Оцінки наближення та керування спектром в системах з післядією

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет ім. Тараса Шевченка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

1.05.04 - Системний аналіз та теорія оптимальних рішень

Оцінки наближення та керування спектром в системах з післядією

Косаревська Наталія Віталіївна

Київ 2001

Дисертацією є рукопис

Роботу виконано на кафедрі моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Науковий керівник:- доктор фізико-математичних наук, професор, Хусаінов Денис Яхьєвич, професор кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, Новицький Віктор Володимирович, провідний науковий співробітник відділу аналітичної механіки Інституту математики НАН України.

кандидат фізико-математичних наук, доцент, Заславський Володимир Анатолійович, доцент кафедри системного аналізу та теорії прийняття рішень Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Провідна установа: Інститут кібернетики НАН України, Київ, відділ оптимізації керованих процесів.

Захист відбудеться “24” травня 2001 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.09 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м.Київ-022, проспект акад. Глушкова 2, kорпус 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий “22” квітня 2001 р.

Вчений секретар Спеціалізованої вченої ради Шевченко В.П.

1. Загальна характеристика роботи

лінійний диференціальний розузгодженість тривимірний

Актуальність теми. При аналізі та синтезі складних систем у біології, фізиці, медицині та інших галузях природознавства часто виникають багатовимірні задачі. Одним із основних засобів їх дослідження є системний підхід. При його використанні початкову систему замінюють на іншу, яку легше досліджувати. Ефективність одержаних результатів залежить від адекватності моделей. Тому розробка методів аналізу систем на основі побудови ієрархічної послідовності спрощених моделей та аналізу їх адекватності є надзвичайно актуальною задачею. Різноманітним задачам декомпозиції та агрегування систем різного типу присвячені роботи Цуркова В.І., Волковича В.Л., Волошина А.Ф., Заславського В.А, Онищенко С.М., Новицького В.В.

Одним з критеріїв адекватності лінійних систем є близькість власних чисел відповідних матриць. Але цей критерій не завжди себе виправдовує. Тому, у деяких випадках, для оцінки розбіжності розв'язків систем замість оцінки їх власних чисел використовують інші непрямі критерії. У дисертації, для оцінки розбіжності розв'язків початкової та перетвореної систем пропонується використовувати другий метод Ляпунова. Основні теоретичні результати цього методу були закладені в середині XX-го сторіччя в роботах Малкіна І.Г., Персидського К.П., Четаєва М.Г. Метод функцій Ляпунова був розповсюджений на дослідження систем нескінчених диференціальних рівнянь (Валєєв К.Г.), диференціальних рівнянь з післядією (Красовський М.М., Разуміхін Б.С., Колмановський В.Б, Хейл Дж., Хусаінов Д.Я.), імпульсних систем (Самойленко А.М., Перестюк М.О.), багатовимірних систем (Мартинюк А.А.), керованих систем (Кунцевич В.М., Бублик Б.М., Кириченко М.Ф., Гаращенко Ф.Г., Новицький В.В.).

Одним з фундаментальних понять в теорії динамічних систем є поняття керованості. Воно відіграє важливу роль в теорії оптимального керування, теорії стабілізації руху, теорії ідентифікації. Проблемами керованості та стабілізації динамічних систем займались Красовський М.М., Белман Р., Зубов В.І., Чикрій А.А., Бублик Б.М., Кириченко М.Ф., Гаращенко Ф.Г. та ін. Важливою проблемою математичної теорії керування є проблема керування спектром. Одним з напрямків розвитку задач модальної керованості є системи з запізненням. Системи з післядією більш адекватно описують реальні процеси. Вони досить добре моделюють динаміку в ядерній енергетиці та промисловому виробництві. Останнім часом вони набули поширення при дослідженні процесів динаміки популяцій, розвитку соціальних явищ, демографічних процесів. Тому аналіз систем, що описуються рівняннями з післядією та керування ними є надзвичайно важливою та актуальною задачею.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота проводилась згідно з планом наукових досліджень кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка № 97063 “Розвиток теорії проектування складних систем на основі теорії стійкості та недиференційованої оптимізації”.

Мета і задачі досліджень. Метою даної дисертаційної роботи є одержання конструктивних оцінок розузгодженості в лінійних стаціонарних диференціальних, різницевих і диференціально-різницевих системах; дослідження впливу взаємозв'язків на функціонування складних систем та виведення достатніх умов -слабої зв'язності лінійних динамічних систем. Метою роботи було також дослідження задач керування системами з післядією, обчислення параметрів оберненого зв'язку в задачах модального керування лінійними стаціонарними системами канонічного вигляду із запізненням та одержання умов модального керування в лінійних системах з запізненням загального вигляду; побудова достатніх умов стабілізації систем до заданого ступеня.

Наукова новизна одержаних результатів. Робота присвячена одержанню нових оцінок наближення розв'язків динамічних систем, що описані лінійними диференціальними, різницевими та диференціально-різницевими рівняннями. На основі одержаних результатів визначені нові умови -слабких взаємозв'язків між системами блочного вигляду. Розглянуто задачі модальної керованності систем із запізненням. Вперше одержано аналітичний вигляд коефіцієнтів оберненого зв'язку в задачах модального керування лінійними стаціонарними системами канонічного вигляду з запізненням. Отримано нові умови модального керування в лінійних системах з запізненням загального вигляду. Вперше визначено достатні умови стабілізації систем до заданого ступеня.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації можуть бути використані при досліджені динаміки систем великої розмірності. Результати другого розділу можуть бути корисними при аналізі та керуванні динамічними системами в біології та економіці, що використовують ефект післядії. Деякі теоретичні результати будуть використовуватись в лекціях по спеціальним розділам динаміки систем з післядією на старших курсах факультету кібернетики.

Особистий внесок здобувача. Науковому керівникові проф.Хусаінову Д.Я. у спільних роботах належить постановка задач. Доведення всіх результатів дисертації, які виносяться на захист, проведено автором самостійно.

Апробація результатів роботи. Результати роботи доповідались на Українських конференціях “Моделювання та дослідження стійкості систем” (Київ, травень, 1995, 1996, 1997 р.р.), на ІІ, ІІІ Кримських Міжнародних математичних школах “Метод функцій Ляпунова та його застосування” (Симферопіль, вересень, 1995, 1996 р.р.), конференції EQUADIFF-9 (Brno, Czeсh Republik, 1997), конференції “Fourth International Conference on Difference Equations and Applications”. (Poznan, Poland, 1998 p.), на конференції “Colloquium on differential and difference equations” (Brno, Czech Republik, 2000 p.), на семінарі з диференціальних рівнянь при університеті ім. Масарика (Brno, Czeh Republik, 1997 p.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 5 статей, 2 тези. З них 4 роботи у виданнях, затверджених ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, трьох розділів, висновку та списку використаної літератури із 132 назв і містить 136 стор.

2. Основний зміст

У вступі до роботи обґрунтовано актуальність проблематики дисертації, сформульовано мету роботи, розглянуто її зміст за розділами з висвітленням найважливіших результатів.

У першому розділі приведено детальний аналіз робіт, присвячених методу функцій Ляпунова та керуванню лінійними системами. Розглянуто історичний шлях розвитку другого методу Ляпунова, його можливості при дослідженні динамічних систем різного типу. Детально розглянуто розвиток його стосовно диференціальних рівнянь з післядією. Підкреслено, що особливістю методу є його універсальність, можливість не тільки одержувати твердження про стійкість (асимптотичну стійкість, нестійкість) розв'язків систем, а й обчислення різних характеристик динамічних систем, застосування його при дослідженні систем великої розмірності.

Приведено основні результати з модальної керованості лінійними системами. Зокрема наведені критерії керованості системами з післядією з запізненням та нейтрального типу.

Одержані конструктивні оцінки розузгодженості в лінійних диференціальних, різницевих і диференціально-різницевих системах із сталими коефіцієнтами. Оцінки побудовані на основі другого методу О.М.Ляпунова з квадратичною функцією.

Отримано достатні умови-слабої зв'язності лінійних диференціальних, різницевих та диференціально-різницевих систем.

Одержано аналітичний вигляд коефіцієнтів в задачах модального керування лінійними стаціонарними системами канонічного вигляду із запізненням.

Другий розділ присвячено одержанню оцінок наближення в лінійних динамічних системах.

Кажуть, що система (1) має - слабкі перехресні зв'язки, якщо для всіх (або ) виконується.

Одержані наступні умови існування - слабких перехресних зв'язків.

2.4. Нехай система зі зв'язками асимптотично стійка. Якщо існує додатно визначена матриця така, що виконується нерівність то система матиме - слабкі зв'язки.

Розглянуто використання алгоритму оцінки наближення систем до обчислення похибки редукції вихідної системи до системи меншої розмірності.

Аналогічний підхід використовується у другому параграфі для оцінки розбіжності розв'язків лінійних систем різницевих рівнянь.

Як і для систем диференціальних рівнянь одержано умови існування-слабких перехресних зв'язків. Побудована оцінка редукції систем.

В третьому параграфі одержані оцінки розузгодженності розв'язків лінійних систем диференціально-різницевих рівнянь.

2.1. Нехай існують симетричні додатно визначені матриці і такі, що виконуються нерівності

Тоді для розбіжності розв'язків і систем (8) і (9), що мають однакові початкові умови, справедлива оцінка

Розглянуто слабкіший випадок. Нехай матриці і асимптотично стійкі, тобто але умови рівномірної за запізненням стійкості (11) не виконуються.

2.2. Нехай матриці A1 +B1 і A2 +B2 асимптотично стійкі і. Тоді для розбіжностей розв'язків і систем (8), (9), які мають однакові початкові умови, справедлива оцінка

Нарешті розглянуто випадок, коли матриці і не є асимптотично стійкими. В цьому випадку оцінку розбіжності розв'язків можна також побудувати, однак вона вже досить груба.

Розглянуто систему із запізненням, що записана в блоковому вигляді

Тут матриці визначають функціонування підсистем, а матриці їх взаємозв'язки. Система без взаємозв'язків має вигляд

2.16. Нехай існують додатно визначені матриці та, що задовольняють матричному різницевому рівнянню Ляпунова, при яких виконані умови (11). Тоді, якщо виконується нерівність

Розглянуто оцінки редукції системи із запізненням до системи меншої розмірності.

Аналізується випадок асимптотичної стійкості, нерівномірної по запізненю.

Визначено умови модального керування в лінійних системах із запізненням загального вигляду.

Розв'язана задача коефіцієнтної стабілізації до заданого вигляду в системах із запізненням.

Розглянуто також оцінки редукції систем у данному випадку.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячений проблемам модального керування та стабілізації в лінійних диференціально-різницевих системах.

В першому параграфі третього розділу розглянуто канонічний випадок матриць, і вектора:

3.1. Для системи з параметрами вигляду існують вектори, параметрів керування, при яких замкнута система має характеристичний квазіполіном заданого вигляду. При цьому матриця параметрів керування С має вигляд

У другому параграфі розглянуто систему диференціальних рівнянь із одним запізненням загального вигляду

3.2. Щоб існували вектори,, при яких замкнена система мала характеристичний квазіполіном заданого вигляду необхідно і достатньо, щоб. При цьому повинно виконуватись наступне.

2. Якщо є функцією параметру, то параметри системи та коефіцієнти заданого характеристичного рівняння повинні задовольняти умові “узгодженості”

Умова “узгодженості” розглянуто для дво- та тривимірного випадків.

3.3. Нехай є функція параметру. Щоб існували вектори,,, при яких замкнена система мала характеристичне рівняння заданого вигляду необхідно і достатньо, щоб, а також параметри системи і коефіцієнти були такими щоб задовольнялася умова “узгодженості”

На підставі одержаних результатів побудовано керування системою з запізненням, при якому система асимптотично стійка до заданого ступеня. В основі побудови керування полягає оцінка максимальної величини дійсних частин власних чисел характеристичних квазіполіномів.

Висновки

В роботі отримано такі нові результати:

Одержані конструктивні оцінки розузгодженості в лінійних диференціальних, різницевих і диференціально-різницевих системах із сталими коефіцієнтами. Оцінки побудовані на основі другого методу О.М.Ляпунова з квадратичною функцією.

Отримано достатні умови-слабої зв'язності лінійних диференціальних, різницевих та диференціально-різницевих систем.

Одержано аналітичний вигляд коефіцієнтів в задачах модального керування лінійними стаціонарними системами канонічного вигляду із запізненням.

Визначено умови модального керування в лінійних системах із запізненням загального вигляду.

Розв'язана задача коефіцієнтної стабілізації до заданого вигляду в системах із запізненням.

Список опублікованих праць автора за темою дисертаційної роботи

1. Кожаметов А.Т., Косаревская Н.В., Хусаинов Д.Я. Модальное управление системами с запаздыванием // Журнал обчислювальної та прикладної математики. -1998.- №1(83).-С.52-56.

2. Косаревська Н.В. Про одну оцінку адекватності декомпозиції лінійних систем // Вісник Київського університету. Сер.фізико-математичні науки. - 1995. - в.2.- С.179-185.

3. Косаревська Н.В., Хусаінов Д.Я. Оцінки розбіжності розв'язків лінійних систем з післядією // Вісник Київського університету. Серія фізико-математичні науки - 1996. - в.2.- С.129 - 137.

4. Косаревська Н.В., Хусаінов Д.Я. Модальне керування лінійними системами канонічного виду із запізненням // Вісник Київського університету. Серія фізико-математичні науки - 1997. - в.1.- С.201-208.

5. Khusainov D., Agarwal R.P., Kosarevskaya N., Kojametov A. Spectrum Control in Linear Stationary Systems with Delay // Computers and Mathematics with Applications.-1999.-v.39(2000).-pp.39-55.

6. Kosarevskaya N. Modal control of linear differential systems with delay. - Fourth International Conference on Difference Equations and Applications. Extended Abstracts. - Рoznan, Poland, 1998.- pp.201-206.

7. Kosarevska N., Khusainov D. Modal control and stabilization in systems with delay. // Colloquium on differential and difference equations. Extended Abstracts. - Brno, Сzech Republic. - 2000.- pp.71-72.

Анотація

Косаревська Н.В. Оцінки наближення та керування спектром в системах з післядією. -Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 - системний аналіз та теорія оптимальних рішень. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Киів, 2001.

В дисертації одержані оцінки адекватності лінійних диференціальних, різницевих і диференціально-різницевих систем. Досліджені диференціально-різницеві системи з запізненням. Одержані оцінки розузгодженості, рівномірні по запізненню і такі, що залежать від післядії.

Розв'язана задача керування спектром в системах з запізненням. Одержані аналітичні залежності для коефіцієнтів оберненого зв'язку в системах канонічного і загального виглядів. Досліджені критичні випадки на площині та у тривимірному просторі.

Ключові слова: лінійні системи, функція Ляпунова, система з запізненням, модальне керування, власне число, стабілізація.

Annotation

Kosarevska N.V. Estimations of approximation and spectrum control in systems with a postaction.-Manuscript.

Thesis to confer a scientific degree of a candidate of physics and mathematics in speciality 01.05.04 - system analysis and theory of optimal decisions.

In this thesis estimations of linear differential, difference and differential-difference systems have been obtained. Differential-difference systems with delay have been also investigated. Estimations of divergence uniform in delay and those depending on a postaction are obtained.

A lot of place is also devoted to the solution of the problem of a spectrum control in systems with delay. Analytical dependencies for coefficients of feedback in the system of canonical and general types have been obtained. Critical case on the planc and in three- dimensional space.

Key words: a linear system, a Lyapunov function, a system with delay, modal control, on eigenvalue, stabilization.

Аннотация

Косаревская Н.В. Оценки приближения и управление спектром в системах с запаздыванием. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 - системний анализ и теория оптимальных решений. - Киевский национальний университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2001.

При анализе и синтезе сложных систем в биологи, физике, медицине, возникают задачи большой размерности. Одним из основных способов их исследования является системный подход. При его использовании исходную систему заменяют другой, более легко исследуемой. Эффективность полученных результатов зависит от адекватности моделей. Поэтому разработка методов анализа систем на основе построения иерархической последовательности упрощенных моделей и анализ их адекватности является чрезвычайно актуальной задачей.

Одним из критериев адекватности линейных систем есть близость собственных чисел. Однако этот критерий не всегда себя оправдывает. Поэтому, в некоторых случаях, для оценки разности решений систем вместо оценки их собственных чисел используются другие непрямые критерии. В диссертации для оценки разности решений исходной и преобразованной систем предлагается использовать второй метод Ляпунова.

Основные теоретические результаты этого метода были заложены в середине прошлого столетия для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В дальнейшем метод функций Ляпунова был развит применительно для исследования систем бесконечномерных уравнений, дифференциальных уравнений с последействием, импульсных систем, многомерных систем, систем управления.

Одним из фундаментальних понятий в теории динамических систем есть понятие управляемости. Оно имеет существенное значение в теории оптимального управления, теории стабилизации движения, теории идентификации. Важным направлением математической теории управления является управление спектром. Одним из видов динамических систем являются системы с последействием. Они более адекватно описывают реальные процессы. Системы с запаздыванием достаточно хорошо моделируют динамику в ядерной энергетике и промышленном производстве. В последнее время они получили распространение при исследовании процессов динамики популяций, развития социальних явлений, демографических процессов. Поэтому, анализ систем, которые описываются уравнениями с последействием и управление ими, является чрезвычайно важной и актуальной задачей.

Системы с последействием имеют свои отличительные особенности. Они, по своей сути, являются системами в банаховом пространстве. Для систем с последействием отсутствуют простые и конструктивные алгоритмы решения задач управления.

В диссертации получены оценки адекватности линейных дифференциальных, разностных и дифференциально-разностных систем. Исследуются диференциально-разностные системы с запаздыванием. Получены оценки расхождения, равномерные по запаздыванию и такие, что зависят от запаздывания. Получена аналитическая зависимость для коефициентов обратной связи в системах каноничного и обшего вида. Исследованы критические случаи на площади и в трехмерном пространстве.

Решена задача управления спектром в системах с запаздыванием.

Ключевые слова: линейная система, функция Ляпунова, система с запаздыванием, модальное управление, собственное число, стабилизация.

Размещено на Allbest.ru