Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

КОНСЕВИЧ Наталія Миколаївна

УДК 517.5

М-ЧЛЕННЕ ТРИГОНОМЕТРИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ КЛАСІВ ФУНКЦІЙ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук РОМАНЮК Анатолій Сергійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, ЛИГУН Анатолій Олександрович, Дніпродзержинський державний технічний університет, професор кафедри прикладної математики і математичного моделювання кафедри.

кандидат фізико-математичних наук НАЗАРЕНКО Микола Олексійович Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри математичного аналізу.

Провідна установа: Дніпропетровський національний університет МОН України, кафедра математичного аналізу

Захист відбудеться “25” грудня 2001 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ 4, МСП, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “22” листопада 2001 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В роботі досліджуються питання наближення класів -диференційовних періодичних функцій багатьох змінних М-членними тригонометричними поліномами. Апроксимативні властивості М-членних тригонометричних поліномів відносно класів періодичних функцій багатьох змінних вивчалися, зокрема, В.М. Темляковим, Е.С. Белінським, Б.С. Кашиним, А.С. Романюком та ін.

У 1983 р. О.І. Степанцем введені класи , які при певних значеннях параметрів співпадають з відомими класами Вейля-Надя . На сьогодні відомо багато результатів, що пов'язані з розв'язанням важливих екстремальних задач теорії апроксимації для класів періодичних функцій однієї змінної. Значно менше розвинена тематика наближення класів у багатовимірному випадку. Проте, залишається відкритою низка важливих питань М-членного тригонометричного наближення.

Результати досліджень, що були проведені на класах періодичних функцій багатьох змінний, показали, що М-членні тригонометричні поліноми забезпечують в деяких випадках меншу за порядком похибку наближення, ніж тригонометричні поліноми з “номерами” гармонік із “ступінчастих гіперболічних хрестів”. Таким чином, є актуальним дослідження М-членних тригонометричних наближень, порівняння одержаних результатів з відповідними результатами наближення цих класів тригонометричними поліномами, що побудовані за “ступінчастими гіперболічними хрестами”.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відділі теорії функцій Інституту математики НАН України згідно з науково-дослідною темою: “Структурні та апроксимаційні властивості функціональних множин”, номер дер-жавної реєстрації 0198 U 001990.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є поширення відомих результатів щодо М-членного наближення з класів диференційовних функцій на класи -диференційовних функцій .

Об'єктом дослідження є класи періодичних функцій багатьох змінних.

Предметом дослідження є величини найкращого М-членного тригонометричного наближення, найкращого М-членного ортогонального тригонометричного наближення, тригонометричного поперечника. Задачі дослідження:

1. Знайти порядкові оцінки найкращих М-членних тригонометричних наближень при різних співвідношеннях між параметрами p та q: 1<p<, 1<q. Порівняти ці результати з відповідними результатами для величин найкращого наближення тригонометричними поліномами з “номерами” гармонік із “ступінчастого гіперболічного хреста”.

2. Дослідити поведінку найкращих М-членних ортогональних тригонометричних наближень при 1<p,q<.

3. Встановити порядкові оцінки тригонометричних поперечників класів -диференційовних функцій у просторі , .

4. Знайти порядкові оцінки найкращих наближень класів в метриці , 1<q<, тригонометричними поліномами з “номерами” гармонік із “ступінчастих гіперболічних хрестів”.

При розв'язанні поставлених задач в роботі використовуються загальні методи теорії функцій в поєднанні з новими методами М-членного наближення, що розвинені у працях В.М. Темлякова, Б.С. Кашина, Е.С. Белінського, А.С. Романюка та ін.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і полягають у наступному:

1. Одержано порядкові оцінки найкращих М-членних тригонометричних наближень класів у просторі . Показано, що оцінки зверху цих величин кращі за відповідні оцінки найкращих наближень при 1<p<q<, тригонометричними поліномами з “номерами” гармонік із “ступінчастих гіперболічних хрестів”.

2. Знайдено порядкові оцінки найкращих М-членних ортогональних тригонометричних наближень, 1<p,q<.

3. Одержано порядкові оцінки тригонометричних поперечників класів у просторі при q<p/(p-1).

4. Встановлено порядкові оцінки найкращих наближень класів в метриці , 1<q<, тригонометричними поліномами з “номерами” гармонік із “ступінчастих гіперболічних хрестів”.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи мають теоретичний характер. Вони, а також методика їх отримання, можуть бути використані при подальшому вивченні питань наближення функцій багатьох змінних. порядковий тригонометричний поліном

Особистий внесок здобувача. Визначення напряму дослідження, а також постановка задач належить науковому керівникові - доктору фіз.-мат. наук А.С. Романюку. Всі результати одержано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на:

-- семінарах відділу теорії функцій (Інститут математики НАН України, керівник семінару член-кореспондент НАН України О.І. Степанець);

-- об'єднаному семінарі з теорії функцій (Інститут математики НАН України, керівники семінару: академік НАН України М.П. Корнєйчук, член-кореспондент НАН України О.І. Степанець, професор П.М. Тамразов);

-- Міжнародній конференції з теорії наближення функцій та її застосувань, присвяченій пам'яті В.К. Дзядика (Київ, 1999 р.);

-- Міжнародній конференції, присвяченій 100-річчю з дня народження М.О. Лаврентьєва (Київ, 2000 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1 - 7] без співавторів.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел, що містить 75 найменувань. Повний обсяг роботи складає 116 сторінок машинописного тексту.

Основний зміст дисертації

У першому розділі дисертаційної роботи проводиться огляд результатів за тематикою дослідження.

Нехай , , - простір -перідичних за кожною змінною сумовних у степені p на d-вимірному кубі функцій ,

, - простір -періодичних суттєво обмежених функцій f(x).

Позначимо через

(1)

- найкраще М-членне тригонометричне наближення функції f у просторі .

Якщо F - деякий функціональний клас, то покладемо

.(2)

Величину (1) введено С.Б. Стєчкіним у 1955 р. Її відмінність від найкращого наближення функції тригонометричними оліномами степеня, що не перевищує М, полягає в можливості вибору набору векторів взалежності від функції .

Зазначимо, що у випадку, коли , , , класи збігаються з добре відомими класами Вейля-Надя .

Другий розділ роботи присвячено вивченню найкращих M-членних тригонометричних наближень.

У першому підрозділі 2.1, який носить допоміжний характер, сформульована задача дослідження, наведені необхідні позначення та твердження.

Всі результати роботи сформульовані у вигляді порядкових співвідношень та в термінах апроксимативних характеристик (n) (n)

Сформулюємо один із основних результатів.

Теорема 2.1. Нехай , ,,, і, крім того, існує > 0 таке, що не зростають. Тоді для будь-якого натурального М та п, що задовольняє умову М має місце співвідношення

.

Зауважимо, що для класів Вейля-Надя точні порядкові оцінки величин найкращих М-членних тригонометричних наближень у зазначеному вище випадку доведено Е.С. Белінським.

Наприкінці підрозділу проводиться порівняння одержаного результату з відповідними оцінками найкращих наближень класів тригонометричними поліномами з “номерами” гармонік із “ступінчастого гіперболічного хреста”.

У випадку доведено теорему 2.2, в якій оцінка зверху випливає з теореми 2.1 при р = 2, а оцінка знизу доводиться за допомогою відомого в теорії наближення співвідношення двоїстості.

У підрозділі 2.3 продовжено дослідження найкращих М-членних тригонометричних наближень для випадку 1<p<q.

Заключний підрозділ 2.5 другого розділу присвячено вивченню найкращих М-членних тригонометричних наближень класів в рівномірній метриці.

'Третій розділ роботи присвячено дослідженню найкращих ортогональних тригонометричних наближень та тригонометричних поперечників.

Підрозділ 3.2 присвячено дослідженню тригонометричних поперечників класів у просторі у тих випадках, коли підпростір тригонометричних поліномів з “номерами” гармонік із “ступінчастих гіперболічних хрестів” не є екстремальним для колмогоровського поперечника, а саме у випадках: 1<p2<q<, 2p<q<. Поняття тригонометричного поперечника було введено Р.С. Ісмагіловим.

В четвертому розділі роботи вивчається питання наближення класів в метриці , 1<q<.У підрозділі 4.1 розглядається наближення багатовимірних аналогів ядер Бернуллі. У підрозділі 4.2, використавши результати попереднього підрозділу, одержано порядкові оцінки найкращих наближень класів у прострі , 1<q<.

Висновки

У дисертації розв'язано низку задач про наближення класів -диференційовних функцій багатьох змінних М-членними тригонометричними поліномами.

Основні результати роботи:

1. Одержано порядкові оцінки найкращих М-членних тригонометричних наближень класів у просторі при , . Показано, що оцінки зверху величин кращі за відповідні оцінки найкращих наближень класів у метриці , , тригонометричними поліномами з “номерами” гармонік із “ступінчастих гіперболічних хрестів”.

2. Знайдено порядкові оцінки найкращих М-членних ортогональних тригонометричних наближень класів у просторі , .

3. Одержано порядкові оцінки тригонометричних поперечників класів у просторі при .

4. Встановлено порядкові оцінки найкращих наближень класів в метриці , , тригонометричними поліномами з “номерами” гармонік із “ступінчастих гіперболічних хрестів”.

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах:

1. Консевич Н.М. Найкращі М-членні тригонометричні наближення класів у просторі // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: Зб. наук. пр. - К.:Ін-т математики НАН України, 1998.- Вип. 3. - С. 204-219.

2. Консевич Н.М. Оцінки найкращих М-членних тригонометричних наближень класів періодичних функцій багатьох змінних у просторі // Укр. мат. журн. - 2000. - 52, №7. - С. 898-907.

3. Консевич Н.М. Наближення класів функцій багатьох змінних тригонометричними поліномами в рівномірній метриці // Праці ІМ НАН України. Т. 31: Теорія наближення функцій та її застосування. - К.: Ін-т математики НАН України, 2000. - С. 260-268.

4. Консевич Н.М. Найкращі ортогональні тригонометричні наближення класів функцій багатьох змінних // Укр. мат. журн. - 2001. - 53, №1. - С. 23-29.

5. Консевич Н.М. Тригонометричні поперечники класів функцій багатьох змінних // Укр. мат. журн. - 2001. - 53, №9. - С. 1292-1296.

6. Консевич Н.М. Найкращі М-членні тригонометричні наближення класів у просторі // Міжнародна конференція з теорії наближення функцій та її застосувань, присвячена пам'яті В.К. Дзядика: Тез. Доп. - К.:Ін-т математики НАН України, 1999. - С. 41.

7. Konsevych N.M. The best M-term orthogonal trigonometric approximation of multivariate classes in the spase // International Conference dedicated to M.A. Lavrentyev on the occasion of his birthday centenary: Abstracts. - Kiev; Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2000. - C. 28.

Аннотации

Консевич Н.Н. М-членное тригонометрическое приближение классов функций многих переменных. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2001.

Диссертация посвящена вопросам приближения классов периодических функций многих переменных М-членными тригонометрическими полиномами в пространстве .

Получены порядковые оценки наилучших тригонометрических приближений, наилучших ортогональных тригонометрических приближений, тригонометрических поперечников. Доказаны порядковые оценки наилучших приближений тригонометрическими полиномами с “номерами” гармоник из “ступенчатых гиперболических крестов”

Ключевые слова: -дифференцируемая функция, наилучшее тригонометрическое приближение, наилучшее ортогональное тригонометрическое приближение, тригонометрический поперечник, наилучшее приближение, гармоника, “ступенчатый гиперболический крест”.

Konsevych N.M. -term trigonometric approximation of classes of functions of several variables. - Manuscript.

The thesis for a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2001.

The thesis is dedicated to the problem of approximation of classes -differentiable periodic of functions of several variables by -term trigonometric polynomials in the space .

We obtain order estimates of the best trigonometric approximations and of the best orthogonal trigonometric approximations and the trigonometric widths.

We prove order estimates Of the best approximations by trigonometric polynomials with “numbers” of harmonics in the “step hyperbolic crosses”.

Key words: -differentiable function, the best trigonometric approximation, the best orthogonal trigonometric approximation, trigonometric width, the best approximation, harmonic, “step hyperbolic cross”.

Размещено на Allbest.ru