Цели работы: изучить методы решения транспортной задачи и их реализацию при решении практической задачи.

Задания:

Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это, решает проблему: как получить наибольший эффект, обладая ограниченными средствами. Наши средства и ресурсы всегда ограничены. Жизнь была бы менее интересной, если бы это было не так. Не трудно выиграть сражение, имея армию в 10 раз большую, чем у противника. Чтобы достичь наибольшего эффекта, имея ограниченные средства, надо составить план, или программу действий. Раньше план в таких случаях составлялся “на глазок”. В середине XX века был создан специальный математический аппарат, помогающий это делать “по науке”. Соответствующий раздел математики называется математическим программированием. Слово “программирование" здесь и в аналогичных терминах (“линейное программирование, динамическое программирование” и т.п.) обязано отчасти историческому недоразумению, отчасти неточному переводу с английского. По-русски лучше было бы употребить слово “планирование”. С программированием для ЭВМ математическое программирование имеет лишь то общее, что большинство возникающих на практике задач математического программирования слишком громоздки для ручного счета, решить их можно только с помощью ЭВМ, предварительно составив программу. Временем рождения линейного программирования принято считать 1939 г., когда была напечатана брошюра Леонида Витальевича Канторовича “Математические методы организации и планирования производства”.

Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

Целью транспортной задачи является обеспечение получения (доставки) продукции (товара) потребителю в нужное время и место при минимально возможных совокупных затратах трудовых, материальных, финансовых ресурсов.

Цель транспортной деятельности считается достигнутой при выполнении шести условий:

1. нужный товар;

2. необходимого качества;

3. в необходимом количестве доставлен;

4. в нужное время;

5. в нужное место;

6. с минимальными затратами.

Объектом изучения являются материальные и соответствующие им финансовые, информационные потоки, сопровождающие производственно-коммерческую деятельность.

В данной курсовой работе будут рассмотрены понятие транспортной задачи, ее типы, различные методы решения. Решена задача по заданию 4.1 с помощью MS Excel и приложена компьютерная программа по решению задачи данного типа.

Транспортная задача

1. Если сумма запасов в пунктах отправления превышает сумму поданных заявок то количество продукции, равное остается на складах. В этом случае мы введем "фиктивного" потребителя n +1 с потребностью и положим транспортные расходы p_{i,n +1} равными 0 для всех i.

2. Если сумма поданных заявок превышает наличные запасы то потребность не может быть покрыта. Эту задачу можно свести к обычной транспортной задаче с правильным балансом, если ввести фиктивный пункт отправления m + 1 с запасом и стоимость перевозок из фиктивного пункта отправления во все пункты назначения принять равным нулю.

Математическая модель

Таблица № 2

Составленный нами план перевозок, не является оптимальным по стоимости, так как при его построении мы совсем не учитывали стоимость перевозок С_ij.

Другой способ - способ минимальной стоимости по строке - основан на том, что мы распределяем продукцию от пункта A_i не в любой из пунктов B_j, а в тот, к которому стоимость перевозки минимальна. Если в этом пункте заявка полностью удовлетворена, то мы убираем его из расчетов и находим минимальную стоимость перевозки из оставшихся пунктов B_j. Во всем остальном этот метод схож с методом северо-западного угла. В результате, опорный план, составленный способом минимальной стоимости по строке выглядит, так как показано в таблице № 3. При этом методе может получиться, что стоимости перевозок C_ij и C_ik от пункта A_i к пунктам B_j

и B_k равны. В этом случае, с экономической точки зрения, выгоднее распределить продукцию в тот пункт, в котором заявка больше. Так, например, в строке 2: C₂₁ = C₂₄, но заявка b₁ больше заявки b₄, поэтому 4 единицы продукции мы распределим в клетку (2,1).

Таблица № 3

Способ минимальной стоимости по столбцу аналогичен предыдущему способу. Их отличие состоит в том, что во втором способе мы распределяем продукцию от пунктов B_i к пунктам A_j по минимальной стоимости C_ji.

Опорный план, составленный способами минимальных стоимостей, обычно более близок к оптимальному решению. Так в нашем примере общие затраты на транспортировку по плану, составленному первым способом F₀ = 1039, а по второму F₀ = 723. Клетки таблицы, в которых стоят ненулевые перевозки, являются базисными. Их число должно равняться m + n - 1. Необходимо отметить также, что встречаются такие ситуации, когда количество базисных клеток меньше чем m + n - 1. В этом случае распределительная задача называется вырожденной. И следует в одной из свободных клеток поставить количество перевозок равное нулю. Так, например, в таблице № 3:

m + n - 1 = 4 + 5 - 1 = 8,

а базисных клеток 7, поэтому нужно в одну из клеток строки 3 или столбца 2 поставить значение “0”. Например в клетку (3,5). Составляя план по способам минимальных стоимостей в отличии от плана по способу северо-западного угла мы учитываем стоимости перевозок C_ij, но все же не можем утверждать, что составленный нами план является оптимальным.

Распределительный метод оптимального плана

Таблица №4

На этом способе уменьшения стоимости в дальнейшем и будет основан алгоритм оптимизации плана перевозок.

Циклом в транспортной задаче мы будем называть несколько занятых клеток, соединённых замкнутой, ломанной линией, которая в каждой клетке совершает поворот на 90°.

Существует несколько вариантов цикла:

1.) 2.) 3.)

Нетрудно убедиться, что каждый цикл имеет чётное число вершин и значит, чётное число звеньев (стрелок). Условимся отмечать знаком + те вершины цикла, в которых перевозки необходимо увеличить, а знаком -, те вершины, в которых перевозки необходимо уменьшить. Цикл с отмеченными вершинами будем называть означенным. Перенести какое-то количество единиц груза по означенному циклу, это значит увеличить перевозки, стоящие в положительных вершинах цикла, на это количество единиц, а перевозки, стоящие в отрицательных вершинах уменьшить на то же количество. Очевидно, при переносе любого числа единиц по циклу равновесие между запасами и заявками не меняется: по прежнему сумма перевозок в каждой строке равна запасам этой строки, а сумма перевозок в каждом столбце - заявке этого столбца. Таким образом, при любом циклическом переносе, оставляющем перевозки неотрицательными допустимый план остаётся допустимым.

Стоимость же плана при этом может меняться: увеличиваться или уменьшатся. Назовём ценой цикла увеличение стоимости перевозок при перемещении одной единицы груза по означенному циклу. Очевидно, цена цикла ровна алгебраической сумме стоимостей, стоящих в вершинах цикла, причём стоящие в положительных вершинах берутся со знаком +, а в отрицательных со знаком -. Обозначим цену цикла через g.

При перемещении одной единицы груза по циклу стоимость перевозок увеличивается на величину g. При перемещении по нему k единиц груза стоимость перевозок увеличиться на kg. Очевидно, для улучшения плана имеет смысл перемещать перевозки только по тем циклам, цена которых отрицательна. Каждый раз, когда нам удаётся совершить такое перемещение, стоимость плана уменьшается на соответствующую величину kg. Так как перевозки не могут быть отрицательными, мы будем пользоваться только такими циклами, отрицательные вершины которых лежат в базисных клетках таблицы, где стоят положительные перевозки.

Если циклов с отрицательной ценой в таблице больше не осталось, это означает, что дальнейшее улучшение плана невозможно, то есть оптимальный план достигнут. Метод последовательного улучшения плана перевозок и состоит в том, что в таблице отыскиваются циклы с отрицательной ценой, по ним перемещаются перевозки, и план улучшается до тех пор, пока циклов с отрицательной ценой уже не останется. При улучшении плана циклическими переносами, как правило, пользуются приёмом, заимствованным из симплекс-метода: при каждом шаге (цикле) заменяют одну свободную переменную на базисную, то есть заполняют одну свободную клетку и взамен того освобождают одну из базисных клеток. При этом общее число базисных клеток остаётся неизменным и равным m + n - 1. Этот метод удобен тем, что для него легче находить подходящие циклы. Можно доказать, что для любой свободной клетке транспортной таблице всегда существует цикл и притом единственный, одна из вершин которого лежит в этой свободной клетке, а все остальные в базисных клетках. Если цена такого цикла, с плюсом в свободной клетке, отрицательна, то план можно улучшить перемещением перевозок по данному циклу. Количество единиц груза k, которое можно переместить, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла (если переместить большее число единиц груза, возникнут отрицательные перевозки).

Применённый выше метод отыскания оптимального решения транспортной задачи называется распределённым; он состоит в непосредственном отыскании свободных клеток с отрицательной ценой цикла и в перемещении перевозок по этому циклу.

Распределительный метод решения транспортной задачи, с которым мы познакомились, обладает одним недостатком: нужно отыскивать циклы для всех свободных клеток и находить их цены. От этой трудоёмкой работы нас избавляет специальный метод решения транспортной задачи, который называется методом потенциалов.

Решение транспортной задачи методом потенциалов

Таблица №6

Теперь будем перемещать по циклу число 14, так как оно является минимальным из чисел, стоящих в клетках, помеченных знаком -. При перемещении мы будем вычитать 14 из клеток со знаком - и прибавлять к клеткам со знаком +. После этого необходимо подсчитать потенциалы a_i и b_j и цикл расчетов повторяется.

Итак, мы приходим к следующему алгоритму решения транспортной задачи методом потенциалов.

1. Взять любой опорный план перевозок, в котором отмечены m +n - 1 базисных клеток (остальные клетки свободные).

2. Определить для этого плана платежи (a_i и b_j) исходя из условия, чтобы в любой базисной клетке псевдостоимости были равны стоимостям. Один из платежей можно назначить произвольно, например, положить равным нулю.

3. Подсчитать псевдостоимости и_i,j = a_i + b_j для всех свободных клеток. Если окажется, что все они не превышают стоимостей, то план оптимален.

4. Если хотя бы в одной свободной клетке псевдостоимость превышает стоимость, следует приступить к улучшению плана путём переброски перевозок по циклу, соответствующему любой свободной клетке с отрицательной ценой (для которой псевдостоимость больше стоимости).

5. После этого заново подсчитываются платежи и псевдостоимости, и, если план ещё не оптимален, процедура улучшения продолжается до тех пор, пока не будет найден оптимальный план. Так в нашем примере после 2 циклов расчетов получим оптимальный план. При этом стоимость всей перевозки изменялась следующим образом: F₀ = 723, F₁ = 709, F₂ = F_min = 703.

Следует отметить так же, что оптимальный план может иметь и другой вид, но его стоимость останется такой же F_min = 703.

Составьте оптимальный план перевозки угля с минимальными транспортными расходами с шахт Варгашорская (В), Западная (З) и Комсомольская (К), еженедельно добывающих соответственно 26,32 и 17тыс. т. Покупатели угля расположены в разных городах В, В, С и D, заявки которых составляют 28, 19, 12 и 16 тыс. т между поставщиками и потребителями представлены транспортной таблицей.

Решение:

Математическая модель данной задачи имеет вид:

F = 70х₁₁+76х₁₂+72х₁₃+68х₁₄+80х₂₁+84х₂₂ +82х₂₃+77х₂₄+80х₉+83х₁₀ +82х₁₁+76х₁₂ >min

Экранная форма для ввода условий задачи вместе с введенными в нее исходными данными представлена на рисунке:

При введении зависимостей лист MS Excel в режиме просмотра формул имеет вид:

После отражения закономерностей экранная форма принимает вид:

Окно "Поиск решения" после ввода всех необходимых данных задачи имеет следующий вид:

Оптимальное решение задачи в экранной форме имеет вид:

Минимальные транспортные расходы на перевозку угля равны 5715.

Заключение