Асимптотична поведінка нелокалізованих рішень рівнянь типу Кадомцева-Петвіашвілі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна Академія Наук України

Фізико-технічний інститут низьких температур Ім. Б.І.Вєркіна

УДК 517.9

АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДІНКА НЕЛОКАЛІЗОВАНИХ РІШЕНЬ РІВНЯНТ ТИПУ КАДОМЦЕВА-ПЕТВІАШВІЛІ

01.01.03 -- математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

Дисертації на здобуття наукового ступеня

Кандидата фізико-математичних наук

АНДЕРС Ігор Олександрович

Харків 2001

Дисертацією е рукопис.

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук Котляров Володимир Петрович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН Украйни, завідувач відділом математичної фізики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Белоколос Євген Дмитрович, Інститут магнетизму НАН України, завідувач відділом теоретичної фізики

кандидат фізико-математичних наук Егорова Ірина Євгеновна, Харківський Національний Університет, доцент кафедри вищої математики

Провідна установа: Інститут математики НАН України, м. Київ.

Захист відбудеться 26 грудня 2001 р. о 14 годині на засіданнi спеціалізованої вченої ради Д.64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур імені Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47.

3 дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико- технічного інституту низьких температур, м. Харків, пр. Леніна, 47.

Автореферат розіслано 21 листопада 2001 р.

Вчений секретар

Спеціалізованої вченої ради Горькавий В.О.

Загальна характеристика роботи

кадомцев петвіашвілі рівняння асимптотичний

Задачі асимптотичної поведінки при великих значеннях часу рішень нелінійних еволюційних рівнянь притягують продовж 30 останніх років неослабну увагу фахівців у зв'язку з глибоким математичним значенням цих задач і фізичними застосуваннями. Особливий інтерес набуло дослідження асимптотики нелокалізованих розв'язків цих рівнянь. В даній роботі досліджена асимптотична поведінка в областях переднього фронту нелокалізованих розв'язків рівнянь Кадомцева - Петвіашвілі (КП)-1, КП-2 і двомірного рівняння Джонсона (РД)-1, або циліндричного рівняння КП.

Актуальнiсть теми. Відкриття в 1967 р. Гарднером, Гріном, Крускалом та Міурою метода зворотної задачі розсіяння стало потужним імпульсом у розвитку сучасної математичної фізики. Цей метод, що ґрунтується на глибокому зв'язку зі спектральною теорією диференціальних операторів, дозволив не тільки отримати точні розв'язки (солітони, раціональні та скінченно-зонні рішення), але й розв'язкі задач Коші в загальній постановці.

Однією з актуальних проблем у цій галузі математичної фізики є проблема побудови асимптотичних розв'язків нелінійних еволюційних рівнянь при великих значеннях часу. Отримання відповідних асимптотичних формул демонструє потужність метода зворотної задачі розсіяння як нелінійного аналога метода Фур'є. Першими дослідженнями в цьому напрямку були роботи 70-х років Шабата й Танакі, де вони описали солітонну асимптотику спадаючих розв'язків рівняння Кортевега - де Фріза. Далі надійшли роботи Манакова, Захарова, Абловіца та Сігура присвячені дослідженню асимптотичної поведінки розв'язків нелінійних еволюційних рівнянь при умовах відсутності солітонів. Не менш складні задачі виникають при вивченні асимптотики неспадаючих (нелокалізованих) розв'язків нелінійних еволюційних рівнянь. Теорія цих розв'язків розроблена в меншому ступені ніж відповідна теорія в спадаючому випадку. Найбільш вагомі результати в цій галузі були отримані в роботах Крічевера, Новікова, Ітса, Матвеєва, Хруслова та Котлярова. Дослідження такого типу проводяться й до наступного часу.

Другою актуальною проблемою є вивчення нелокалізованих розв'язків нелінійних еволюційних рівнянь із двома просторовими змінними, що є двомірними аналогами відповідних одномірних рівнянь. В цьому випадку відомо дуже обмежений набір нелокалізованих розв'язків, що були описані в роботах Захарова, Шабата, Матвеєва та Салля. Асимптотику деяких з них було вивчено в роботах Сатсуми та Матвеєва. Отже побудова нелокалізованих рішень та розробка відповідних методів досліджень їх асимптотичної поведінки при великому часі є одними з відкритих проблем при вивченні двомірних нелінійних еволюційних рівнянь.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Це дослiдження виконане в рамках тематичного плану ФТIНТ за вiдомчою тематикою за темою "Асимптотичні методи досліджень рішень початково-крайових задач", № 0196U002942, а також за проектом програми Державного Фонда Фундаментальних Дослiджень № 1.4/10 ("Асимптотика").

Мета i задачi дослiдження.

Метою роботи є:

1. Доведення існування нелокалізованих розв'язків КП і РД, що є обмеженими в , спадають при , але не спадають при .

2. Розробка методу розв'язання їх асимптотичної поведінки при великих значеннях часу в областях переднього фронту.

3. Отримання явних формул, що описують їх асимптотику.

Методи дослiдження. В дисертацiї використано методи лiнiйної алгебри та функцiонального аналiзу, теорiї функцiй комплексного змiнного i теорiї солiтонiв.

Наукова новизна одержаних результатiв.

Усі результати дисертації є новими

Основнi положення i результати, якi виносяться на захист:

1. Сформульовано умови, що забезпечують існування нелокалізованих розв'язків спеціального виду рівнянь КП та РД та приводять до їх розпаду при великих значеннях часу.

2. При цих умовах доведено існування нелокалізованих розв'язків рівнянь КП-1 і РД-1, що є обмеженими в , спадають при і не спадають при . У випадку рівняння КП-2 доведено існування таких розв'язків в деякій частині .

3. Доведено, що такі розв'язки розпадаються при великих значеннях часу в області переднього фронту в нескінчений ряд солітонів нового типу - зігнутих асимптотичних солітонів.

Практичне значення одержаних результатiв. Робота носить теоретичний характер. Її результати дозволяють поширити клас рівнянь, що мають нелокалізовані розв'язки та одержати результати їх асимптотичного поводження при великих значеннях часу.

Крiм того, результати щодо опису побудови нелокальних рішень і алгоритм знаходження їх асимптотичної поведінки при великому часі можуть бути корисними при побудові інших класів рішень та отримання явних формул для їх асимптотики у відповідних областях.

Особистий внесок здобувача. Всi основнi результати роботи отриманi автором самостiйно.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiї доповідалися на семiнарах з математичної фiзики Є.Я. Хруслова, семінарах з математичної фізики Університету Париж 7 Дені Дідро, а також на міжнародних конференціях NEEDS 92 (Дубна, 1992), “Nonlinear Schrodinger Equation” (Черноголовка, 1994), Міжнародному математичному конгресі ICM 98 (Берлін, 1998) і міжнародній школі-семінарі “Solving of Nonlinear Evolution Equations” (Четраро, Італія, 1999).

Публікації. За матерiалами дисертацiї опубліковано дві тези ([1,2]) і три статті ([3]-[5]) у виданнях, що затверджені ВАК України.

Структура дисертацiї. Дисертацiю викладено на 120 сторiнках. Вона складається із вступу, трьох роздiлiв, та списку використаних джерел із 90 найменувань.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керiвнику В.П. Котлярову та професору Є.Я. Хруслову за постановку перших задач, ідею досліджень та постійну увагу до роботи.

Основний зміст

У першому та другому розділах дисертації вивчається асимптотична поведінка нелокалізованих розв'язків рівняння Кадомцева - Петвіашвілі (КП)

,

де u=u(x,y,t), у=1 для рівняння КП-2 та у=i для рівняння КП-1. В обох формах ці рівняння виникають при дослідженні багатьох нелінійних фізичних процесів (Кадомцев та Петвіашвіли, Вінтерніц та Деві, та інші). Для побудови розв'язків цих рівнянь в дисертації застосовується схема методу одягнення (Захаров, Шабат), відповідно до якої

(1)

де функція K(x,z,y,t) є розв'язком інтегрального рівняння Марченко

(2)

ядро якого задовольняє системі лінійних диференціальних рівнянь

(3)

1. У першому роздiлi дисертацiї розглядається рівняння КП-1 (s=і). Ядро F системи (3) вибирається у вигляді

(4)

де Y=y/t, W є множина у верхній напівплощі (p,q), а міра dm(p,q) сконцентрована на W.

Щоб збудувати клас нелокалізованих розв'язків рівняння КП-2 треба визначити W та dm(p,q). З цією метою вводяться в розгляд функції С(k) та g(k), що грають важливу роль у побудові розв'язків та подальшому вивченні їх асимптотик. Для цих функцій формулюються такі умови.

Умова А.1. Функція С(k)така, що

.

Умова В.1. Множина W має вигляд

де q=h(p) є обвідною сімейства гіпербол f(p,q,k)=C(k), кожна з яких дотикається кривої q=h(p) у точці

Умова С.1. Функція g(k) така, що міра dm(p,q), яка має вигляд з дійсною додатною функцією ,задовольняє нерівності

При цих умовах виконуються твердження наступних лем.

Лема 1.1.1. Оператор з ядром F(x,z,y,t) (4) є самоспряженим, компактним та додатним.

Лема 1.1.2. Рівняння КП-1 має дійсний гладкий розв'язок, що прямує до нуля при .

Запроваджується наступне означення областей, в яких досліджується розв'язок рівняння КП-1, що було побудовано в Лемі 1.1.2:

Означення. Області , які мають вигляд

де М - довільне додатне число, називаються областями переднього фронту розв'язка.

Наступна теорема описує асимптотичну поведінку цього розв'язку при великих значеннях часу.

Теорема 1.1.1. Нехай виконуються Умови А.1.-С.1. Тоді в областях при розв'язок рівняння КП-1 має вигляд

,(5)

,

Де

,

а додатні числа є детермінантами матриць порядку n з елементами

Асимптотичне зображення (5) є однорідним відносно x та y в для довільних

В пп. 1.3, 1.4 доводиться, що існують області, в яких ядро рівняння Марченко (2) зображується у вигляді суми виродженого ядра та ядра, що має малу операторну норму. Вироджене ядро вносить основний вклад у розв'язок рівняння (2). Подальший аналіз відповідних асимптотичних формул та застосування зображення (1) приводить до ствердження теореми.

В п. 1.5 розглядаються приклади реалізацій множини W та міри dm, що породжують зігнуті асимптотичні солітони, для яких . В п. 1.6 досліджується асимптотика розв'язку рівняння КП-1, для якого носій міри має кутові точки. В цьому випадку виникають як зігнуті, так і слабко зігнуті асимптотичні солітони з лініями постійної фази, що відхиляються від прямої на величину, пропорційну .

2. У другому розділі дисертації розглядається рівняння КП-2. У цьому випадку розв'язок системи (3) обирається у вигляді

де ,

На відміну від рівняння КП-1 питання про розв'язність цього рівняння залишається відкритим. У цьому розділі за допомогою схеми (1)-(3) будується розв'язок рівняння КП-2, що визначений в деякій частині простору R3, та досліджується його асимптотична поведінка в цій частині.

Теорема 2.2.1. В областях існує розв'язок рівняння КП-2, що при має вигляд

де , а являються додатними обмеженими функціями.

Лема 3.1.2. Рівняння РД-1 має дійсний гладкий розв'язок, що прямує до нуля при .

Запроваджується наступне означення областей, в яких досліджується розв'язок рівняння КП-1, що було побудовано в Лемі 1.1.2:

Означення. Області , які мають вигляд

де М - довільне додатне число, називаються областями переднього фронту рішення.

Наступна теорема описує асимптотичну поведінку цього розв'язку при великих значеннях часу.

Теорема 3.2.1. Нехай виконуються Умови А.3-С.3. Тоді в областях при розв'язок рівняння РД-1 має вигляд

, (11)

,

Де

,

а додатні числа є детермінантами матриць порядку n з елементами

Асимптотичне зображення (11) є однорідним по x та y в для довільних

Ствердження теореми доводиться в пп. 3.3, 3.4. В п. 3.5 розглядані приклади зігнутих асимптотичних солітонів РД1.

Висновки

В дисертації досліджено асимптотичну поведінку при великих значеннях часу нелокалізованих розв'язків рівнянь типу Кадомцева-Петвіашвілі (КП1, КП2 та рівняння Джонсона 1). Такі розв'язки нелінійних еволюційних рівнянь є об'єктом пильної уваги у зв'язку з їх частим виникненням при вивченні багатьох фізичних процесів. До найбільш важливих результатів дисертаційної роботи відносяться такі:

1. Для рівнянь КП1, КП2 та РД1 доведено існування розв'язків, що спадають при , але не спадають при (нелокалізованих розв'язків). Вони являються нескінченно гладкими та обмеженими при любих фіксованих x,y,t. У випадку рівнянь КП1 та РД1 ці розв'язки існують в усьому просторі , а у випадку рівняння КП2 лише в деякій його частині.

2. Побудовано схему інтегрування рівняння Джонсона методом зворотної задачі розсіяння, що є аналогом відомої схеми метода одягнення для рівняння КП та дозволяє знаходити розв'язки різних класів цього рівняння.

3. Знайдено необхідні умови, при яких нелокалізовані розв'язки рівнянь типу КП розпадаються в околі переднього фронту при великих значеннях часу в послідовність солітонів. Означені функції, в термінах яких описуються процес побудови розв'язків, області дослідження їх асимптотичної поведінки (окіл переднього фронту розв'язка) та їх явні асимптотичні формули.

4. Розроблено метод дослідження асимптотичної поведінки нелокалізованих розв'язків рівнянь типу КП при великих значеннях часу. Доведено, що в околі переднього фронту ці розв'язки розпадаються в нескінченну послідовність солітонів, які задовольняють рівнянню з похибкою, що спадає зі зростанням часу. Вони є новим об'єктом в теорії нелінійних еволюційних рівнянь і були означені як зігнуті асимптотичні солітони. Кожен з цих солітонів має зігнуту лінію постійної фази, змінні амплітуду, ширину та зсув фази. Сусідні солітони розбігаються з плином часу. Розглянуто приклади нелокалізованих розв'язків рівнянь типу КП, що породжують зігнуті асимптотичні солітони різних форм.

Публікації здобувача за темою дисертації

1. Anders I., Khruslov E.Ya. and Kotlyarov V.P. Curved asymptotic solitons of the Kadomtsev-Petviashvili equation. Proc. of the 8th International Workshop (NEEDS 92), Ed. by V.G.Makhankov, World Scientific (1993) pp. 77-87.

2. Anders I.. Long-time asymptotic behaviour of non-decaying solutions of KP-type equations. Proceedings of the ICM 98, Springer, Germany, 1998.

3. Anders I., Khruslov E.Ya. and Kotlyarov V.P.. Curved asymptotic solitons of the Kadomtsev. Petviashvili equation. Theor. Math. Phys, 99, 1. (1994). pp. 27-35.

4. Андерс И.. Изогнутые асимптотические солитоны уравнения Кадомцева - Петвиашвили. 1. Математическая физика, анализ, геометрия, т.1, 2 (1994) 175--185.

5. Anders I. and Boutet de Monvel A. Asymptotic solitons of the Johnson equation. J. of Nonlinear Math. Phys. 7 (2000), N 3, 284-302.

Анотація

Андерс І.О. Асимптотична поведінка нелокалізованих рішень рівнянь типу Кадомцева-Петвіашвілі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 - математична фізика. - Фізико-технічний інститут низьких температур НАН Украіни, Харків, 2001.

Дисертація присвячена дослідженню асимптотичного поводження при великих значеннях часу нелокалізованих розв'язків рівнянь типу Кадомцева-Петвіашвілі (КП) - КП1, КП2 та рівняння Джонсона 1 (РД1). Для цих рівнянь доведено існування розв'язків, що спадають при , але не спадають при (нелокалїзованих розв'язків). Вони являються нескінченно гладкими та обмеженими при любих фіксованих x,y,t. У випадку рівнянь КП1 та РД1 ці розв'язки існують в усьому просторі , а у випадку рівняння КП2 лише в деякій його частині. Збудована схема інтегрування рівняння Джонсона методом зворотної задачі розсіяння. Знайдено необхідні умови, при яких нелокалізовані розв'язки рівнянь типу КП розпадаються в околі переднього фронту при великих значеннях часу в послідовність солітонів. Розроблено метод дослідження асимптотичної поведінки нелокалізованих розв'язків рівнянь типу КП при великих значеннях часу. Доведено, що в околі переднього фронту ці розв'язки розпадаються в нескінченну послідовність солітонів, які мають зігнуті лінії постійної фази, змінні амплітуду, ширину та зсуви фаз - зігнуті асимптотичні солітони.

Ключові слова - рівняння Кадомцева-Петвіашвілі, нелокалізовані розв'язки, асимптотичнe поводження, зігнуті асимптотичні солітони.

Аннотация

Андерс И.А. Асимптотическое поведение нелокализованных решений уравнений типа Кадомцева-Петвиашвили. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. - Физико-технический институт низких температур НАН Украины, Харьков, 2001.

Диссертация посвящена исследованию асимптотического поведения при больших значениях времени нелокализованных решений уравнений типа Кадомцева-Петвиашвили (КП) - КП1, КП2 и уравнения Джонсона 1 (РД1). Для этих уравнений доказано существование решений, которые стремятся к нулю при , но не убывают при (нелокализованных решений). Они являются бесконечно гладкими и ограниченными для любых фиксированных x,y,t. В случае уравнений КП1 и РД1 эти решения существуют в всем пространстве , а в случае уравнения КП2 только в некоторой его части. Построена схема интегрирования уравнения Джонсона методом обратной задачи. Найдены необходимые условия, при которых нелокализованные решения уравнений типа КП распадаются в окрестности переднего фронта при больших значениях времени в последовательность солитонов. Разработан метод исследования асимптотического поведения нелокализованных решений уравнений типа КП при больших значениях времени. Доказано, что в окрестности переднего фронта эти решения распадаются в бесконечную последовательность солитонов, которые имеют изогнутые линии постоянной фазы, переменные амплитуду, ширину и сдвиги фаз - изогнутые асимптотические солитоны.

Ключевые слова - уравнение Кадомцева - Петвиашвили, нелокализованные решения, асимптотическое поведение, изогнутые асимптотические солитоны.

Annotation

Anders I.A. Asymptotics of non-lokalized solutions of equations of Kadomtsev-Petviashvili type. - Manuscript.

Thesis for a candidat's degree by speciality 01.01.03 - mathematical physics. - Institute for Low Temperature Physics and Engineering National Academy of Sciences, Kharkiv, 2001.

The thesis is devoted to the investigations of long time asymptotic behaviour of the non-localized solutions of the Kadomtsev - Petviashvili (KP) type equations - KP1, KP2 and Johnson equation 1 (JE1). These equations arise in many physical applications (wave propagation, plasma physics, etc). Using dressing methid of Zakharov and Shabat, it is proved that there exist the solutions of these equations which vanish as , but don't vanish as (non-localized solutions). They are infinitely smooth and bounded for all fixed x,y,t. The non-localized solutions exist in the whole space in the case of KP1 equation and JE1, but they are defined in some part of in the case of KP2 equation. The scheme of integration of the JE1 by the inverse scattering transform method is constructed. It is an analog of the scheme of the dressing method for the integration of the KP equation. This scheme allows to find the JE1 solutions of the different classes in both of closed and non-closed forms. The necessary conditions of the phenomenon of the splitting of non-localized solutions of the KP - type equations into infinite sequence of solitons in the neighbourhood of the leading edge for large time are formulated. The functions which play principal role in the solution construction, description of the domains of the leading edge of the solutions, and define explicit asymptotic formulae of solutions, are determined. The method of investigation of long time asymptotics of the non-localized solutions of the KP - type equations is developed. It based on the fact that there are domains, in which the kernel of the Marchenko integral equation is represented as a sum of the degenerate kernel and a kernel with small operator norm, vanishing as . The degenerate kernel brings a main contribution into the solution of the Marchenko equation. The analysis of the corresponding determinant formulae shows that the non-localized solutions of the KP - type equations split in the neighbourhood of the leading edge into infinite sequence of solitons which have curved lines of constant phase, varying amplitude, width and shifts of phase - curved asymptotic solitons. Various examples of curved asymptotic solitons of the KP - type equations are presented.

Key words - Kadomtsev - Petviashvili equation, non-localized solutions, asymptotic behaviour, curved asymptotic solitons.

Размещено на Allbest.ru