Расчет интегралов
Решение задач на определение неопределенного интеграла, площади фигуры, образованной линиями y=4 и y=x2, порядка и границ интегрирования, общего интеграла дифференциального уравнения по признаку Лейбница. Применение признака Даламбера и расчет ряда Фурье.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.03.2014 |
| Размер файла | 35,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Тюменский государственный университет
Институт дистанционного образования
Тестовые задания
по «Математическому анализу»
1. Найти неопределенный интеграл …(C-1, 8, Л-1, 14 ; П-1, 12, 13 )
Решение. Сделаем замену переменной интеграл уравнение площадь
Тогда
2. Найти площадь фигуры, образованной линиями y=4 и y=x2 …(C-1, 9.8; Л-1, 15 ; П-1, 15 )
Решение. Из графика видно, что линия проходит выше линии , точки пересечения линий получим решая уравнение
Площадь находим по формуле
3. Вычислить интеграл
или доказать его расходимость. …(C-1, 9.9; Л-1, 17 ; П-1, 14)
Решение. Несобственный интеграл берется через предел
.
Если предел сходится, то говорят, что интеграл сходится, иначе - расходится.
4. Изменить порядок интегрирования в
.
(C-1, 10.3; Л-2, 1 ; П-2, 1)
Решение. Изучая границы интегрирования, устанавливаем, что Значит, область интегрирования представляет собой треугольник ОАВ, где O(0,0), A(2,0), B(2,4). Границами области являются линии - ось Ох, прямая у=2х, прямая х =2.
Для изменения порядка интегрирования нужно установить границы изменения у: видно, что Далее.
Надо выяснить границы изменения х при фиксированном у из этого промежутка. Замечаем, что х изменяется от прямой у=2х или х=у/2 до прямой х=2. Значит,
5. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
(C-2, 4.2, 4.3; Л-2, 7 ; П-2, 7 )
Решение. Данное уравнение - с разделяющимися переменными, они уже разделены. Достаточно проинтегрировать левую и правую часть по отдельности. Так как
где - произвольные постоянные, то, вводя , получим
6. Найти общее решение дифференциального уравнения
(C-2, 5.4; Л-2, 8 ; П-2, 9 )
Решение. Характеристическое уравнение
имеет корни
общее решение однородного уравнения
По правой части 26х-1 подбираем частное решение в виде
Вычисляем
подставляем в уравнение
Сравнивая коэффициенты при х, находим А=2, из 6А+13В=-1 получаем В=-1. Общее решение исходного уравнения
7. Решить дифференциальное уравнение
с начальным условием
(C-1, 4.9, 3.1; Л-2, 6 ; П-2, 8 )
Решение. Данное уравнение - уравнение первого порядка. Выразим
и разделим переменные:
.
Так как то , откуда
Решение данной задачи Коши - .
8. Установить, сходится ряд или расходится
Решение. Применим признак Даламбера. Так как
.
По признаку Даламбера ряд сходится.
9. Найти интервал сходимости ряда
(C-1, 11.9; Л-2, 4, 5 ; П-2, 3, 4)
Решение. Для нахождения радиуса сходимости найдем предел
так как при можно заменить на эквивалентное выражение
Центр области сходимости находится в точке интервал сходимости имеет вид . Граничные точки исследуются подстановкой в ряд.
При получим числовой ряд
который эквивалентен ряду
который, как знакочередующийся, сходится по признаку Лейбница.
При получим числовой ряд
который эквивалентен гармоническому ряду
,
который расходится.
10. Разложить функцию
в ряд Фурье .…(C-1, 11.13)
Решение. Ряд Фурье для функции f(x) имеет вид
,
Найдем
Здесь использовано то, что xcosnx - нечетная функция, интервал интегрирования - симметричный, интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен 0, cosnx - четная функция, интервал интегрирования - симметричный, интеграл от четной функции по симметричному промежутку равен удвоенному интегралу по положительной части промежутка интегрирования. Данный расчет имеет место при При получим
Аналогично найдем
В итоге ряд Фурье для функции
.
Несколько первых слагаемых: .
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Нахождение частных производных, градиента функции. Вычисление интеграла, переход от двойного интеграла к последовательному, пределов интегрирования. Общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Применение признака Даламбера.
контрольная работа [297,6 K], добавлен 11.05.2013Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
контрольная работа [136,7 K], добавлен 16.03.2010Расчет неопределенных интегралов, проверка результатов дифференцированием. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Нахождение площади фигуры, ограниченной заданной параболой и прямой. Общее решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [59,8 K], добавлен 05.03.2011Разложение функции в ряд Фурье, поиск коэффициентов. Изменение порядка интегрирования, его предел. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций, с помощью двойного интеграла, объема тела, ограниченного поверхностями, с помощью тройного интеграла.
контрольная работа [111,8 K], добавлен 28.03.2014Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
контрольная работа [459,6 K], добавлен 16.04.2010Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013Расчет неопределенных интегралов по частям и по формуле Ньютона-Лейбница. Вычисление несобственного интеграла или доказательство его расходимости. Расчет площади фигуры, ограниченной кардиоидой. Расстановка пределов двумя альтернативными способами.
контрольная работа [251,2 K], добавлен 28.03.2014Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями, с помощью двойного интеграла. Расчет двойного интеграла, перейдя к полярным координатам. Методика определения криволинейного интеграла второго рода вдоль заданной линии и потока векторного поля.
контрольная работа [392,3 K], добавлен 14.12.2012Поиск площади фигуры, ограниченной графиками функций с помощью двойного интеграла. Получение вращением объема тела вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной указанными линиями. Пределы интегрирования в двойном интеграле по области, ограниченной линиями.
контрольная работа [166,9 K], добавлен 28.03.2014Поиск общего интеграла дифференциального уравнения. Расстановка пределов интегрирования. Координаты вершины параболы. Объем тела, ограниченного поверхностями. Вычисление криволинейного интеграла. Полный дифференциал функции. Вычисление дуги цепной линии.
контрольная работа [298,1 K], добавлен 28.03.2014
