Класи збіжності в теорії рядів Діріхле та аналітичних функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Львівський національний університет імені Івана Франка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.01.01 - математичний аналіз

Класи збіжності в теорії рядів Діріхле та аналітичних функцій

Мулява Оксана Мирославівна

Львів - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка на кафедрі математики і методики викладання математики.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Галь Юрій Михайлович

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук Скасків Олег Богданович, професор кафедри теорії функцій і теорії ймовірностей Львівського національного університету імені Івана Франка

доктор фізико-математичних наук Мохонько Анатолій Захарович, професор кафедри вищої математики державного університету “Львівська політехніка”.

Провідна організація: Інститут математики НАН України, відділ комплексного аналізу

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Микитюк Я.В.

Анотація

Мулява О.М. Класи збіжності в теорії рядів Діріхле та аналітичних функцій. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз, Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2000.

Досліджуються ряди Діріхле з невід'ємними показниками. Вказана умова на коефіцієнти, при виконанні якої зберігається формула Валірона для знаходження абсциси збіжності. Отримані точні оцінки максимуму модуля через максимальний член. В термінах відомих класів збіжності та введених в дисертації узагальнених класів збіжності вказано зв'язок між зростанням максимуму модуля та поводженням коефіцієнтів.

Ключові слова: ряди Діріхле, абсциса збіжності, максимум модуля, максимальний член, _порядок, клас збіжності, узагальнені класи збіжності, неванліннівська лічильна функція.

Annotation

Mulyava O.M. The convergence classes in the theory of Dirichlet series and of analytic functions. -- Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical degree on the specialty 01.01.01 -- Mathematical Analysis, Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2000.

The Dirichlet series with nonnegative exponents are investigated. The condition on coefficients, under which Valiron formula for the find of the convergence abscissa holds, is found. The sharp estimates of maximum modulus by maximal term are obtained. In the terms of known convergence classes and of introducing in the dissertation generalized convergence classes the connection between the growth of maximum modulus and the behavior of the coefficients is shown.

Key words: Dirichlet series, abscissa of convergence, maximum modulus, maximal term, _order, convergence class, generalized classes of convergence, Nevanlinna counting function.

Аннотация

Мулява О.М. Классы сходимости в теории рядов Дирихле и аналитических функций. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ, Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2000.

Исследуются ряды Дирихле с неотрицательными возрастающими к показателями.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов и списка литературы.

В первом разделе "Обзор литературы и основных результатов диссертации" приведен результат Ж. Валирона об абсциссах сходимости ряда Дирихле и дан обзор известных ранее результатов Ж. Валирона, П. Камсена, Галя Ю.М. и М.Н. Шереметы о принадлежности рядов Дирихле к тому или иному классу сходимости. Приведены основные результаты диссертации.

Раздел 2 "Абсциссы сходимости, максимум модуля и максимальный член" имеет несколько вспомогательный характер. В нем обобщена и дополнена классическая теорема Валирона об абсциссах сходимости, для произвольного ряда Дирихле построены диаграмма и мажоранта Ньютона и приведены нужные в дальнейшем их простейшие свойства, а также получены некоторые точные оценки максимума модуля ряда Дирихле через его максимальный член.

Раздел 3 "Классы сходимости в теории рядов Дирихле" является основным в диссертации и состоит из пяти подразделов. В первом из них доказано нужное в дальнейшем обобщение классического неравенства Харди. Во втором -- изучаются классы сходимости, отвечающие конечному _порядку или конечному логарифмическому _порядку. В частности, здесь значительно усилены теоремы П. Камсена, Ю.М. Галя и М.Н. Шереметы на случай, когда показатели могут не иметь положительного конечного шага. В третьем и четвертом подразделах введены обобщенные классы сходимости и в их терминах указана связь между ростом максимума модуля и поведением коэффициентов. Наконец, в пятом подразделе такая же связь изучена в терминах классов сходимости, отвечающих медленному росту рядов Дирихле.

В четвертом разделе "Классы сходимости в теории целых и аналитических в круге функций" приведены следствия из доказанных в предыдущем разделе теорем. В терминах классов сходимости указана связь между ростом максимума модуля целой или аналитической в единичном круге функции и поведением их тейлоровских коэффициентов, а также связь между ростом положительной последовательности и ростом ее неваннлинновской считающей функции.

Ключевые слова: ряды Дирихле, абсцисса сходимости, максимум модуля, максимальный член, _порядок, класс сходимости, обобщенные классы сходимости, неванлинновская считающая функция.

1. Загальна характеристика роботи

діріхле абсциса модуль

Актуальність теми. Вивченню зв'язку між зростанням цілої чи аналітичної в одиничному крузі функції та поводженням коефіцієнтів її степеневого розвинення присвятили свої праці багато математиків. Ще в кінці минулого століття Ж. Адамар вказав формули для знаходження порядку і типу цілої функції через її тейлорівські коефіцієнти. Аналогічна задача для аналітичних в одиничному крузі функцій в 30_х роках була розв'язана Ф. Байєрманом і К. Фуджіварою, результати яких були в 1959 р. перевідкриті Н.В. Говоровим. Значно складнішу задачу розв'язав в 1923 р. Ж. Валірон, який вказав достатню умову на поводження тейлорівських коефіцієнтів цілої функції для того, щоб вона належала загально прийнятому для цілих функцій порядку класові збіжності.

Безпосереднім узагальненням степеневих рядів є ряди Діріхле з невід'ємними зростаючими до показниками. Роль рядів Діріхле, як в математичному аналізі, так і в теорії чисел, теорії диференціальних рівнянь та інших розділах сучасної математики добре відома. У другій половині нашого століття зацікавленість рядами Діріхле сильно зросла, завдяки дослідженням А.Ф. Леонтьєва та його учнів. Значний внесок в розвиток теорії рядів Діріхле зробили М.М. Шеремета та його учні Б.В.Винницький, О.Б. Скасків, Ю.М. Галь та інші.

Зростання цілих (абсолютно збіжних в C) рядів Діріхле переважно вимірюють за допомогою R_порядку і R_типу. В 1928 р. Ж. Рітт вказав формули для їх знаходження через коефіцієнти ряду Діріхле. У випадку рядів Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності їх зростання в термінах порядку та типу вивчали Є. Дагене, В.С. Бойчук та інші.

У кінці 60_х років М.М. Шеремета ввів поняття так званих узагальнених порядків, які з часом знайшли застосування в багатьох задачах теорії функцій і використовувались багатьма математиками. Він разом з Я.Д. П'янилом в термінах узагальнених порядків встановив зв'язок між зростанням цілих рядів Діріхле та спаданням їх коефіцієнтів, а потім разом з Ю.М. Галем таку ж задачу розв'язав для рядів Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності.

В 1963 р. П. Камсен переніс теорему Валірона про належність цілої функції до класу збіжності на цілі ряди Діріхле, показники якого мають додатний скінчений крок, а Ю.М. Галь і М.М. Шеремета в 1985 р. розв'язали аналогічну задачу для рядів Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності і такими ж показниками. Природною стала задача, як зміняться результати П. Камсена та Ю.М. Галя і М.М. Шеремети, якщо послідовність показників ряду Діріхле може не мати додатного скінченого кроку. Актуальною також є задача щодо зв'язку між зростанням ряду Діріхле та поводженням його коефіцієнтів в термінах узагальнених класів збіжності, які відповідають узагальненим порядкам М.М. Шеремети.

При розв'язуванні задач такого гатунку потрібні оцінки максимуму модуля ряду Діріхле на вертикальній прямій через максимальний член цього ряду. Такі оцінки можна знайти в працях різних авторів, але їх не завжди можна застосувати до розв'язування задач, поставлених в цій дисертації. Тому актуальними стали отримання нових оцінок максимуму модуля через максимальний член і питання їх точності.

Для рядів Діріхле з невід'ємними зростаючими до показниками Ж. Валірон за певної умови на швидкість зростання цих показників вказав добре відому формулу для абсциси збіжності. Із праць О.Б. Скасківа, М.М. Шеремети та їх учнів видно, що якщо яке-небудь твердження про властивість ряду Діріхле справедливе за деякої умови на показники, то можна вказати і умову на коефіцієнти, при якій це твердження також справедливе. Іншими словами, показники і коефіцієнти є в певному розумінні рівносильні. Тому актуальною стала задача про знаходження умови на коефіцієнти ряду Діріхле, при виконанні якої формула для абсциси збіжності залишається вірною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями, які проводяться в галузі математики у Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є:

вказати умову на коефіцієнти ряду Діріхле, при виконанні якої зберігається формула Валірона для знаходження абсциси збіжності;

отримати точні оцінки максимуму модуля через максимальний член;

вияснити, як зміняться теореми П. Камсена та Ю.М. Галя і М.М. Шеремети у випадку, коли показники не мають додатного скінченого кроку;

в термінах узагальнених класів збіжності встановити зв'язок між зростанням ряду Діріхле та поводженням його коефіцієнтів;

вказати застосування отриманих результатів в теорії цілих та аналітичних в одиничному крузі функцій.

Методи досліджень. Для розв'язування цих задач використовуються методика максимального члена, отримане в дисертації узагальнення нерівності Гарді та деякі прийоми з праць Ю.М. Галя та М.М. Шеремети.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертації вперше введено узагальнені класи збіжності, а з їх допомогою встановлено зв'язок між зростанням цілих та абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле з невід'ємними зростаючими до показниками і поводженням їх коефіцієнтів. Узагальнено теореми П.Камсена та Ю.М. Галя і М.М. Шеремети про класичні класи збіжності на випадок, коли показники не мають додатного скінченого кроку. Вказані точні оцінки максимуму модуля через максимальний член і знайдено умову на коефіцієнти ряду Діріхле, при виконанні якої зберігається формула для абсциси збіжності.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертація має теоретичний характер. Її результати є певним внеском в теорію рядів Діріхле і можуть бути використані як в загальній теорії аналітичних функцій, так і в інших розділах математики.

Особистий внесок дисертанта. В опублікованій спільно з Я.Я. Притулою статті [2] леми 1 і 2 належать співавтору, а лема 3 (в дисертації лема 2.2) і теорема (в дисертації теорема 2.8) належать обом авторам в однаковій мірі. Всі решта результати отримані автором дисертації самостійно.

Апробація роботи. Результати дисертації детально доповідались на Львівському міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій (керівники А.А. Кондратюк і О.Б. Скасків), на Львівському регіональному семінарі з математичного аналізу (керівник М.М. Шеремета), а також на Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" (м. Чернівці, 1998 р.) та Міжнародній конференції з теорії диференціальних рівнянь в частинних похідних, присвяченій сторіччю з дня народження Шаудера (Львів, 1999 р.)

Публікації. Результати дисертації опубліковані в статтях [1_6], список яких подано в кінці автореферату і з яких п'ять надруковані у виданнях з переліку № 1, затвердженого ВАК України.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел із 42 назв. Загальний обсяг праці разом із списком використаних джерел -- 128 сторінок.

2. Зміст роботи

Об'єктом дослідження є ряди Діріхле.

У першому розділі "Огляд літератури та основних результатів дисертації" наведені теорема Ж. Валірона про абсциси збіжності ряду Діріхле і огляд відомих раніше результатів Ж. Валірона, П. Камсена, Ю.М. Галя і М.М. Шеремети про належність рядів Діріхле до того чи іншого класу збіжності. Наведені основні результати дисертації.

Розділ 2 "Абсциси збіжності, максимум модуля і максимальний член" має дещо допоміжний характер і складається з трьох підрозділів. У першому з них узагальнена і доповнена класична теорема Валірона про абсциси збіжності, яка стверджує (див., наприклад, ЛеоУ розділі 4 "Класи збіжності в теорії цілих та аналітичних в крузі функцій" наведені наслідки з доведених у попередньому розділі теорем. Зв'язок між максимумом модуля і коефіцієнтами в термінах класів збіжності вказаний у підрозділі 4.1. З отриманих тут результатів наведемо тільки два наступні твердження.

Висновки

У дисертаційній роботі розв'язано ряд актуальних задач теорії рядів Діріхле з невід'ємними показниками.

Вказано умову на коефіцієнти ряду Діріхле, за виконання якої зберігається формула Валірона для знаходження абсциси збіжності, і показано, що ця умова є необхідною в певних класах рядів Діріхле. Отримано точні оцінки максимуму модуля через максимальний член. Ці оцінки використані для вивчення зв'язку між зростанням суми ряду Діріхле та поводженням його коефіцієнтів у термінах класів збіжності.

Показано, як зміняться результати П. Камсена та Ю.М. Галя і М.М. Шеремети про класи збіжності рядів Діріхле скінченого _порядку у випадку, коли показники цього ряду можуть не мати додатного скінченого кроку.

Введені поняття узагальнених класів збіжності і в їх термінах встановлено зв'язок між зростанням суми ряду Діріхле та поводженням його коефіцієнтів. Вказано застосування отриманих результатів в теорії цілих та аналітичних в одиничному крузі функцій.

Основні результати мають критеріальний характер. При їх доведенні використовувались сучасні методи теорії рядів Діріхле.

Основні статті

1. Мулява О.М. Про абсциси збіжності ряду Діріхле // Мат. студії. -- 1998.-- Т. 9, № 2.-- C. 171-176.

2. Мулява О.М., Притула Я.Я. Оцінки максимуму модуля цілого ряду Діріхле // Вісник Львівськ. у-ту, сер мех-мат. -- 1998. -- Вип. 49. -- C. 65-70.

3. Мулява О.М. Класи збіжності в теорії рядів Діріхле // Доповіді НАН України, cер. А. -- 1999. -- № 3. -- C. 35-39.

4. Мулява О.М. Про класи збіжності рядів Діріхле//Укр. матем. журн. -- 1999. -- T. 51, № 11. -- C. 1485-1494.

5. Мулява О.М. Узагальнення нерівності Гарді та його застосування// Сучасні проблеми математики: Матеріали Міжнар. наук. конф. Част. 2. -- Київ.: ІМ НАН України. -- 1998. -- С. 150-153.

6. Muliava O. On convergence classes in the theory of Dirichlet series// Nonlinear part. diff. equation. Book of abstr. Inter. conf. dedicated to J.P. Schauder (Lviv, August 23-29, 1999). -- Lviv. -- 1999. -- P. 144.

Размещено на Allbest.ru