуде входных колебаний амплитуда и фаза установившихся колебаний на выходе звена зависят от частоты колебаний. Если постепенно увеличивать от нуля частоту колебаний и определять установившиеся значения амплитуды и фазы выходных колебаний для разных частот, можно получить зависимость от частоты отношения амплитуд A = y_max / x_max и сдвига фаз ц выходных и входных установившихся колебаний.



Эти зависимости называются соответственно А(щ) - амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) и ц(щ) - фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). Примерный вид этих характеристик у обычных инерционных звеньев изображен на рис. 3.1,а и б. Как показано на этих рисунках, у таких звеньев в силу их инерционности амплитудная частотная характеристика по мере увеличения частоты, в конце концов, спадает до нуля. При этом, чем менее инерционно звено, тем длиннее его амплитудная частотная характеристика, т.е. тем больше полоса пропускаемых звеном частот, или, просто, его полоса пропускания.

Теоретически частотная характеристика продолжается до бесконечности, но практически полоса пропускания оценивается значением частоты, при котором отношение амплитуд А = 0,707, и при дальнейшем повышении частоты не изменяется (считается, что в диапазоне от -щ_П до +щ_П элемент системы управления пропускает гармонический сигнал без заметного ослабления). Полоса пропускания Дщ_П = 2щ_П. Наличие максимума у АЧХ говорит о резонансных свойствах звена. Частота, соответствующая максимуму амплитудной характеристики, называется резонансной (щ_р). Частота, на которой коэффициент усиления входного сигнала равен единице, называется частотой среза щ_с.

Фазовая частотная характеристика показывает фазовые сдвиги, вносимые элементом системы управления на различных частотах. У обычных инерционных звеньев, как показано на рис. 3.1,б, при положительных щ ФЧХ всегда отрицательна (ц < 0), т.е. выходные колебания отстают по фазе от входных, и это отставание растет с частотой.

Обыкновенные амплитудная и фазовая частотные характеристики можно объединить в одну характеристику - амплитудно - фазовую частотную характеристику (АФЧХ), используя А(щ) и ц(щ) в качестве полярных координат (рис. 3.2). Строится она на комплексной плоскости. Каждая точка АФЧХ соответствует определенному значению частоты щ. Совокупность всех точек при изменении частоты от нуля до бесконечности представляет собой непрерывную линию (которая называется годографом), соответствующую частотной передаточной функции W(jщ). Значения щ для конечного количества точек характеристики наносятся вдоль характеристики, как показано на рис. 3.2. Имея АФЧХ, можно по этим точкам построить характеристики А(щ) и ц(щ).

АФЧХ строится как для положительных, так и для отрицательных частот. При замене в W(jщ) щ на - щ получается сопряженная комплексная величина. Поэтому АФЧХ для отрицательных частот является зеркальным отражением АФЧХ для положительных частот относительно вещественной оси. На рис. 3.2 АФЧХ для отрицательных частот показана пунктирной линией.

АФЧХ можно строить и в прямоугольной системе координат - в комплексной плоскости. При этом координатами будут показанные на рис. 3.2 проекции U и V вектора А на соответствующие оси. Зависимости U(щ) и V(щ) называются соответственно действительной (вещественной) и мнимой частотными характеристиками.

В дальнейшем для краткости будем в названии различных частотных характеристик опускать слово «частотная», говоря просто об амплитудной характеристике, фазовой характеристике.

При исследовании САУ амплитудную и фазовую частотные характеристики удобно строить в логарифмических координатах.

Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, в логарифмических координатах характеристики деформируются таким образом, что возникает возможность в подавляющем большинстве практических случаев упрощенно изображать амплитудные частотные характеристики ломаными линиями.

Второе удобство связано с построением АЧХ цепочки последовательно соединенных звеньев, т.е. в логарифмическом масштабе АЧХ цепочки звеньев равна сумме амплитудных характеристик отдельных звеньев.

АЧХ в логарифмических координатах (Рис. 3.3) строится в виде зависимости 20lg A от lg щ, называется логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАХ), а фазовая - в виде зависимости ц от lg щ, называется логарифмической фазовой характеристикой (ЛФХ).

Величина 20 lg A обозначается L. В качестве единицы этой величины используется децибел, равный одной десятой бела. Бел - это единица десятичного логарифма коэффициента усиления мощности сигнала, т.е. 1 бел соответствует усилению мощности в 10 раз, 2 бела - в 100 раз, 3 бела - в 1000 раз и т.д. Т.к. мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды, а lg A² = 2 lg A, то усиление в белах, выраженное через отношение амплитуд А, равно 2 lg A. Соответственно в децибелах оно равно 20 lg A. При этом существуют следующие соотношения между значениями A и L:

А	0.001	0.01	0.1	0.316	0.89	1	1.12	3.16	10	100	1000
L,дБ	-60	-40	-20	-10	-1	0	1	10	20	40	60

При применении ЛАХ логарифмическая фазовая характеристика строится в полулогарифмических координатах, т.е. в виде зависимости ц от lg щ, чтобы обе характеристики были связаны одним масштабом на оси абсцисс. Использование логарифмического масштаба на оси ординат фазовой характеристики не имеет смысла, т.к. фазовый сдвиг цепочки звеньев и так получается просто в виде суммы фазовых сдвигов на отдельных ее звеньях.

На оси абсцисс указываются либо прямо значения lg щ, либо, что практически более удобно, значения самой частоты щ. В первом случае единицей приращения lg щ является декада, соответствующая изменению частоты в 10 раз. Применяется также деление оси абсцисс на октавы. Октава соответствует изменению частоты в два раза. (Одна октава равна 0.303 декады, т.к. lg 2 = 0.303).

Заметим также, что, т.к. при использовании логарифмического масштаба точка, соответствующая щ=0, находится слева в бесконечности, логарифмические характеристики строятся не от нулевой частоты, а от достаточно малого, но конечного значения щ, которое и откладывается в точке пересечения координатных осей. Точка пересечения ЛАХ с осью абсцисс соответствует частоте среза щ_с. Верхняя полуплоскость ЛАХ соответствует значениям А>1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость - значениям А<1 (ослабление амплитуды).

Аналитические выражения для рассмотренных выше частотных характеристик могут быть легко получены по передаточной функции. Если в выражение передаточной функции звена W(s) подставить s = jщ, то получится комплексная величина W(jщ), которая представляет собой функцию щ и является амплитудно-фазовой частотной (или просто частотной) характеристикой звена. Ее модуль представляет собой амплитудную частотную характеристику А(щ), а аргумент - фазовую частотную характеристику ц(щ).

(3.1)

Формула (3.1) определяет искомую связь передаточной функции с частотными характеристиками звена, указанную выше: модуль частотной функции W(jщ) есть А(щ), а аргумент - ц(щ).

Если представить W(jщ) не в показательной, а в алгебраической форме, т.е.

, (3.2)

то здесь U(щ) и V(щ) будут введенными ранее действительной и мнимой частотными характеристиками, являющимися координатами амплитудно-фазовой характеристики в комплексной плоскости.

Согласно (3.1) и (3.2), связь между приведенными выше частотными характеристиками следующая:



Порядок получения выражения для перечисленных выше частотных характеристик по передаточной функции звена несложен. После подстановки в выражение для передаточной функции получаем:

,

где индексами R и Q отмечены части соответствующих комплексных величин в числителе и знаменателе.

После освобождения от мнимости в знаменателе окончательно имеем:

,



2. Расчетный раздел

2.1 Нахождение временных характеристик методом преобразования Лапласа

Дано: дифференциальное уравнение системы

a₂* y⁽²⁾(t) + a₁* y⁽¹⁾(t) + a₀* y(t) = b₁* u⁽¹⁾(t) + b₀* y(t)

Номер варианта	Коэффициенты дифференциального уравнения	Начальные условия
	a2	a1	a0	b1	b0	y (-0)	y(1) (-0)
17	1	15	50	20	50	0	0

Требуется рассчитать:

Переходную h(t) функцию;

Импульсную переходную ?(t) функцию.

Решение:

y⁽²⁾(t) + 15* y ⁽¹⁾(t) + 50* y(t) = 20* u ⁽¹⁾(t) +50* u(t)

При нулевых начальных условия преобразование Лапласа для производных функций x(t) найдется по формулам:

L(x⁽¹⁾(t))=s*X(s) (1)

L(x⁽²⁾(t))=s²*X(s) (2)

Здесь X(s)- изображение Лапласа функции x(t):

X(s)=L(x(t)) (3)



Выполним преобразование Лапласа:

L: y⁽²⁾(t) + 15* y ⁽¹⁾(t) + 50* y(t) = 20* u ⁽¹⁾(t) +50* u(t)

L(y⁽²⁾(t))+15L(y ⁽¹⁾(t))+50L(y(t))= 20L(u ⁽¹⁾(t))50L(u(t)).

Следовательно, уравнение в изображениях по Лапласу принимает вид:

s²Y(s)+15 sY(s)+50Y(s)= 20 sU(s)+50U(s),

Здесь Y(s)= L(y(t)), U(s)= (u(t)). В левой части уравнения вынесем Y(s), в правой U(s) как общие множители, получим:

(s²+15s+50)Y(s)=(20s+50)U(s),

Откуда выразим Y(s)

Y(s)=* U(s),

Выражение, состоящее перед множителем U(s) является передаточной функцией системы:

W(s)== .

Полюса передаточной функции W(s)

s₁= -5, s₂= -10,

являются вещественными и различными.

Подставляя в выражение Y(s)=* U(s), U(s)=(по таблице, приложение 1, для входного сигнала u(t)=1(t) находим изображение U(s)=1/s, получаем:

Y(s)=.

Для нахождения y(t) необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа функции Y(s). Разложим правую часть выражения на элементарные дроби:

Y(s)==A+B+ C,

Y(t)=A*1(t)+B+C;

y(t)=.

Прировняем коэффициенты при одинаковых степенях s в числителях, получим систему алгебраических уравнений:

s²: A+B+C=0,

s¹: 15A+10B+5C=20,

s⁰: 50A=50,

Относительно коэффициентов A,B,C. Решая данную систему, находим

A=1; B=2; C=-3.

1+2-3.

Выполняя обратное преобразование Лапласа Y(s) получаем:

y(t)=L^-1(Y(s))= 1+2-3= 2- 3.



Для сигнала u(t)=д(t) изображение U(s)=1.

Y(s)=,

Разложив дробь в правой части на табличные выражения получим:

Y(s)=A+ B,

Y(t)=AB;

y(t)=

Прировняем коэффициенты при одинаковых степенях s в числителях, получим систему алгебраических уравнений:

s¹: A+B=20,

s⁰: 10A+5B=50,

Относительно коэффициентов A,B. Решая данную систему, находим

A=-50; B=30.

-50+30.

Выполняя обратное преобразование Лапласа Y(s) получаем:

y(t)=L^-1(Y(s))= -50+30= -50+30.



2.2 Нахождение частотных характеристик

Дано:

где

Комплексно Частотная Функция:

Выражение для частотной характеристики необходимо максимально упростить, для этого раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые. Получаем:

Выполняем замену передаточной функции

Выделим в знаменателе вещественную и мнимую части



В результате выражение для комплексной частотной характеристики примет вид:

Для нахождения вещественной и мнимой частотных характеристик необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе выражения. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженный знаменателю множитель.

Полученную дробь можно представить в виде двух дробей

Первая дробь представляет собой вещественную характеристику Р, вторая - мнимую Q



Найдем амплитудно-частотную характеристику.

Найдем фазо-частотную характеристику. Так как arctg является нечетной функцией, можно вынести минус за скобки

Ответ:



Заключение

В данной работе были рассмотрены общие теоретические сведения о методе преобразования Лапласа, временных характеристиках, а так же разобраны частные случаи на представленных примерах.



Список используемой литературы

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования, издание третье, исправленное. Москва, издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1995.

2. Зайцев Г. Ф. Теория автоматического управления и регулирования.-- 2-е изд., перераб. и доп. Киев, Издательство Выща школа Головное издательство, 2004.

3. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 288 с. - ISBN 5-9221-0379-2.

4. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 64 с. - ISBN 5-9221-0534-5.

5. Паршуков А.Н. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Теория автоматического управления»; ТюмГНГУ 2011.

Размещено на Allbest.ru