Асимптотичні властивості регулярно збіжних функціональних рядів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Львівський національний університет імені Івана Франка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Спеціальність - Математичний аналіз

Асимптотичні властивості регулярно збіжних функціональних рядів

Трусевич Оксана Мирославівна

Львів 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка на кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, доцент Скасків Олег Богданович, професор кафедри теорії функцій і теорії ймовірностей Львівського національного університету імені Івана Франка.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, доцент Винницький Богдан Васильович, професор кафедри математичного аналізу Дрогобицького педагогічного університету,

кандидат фізико-математичних наук Філевич Петро Васильович, викладач Львівської академічної гімназії.

Провідна установа - Інститут математики НАН України, відділ комплексного аналізу і теорії потенціалу.

Захист відбудеться "20" квітня 2000 р. о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.07 у Львівському національному університеті ім. І.Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського національного університету ім. І.Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розіслано "18" березня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Я.В. Микитюк

1. Загальна характеристика роботи

асимптотичний борель віман збіжний

Актуальність теми. Cеред великої кількості задач, що розглядаються у теорії аналітичних функцій, одне з основних місць займає задача опису їх асимптотичних властивостей. У цьому ряду знаходиться і задача опису асимптотичних властивостей функціональних рядів у їхній залежності від внутрішніх характеристик цих рядів (пов'язаних з коефіцієнтами, показниками і т.п.). У даний час досить повно вивчені властивості степеневих рядів і рядів Діріхле. Дослідження асимптотичних властивостей степеневих рядів в залежності від їх коефіцієнтів започатковані наприкінці 19 ст. Ж. Адамаром (який, зокрема, встановив формулу для обчислення порядку цілої функції за допомогою її тейлорових коефіцієнтів), потім продовжувались багатьма математиками протягом всього XX ст. Цією задачею займались такі відомі математики, як Е. Борель, А. Віман, Ж. Валірон, Д. Пойа, П. Леві, У. Хейман, П. Ердеш, Т. Кеварі, Й.В. Островський, А.А. Гольдберг, а узагальненнями отриманих результатів і перенесенням їх на ряди Діріхле (ряди експонент), В. Бернштейн, Л. Шварц, С. Мандельбройт, А.Ф. Леонтьєв, М.М. Шеремета, та інші. При цьому виявляється, що отримувані в даному напрямку результати, відіграють важливу роль у дослідженнях за проблемою зображення довільної аналітичної функції функціональними рядами (інтерполяційними рядами, рядами експонент, різними узагальненнями рядів експонент), а також за проблемами повноти, базисності і т.п. систем експонент та їх різних узагальнень.

Cеред розроблених методів досліджень важливе місце займає метод Вімана-Валірона, основна ідея якого полягає в тому, що джерелом асимптотичних оцінок служать максимальний член і центральний індекс степеневого ряду. Ця ідея виявилась дуже плідною також і у випадку рядів Діріхле. Відзначимо, що розвитку і застосуванням різних реалізацій ідеї А. Вімана і Ж. Валірона присвятили свої праці А. Макінтайр, У. Хейман, Й.В. Островський, Т. Кеварі, П. Розенблум, П. Фентон, П. Леві, Р. Лондон, А. Шуміцкі, Ш.І. Стреліц, М.М. Шеремета та його учні, Cулейманов Н.М. При цьому П. Розенблум запропонував підхід, який грунтується на використанні нерівності Чебишова. Слід відзначити, що стосовно рядів Діріхле на протязі довгого часу вдавалось ефективно застосовувати лише модифікацію методу Вімана-Валірона, розроблену Т. Кеварі і У. Хейманом та адаптовану до потреб рядів Діріхле М.М. Шереметою. Однак, даний метод повністю не застосовний до рядів загальнішого вигляду ніж степеневі ряди і ряди Діріхле. Тому безперечно актуальною є задача отримання результатів типу Вімана-Валірона для функціональних рядів більш загального вигляду (наприклад, рядів Тейлора - Діріхле). Власне у третьому і четвертому розділах дисертації отримуються результати типу Вімана-Валірона для регулярно збіжних рядів за правильними у певному сенсі системами функцій. При цьому у четвертому розділі активно користуємось ідеєю П. Розенблума. Відмітимо, що Осколков В.А. встановлював для рядів за правильними системами функцій формули подібні до формул Адамара для обчислення порядку зростання суми ряду через коефіцієти. Формули такого вигляду можуть також бути отримані із співвідношень, що пов'язують максимальний член із сумою ряду. Тому, безумовно актуальною є задача про встановлення аналогів класичних співвідношень, що є відомими для степеневих рядів і рядів Діріхле, і яка розглядається у другому розділі дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами

Ця робота є складовою частиною досліджень за держбюджетними темами, які виконувались на кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей у Львівському національному університеті: Мт - 202 Б "Цілі функції, ряди Діріхле та їх застосування", Мт - 380 Б "Аналітичні функції та ряди Діріхле", Мт - 379 Б "Властивості операторів, аналітичних і субгармонійних функцій, тополого-алгебраїчних структур та їх застосування". Напрямок досліджень, обраний в дисертації, передбачений планами наукової роботи Львівського національного університету імені Івана Франка.

Мета і задачі дослідження:

- знайти необхідні і достатні умови на показники функціональних рядів за правильними системами функцій, які забезпечують асимптотичні рівності без виняткових множин (аналоги класичної теореми Бореля) між логарифмами суми та максимального члена ряду;

- знайти необхідні і достатні умови того, що поводження суми функціонального ряду за правильною системою функцій повністю визначається максимальним членом ряду;

- узагальнити результати типу Вімана-Валірона на клас функціональних рядів за правильними системами функцій.

Методи досліджень: для розв'язування сформульованих вище задач застосовуються: метод П. Розенблума, який полягає у застосуванні нерівності Чебишова (або Маркова), до отримання оцінок зверху суми ряду через максимальний член; техніка максимального члена і центрального індексу; деякі прийоми з праць П. Фентона, М.М. Шеремети, О.Б. Скасківа.

Наукова новизна. В дисертації вперше застосовано методики типу Вімана-Валірона до функціональних рядів за правильними системами функцій. При цьому для таких рядів:

- встановлено аналоги теорем М.М. Шеремети, отриманих для рядів Діріхле, про умови справедливості асимптотичних співвідношень без виняткових множин між сумою ряду та максимальним членом;

- встановлено аналоги теореми Ердеша - Макінтайра - Фентона (отриманої для лакунарних рядів ) про ряди, поводження яких повністю визначається максимальним членом;

- встановлено аналоги класичних теорем типу Вімана-Валірона про співвідношення між сумою ряду та максимальним членом, справедливі зовні виняткових множин.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер і є певним внеском в теорію цілих функцій. Результати дисертації можуть знайти застосування у наступних дослідженнях з теорії регулярно збіжних рядів, а також у її застосуваннях.

Особистий внесок здобувача. Викладені в роботі результати одержані автором самостійно. У виконаних у співавторстві статтях О.Б. Скасківу належать постановки задач, а також ідея можливості застосування методів Розенблума і техніки максимального члена у колі питань, що розглядаються.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на Львівському міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій (керівники проф. А.А. Кондратюк, проф. О.Б. Скасків), на Львівському регіональному семінарі з математичного аналізу (керівник - проф.

М.М. Шеремета), а також на міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки і математики"(м. Львів, 1998), присвяченій 70-річчю з дня народження Я.С. Підстригача, та міжнародній науковій конференції, присвяченій Ю.П. Шаудеру (м. Львів, 1999).

Публікації. Результати дисертації опубліковані у 8 статтях і повідомленнях (дві виконані без співавторів), з яких 5 надруковані у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається із чотирьох розділів, висновків, списку умовних позначень і списку літератури із 93 назв. Загальний обсяг праці - 154 сторінки, у тому числі список літератури на 9 сторінках.

2. Зміст роботи

Через позначимо клас функцій F, зображуваних збіжними для всіх рядами вигляду

, , (1)

,

невід'ємні послідовності такі, що

, , ,

а - неперервна зростаюча до на фіксована функція. Через позначатимемо зростаючі до послідовності. Для додатних неперервних зростаючих до функцій i визначимо підкласи класу

Отримувані нами оцінки виконуються, як правило, зовні виняткової множини, для описання якої використовуємо поняття міри (Лебегова міра множини на прямій), -міри, лінійної щільності та нижньої лінійної щільності , - щільності та нижньої -щільності .

Розглянуто актуальність теми дисертації, описано: зв'язок роботи з науковими програмами, мета і задачі досліджень, методи досліджень та наукова новизна результатів дисертації. У першому підрозділі дано детальний опис результатів та літератури, що мають безпосереднє відношення до результатів дисертації, як з точки зору близькості самих результатів, так і з точки зору близькості методів дослідження, що застосовуються.

Невеликий розділ 2 містить деякі найпростіші властивості максимального члена

та центрального індексу ряду (1), що зображає функцію . Власне, там описано умови монотонності центрального індексу , що надалі істотно використовуються у розділі 3. Отримано аналоги (твердження 2.1 - 2.5) нерівності Валірона справедливої для кожного цілого ряду Діріхле . З огляду на те, що просте твердження 2.1 знаходить застосування у розділі 4, можна допустити, що інші отримані твердження можуть бути також використані, наприклад, хоча б для встановлення формул для обчислення узагальнення порядків для функцій .

У розділі 2 також отримано необхідні і достатні умови на показники і коефіцієнти ряду, що забезпечують справедливість при співвідношення

. (2)

Власне доведено наступні теореми.

Теоpема 2.1. Нехай

, .

Якщо i

, (3)

то співвідношення (2) спpавджується пpи .

На те, що умова (3) теореми 2.1 є необхідною для того, щоб для кожної функції співвідношення (2) виконувалось при , вказує наступна теорема.

Теорема 2.3. Для кожної послідовності

такої, що

,

і умова (3) не виконується, а також для кожної функції такої, що і додатної сталої h>0 існують функція і послідовність такі, що

для всіх .

Із теорем 2.1 та 2.3 випливає наступний критерій.

Теорема 2.4. Нехай , а для послідовнoсті виконуються умови

, .

Для того, щоб для кожної функції cпіввідношення (2) справджувалось при необхідно і досить, щоб виконувалась умова (3).

Розділ 3 повністю присвячено дослідженню рядів, поводження яких повністю визначається лише максимальним членом ряду, тобто встановленню умов, за яких

(4)

при зовні деякої множини. Раніше (Величко С.Д., Скасків О.Б. Асимптотичні властивості одного класу функціональних рядів // Вісник. Львів. ун-ту. - 1989. - Вип. 32. - С. 50-51.) було анонсовано наступне твердження: якщо,

,

і виконується умова

, (5)

то співвідношення (4) справджується для кожної функції при зовні деякої множини скінченної міри. З наступних двох теорем отримуємо вичерпну відповідь на питання про необхідні і достатні умови справедливості співвідношення (4) при зовні деякої множини скінченної міри для кожної функції .

Tеорема 3.1. Нехай , а послідовності такі, як в лемі 2.1. Якщо виконується умова

, (6)

то співвідношення (4) справджується при зовні деякої множини скінченної міри.

Теорема 3.2. Нехай функція така, що , а неспадні послідовності , такі, що

Для того, щоб для кожної функції

співвідношення (4) виконувалось принаймні при необхідно, щоб справджувалась умова (6).

Із теорем 3.1 і 3.2 отримуємо наступний критерій.

Теорема 3.3. Нехай функціятака, що (або ), а неспадні послідовності , такі, що виконується умова (3). Для того, щоб для кожної функції співвідношення (4) виконувалось при зовні деякої множини E скінченної міри (або скінченної -міри), необхідно і досить, щоб справджувалась умова (6).

Як і у розділі 3 основними у розділі 4 є перших три твердження, які разом мають завершений характер.

Справедлива наступна теорема.

Теорема 4.1. Нехай . Якщо для функції виконується умова

, (16)

то співвідношення (2) справджується при зовні деякої множини скінченної міри, тобто .

На необхідність умови (16) для справедливості співвідношення (2) при зовні деякої множини скінченної міри для кожної функції вказує наступна теорема.

Теорема 4.2. Нехай послідовності , - неспадні,

а функція така, що або . Якщо умова (6) не виконується, то існує функція така, що для всіх

(17)

де h>0 - деяка стала.

Із теорем 4.1, 4.2 і наслідку 4.1 отримується наступний критерій.

Теорема 4.3. Нехай послідовності - неспадні і такі, що для послідовності єдина точка скупчення , а функція така, що а) або б) . Для того, щоб для кожної функції співвідношення (2) виконувалось при зовні деякої множини Е ( у випадку а) і у випадку б)) необхідно і досить, щоб збігався ряд (16).

Легко бачити, що умова (16) виконується, як тільки виконується умова або умова

. (18)

Із схеми доведення теореми 4.13, яка по-суті є продовженням доведення теореми 4.1, видно, що можна отримати аналоги, всіх отриманих для співвідношення (2) теорем, також і для співвідношення (21).

Висновки

Для регулярно збіжних у всій площині функціональних рядів на основі підходу (запропонованого В.А. Осколковим (1976 р.)), який полягає у зведенні задачі про отримання асимптотичних оцінок для таких рядів до подібної задачі для одного класу додатних рядів і який містить в собі широкий спектр рядів (степеневі, ряди Діріхле, ряди Тейлора - Діріхле, узагальнення рядів експонент і т.д.), вперше розглянуто у загальній постановці задачу про отримання аналогів класичних теорем типу Бореля і Вімана-Валірона. Для таких рядів отримані наступні результати, які є основними у дисертації:

- необхідні і достатні умови на суму показників для асимптотичної рівності(без виняткових множин) логарифмів суми і максимального члена ряду;

- необхідні і достатні умови на показники для асимптотичної рівності зовні виняткових множин суми і максимального члена ряду;

- вперше застосовано метод Розенблума і отримано необхідні і достатні умови на показники для асимптотичної рівності зовні виняткових множин логарифмів суми і максимального члена ряду;

- у різних підкласах загального класу, які визначаються обмеженнями на коефіцієнти ряду чи обмеженнями зверху на зростання суми ряду, отримано достатні умови, що забезпечують різні асимптотичні рівності зовні виняткових множин між сумою і максимальним членом ряду.

В ідейному плані із результатів дисертації випливає, що умови, які забезпечують справедливість співвідношень, що розглядаються, мають вигляд умов на суму показників або лише на одну з двох послідовностей показників і є подібними у такому сенсі до умов, що забезпечують аналогічні співвідношення для цілих рядів Діріхле. Це спостереження може виявитись корисним у подальших дослідженнях асимптотичних властивостей регулярно збіжних функціональних рядів. Самі ж результати можуть знайти застосування у різних розділах теорії цілих функцій, де зустрічаються такі ряди.

При доведенні всіх описаних вище результатів використовуються методи з праць П. Фентона, П. Розенблума, М.М. Шеремети, О.Б. Скасківа. При цьому висновок про можливе ефективне застосування методів теорії Вімана-Валірона може виявитись корисним у різноманітних дослідженнях, де виникає потреба в асимптотичних оцінках функціональних рядів різного вигляду.

Основнi результати дисертацiйної роботи опублiкованi в наступних статтях і наукових повідомленнях

1. Скасків О.Б., Трусевич О.М. Максимальний член і сума регулярно збіжного функціонального ряду // Вісник Львів. ун-ту, сер. мех.-мат. - 1998. - Вип. 49. - С. 75-79.

2. Скасків О., Трусевич О. Ряди Тейлора - Діріхле, асимптотичне поводження яких визначається максимальним членом // Сучасні проблеми механіки і математики: Матеріали міжнародн. конф. присв. 70-річчю Я.С.Підстригача. - Львів: Інститут прикл. пробл. мат. і мех., 1998. - С. 284-285.

3. Трусевич О.М. Аналоги теореми Бореля для одного класу функціональних рядів // Вісник Львів. ун-ту, сер. мех.-мат. - 1999. - Вип. 53. - С. 45-47.

4. Cкасків О.Б., Трусевич О.М. Теореми типу Бореля для регулярно збіжних функціональних рядів // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1998. - Т. 41, N4. - С. 60-63.

5. Trusevych O.M. Borel type theorems for positive series // NPDE: Book of abstracts. - Internation. conf. dedicated to J.P.Schauder. (Lviv, August 23-29, 1999). - Lviv, 1999. - P. 205.

6. Скасків О.Б., Трусевич О.М. Про повну еквівалентність логарифмів суми та максимального члена додатного ряду типу Тейлора - Діріхле // Вісник Львів.ун-ту, сер. мех.-мат. - 1999. - Вип. 54. - С. 175-179.

7. Скасків О.Б., Трусевич О.М. Про теореми типу Бореля для рядів, подібних до ряду Тейлора - Діріхле // Матем. студії. - Т.13, N1. - 2000. - С. 79-82.

8. Cкасків О.Б., Трусевич О.М. Асимптотичні властивості регулярно збіжних функціональних рядів // Препринт N 17-1. - Львів: Інститут прикл. пробл. мех. і мат. НАН України, 1999. - 18 с.

Анотація

Трусевич О.М. Асимптотичні властивості регулярно збіжних функціональних рядів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01. - математичний аналіз. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2000.

Розглядаються умови, що стосуються асимптотичного поводження одного класу додатних функціональних рядів. Задача про отримання асимптотичних оцінок досить широкого загалу регулярно збіжних функціональних рядів зводиться до подібної задачі для функціональних рядів, що розглядаються у дисертації.

Ключові слова: регулярно збіжні ряди, максимум модуля, максимальний член, щільність, міра, лічильна функція.

Abstract

Trusevych O.M. Asymptotic properties regular convergent functional series. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Phisical and Mathematical degree on the speciality 01.01.01. - Mathematical Analysis, Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2000.

There are some conditions contein some results on asymptotic behavior of a class of positive functional series. The problem of establishing asymptotic estimates sufficiently for a wide class of regular convergent functional series reduces to a similar problem for functional series that are considered in this thesis.

Кеу words: regular convergent series, maximum modulus, maximal term, density, measure, counting function.

Аннотация

Трусевич О.М. Асимптотические свойства регулярно сходящихся функциональных рядов. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01. - математический анализ. Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2000.

Рассматриваются условия асимптотического поведения одного класса положительных функциональных рядов. Задача получения асимптотических оценок для достаточно широкого класса регулярно сходящихся функциональных рядов сводится к подобной задаче для функциональных рядов, которые рассматриваются в диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырёх разделов и списка литературы. В первом разделе "Обзор литературы и основных результатов диссертации" дано детальное описание результатов и литературы, которые имеют непосредственное отношение к результатам диссертации, как с точки зрения близости самих результатов, так и с точки зрения близости методов исследования, которые используються.

Небольшой раздел 2 "Соотношение между суммой ряда и максимальным членом ряда без исключительных множеств" включает некоторые свойства максимального члена и центрального индекса, а также получено необходимые и достаточные условия на показатели и коэффициенты ряда, которые обеспечивают справедливость асимптотического равенства между логарифмом суммы и логарифмом максимального члена ряда.

Раздел 3 "Ряды, поведение которых полностью определяется одним членом" полностью посвящён исследованию рядов, поведение которых определяется только максимальным членом, то есть установлению условий, при которых сумма ряда асимптотически равна максимальному члену вне некоторых множеств.

Раздел 4 "Соотношение между суммой и максимальным членом ряда: теоремы типа Вимана - Валирона" посвящён установлению условий справедливости асимптотического равенства между логарифмом максимума суммы и логарифмом максимального члена ряда вне некоторого множества как во всём классе регулярно сходящихся рядов, так и в его подклассах.

Ключевые слова: регулярно сходящиеся ряды, максимум модуля, максимальный член, плотность, мера, считающая функция.

Размещено на Allbest.ru