Комплекснозначні випадкові величини типу Джессена-Вінтнера

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

IНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.21

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

КОМПЛЕКСНОЗНАЧНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ ТИПУ ДЖЕССЕНА-ВІНТНЕРА

01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика

ШКОЛЬНИЙ ОЛЕКСАНДР ВОЛОДИМИРОВИЧ

Київ - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник:

Турбін Анатолій Федорович, доктор фізико-математичних наук, професор, Інститут математики НАН України, завідувач лабораторії прикладної статистики і інформаційних технологій.

Офіційні опоненти:

Козаченко Юрій Васильович, доктор фізико-математичних наук, професор, Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, завідувач кафедри теорії ймовірностей і математичної статистики;

Виннишин Ярослав Федорович, кандидат фізико-математичних наук, Інститут математики НАН України, старший науковий співробітник відділу теорії випадкових процесів.

Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк.

Захист відбудеться "26" грудня 2000 року о 16 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою: 01601, МСП, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту математики НАН України (01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3).

Автореферат розісланий "24" листопада 2000 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Г.П. Пелюх.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На сьогоднішній день дослідження сингулярних розподілів ймовірностей вже не є чимось екзотичним, хоча, безумовно, довершена теорія сингулярних розподілів ще не сформована і знаходиться на етапі становлення. Але ще декілька років тому вважалося, що такі розподіли "не поддаются аналитическому изучению и явное их представление практически невозможно" (W. Feller), "цікаві з теоретичної точки зору, але навряд чи зустрічаються в практичній діяльності" (Е. Лукач).

Однак, серія робіт українських математиків М.В. Працьовитого, Я.Ф. Винишина та В.А. Мороки, Г.М. Торбіна, О.Л. Лещинського та інших переконливо доводить помилковість таких суджень. Цими авторами розроблено методику дослідження сингулярних розподілів ймовірностей, чільне місце в якій займає так званий фрактальний підхід. Поняття фрактала було вперше введено Б. Мандельбротом (B. Mandelbrot), остання відома автору публікація, що присвячена означенню фрактала, міститься в монографії М.В. Працьовитого "Фрактальний підхід у дослідженнях сингулярних розподілів" (Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова, 1998. - 296 с.).

Суть фрактального підходу до вивчення сингулярних розподілів ймовірностей полягає у встановленні взаємозв'язку між властивостями безпосередньо самих випадкових величин та фрактальними властивостями їх спектрів та носіїв. (Під пектром розподілу випадкової величини з функцією розподілу (ф.р.) розуміють множину:

,

а під носієм розподілу - множину:

.

На цьому шляху досягнуто певних успіхів. Зокрема, проведено класифікацію сингулярних розподілів у залежності від властивостей їх спектрів.

Слід відмітити, однак, що всі згадані дослідження проводилися лише для дійснозначних випадкових величин, тобто таких випадкових величин, спектри та носії яких є певними підмножинами простору R дійсних чисел. Цілком природним є бажання застосувати фрактальний підхід до вивчення сингулярних розподілів у просторі R² та ізоморфному йому просторі C (комплексних чисел). комплекснозначний випадковий вектор розподіл

Зазначимо також, що в працях багатьох математиків вивчались фрактальні властивості класів плоских множин, де задача обчислення міри Хаусдорфа та розмірності Хаусдорфа-Безиковича таких множин була самостійною і часто досить непростою.

Випадковою величиною типу Джессена-Вінтнера називають (М.В. Працьовитий, Г.М. Торбін) випадкову величину, яка є сумою збіжного майже напевно ряду:

, (1)

де - незалежні, дискретно розподілені випадкові величини. Теорема Джессена-Вінтнера (B. Jessen, A. Wintner, 1938 р.) стверджує, що розподіл є чистим: чисто дискретним, чисто сингулярним або чисто абсолютно неперервним.

Поглибленням цієї теореми називають задачу відшукання умов належності розподілу до кожного з чистих типів. Відомий критерій дискретності розподілу випадкової величини , що є наслідком теореми Джессена-Вінтнера і теореми П. Леві: випадкова величина має дискретний розподіл тоді і тільки тоді, коли збігається нескінченний добуток , де - максимальний стрибок функції розподілу випадкової величини .

Значно складнішою і на сьогодні до кінця нерозв"язаною в загальній постановці є задача про розділення випадків сингулярності та абсолютної неперервності. Тому ця задача розв"язувалась для певних класів випадкових величин, зокрема для випадкових величин, представлених у вигляді:

,

де - незалежні, дискретно розподілені випадкові величини, а a_k - члени збіжного знакододатного ряду (до цього ж класу відносяться і нескінченні симетричні згортки Бернуллі, які розглядались, зокрема, в роботах А. Вінтнера (A. Wintner) та Б. Солом"яка (B. Solomyak)) і в багатьох з цих класів дана задача була повністю розв'язана.

Дехто з дослідників для розв'язання задачі поглиблення теореми Джессена-Вінтнера використав випадкові величини спеціального виду, пов'язані з оригінальним способом представлення дійсних чисел, який є певним узагальненням n-адичних дробів. Мова йде про поліосновні Q-, Q*- та tilde Q-представлення дійсних чисел. Вперше ці представлення ввів у розгляд М.В. Працьовитий. Теорія таких представлень пізніше була розвинута ним же та його учнями.

Розгляд згаданих випадкових величин спеціального виду дозволив суттєво спростити розв'язання задачі про поглиблення теореми Джессена-Вінтнера в деяких класах випадкових величин та відкрив нові горизонти для подальших досліджень у руслі фрактального підходу до вивчення сингулярних розподілів.

Комплекснозначною випадковою величиною типу Джессена-Вінтнера назвемо комплекснозначну випадкову величину, яка є сумою збіжного майже напевно ряду (1), де - дискретно розподілені комплекснозначні випадкові величини. Такі випадкові величини є узагальненням дійснозначних випадкових величин типу Джессена-Вінтнера. Тому задачі про структуру розподілу (вміст дискретної, сингулярної та абсолютно неперервної компонент) таких випадкових величин і їх властивості, зокрема фрактальні, є актуальними і в загальній постановці складними. Їм і присвячена дана робота. В ній запропоновано узагальнення поліосновних Q-, Q*- та tilde Q-представлень на двовимірний випадок і з їх допомогою розв'язано ряд задач стосовно узагальнення та поглиблення теореми Джессена-Вінтнера, вивчення фрактальних властивостей розподілів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження дисертації відповідають планам дослідження з фракталів в теоріях чисел, функцій, розподілів ймовірностей, які здійснюються на кафедрі вищої математики НПУ імені М.П. Драгоманова.

Мета і задачі дослідження.

Введення в розгляд комплекснозначних випадкових величин типу Джессена-Вінтнера та доведення для них теореми про чистоту розподілу (комплекснозначного аналога теореми Джессена-Вінтнера).

Знаходження необхідних і достатніх умов дискретності комплекснозначних випадкових величин типу Джессена-Вінтнера, які належать певним класам.

Введення в розгляд випадкових векторів, заданих системами подрібнюючих розбиттів площини. Обґрунтування доцільності такого введення. Доведення чистоти розподілу таких випадкових векторів.

Повне поглиблення теореми про чистоту розподілу в класі випадкових векторів, заданих системами подрібнюючих розбиттів площини.

Знаходження умов належності до кожного з чистих типів комплекснозначних випадкових величин виду:

= a_k ,

де a_k - члени абсолютно збіжного ряду, - незалежні дискретні комплекснозначні випадкові величини.

Доведення критеріїв належності до кожного з чистих типів комплекснозначних випадкових величин з незалежними уявно-t-адичними цифрами.

Вивчення метричних, топологічних та фрактальних властивостей спектрів згаданих комплекснозначних випадкових величин та випадкових векторів, а також комплекснозначної випадкової величини, цифри уявно-t-адичного представлення якої утворюють однорідний ланцюг Маркова.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, що визначають наукову новизну і виносяться на захист, є такі:

Введено в розгляд комплекснозначних випадкових величин типу Джессена-Вінтнера та доведено теорему про чистоту розподілу таких комплекснозначних випадкових величин.

Знайдено критерій дискретності комплекснозначних випадкових величин типу Джессена-Вінтнера, які мають N-властивість.

Введено в розгляд випадкові вектори, задані системами подрібнюючих розбиттів площини. Обґрунтовано доцільність такого введення. Доведено чистоту розподілу таких випадкових векторів. Повністю поглиблено теорему про чистоту розподілу в класі випадкових векторів, заданих системами подрібнюючих розбиттів площини (знайдено критерії дискретності, абсолютної неперервності та сингулярності).

Запропоновано метод дослідження комплекснозначних випадкових величин типу Джессена-Вінтнера з допомогою випадкових векторів, заданих системами подрібнюючих розбиттів площини. З використанням цього методу знайдено умови належності до кожного з чистих типів комплекснозначних випадкових величин виду:

= a_k ,

де a_k - члени абсолютно збіжного ряду, - незалежні дискретні комплекснозначні випадкові величини, а також критерії належності до кожного з чистих типів комплекснозначних випадкових величин з незалежними уявно-t-адичнимицифрами.

Досліджено метричні, топологічні та фрактальні властивості спектрів згаданих комплекснозначних випадкових величин та випадкових векторів.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану досліджень та постановка задач належить одному з наукових керівників та співавтору наукових праць - М.В. Працьовитому. Всі результати, які виносяться на захист, належать автору.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичне спрямування. Результати, викладені в дисертаційній роботі, можуть бути використані для:

дослідження класів комплекснозначних випадкових величин типу Джессена-Вінтнера з допомогою випадкових векторів, заданих системами подрібнюючих розбиттів площини;

простого формального задання множин та розподілів зі складною локальною будовою;

обчислення розмірності Хаусдорфа-Безиковича спектрів сингулярних розподілів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на:

П'ятій Міжнародній Науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 16-18 травня 1996 р.);

Шостій Міжнародній Науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 15-17 травня 1997 р.);

Сьомій Міжнародній Науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 14-16 травня 1998 р.);

Восьмій Міжнародній Науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 11-14 травня 2000 р.);

Міжнародній Науковій конференції пам'яті Г. Вороного (Київ, 7-14 вересня 1998 р.);

Третій Українсько-Скандинавській Міжнародній науковій конференції з теорії ймовірностей та математичної статистики (Київ, 8-12 червня 1999р.)

профільному семінарі відділу теорії ймовірностей та випадкових процесів (науковий керівник - докт. фіз.-мат. наук Портенко М.І.);

науковому семінарі з фрактального аналізу НПУ імені М.П. Драгоманова (керівник: докт. фіз.-мат. наук Працьовитий М.В.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 13 друкованих працях. Серед них 6 статей та 7 тез доповідей на конференціях.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, що об'єднують 8 підрозділів, висновків та списку використаних джерел з 88 найменувань. Обсяг дисертації 115 сторінок машинописного тексту.

OСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі висвітлена актуальність теми, показаний зв"язок роботи з науковою тематикою, що розробляється в НПУ імені М.П. Драгоманова, сформульовано мету та задачі дослідження, подано коротку анотацію результатів дисертації. Крім того, відображено практичне значення результатів дисертації та апробацію основних її положень.

Розділ 1 присвячений доведенню теорем загального характеру для комлекснозначних випадкових величин типу Джессена-Вінтнера. До таких відносяться: теорема про чистоту розподілу, теореми про будову спектра, критерій дискретності розподілу названих комплекснозначних випадкових величин.

У підрозділі 1.1 вводиться поняття комплекснозначної випадкової величини типу Джессена-Вінтнера та доводиться теорема про чистоту її розподілу.

Розподіл комплекснозначної випадкової величини xi називають дискретним, якщо відповідна комплекснозначній випадковій величині xi ймовірнісна міра P(cdot) = P_xi(cdot) зосереджена на не більш ніж зчисленній множині; неперервним, якщо P(cdot) визначена і рівна нулю на кожній одноточковій множині, зокрема він називається сингулярним, якщо існує борелівська множина A така, що lambda(A)=0 i P(xi in A)=1, де lambda(cdot) - міра Лебега в R^2; абсолютно неперервним, якщо для кожної борелівської множини A такої, що lambda(A)=0, P(xi in A)=0.

Теорема 1.1.1 (про чистоту розподілу). Комплекснозначна випадкова величина xi типу Джессена-Вінтнера має чистий розподіл: або чисто дискретний, або чисто сингулярний, або чисто абсолютно неперервний.

У підрозділі 1.2 вивчена будова спектра комплекснозначних випадкових величин типу Джессена-Вінтнера з абсолютною матрицею значень. Під матрицею значень розумітимемо наступний об'єкт.

Нехай комплекснозначні випадкові величини xi_k набувають значень з не більш ніж зчисленних множин E_k = z_1k, z_2k,..., z_jk,...} комплексних чисел, тобто z_jkin C з ймовірностями p_1k, p_2k,..., p_jk,... відповідно; p_jk geq 0, sum_k=1^inftyp_jk=1. Надалі будемо користуватися "матрицею" Z = ||z_jk|| значень комплекснозначних випадкових величин xi_k та "матрицею" P = ||p_jk|| відповідних цим значенням ймoвірностей. Ці матриці однозначно визначають розподіл комплекснозначної випадкової величини xi.

Матрицю значень Z комплекснозначної випадкової величини xi назвемо абсолютною, якщо будь-який ряд вигляду z=sum_k=1^infty z_j_kk збігається абсолютно.

Теорема 1.2.1. Для комплекснозначної випадкової величини типу Джессена-Вінтнера з абсолютною матрицею значень Z спектром розподілу є множина:

S_xi = {z: z = sum_k=1^infty z_j_kk: p_j_kk>0}.

В цьому ж підрозділі поширено запропоновану М.В. Працьовитим класифікацію сингулярних розподілів випадкових величин в залежності від властивостей їх спектра на комплекснозначний випадок.

Означення 1.2.5. Сингулярно розподілену комплекснозначну випадкову величину називають

випадковою величиною канторівського типу (C-типу), якщо її спектр маєнульову міру Лебега;

випадковою величиною салемівського типу (S-типу), якщо її спектр є об'єднанням не більш ніж зчисленної множини замкнених областей;

випадковою величиною квазіканторівського типу (K-типу), якщо її спектр є ніде не щільною множиною додатної міри.

У підрозділі 1.3 доводиться критерій дискретності для комплекснозначних випадкових величин типу Джессена-Вінтнера, які мають N-властивість.

Означення 1.3.1 (N-властивості). Властивість матриці Z: для будь-якого комплексного числа z існує не більш ніж зчисленна множина послідовностей z_j_kk}, z_j_kk in E_k, таких, що z = sum_k=1^infty z_j_kk, називатимемо N-властивістю.

Теорема 1.3.1. Якщо матриця Z має N-властивість, то комплекснозначна випадкова величина xi матиме:

Чисто дискретний розподіл тоді і тільки тоді, коли M > 0.

Неперервний розподіл тоді і тільки тоді, коли M = 0, де M=prod_k=1^infty max_j p_jk}.

Розділ 2 присвячений питанню поглиблення теореми про чистоту для конкретних класів комплекснозначних випадкових величин типу Джессена-Вінтнера, істинність якої була встановлена в підрозділі 1.1.

У підрозділі 2.1 вводяться в розгляд випадкові вектори, задані системами подрібнюючих розбиттів на прямокутнику одиничної площі. Ці випадкові вектори є узагальненням на двовимірний випадок випадкових величин, заданих за допомогою полісновних Q-, Q^*- i tilde Q-представлень дійсних чисел.

Спочатку вводиться означення системи подрібнюючих розбиттів.

Нехай на площині задано прямокутник K одиничної площі. Нехай також tilde Q = ||q_j_k k||, j_k=overline0,n_k-1,n_k in N - "матриця", елементами якої є додатні дійсні числа, причому sum_j_k=0^n_k-1 q_j_k k=1, forall k.

Oзначення 2.1.1. Визначимо на K систему подрібнюючих розбиттів наступним чином. На першому кроці розіб'ємо K на замкнені прямокутники першого рангу Delta_j_1 так, щоб їх площі дорівнювали q_j_11, j_1 = overline0,n_1-1). Кожен з утворених прямокутників розіб'ємо на замкнені прямокутники другого рангу Delta_j_1 j_2 так, щоб їх площі дорівнювали добутку q_j_11q_j_22, j_2 = overline0,n_2-1. Процес продовжимо до нескінченності, наклавши умову, щоб діаметр прямокутників k-го рангу прямував до нуля при необмеженому зростанні k, тобто d(Delta_j_1... j_k) to 0(k to infty). (2.1.1)

Введення випадкових векторів, заданих системами подрібнюючих розбиттів на прямокутнику одиничної площі, здійснюється наступним чином.

Розглядається послідовність незалежних, дискретно розподілених випадкових величин xi_k, які набувають значень 0,1,...,n_k-1 з ймовірностями p_0k,p_1k,...,p_(n_k-1)k відповідно, де набір чисел n_1, n_2,..., n_k,... - з означення 2.1.1. Ймовірнісні простори, в яких визначені випадкові величини xi_k, позначаються через (Omega_k,mathcal F_k, P_k) і розглядається їх прямий добуток:

(Omega,mathcal F, P) = prod_k=1^infty (Omega_k,mathcal F_k, P_k)

в класичному розумінні, тобто:

Omega = prod_k=1^infty Omega_k;

mathcal F - мінімальна sigma-алгебра, що містить:

prod_k=1^infty mathcal F_k;

P - міра, що є продовженням міри:

prod_k=1^infty P_k,

з prod_k=1^infty mathcal F_k на mathcal F. Тоді Omega є простором нескінченних послідовностей, k-й член кожної з яких вибирається з множини E_k = 0,1,..., n_k,...}.

Вводиться в розгляд функція xi: Omega mapsto K (K - прямокутник одиничної площі з означення 2.1.1), задана наступним чином: xi: (j_1,j_2,...,j_k,...) mapsto Delta_j_1j_2... j_k..., j_k in E_k.

Доводиться вимірність цієї функції, тобто, фактично, встановлюється, що функція xi є випадковим вектором. Вводиться символічне позначення:

xi = Delta_xi_1...xi_k... (2.1.3)

Випадковий вектор (2.1.3), взагалі кажучи, не є комплекснозначною випадковою величиною типу Джессена-Вінтнера, а тому для нього потрібно окремо розглядати питання про структуру розподілу та будову спектра. Відповіді на ці питання містять наступні твердження.

Теорема 2.1.1. Спектром випадкового вектора xi є множина S_xi всіх тих точок z in K, для яких існує хоча б одне представлення їх у вигляді:

z =Delta_j_1(z)...j_k(z)..., де p_j_kk not= 0 (forall k).

Теорема 2.1.2. Розподіл випадкового вектора xi є чистим, тобто є або чисто дискретним, або чисто абсолютно неперервним, або чисто сингулярним.

Далі в цьому підрозділі повністю розв'язується задача поглиблення теореми про чистоту розподілу згаданих випадкових векторів, тобто знайдено критерії належності цього розподілу до кожного з чистих типів розподілу: дискретного, абсолютно неперервного та сингулярного.

Теорема 2.1.3. Нехай для випадкового вектора:

xi M= prod_k=1^infty max_j_k p_j_kk}.

Тоді розподіл випадкової величини xi буде:

дискретним arrow M>0;

неперервним arrow M=0 hfill (2.1.4).

Теорема 2.1.4. Нехай

N_k = j_k: p_j_kk >0},

s_k = sum_j_k in N_k q_j_kk,

q'_j_kk = fracq_j_kks_k,

а tau_k -- незалежні випадкові величини, що набувають значень ln fracp_j_kkq_j_kk, j_k in N_k, причому:

P tau_k = ln fracp_j_kkq_j_kk } = q'_j_kk.

Тоді для того, щоб випадковий вектор xi мав чисто абсолютно неперервний розподіл, необхідно і досить, щоб випадковий ряд:

sum_k=1^infty tau_k (2.1.5)

збігався з ймовірністю одиниця.

Наслідок. Для того щоб випадковий вектор xi мав чисто сингулярний розподіл необхідно і досить, щоб випадковий ряд (2.1.5) розбігався з ймовірністю одиниця.

Теореми 2.1.5-2.1.7 є критеріями належності чисто сингулярно розподіленого випадкового вектора xi до кожного з типів сингулярного розподілу: канторівського, салемівського та квазіканторівського (означення 1.2.5).

У підрозділі 2.2 розв'язується задача поглиблення теореми про чистоту для комплекснозначних випадкових величин виду:

xi = sum_k=1^infty a_kxi_k, (2.2.1)

де xi_k - незалежні дискретно розподілені комплекснозначні випадкові величину, що набувають значень з не більш ніж зчисленної обмеженої множини E = varepsilon_0,varepsilon_1,...} комплексних чисел, тобто varepsilon_j in C, |varepsilon_j| < a <infty з ймовірностями p_0k,p_1k,...,p_jk,... відповідно; p_jk geq 0,

sum_k=1^inftyp_ik=1;

a_k in C; k=1,2,....

Оскільки пара (E,a_k}) однозначно визначає матрицю значень Z для розглядуваної комплекснозначної випадкової величини, то природно в означенні N-властивості матриці Z цю матрицю ототожнювати з парою (E,a_k}) і говорити, що саме ця пара має N-властивість.

Теорема 2.2.1. Якщо пара (E,a_k}) має N-властивість, то випадкова величина xi матиме:

Чисто дискретний розподіл тоді і тільки тоді, коли:

M = prod_k=1^infty max_j p_jk} > 0.

Неперервний розподіл тоді і тільки тоді, коли M = 0.

Теорема 2.2.2. Для того щоб комплекснозначна випадкова величина xi мала чисто сингулярний розподіл досить, щоб одночасно виконувались умови:

M = 0;

E має n елементів і пара (E,a_k}) має N-властивість;

lim_m to infty n^m (sum_k=m+1^infty |a_k|)^2 = 0.

В прикладах 2.2.1 та 2.2.2 для конкретних значень a_k та конкретної множини наведено більш прості за формою умови канторовості розподілу названої комплекснозначної випадкової величини.

Окремо розглянуто фрактальні властивості спектра розподілу комплекснозначної випадкової величини xi для випадку, коли E - множина комплексних коренів степеня n з одиниці, а a_k=t^-k(k=1,2,...),2 leq t in R.

Особливої уваги заслуговує випадок a_k=2^-ki n=3. Спектр S цієї комплекснозначної випадкової величини є не чим іншим, як так званим "трикутним килимом Серпінського". Іншими словами, враховуючи теорему про будову спектра xi, трикутний килим Серпінського можна визначити як множину точок комплексної площини, які можна представити у вигляді суми ряду:

z = sum_k=1^infty fracvarepsilon_j_k(z)2^k,

varepsilon_j in exp(frac2pi k i3),

k = overline0,2 }.

У підрозділі 2.3 основним об'єктом досліджень є комплекснозначна випадкова величина:

eta=sum_k=1^infty(it)^-keta_k, (2.3.1)

де 2 leq t in N,eta_k - незалежні, дискретно розподілені дійснозначні випадкові величини, що набувають значень з множини T=0,1,...,t^2-1 }, причому:

Peta_k=j}=p_jk;

p_jk geq 0

sum_j=1^ t^2-1 p_jk =1 (forall k).

Ця випадкова величина пов'язана зі способом запису комплексних чисел в системі числення з основою, що містить уявну одиницю: уявно-t-адичною системою числення, основою якої є число it. Тому комплекснозначну випадкову величину eta будемо називати комплекснозначною випадковою величиною з незалежними уявно-t-адичними цифрами.

Лема 2.3.3. Комплекснозначну випадкову величину eta можна розглядати як частковий випадок випадкового вектора xi, вважаючи, що кожні чотири уявно-t-адичні цифри відповідають одній цифрі представлення (2.1.2), причому n_k=t^8, q_j_k k=t^-8 (forall j_k, forall k), а зв'язок між матрицями || p_j_k k|| та || rho_j_k k|| визначається, зокрема, наступним чином:

rho_gamma k = p_s_1'(4k)p_s_2'(4k-2)p_s_1''(4k-1)p_s_2''(4k-3), (2.3.5a)

gamma = s'' t^4 + s', (2.3.5b)

s'= s_1'-t^2s_2'+t^2(t^2-1), s''= s_1''-t^2s_2''+t^2(t^2-1). (2.3.5c)

Теорема 2.3.2. Комплекснозначна випадкова величина eta має чистий тип розподілу, причому цей розподіл є:

чисто дискретним тоді тільки тоді, коли:

prod_k=1^infty max_j_k p_j_kk} > 0;

чисто абсолютно неперервним тоді і тільки тоді, коли збігається ряд:

sum_k=1^infty sum_gamma = 0^t^8-1 (1 - t^8 rho_gamma k)^2, (2.3.7)

де rho_gamma k визначаються рівностями (2.3.5);

чисто сингулярним тоді і тільки тоді, коли ряд (2.3.7) розбігається.

Якщо розподіл eta - сингулярний, то відповідь на питання про його тип (канторівський, салемівський чи квазіканторівський) дає наступна теорема.

Теорема 2.3.3. Нехай для сингулярно розподіленої комплекснозначної випадкової величини:

eta T_k^*= j in T:p_jk not= 0 } (forall k)

та |T_k^*| =c_k.

Тоді ця комплекснозначна випадкова величина має:

em сингулярний розподіл канторівського типу тоді і тільки тоді, коли існує послідовність натуральних чисел k_m}, для яких c_k_m < t^2;

сингулярний розподіл салемівського типу тоді і тільки тоді, коли існує таке натуральне k_0, що для k > k_0 c_k = t^2, причому в цьому випадку спектр розподілу комплекснозначної випадкової величини eta можна подати у вигляді:

S_eta = bigcup_(j_1,...,j_k^*) Delta_j_1... j_k^*', (2.3.8)

де об'єднання проводиться за всеможливими наборами (j_1,...,j_k^*), щоб:

p_j_kk not= 0 (forall k in 1,...,k^*}); k^* = 4({frack_04} + 1);

Delta_j_1... j_k^*' - прямокутники подрібнюючого розбиття, які визначаються наборами (j_1,...,j_k^*) за способом, описаним в лемі 2.3.3.

Теорема 2.3.4. Нехай для комплекснозначної випадкової величини eta, яка має сингулярний розподіл канторівського типу,

T_k^*= j in T:p_jk not= 0 } = T^* (forall k),

|T_k^*| = |T^*| = c < t^2.

Тоді спектр розподілу S_eta цієї комплекснозначної випадкової величини є абсолютно самоподібною множиною, розмірність Хаусдорфа-Безиковича якої рівна:

alpha_0(S_eta) = log_tc. (2.3.11)

Розділ 3 присвячений дослідженням розподілів комплекснозначних випадкових величин, які не є комплекснозначними випадковими величинами типу Джессена-Вінтнера, але є їх природними узагальненнями або певним чином з ними пов'язані.

У підрозілі 3.1 вивчається структура розподілу та фрактальні властивості спектра комплекснозначної випадкової величини, представленої у вигляді нескінченного добутку:

tau =prod_k=1^infty eta_k (cosxi_k + isinxi_k), (3.1.1)

де xi_k,eta_k - незалежні, дискретно розподілені випадкові величини, що набувають значень з множин:

A_k = alpha_jk:alpha_jk in (-pi;pi} } та

B_k=beta_tk: beta_tk in (0; +infty) }

відповідно, причому:

Pxi = alpha_jk}=p_jk,Peta_k=beta_tk}=rho_tk,k=overline1, infty.

Позначимо:

tau_k = eta_k (cosxi_k + isinxi_k)

і вважатимемо, що нескінченний добуток:

prod_k=1^infty tau_k

поточково збігається до комплекснозначної випадкової величини tau. Зрозуміло, що tau_k - незалежні, дискретно розподілені комплекснозначні випадкові величини, що набувають значень з множин:

E_k = varepsilon_jtk=beta_tk (cos alpha_jk + isinalpha_jk), forall alpha_jk in A_k, forall beta_tk in B_k },

Ptau_k= varepsilon_jtk}= p_jkrho_tk.

Властивості tau вивчаються за допомогою випадкових величин:

xi=sum_k=1^infty xi_k та eta = sum_k=1^infty lneta_k,

де під ln eta_k розумітимемо випадкову величину, що набувають значень з множин:

ln B_k = ln beta_tk, forall beta_tk in B_k },

Plneta_k=lnbeta_tk}=rho_tk. Тоді tau = exp (eta) (cos xi + i sin xi).

Зауважимо, що випадкові величини xi та eta є випадковими величинами типу Джессена-Вінтнера.

Означення 3.1.1. Круговим (полярним) добутком двох множин A subseteq (-pi;pi} та B subseteq {0;+infty) називатимемо множину K subseteq C,

K:= A otimes B = k=b(cos a + i sin a), forall a in A, forall b in B }.

Аналогічно можна ввести означення кругового добутку для K subseteq R^2.

Теорема 3.1.1. Нехай S_tau,S_xi,S_eta - спектри випадкових величин tau,xi,eta відповідно та:

exp S_eta = e^x, forall x in S_eta}.

S_tau = S_xi otimes exp S_eta. (3.1.6)

Теорема 3.1.2. Нехай для комплекснозначної випадкової величини:

tau G= prod_k=1^infty max_j,t p_jkrho_tk }.

Тоді для того, щоб комплекснозначна випадкова величина tau була

дискретною arrow G>0,

неперервною arrow G=0.

У підрозділі 3.2 розглядається комплекснозначна випадкова величина omega = sum_k=1^infty fracomega_k(it)^k, (3.2.1) де випадкові величини omega_k, набуваючи значень 0,1,...,t^2-1 (2leq t in N), утворюють однорідний ланцюг Маркова з початковими ймовірностями p_0,p_1,...,p_t^2-1 та матрицею перехідних ймовірностей ||p_js||, j,s = overline0,t^2-1. Особливу увагу при цьому буде звернуто на будову та властивості спектра розподілу omega.

Теорема 3.2.1. Спектром S_omega комплекснозначної випадкової величини omega є множина A тих точок z in C, для яких існує їх представлення у вигляді:

z = sum_k=1^infty fracj_k(z) (it)^k (3.2.2)

p_j_kj_k+1>0 (forall k).

Теорема 3.2.2. Спектр розподілу комплекснозначної випадкової величини матиме нульову міру Лебега тоді і тільки тоді, коли матриця перехідних ймовірностей містить принаймні один нуль.

Наслідок 1. Необхідною умовою фрактальності спектра S_omega комплекснозначної випадкової величини omega є наявність принаймні одного нуля в матриці перехідних ймовірностей.

В теоремах 3.2.3 і 3.2.4 обчислено розмірність Хаусдорфа-Безиковича спектра розподілу комплекснозначної випадкової величини omega для випадку, коли матриця перехідних ймовірностей містить рівно один нуль.

Теорема 3.2.5 Для того, щоб розподіл комплекснозначної випадкової величини omega мав атоми необхідно і досить, щоб існував набір індексів (j_1,j_2,...,j_m) такий, що:

p_j_mj_1 prod_s=1^m-1 p_j_sj_s+1 = 1. (3.2.14)

Наслідок 1. Для того, щоб розподіл комплекснозначної випадкової величини omega був неперервний, досить, щоб для кожного набору індексів:

(j_1,j_2,...,j_m) p_j_mj_1 prod_s=1^m-1 p_j_sj_s+1 < 1. (3.2.15)

Наслідок 2. Розподіл комплекснозначної випадкової величини omega є сингулярним розподілом канторівського типу тоді і тільки тоді, коли має місце (3.2.15) і матриця перехідних ймовірностей має принаймні один нуль.

У висновках викладені найбільш важливі наукові результати дисертації та сформульовані рекомендації щодо використання здобутих результатів.

ВИСНОВКИ

Введено в розгляд комплекснозначні випадкові величини типу Джессена-Вінтнера та доведено теорему про чистоту розподілу таких комплекснозначних випадкових величин.

Доведено критерій дискретності комплекснозначних випадкових величин типу Джессена-Вінтнера, які мають N-властивість.

Введенно в розгляд випадкові вектори, задані системами подрібнюючих розбиттів площини. Обґрунтовано доцільність такого введення. Доведено чистоту розподілу таких випадкових векторів.

Повністю поглиблено теорему про чистоту розподілу в класі випадкових векторів, заданих системами подрібнюючих розбиттів площини (знайдено критерії дискретності, абсолютної неперервності та сингулярності).

Запропоновано метод дослідження комплекснозначних випадкових величин типу Джессена-Вінтнера з допомогою випадкових векторів, заданих системами подрібнюючих розбиттів площини. З використанням цього методу знайдено умови належності до кожного з чистих типів комплекснозначних випадкових величин виду:

= a_k ,

де a_k - члени абсолютно збіжного ряду, - незалежні дискретні комплекснозначні випадкові величини, а також критерії належності до кожного з чистих типів комплекснозначних випадкових величин з незалежними уявно-t-адичними цифрами.

Досліджено метричні, топологічні та фрактальні властивості спектрів згаданих комплекснозначних випадкових величин та випадкових векторів.

Вивчено фрактальні властивості комплекснозначних випадкових величин з уявно-t-адичними цифрами, які утворюють однорідний ланцюг Маркова.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО В НАСТУПНИХ РОБОТАХ

1. Школьний О.В., Працьовитий М.В. Один клас сингулярних комплекснозначних випадкових величин типу Джессена-Вінтнера // Укр. мат. журн., 1997.- 49, №12.- С. 1653-1660.

2. Школьний О.В. Випадковi величини, задані розподілами своїх цифр в системі числення з комплексною основою // Укр. мат. журн., 1998.- 50, № 12.- С. 1715-1720.

3. Школьний О.В. Комплекснозначні випадкові величини типу Джессена-Вінтнера, компоненти яких представлені в тригонометричній формі // Фрактальний аналіз та суміжні питання.- Київ: ІМ НАН України-НПУ ім. М.П. Драгоманова.-1998.- №1.- С. 67-72.

4. Школьний О.В. Випадкові вектори, задані системами подрібнюючих розбиттів на площині // Фрактальний аналіз та суміжні питання.- Київ: ІМ НАН України - НПУ імені М.П. Драгоманова.- 1998.- № 2.- С. 129-141.

5. Школьний О.В. Фрактальні властивості спектра розподілу випадкової величини, уявно-t-адичні цифри якої утворюють однорідний ланцюг Маркова // Наукові записки НПУ імені М.П. Драгоманова. Фізико-математичні науки. Випуск 1. - 1999.- С. 250-255.

6. Школьний О.В. Використання ЕОМ для дослідження спектрів розподілів комплекснозначних випадкових величин типу Джессена-Вінтнера // Фрактальний аналіз та суміжні питання.- Київ: ІМ НАН України-НПУ ім. М.П. Драгоманова.-1998.- №1.- С. 103-110.

7. Школьний О.В. Один клас комплекснозначних випадкових величин з сингулярним розподілом // П'ята Міжнародна Наукова конференція ім. акад. М. Кравчука, Київ, 16-18 травня 1996р.: Тез.доп.- Київ, 1996.- С. 499.

8. Школьний О.В. Комплекснозначні випадкові величини з незалежними комплексними t-адичними цифрами // Шоста Міжнародна Наукова конференція ім.акад. М. Кравчука, Київ, 15-17 травня 1996р.: Тез.доп.- Київ, 1996.- С. 423.

9. Школьний О.В. Комплекснозначні випадкові величини, представлені у вигляді нескінченного добутку незалежних, дискретно розподілених компонент // Сьома Міжнародна Наукова конференція ім. акад. М. Кравчука, Київ, 14-16 травня 1996р.: Тез. доп.- Київ, 1996.- С. 535.

10. Школьний О.В. Ймовірнісний підхід до вивчення хаотичного руху зарядженої частинки // Фізико-хімія конденсованих структурно-неоднорідних систем. Матеріали ІІІ Всеукраїнської наукової конференції "Фундаментальна та професійна підготовка фахівців з фізики", ч.ІІ.- К.: НПУ, 1998.- С. 322-324.

11. Shkol'nyi O. Two-dimensional random variables connected with a polybasic Q*-representation // Voronoi Conference on Analytic Number Theory and Space Tilings: Abstracts.- Kyiv: Institute of Mathematics Nat. Acad. Sci. Of Ukraine, 1998.- P.48-50.

12. Shkol'nyi O.V. The structure of complex-valued random variable distribution defined by system of numeration with complex base // The Third Ukrainian-Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics: Abstracts.- Kyiv: The National Taras Shevchenko University, 1999.- P.133.

13. Самкіна Н.М., Школьний О.В. Факторіальна система числення та пов"язані з нею розподіли ймовірностей // Фрактальний аналіз та Фрактальний аналіз та суміжні питання.- Київ: ІМ НАН України - НПУ імені М.П. Драгоманова.- 1998.- № 2.- С. 157-166.

АНОТАЦІЇ

Школьний О.В. Комплекснозначні випадкові величини типу Джессена-Вінтнера.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика.- Інститут математики НАН України, Київ, 2000.

Дисертація присвячена дослідженню комплекснозначних випадкових величин (к.в.в.), що є сумами збіжних з ймовірністю одиниця рядів дискретних к.в.в. Встановлено істинність теореми про чистоту розподілу таких к.в.в. Введенно в розгляд випадкові вектори, задані системами подрібнюючих розбиттів площини, доведено чистоту розподілу таких випадкових векторів, а також повністю поглиблено цю теорему (знайдено критерії дискретності, абсолютної неперервності та сингулярності). Запропоновано метод дослідження к.в.в. типу Джессена-Вінтнера з допомогою вищезгаданих випадкових векторів. Суть цього методу продемонстровано при дослідженні к.в.в. з незалежними уявно-t-адичними цифрами. вивчено метричні, топологічні та фрактальні властивості спектрів згаданих к.в.в. та випадкових векторів.

Ключові слова: комплекснозначні випадкові величини, абсолютно неперервні та сингулярні розподіли, спектр розподілу, розмірність Хаусдорфа-Безиковича, фрактал.

Школьный А.В. Комплекснозначные случайные величины типа Джессена-Винтнера. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2000.

Диссертация посвящена исследованию комплекснозначных случайных величин (к.с. в.), которые являются суммами сходящихся с вероятностью единица рядов дискретных к.с. в. Иными словами, к.с. в. типу Джессена-Винтнера может быть представлена в виде:

,

где - независимые дискретно распределённые к.с. в.

Такие к.с. в. являются обобщениями действительнозначных с. в. типа Джессена-Винтнера. Поэтому задачи о структуре распределения (содержании дискретной, сингулярной и абсолютно непрерывной компонент) таких с. в. и их свойства являются актуальными и в общей постановке сложными.

Напомним, что распределение к.с. в. xi называют дискретным, если соответствующая к.с. в. xi вероятностная мера P(.) = P(.) сосредоточена на не более чем счётном множестве; непрерывным, если P(.) определена и равна нулю на каждом одноточечном множестве, в частности оно называется сингулярным, если существует борелевское множество A такое, что (A)=0 и P() = 1, где (.) - мера Лебега в R²; абсолютно непрерывным, если для каждого борелевского множества A такого, что (A)=0, P()=0.

Установлена справедливость теоремы о чистоте распределения таких к.с. в., а именно: к.с. в. xi типа Джессена-Винтнера имеет чистое распределение: или чисто дискретное, или чисто сингулярное, или чисто абсолютно непрерывное.

В работе также предлагается обобщение классификации сингулярных распределений в зависимости от свойств спектра, впервые введенное для одномерного случая Н.В. Працевитым.

Сингулярно распределённую к.с. в. называют к.с. в. канторовского типа (C-типа), если её спектр имеет нулевую меру Лебега; к.с. в. салемовского типа (S-типа), если её спектр является объединением не более чем счётного множества замкнутых областей; к.с. в. квазиканторовского типа (K-типа), если её спектр является нигде не плотным множеством положительной меры.

При определённых ограничениях на распределения к.с. в. из определения к.с. в. xi доказаны теоремы о виде спектра (под спектром Sк.с. в. xi мы понимаем множество:

S_xi = z:P{xi in O_varepsilon(z)} > 0 (forall varepsilon > 0) }),

критерий дискретности к.с. в. xi.

Далее в диссертации исследуются классы к.с. в. типа Джессена-Винтнера с целью нахождения критериев их принадлежности к каждому из чистых типов распределения. В частности эта задача полностью решена для к.с. в. вида:

psi = sum psi_k (it)^{-k} (i² = -1, R ni t ge 2)

(такие к.с. в. мы называем к.с. в. с независимыми мнимо-t-адическими цифрами, поскольку они тесно связаны с представлениями комплексных чисел в системе счисления с основанием (it)). Более того, для таких к.с. в. в случае сингулярности их распределения доказаны критерии их принадлежности к каждому из введенных типов сингулярных распределений.

Инструментом для исследования различных классов к.с. в. типа Джессена-Винтнера являются случайные векторы, заданные системами дробящих разбиений плоскости.

Эти случайные векторы являются обобщениями на двумерный случай с. в., заданных с помощью полиосновных Q-, Q*- -представлений действительных чисел, впервые введенных Н.В. Працевитым.

Данные случайные векторы не являются к.с. в. типа Джессена-Винтнера, а поэтому требуют дополнительного исследования. Доказана чистота распределения таких случайных векторов, а также найдены критерии их дискретности, абсолютной непрерывности и сингулярности. Для определённых классов к.с. в. типа Джессена-Винтнера изучены метрические, топологические и фрактальные свойства спектров распределения, определена их размерность Хаусдорфа-Безиковича.

Ключевые слова: комплекснозначные случайные величины, абсолютно непрерывные и сингулярные распределения, спектр распределения, размерность Хаусдорфа-Безиковича, фрактал.

Shkol'nyi O.V. Complex-valued random variables of Jes-sen-Wint-ner type. - Manuscript.

The thesis for scientific degree of Candidate of Physics and Mathematics Sciences, specialty 01.01.05 - probability theory and mathematical statistics. - Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2000.

The thesis is dedicated to investigation of complex-valued random variables, that is to say c-v.r.v., which being converging series of discrete c-v.r.v. with probability 1. We prove the theorem about purity of distribution such c-v.r.v. We also regard random vectors, defined by systems of dividing partitions on a plane, prove purity of distributions of such random vectors, and also completely detailed this theorem (found criteria of discretness, absolutely continuity and singularity). The method of investigation of c-v.r.v. of Jessen-Wintner type with the help above mentioned random vectors is offered. The essence of this method is demonstrated in researching of c-v.r.v. with independent complex t-adic digits. Are studied metric, topologic and fractal properties of spectra mentioned c-v.r.v. and random vectors.

Keywords: complex-valued random variables, absolutely continuous and singular distributions, spectrum of distribution, Hausdorff-Besicovich dimension, fractal.

Размещено на Allbest.ru