Геометричний інструментарій синтезу середовища віртуальної реальності стосовно до тренажерів

Размещено на http://www.allbest.ru/

МIНIСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ

БУДIВНИЦТВА І АРХIТЕКТУРИ

УДК 515.2: 681.3

ГЕОМЕТРИЧНИЙ IНСТРУМЕНТАРIЙ СИНТЕЗУ СЕРЕДОВИЩА ВIРТУАЛЬНОЇ РЕАЛЬНОСТI СТОСОВНО ДО ТРЕНАЖЕРІВ

Спецiальнiсть 05.01.01 - Прикладна геометрiя, iнженерна графiка

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

доктора технiчних наук

ЛI Валерiй Георгiйович

Київ 2000

Дисертацiєю є рукопис.

Дисертацiя виконана в Таганрозькому державному радiотехнічному унiверситетi Мiнiстерства освiти Росії.

Науковий консультант: Заслужений дiяч науки Украiни, академiк АН Вищоi школи та Академii будiвництва Украiни, доктор технічних наук, професор МИХАЙЛЕНКО Всеволод Євдокимович, завiдувач кафедри нарисноi геометрii, iнженерноi та машинноi графiки Киiвського нацiонального унiверситету будiвництва i архітектури.

Офiцiйнi опоненти:

доктор технiчних наук, професор IВАНОВ Генадiй Сергiйович, кафедра прикладноi геометрii Московського державного авіаційного інституту (технічного університету);

доктор технiчних наук, професор САЗОНОВ Костянтин Олександрович, кафедра нарисноi геометрii, iнженерноi та машинноi графiки Киiвського нацiонального унiверситету будiвництва i архiтектури;

доктор технiчних наук, професор БАШКОВ Євген Олександрович, Донецький державний технiчний унiверситет, проректор з наукової роботи, завiдувач кафедри прикладноi математики та iнформатики.

Провiдна установа: Таврiйська державна агротехнiчна академiя Мiнiстерства агропромислового комплексу України.

Захист вiдбудеться ” 4 ” жовтня 2000 р. о 1300 годинi на засiданнi спецiалiзованоi вченоi ради Д 26.056.06 у Киiвському нацiональному унiверситетi будiвництва i архiтектури за адресою: 03037 Киiв-37, Повiтрофлотський просп., 31.

З дисертацiєю можна ознайомитися в бiблiотецi Киiвського нацiонального унiверситету будiвництва i архiтектури за адресою: 03037 Киiв-37, Повiтрофлотський просп., 31.

Автореферат разiсланий “ 4 ” вересня 2000 р.

Вчений секретар спецiалізованої

вченої ради _________________________ В.О. Плоский

Загальна характеристика роботи

Суть наукової проблеми. Компютерні графiчнi технології останнього десятиріччя характеризуються стрімким розвитком апаратно-програмних засобів синтезу середовища віртуальної реальності /СВР/. Це можна пояснити тим, що сучасний рівень засобів обчислювальної техніки забезпечує можливість створення реалістичних динамічних сцен, що задовольняють сучасним вимогам науки та практики. У першу чергу це стосується фахових тренажерів та тренажно-моделюючих комплексів /ТМК/ - тренаторів. Перші орієнтовано на фахову підготовку персонала, що обслуговує складну техніку, інші - на конструювання та випробування зразків нової техніки.

Відомо, що людина сприймає до 80% інформації про довкілля зоровим каналом, тому синтез візуальної складової - основна задача створення реалістичної СВР.

Сучасний стан проблеми, що розглядається в дисертації, можна характеризувати відсутністю системного геометричного підходу, який би в повній мірі враховував специфіку синтезу СВР. Зараз її розв'язком займаються, в основному, фахівці системного програмування, комп'ютерної графіки, прикладної математики.

Значущість проблеми. Об'єктам та процесам СВР, що інтерпретуються фаховими тренажерами, ставляться жорсткі вимоги за параметрами їх реалістичності, що до об'єктів штучної природи, то головні з них - степінь геометричної та фізичної подібності, естетичні характеристики, конструктивні, технічні та динамічні параметри, можливість реалізації активного та пасивного зворотного зв'язку та ін. Важливий фактор реалістичності - швидкодія апаратури, що здійснює візуалізацію. В свою чергу швидкодія (частота регенерації кадрів віртуальних сцен) визначається не тільки технічними параметрами апаратного забезпечення тренажерів, але й обсягом графічної інформації, способами її представлення, методами обробки, спеціальним програмним забезпеченням. В цьому зв'язку необхідне комплексне розв'язання проблеми компресії графічної інформації у компромїсному сполученні з забезпеченням інших параметрів реалістичності об'єктів та процесів СВР.

Актуальність проблеми синтеза СВР визначається:

практичною необхідністю та економічною доцільністю застосування тренажерiв та ТМК, а також таким значним фактором, як можливість фахового навчання персонала в умовах позаштатних ситуацій, що поєднані в реальних умовах з небезпекою для здоров'я або життя. Стосовно зразків нової техніки ТМК значно скорочують період їх доведення та випробувань в лабораторних умовах напівнатурного імітаційного моделювання;

необхідністю подальшого розвитку вже відомих методів та технологій дискретного геометричного моделювання /ДГМ/, тому що в цьому випадку технології синтезу СВР становлять вже не об'єкт наукового дослідження, а інструмент подальшого високоефективного розвитку ДГМ;

гносеологічно об'єктивними законами подальшого розвитку прикладних наук в умовах зростаючого впливу обчислювальних заходів високої продуктивності на науково-технічний прогрес у всіх сферах людської діяльності.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Теоретичні дослідження виконано в межах д/б НДР "Методы и средства моделирования геометрической информации" (№ держреєстрації 01.920.004113), а також в межах Міжвузівської комплексної програми Міносвіти РФ "Наукоемкие технологии образования" (№ держреєстрації 01.960.005179) в ТРТУ. У процесі впровадження результатів досліджень розв'язувались задачі, передбачені технічними завданнями: НДР "Разработка и исследование методов и средств создания встроенных тренажерно-обучающих комплексов в составе мобильных интегрированных информационно-управляющих систем" (тема "Конгресс-М", договір № 315017), ЕКР "Создание системы полунатурного моделирования взаимодействующих объектов" (тема Совершенствование-88, договір № 324033) в НКБ "Миус", Таганрог, 1996-1999 рр.; НДР "Исследование и разработка аппаратно-программных средств тренажерно-моделирующих комплексов на основе многопроцессорных систем с программируемой архитектурой с использованием принципов виртуальной реальности (договір № 576370), НДР "Разработка и исследование мультипроцессорных супертранспьютерных систем с массовым параллелизмом для решения проблем ВР" (тема "ЛОН-СКНЦ") в НДI МОС, Таганрог, 1995-1999 рр.

Мета роботи:

подальший розвиток, узагальнення та систематизація традиційних методів прикладної геометрії в галузі формування й обробки геометричної інформації, що визначається надвеликим обсягом та підвищеними вимогами до швидкості обробки. Забезпечення інтеграції прикладної геометрії з комп'ютерними технологіями синтезу СВР, що має форму геометричного інструментарію для автоматизованного розв'язку задач ДГМ;

розробка нової концепції розв'язку задач мінімізації геометричної інформації в програмно-технічних тренажерних комплексах, що забезпечує високу швидкість обробки при зберіганні геометричної відповідності графічних моделей їх фізичним прообразам у всіх аспектах забезпечення реалістичності.

Для досягнення поставленної мети необхідно розв'язати наступні основні задачі:

1. Розвинути теорію просторових обводів кривих, розробити методи прямої та опосередкованої інтерполяції.

2. Розробити нову концепцію дискретного конструювання кривих ліній та поверхонь на основі поняття інтегральної моделі кривої. Дослідити властивості, ефективність та перспективу використання інтегральних моделей кривих у задачах дискретного геометричного моделювання середовища віртуальної реальності.

3. Сформулювати постановку задачі, розробити теоретичні основи та способи реалізації оптимальної дискретизації кривих ліній.

4. Розробити методику порівняльної оцінки дискретних каркасів за ступенем геометричних характеристик кривих, що представляються.

5. Запропонувати геометричні способи підвищення швидкості синтезу СВР на етапі візуалізації з врахуванням нової методики апріорної оцінки інформаційної потужності віртуальних сцен.

6. Створити програмний комплекс - редактор-моделер для здійснення експериментальних досліджень розробленого геометричного інструментарія та синтезу СВР для фахових тренажерів.

7. Проаналізувати можливості використання результатів дослідження в окремих видах комп'ютерних технологій (моделювання поверхонь, полігонізація об'єктів, реалізація фрактальних методів та ін.).

8. Здійснити практичну реалізацію та впровадження розроблених технологій у програмних комплексах синтезу СВР для фахових тренажерів.

9. Впровадити елементи розроблених технологій у сферу віртуального освітнього середовища для вузів.

Методи дослідження. Розв'зання сформульованих задач здійснювалося у відповідності з вимогами несуперечності та обгрунтованості класичної теорії внутрішньої та зовнішньої диференціальної геометрії кривих та поверхонь і нарисної геометрії з врахуванням сучасних досягнень у комп'ютерному дискретному геометричному моделюванні, обчислювальній геометрії, прикладній математиці, прикладному та системному програмуванні, комп'ютерній графіці, теорії інформації, механіки пружних оболонок. крива геометричний візуалізація інтерполяція

Стосовно розв'язку однієї з основних задач - задачі існування й пошуку геометрично оптимальної дискретизації кривих було застосовано апарат математичного аналізу, теорію особливостей кривих, розділи механіки та опору матеріалів, варіаційне числення. Важливе місце приділено експериментальному методу дослідження. Більшість методів, алгоритмів і способів, що пропонуються, експериментально досліджено на розробленому редакторі-моделері.

Теоретичною базою та інформаційним запезпеченням досліджень є, в основному, праці вчених-геометрів, а також фахівців суміжних областей науки та техніки:

в області конструювання й геометричного моделювання кривих і поверхонь: Ю.I. Бадаєва, В.В. Ваніна, С.М. Грибова, Г.С. Iванова, С.М. Ковальова, I.І. Котова, В.Є. Михайленка, В.М. Найдиша, В.О. Надолинного, В.С. Обухової, А.В. Павлова, О.Л. Підгорного, I.А. Скидана, А.М. Тевліна, В.I. Якуніна та ін.;

з теорії диференціальної геометрії, особливостей кривих, прикладної геометрії просторових моно- і складених кривих: Ю.О.Амінова, В.I. Арнольда, Дж. Бруса, П. Джибліна, М.Я. Вигодського, М.Я. Громова I.І. Котова та ін.;

з дискретних методів геометричного моделювання: I.Г. Балюби, В.М. Верещаги, В.М. Найдиша та ін.;

в області комп'ютерних технологій геометричного моделювання: Л. Аммерала, є.А. Бутакова, Л.М. Куценка, К.О. Сазонова та ін.;

в області синтеза СВР для потреб практичного тренажеробудування: Є.О. Башкова, Р. Бейтса, В.К. Гілоя, I.А. Каляєва, М. Мак-Доннела, С.I. Потоцького, В.Є. Шукшунова та ін.

Особливим джерелом інформації є сайти Internet, що на сьогодення найбільш оперативні. У найбільшій мірі це стосується сайтів фірм-розробників програмно-апаратних засобів комп'ютерної графіки й фахового тренажеробудування.

Наукова новизна отриманих результатів, що виносяться на захист:

1. Запропонована та розроблена в основних аспектах концепція тотальної дискретизації технології синтезу середовища віртуальної реальності.

2. Введено, обгрунтовано та досліджено нові поняття прикладної геометрії - інтегральна модель кривої, оптимальна у геометричному сенсі дискретизація кривої.

3. Розроблено способи конструювання просторових обводів кривих в традиційій реалізації та з використанням параметричних моделей дуг гвинтових кривих, посередньої інтерполяції параметрів форми.

4. Сформульовано поняття та розроблено обчислювальний алгоритм визначення інформативності точкового каркасу просторової кривої, з використанням якого здійснюється мінімізація (компресія) дискретної інформації про криволінійні об'єкти.

5. Розроблено методи й алгоритми прискореної обробки дискретної графічної інформації для потреб комп'ютерної графіки, що забезпечують досягнення необхідної швидкодії на етапі візуалізації.

6. Розроблено теорію оцінки інформаційної потужності віртуальних сцен, а також методику експериментального дослідження впливу обсягу графічної інформації на швидкодію апаратури візуалізації.

Вірогідність та обгрунтованість отриманих результатів підтверджені непротиріччям з положеннями внутрішньої та зовнішньої диференціальної геометрії кривих та поверхонь, результатами виконаних експериментів, практичною реалізацією у вигляді програмного комплексу, що функціонує та синтезує середовище віртуальної реальності з задовільними показниками реалістичності.

Практичне значения отриманих результатів. Отримані в роботі наукові результати поширюють уявлення про можливості прикладної геометрії в таких технічно складних областях виробництва, як комп'ютерні технології дискретного геометричного моделювання об'єктів і процесів СВР. Розв'язання поставлених задач створює геометричну базу для розробки моделюючих комплексів СВР, що мають якісно новий рівень реалістичності графічних зображень.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи та робота у цілому пройшли апробацію на: республ. н.-м. конференції “Компьютеризация и специализация обучения по графическим дисциплинам”. Новочеркаськ, 1990 р. - 2 доп.; н.-т. конференції “Современная учебная техника и образовательные технологии”, Нижній Новгород, 1996 р.; міжн. н.-м. конференції “Инженерное образование на рубеже тысячелетий: прошлое, настоящее, будущее”. Київ, НТУ “КПI”, 1997 р. - 2 доп.; 8-й міжн. конференції з комп'ютерної графіки й візуалізації “Графикон'98”. Москва, МДУ, 1998 р.; міжн. симпозіумі “Инженерная педагогика'98”. Москва, МАДИ-ТУ, 1998 р.; міжн. н.-п. конференції “Сучаснi проблеми геометричного моделювання”, Харків, 1998 р. - 3 доп.; всерос. н.-п. конференції “Проблемы муниципального управления и современные технологии автоматизации объектов городской инфраструктуры. Таганрог, 1998 р.; всерос. н.-т. конференції з міжн. участю “Компьютерные технологии в инженерной и управленческой деятельности”, Таганрог, 1998 р. - 2 доп.; міжн. н.-м. конференції “Iнженерна освiта на межi тисячолiть: минуле, сучасне, майбутнє". Киiв, НТУ “КПI”, 1998 р. - 2 доп.; 6-й міжн. н.-п. конференції “Современные проблемы геометрического моделирования”, Мелитополь, 1999 р.; міжн. н.-п. конференції “Компьютерные технологии: геометрическое моделирование и виртуальная реальность”, Таганрог, 1999 р. - 2 доп.; міжн. н.-м. конференції “Наукоемкие технологии образования”, Таганрог, 1999 р. - 2 доп.; 2-й міжн. н.-т. конференції "Новые технологии управления движением технических объектов", Новочеркаськ, 1999 р. - 2 доп.; наукових семінарах каф. нарисн. геометрії, інженерної та машинної графіки КНУБА, 1997 - 1999 р.р. - 5 доп.; науковому семінарі кафедри нарисної геометрії НТУ "КПI", 1999 р.; н.-т. конференціях ТРТУ, Таганрог, 1996 - 2000 р.р. - 12 доп., науковому семінарі кафедри прикладної геометрії МДАI (ТУ), 2000 р.

Публікації: Основний зміст дисертації опублікований в 40 роботах (17 - у збірках наукових праць та в фахових виданнях України).

Структура та об'ем дисертаційної роботи. Дисертація складається з вступу, шести розділів, загальних висновків, списку використаних джерел з 325 найменувань, 14 додатків; має повний обсяг 325 с., з них основної частини 268 с. (в тому числі 7 табл., 97 рис.).

Зміст роботи

У вступі розкривається сутність сформульованої науково-технічної проблеми, аналізується її сучасний стан з позиції геометричних підходів до її розв'язання. Висвітлюється значущість для науки і практики проблеми синтезу СВР стосовно, в першу чергу, до професіональних тренажерів. Обгрунтовується актуальність проблеми з позицій економічної доцільності використання тренажерів та ТМК при розробці зразків нової техніки і підготовці обслуговуючого персонала в різних галузях науки і техніки. Сформульована мета дослідження, наведена структуризація на задачі прикладної геометрії, виявлена наукова новизна, викладена інформація з апробації результатів та публікацій.

В розділі 1 викладено аналіз стану наукових досліджень у напрямках, пов'язаних зі сформульованою геометричною проблемою. Наводиться аналіз існуючих підходів до розв'язання задач синтезу СВР. Головну увагу приділено розгляду робіт з прикладної геометрії і суміжних наук. Формулюється основна гіпотеза дослідження, обгрунтовуються шляхи розв'язання проблеми реалістичності об'єктів та процесів СВР методами геометричного моделювання та комп'ютерної графіки.

В останні десятиріччя в прикладній геометрії сформувався класичний технологічний ланцюжок в конструюванні, представленні та відтворенні об'єктів складної геометричної природи. В узагальненому вигляді ця послідовність операцій схематично зображена на рис.1. Наведена схема в цілому відбиває і технологію обробки геометричної інформації для складних технічних поверхонь. При цьому важливою відмінною особливістю такої технології є застосування метричних параметрів ` та `*, що визначають якість апроксимації та відтворення геометричних прообразів. Така схема виправдана, якщо до оброблюваних об'єктів ставляться високі вимоги з точності конструювання та відтворення (вироби точного машинобудування, приладобудування тощо). Для задач синтезу СВР на перше місце висувається інший фактор - ступінь реалістичності віртуальних об'єктів та сцен. Аналіз дослідницьких рабіт в галузі синтеза СВР та експериментальні дослідження дозволяють схематично відобразити структуру основних факторів забезпечення реалістичності СВР (рис.2).

Можна сформулювати такі головні напрямки геометричних досліджень:

мінімізація дискретного представлення криволінійних об'єктів;

оптимізація розташування вузлів в дискретизації;

використання рівнів деталізації об'єктів, в залежності від дистанції спостереження;

конструювання просторових кривих /ПРК/ безпосередньо в просторі моделювання;

швидкі алгоритми реалізації динаміки поведінки об'єктів;

швидкі алгоритми сортування та рендерингу полігонів і текстур;

адаптованість геометричних алгоритмів до розпаралелювання обчислювальних процесів.

Що стосується безпосередньо геометричного моделювання, то в першу чергу необхідно забезпечити геометричну подібність об'єктів. В цьому випадку виникають нетрадиційні критерії оцінки якості дискретизації кривих та поверхонь, що обумовлено наступним:

всі об'єкти (криві та поверхні) пред'являються до візуалізації в сценах ВР у полігональній формі;

кількість полігонів повинна бути мінімально достатньою для забезпечення візуальної подібності і, в той же час, прийнятною за часом обчислювальної та графічної обробки.

Віртуальні сцени сучасних моделюючих комплексів мають інформаційні потужності, що обчислюються десятками тисяч полігонів. Таким чином задача мінімізації геометричної інформації на всіх етапах її формування, зберігання та обробки є головною (за інших рівних обставин). Останнє зауваження відноситься до наявності апаратних методів прискорення обробки графічної інформації (3D-акселератори, спецпроцесори, паралельні обчислювальні структури, супертрансп'ютери і т.ін.). Що стосується системного та прикладного програмного забезпечення, то застосування існуючих стандартних CAD-систем, призначених, здавалося б, саме для створення 3-вимірних об'єктів, на практиці призводить до неприпустимо довгих та громіздких дій, особливо на підготовчих етапах. Такі програмні комплекси /ПК/ оцінюються розробниками в десятки тисяч доларів і до того ж є закритими, тобто не допускають модифікацій або розширень.

Конструюванню ПРК та просторових обводів кривих присвячена обмежена кількість досліджень. Можна відзначити такі значні роботи: дисертації Б.Г. Фукса (1938 р.), М.Я. Громова (1947 р.) А.П. Лунькова (1953 р.), М.М. Міхньова (1959 р.), В.I. Асеева (1963 р.). В період становлення прикладної геометрії на початку 70-х років I.І. Котовим, А.В. Павловим та їх учнями розробляються теоретичні основи конструювання обводів різного порядку гладкості, але, в основному, плоских. Характерною особливістю пропонованих методів була їх графоаналітичність, поточкова обчислювальна реалізація. В області просторових обводів відомі лише кілька робіт. Тільки на початку 80-х з'явилися роботи, що орієнтувалися на засоби КГ. В першу чергу слід відзначити роботи Ю.В.Котова, В.I.Якуніна, багатьох зарубіжних вчених. Сильним поштовхом в цьому напрямку було введення поняття сплайн-інтерполяції, в тому числі і просторової.

За останні роки тематикою геометричних досліджень для потреб КГ займаються у кількох наукових школах України та Росії. Сформувався новий напрямок геометричного моделювання - дискретне ГМ. Найбільш значні роботи в цій галузі В.М. Найдиша, С.М. Ковальова, Ю.І. 'адаева, Л.М. Куценка, С.М. Грибова. Однак проблемі мінімізації графічної інформації до цього часу не приділялося належної уваги, в основному її дослiдженням займаються спеціалісти в галузi інформатики. Сутність проблеми оптимізації дискретного представлення кривих полягає в наступному. Класична, метрично-орієнтована дискретизація (наприклад, за стрілкою прогину), в залежності від обраного напрямку, в загальному випадку дає різні результати (рис.3а, 3б).

Причина незбігу результатів дискретизації очевидна, але необхідно відзначити, що й величина `* також стає змінною. А головне - вузли 1 та 2 в обох випадках розташовані нераціонально, що можна відзначити навіть візуально (останні інтервали мають завищену точність). Звідси випливає, що вузли каркасу не рівні між собою за свосю інформативною значущістю.

В задачах полігонізації віртуальних об'єктів необхідно розв'язувати цю задачу в іншій постановці. А саме - розташовувати вузли дискретизації за наперед заданою іх кількістю. Природньо, що при традиційному (метрично-орієнтованому) підході задача стає нелінійною і такою, що важко розв'язується обчислювальними засобами, а у випадку ПРК - взагалі такою, що не розв'язується.

В термінах варіаційного числення існування оптимальної дискретизації гладкої функції доведено. При цьому враховується близкість значень похідних інтервалів розбиття. Геометричне розв'язання даної задачі слід шукати з залученням апарату диференціальної геометрії. Теоретичною базою для цього є праці Г. Монжа, М.Я. Вигодського, і, особливо, М.Я. Громова.

У висновках до розділу вказується, що для науково повноцінного та практично ефективного розв'язання задач, пов'язаних з моделюванням СВР, необхідно розвинути теорію просторових обводів, розробити нові геометричні технології, що враховують специфічні особливості ДГМ стосовно до синтезу СВР. Відзначається, що проблема синтезу СВР є комплексною, її розв'язання можливе лише за умови інтеграції різних прикладних та класичних наук. Зроблено висновок, що найбільш раціональною слід визнати побудову концептуально цілісної технології, що базується на спеціальному геометричному інструментарії синтезу СВР.

Розділ 2 присвячений розвитку теорії просторових обводів кривих. У відповідності з задачами розділу викладено специфічні вимоги до методів конструювання просторових обводів, стосовно задач синтезу віртуальних об'єктів у полігональному форматі, розроблені геометричні способи прискорення процесів обробки графічної інформації на етапі візуалізації СВР. Запропонована методика оцінки інформаційної потужності динамічних віртуальних сцен.

Наведено узагальнюючу класифікацію обводів за гладкістю вигляду Гk/Гф, де Гk - порядок гладкості за кривиною; Гф - порядок гладкості за скрутом.

Просторова ламана має гладкість вигляду 0/0. При Гk =1 для суміжних дуг обводу має місце загальність стичних, при Гф =1 - загальність стичних площин. У обвода з гладкістю вигляду 1/0 суміжні дуги мають збіжні нормальні площини, а стичні площини мають деякий кут непогодження. У обвода з гладкістю вигляду 0/1 суміжні дуги мають збіжні стичні площини, а нормальні площини мають кут непогодження. У обвода вигляду 1/1 суміжні дуги мають збіжні тригранники.

При Гk =2 для суміжних дуг має місце збіг нормальних площин та радіусів кривини, при Гф =2 - збіг стичних площин та радіусів другої кривини. Так у обвода вигляду 2/1 суміжні дуги мають в точці стику спільний тригранник та однакові радіуси кривини і т.ін.

Розглядаються два методи конструювання просторових обводів: на основі метричної (рис. 4) та на основі кутової (рис. 5) розгорток. Сутність першого методу полягає в розгортанні циліндричної поверхні, на якій розташовується вихідний точковий каркас, при цьому відбувається спотворення кутів; при другому методі просторова ламана послідовними обертаннями навколо чергової ланки суміщується з площиною, в якій будується обвод. На заключному етапі здійснюється зворотнє перетворення конструкції у простір. Другий метод є більш алгоритмічним, але не дозволяє будувати обвод з гладкістю за скрутом Гф вище 1.

За аналогією з відомим плоским радіусографічним методом розроблений сферографічний метод конструювання просторового обводу (рис.6). Обвод будується безпосередньо в просторі. Дуги обводу - великі кола спряжених сфер. Алгоритм побудов: Хорда AB Ю Стична площина дуги AB Ю Головна нормаль в точці A Ю Серединна нормальна площина хорди AB Ю Центр кривини дуги AB Ю Головна нормаль в точці B Ю Хорда BC Ю Стична площина дуги BC Ю Серединна нормальна площина хорди BC Ю і т. ін.

Спосіб завдання дотичної tA в першій точці застосований на аналізі гладкості кутової розгортки всього точкового каркасу. Радіус RAB першої сфери визначається сферою, що проходить через перші 4 точки каркасу.

Обводи порядку гладкості 1/0, що лежать на поверхнях, пропонується конструювати за допомогою розгорток дотичних площин, що дає можливість мінімізувати сумарну довжину дотичних у вузлах точкового каркасу. Показано, що пропонований метод поширюється на всі регулярні поверхні (що мають в кожній точці дотичну площину).

Для випадків, коли в кутових точках відомі положення дотичних, можлива побудова обводів до порядку гладкості 2/2 включно. Метод названо методом миттєвих перетворень стичної площини навколо поточної ланки ламаної каркасу і може бути застосований до більшості відомих способів конструювання плоских обводів, якщо вони зводяться до послідовних дискретних побудов: проективні методи, метод інженерного дискримінанту тощо.

Відомий метод конструювання плоскої кривої 2-го порядку за допомогою двох проективних пучків. Для просторової задачі дотичні t1 та t2 будуть мимобіжними прямими. Нехай задано інтервал T1, T2 і положення дотичних t1 та t2 (рис.7). В загальному випадку довільно призначаються точки та і параметр дискретизації N. Виконується поточкова побудова обвода, кожна точка якого лежить в одному з проміжних положень стичної площини.

Стична площина обертаеться навколо хорди AB від початкового положення T1T2 до положення T1T2, займаючи N-1 проміжних положень. Три проективних пучки породжують криву 3-го порядку. Якщо одержану конфігурацію паралельно спроекціювати в напрямі на одну з початкових стичних площин, то одержимо відому конструкцію полінома Без'е (рис.8). Кривина побудованої кривої в точці T1 оцінюється величиною

в точці T2 - величиною

скрут в точці T1 - величиною

,

в точці T2 - величиною

При k1, k2 > 1 дуга містить точку перегину за кривиною, при , >1, - точку перегину за скрутом. Управляючи величинами кривини та скруту (переміщуючи точки та ), можна одержати обвод порядку 2/2.

На рис.9 наведені деякі результати експериментального дослідження алгоритмічності методу та його функціональних можливостей.

Сучасні візуалізатори СВР повинні мати певну функціональну гнучкість, щоб у процесі сеансів роботи їх швидкодія змінювалася в незначних межах, залишаючись достатньою для забезпечення прийнятних параметрів динамічної реалістичності. Основні технологічні шляхи (крім чисто апаратних) програмного досягнення цієї мети:

зміна ступеню деталізації всіх об'єктів сцени (зменшення кількості полігонів, в залежності від дистанції спостереження);

застосування швидких алгоритмів траекторної інтерполяції для всіх видів складних рухів, основаних на спрощених методах графічної інтерполяції дискретно представленої інформації (тимчасова дискретизація по інтервалах прорахунку одного кадру регенерації екрану);

використання для траекторної інтерполяції параметричних моделей дуг гвинтових просторових кривих, представлених у дискретній формі;

застосування швидких алгоритмів рендерингу полігонів та текстур, основаних на графічних методах формування екранних зображень відрізків прямих, в залежності від їх орієнтації. Останні повинні враховувати дискретність екранного комп'ютерного зображення, а також "прямокутність" екранних пікселів.

Моделювання траекторій руху рухомих віртуальних об'єктів здійснюється з застосуванням класичної теорії просторових обводів прикладної геометрії кривих. Однак, в деяких випадках ці методи не можуть бути застосовані. Такі екстремальні варіанти виникають при моделюванні об'єктів, що швидко рухаються або при високій інформаційній потужності віртуальної сцени. Для теперішнього часу - це кілька тисяч умовних полігонів/кадр. Найбільш ефективне використання для траекторної інтерполяції сферичної системи координат - (рис.10). Це обумовлено можливістю застосування в такому випадку так званого опосередкованого інтерполювання в просторі незалежних координат, по аналогії з теорією, розробленою А.В.Найдишем - методом дискретної інтерполяції в просторі незалежних параметрів.

В цьому випадку інтерполяція дискретного ряду точок розмірності N, заданих у сферичній системі координат, зводиться до трьох підзадач інтерполяції координатних залежностей: r=r(N), `=б(N), в=в(N). `ожна з цих залежностей може бути проінтерпольована найпростішими способами, аж до кусково-лінійного, оскільки їх потрійна суперпозиція призводить до цілком прийнятних, з точки зору візуального сприйняття, результатiв. Природньо, що якість (порядок гладкості) інтерполяції слід обирати, в залежності від величини можливого часового обчислювального інтервалу на прорахунок та рендеринг одного кадра сцени, що регенерується.

На рис.11 показано експериментальні результати інтерполяції дуги кола, що лежить в площині загального положення, з центром у довільній точці простору моделювання із застосуванням параболічної інтерполяції.

Поряд з чисто геометричними підходами до розв'язання задачі підвищення реалістичності віртуальних об'єктів, активний розвиток одержують технологічно нові методи, що дозволяють отримувати менш якісні зображення, але з набагато меншими обчислювальними витратами і, найголовніше, використати для цього універсальні PC. При певній модифікації ці методи дозволяють одержувати таке ж якісне зображення, як і при методах трасування променів, зберігаючи при цьому більш високу швидкодію.

Для точкових каркасів малої розмірності з великою віддаллю вузлів між собою виправдано використання інтерполяції за допомогою дуг гвинтових ліній: циліндричних, конічних, сферичних. Вибір тієї чи іншої лінії залежить від експертної оцінки взаемного положення нормалей у вузлах. Гладкість, яка при цьому досягається - 1/1.

Пряма лінія чи відрізок на зображенні є множиною точок зображення, відстань від яких до геометричної лінії, що зв'язує початок та кінець відрізка, не перевищує 1/2. Відрізок характеризується парою точок, що задають його початок та кінець. Однією з властивостей прямої на дискретизованому зображенні є відсутність у вказаній множині таких точок, які мають однакову координату вздовж більшої сторони відрізка. Тобто, якщо L є множина точок відрізка, заданого точками S1(x1,y1) и S2(x2,y2) то виконується умова:

цю умову можна представити інакше:

Останнє автоматично випливає з алгоритмів побудови прямої на дискретній сітці Брезенхема. Таким чином на більшій частині похилих відрізків має місце виграш в кількості горизонтальних пікселів, які відпрацьовуються з більшою швидкiстю. В розділі також викладені прискорені алгоритми зображення та текстурування замкнених полігонів, що базуються на методах паралельного аналізу та рендерингу.

І'формаційний стан візуалізатора СВР визначається трьома параметрами (за аналогією з фізичним об'єктом в тривимірній системі координат) (рис.12):

кількістю геометричної інформації статичної моделі макету - вісь А;

динамікою поведінки (руху) всіх рухомих об'єктів макету - вісь В;

динамікою поведінки спостерігача - вісь С.

Конкретно, значення функції A - є сумарна кількість геометричної інформації всіх елементів макета моделювання.

І'формаційний стан віуалізатора може бути представлений значенням функції вигляду I=f1{A,B,C}, причому, добуток A'BЧC `ожна використати як кількісну характеристику - інтегровану інформаційну потужність простору моделювання.

Функціональний простір візуалізатора з точки зору задач візуалізації визначається такими характеристиками:

об'ємом та складністю штучних та природніх перешкод, що моделюються, та ефектів: текстури поверхонь, трансформації об'єктів, перешкоди, що вносяться засобами технічного зору і т.ін. - осі L, M;

видом спостереження, режимами роботи оптичної системи засобу технічного зору: роздільна здатність, фокусна відстань, кратність масштабування і т.д. - вісь K.

За аналогією з інформаційною оцінкою функціональна потужність візуалізатора може бути оцінена функціоналом вигляду `=f2{K,L,M}. Процес моделювання можна представити як процес "занурення" простору I в простір `, що знаходить відображення в стратегії обраної схеми проходження геометричної інформації та формування кадрів зображень, що синтезуються.

Далі викладена методика проведення експериментів з визначенням фактичної швидкодії візуалізатора при різних комбінаціях інформаційних навантажень, наводяться кількісні та графічні результати експериментів.

У висновках до розділу дано оцінку функціональній повноті розроблених методів конструювання просторових обводів. Відзначено, що метод миттєвих перетворень стичної площини відзначається корисними дискретними властивостями. Вказано на завершеність розробки теоретичного базису геометричного інструментарію синтезу об'єктів та процесів віртуального простору. Вказано, що традиційний шлях екстенсивного розвитку апарата ГМ не дозволяє ефективно розв'язувати проблему реалістичності СВР, особливо з точки зору мінімізації об'ємів графічної інформації та швидкості її обробки програмно-апаратними засобами КГ. Необхідно розробити принципово нову технологію ДГМ для синтезу СВР.

Розділ 3 присвячений обгрунтуванню та формулюванню на концептуальному рівні нової технології дискретного геометричного моделювання об'єктів та процесів СВР на основі понять інтегральної моделі кривої та геометрично оптимальної дискретизації.

На додаток до відомих форм завдання та представлення кривої: в диференціальній формі (наприклад, рівнянням Rіkkatі - нелінійним диференціальним рівнянням першого порядку), як результат відображення в евклідовому просторі, натуральними рівняннями тощо, розглядаються та аналізуються інтерпретації кривих в точних технічних науках.

Якщо розглядати криву як траекторію матеріальної точки, що переміщується у просторі під дією деяких сил, то в термінах механіки справедливо таке. Робота R по переміщенню точки на шлях S визначасться, в загальному випадку, криволінійним інтегралом

Геометрично це твердження можна інтерпретувати таким чином. Кількість руху (площа графіка функції шляху від швидкості та часу) є наслідок прикладених імпульсів сил, формоутворюючих траекторію точки. Геометричним аналогом кінематичної природи кривої в площині є інтеграл кривини (для просторової кривої - повної кривини), тобто - площа області інтегрування.

В механіці рухів справедливий принцип незалежності рухів, який полягає в тому, що окремі рухи, в яких бере участь тіло в заданій системі відліку, не впливають один на одного, тобто будьякий рух можна представити як суперпозицію незалежних рухів.

Розглянемо схему механізму, що здійснює неперервне відтворення просторової кривої (рис. 13). Процес формоутворення кривої полягає у суміщенні в часі трьох незалежних рухів, а саме:

поступательне переміщення прямолінійної частини лінії зі швидкістю v;

поступательне переміщення робочого органу, що забезпечує зусилля P, яке викликає на кривій деформацію, причому P = f1(k, v), де k - кривина кривої;

обертання лінії з кутовою швидкістю `, причому ` = f2 (ф, v), `е ` - скрут кривої.

Для просторової кривої, за аналогією з натуральними рівняннями її завдання можна поставити у однозначну відповідність графічне представлення її повної кривини (рис. 14). Тоді можна сформулювати таке.

Визначення. Iнтегральною моделлю K кривої /IМК/ в натуральній параметризації на інтервалі [s1,s2] називається відсік лінійчастої поверхні з площиною паралелізму k' та двома напрямними: відрізком [s1,s2] та лінією K(s) повної кривини.

В декартових координатах площа коноїда інтегральної моделі K може бути виражена через функції кривини та скруту як подвійний інтеграл в області (D) на інтервалі [s,s]

Де

Функції h(y) та f(x) - відображення функцій k(s) та `(s) на координатні площини.

Для здійснення якісної оцінки дискретних каркасів введено поняття їх інформативності в термінах теорії інформації. Наявність цієї характеристики дозволяє здійснювати порівняльні оцінки дискретних каркасів.

Введемо поняття стійкості незамкненого точкового каркасу, яка оцінюється функціоналом вигляду:

де В - довжина відрізка , для всіх k = [1:N];

С - довжина відрізка , для всіх k = [1:N - 1];

L - довжина відрізка , для всіх k = [2:N - 1].

Для стійкого стану конфігурації значення функціоналу U повинно бути в межах вiд 0 до Umax:

, для m = [1:N - 2}, l = [1:N - 1].

Тоді інформативність Т каркасу визначається як T=log2(U) (біт).

З врахуванням введеного поняття інформативності дискретного каркасу можна сформулювати визначення геометрично оптимальної дискретизації таким чином.

Визначення. Точковий каркас кривої геометрично оптимальний, якщо при заданому параметрі дискретизації N він має максимальну величину інформативності Т і при видаленні будьякого з внутрішніх вузлів інформативність каркасу знижується на одну й ту ж величину.

На IМК оптимальної дискретизації відповідає її поділ на рівні за площею смуги.

Покажемо принципову відмінність оптимальної дискретизації на прикладі плоскої монотонної кривої, що не знижує загальності методу. Дискретизація по IМК має властивість адитивності та однозначності. Так для заданого N=3 IМК розділена на 3 рівновеликі за площею трапеції і одержаний каркас представлений на рис.15. В таблиці наведено результати почергового видалення одного з вузлів, звідки видно, що інформативність каркасу рис.15 розподілена між вузлами значно рівномірніше, ніж на каркасах рис. 3.

Каркас (рис.№) Повна інформативність каркасу І'формативність каркасу без вузла 1 І'формативність каркасу без вузла 2

Усереднений розкид інф-сті вузлів

3а) 3,38 1,45 2,12 19%

3б) 4,22 1,36 2,27 21%

15 4,84 1,84 2,33 11%

Вписана просторова ламана узагальненої гвинтової лінії, заданої в натуральній параметризації на інтервалі [s1,s2], що виділяє на кривій еквівалентні дуги, визначається виразом

де j - розмірність дискретного каркасу;

K(s) - повна кривина кривої;

Pj - інтегральна кривина дуги підінтервалу.

Геометрична інтерпретація метода: з похибкою h3(0) чергова точка розбиття знаходиться як точка перетину кривої, що дискретизується, з конусом обертання з кутом при твірній Pj та віссю, яка збігається з поточною дотичною (рис. 16).

Відомо, що еквідистанта m кривої l в термінах диференціальної геометрії є деяка крива, одержана зсувом l вздовж нормалей на фіксовану відстань d (параметр еквідистанти) в той чи інший бік, тобто криві m та l мають спільну еволюту і є евольвентами останньої. Iншими словами параметр d є додатній або від'ємний приріст радіуса кривини еквідистанти заданої постійної величини, що призводить до появи деякого `km=f(kl,d).

Розглянемо інтегральні моделі відповідних дуг вихідної кривої та її еквідистанти. Оскільки у граничних відповідних точках дуг цих кривих супроводжуючі тригранники попарно паралельні, тобто інтегральні кривина та скрут цих відповідних дуг рівні, приходимо до вимоги рівності площ інтегральних моделей відповідних дуг вихідної кривої та її еквідистанти і тоді можна сформулювати таке.

Твердження: довжина дуги еквідистанти Sm пов'язана з довжиною відповідної дуги Sl вихідної регулярної плоскої кривої співвідношенням

тобто відношення довжин відповідних дуг еквідистантних кривих обернено

пропорційне відношенню площ їх інтегральних моделей.

Для просторових кривих формула має вигляд

де K - повна кривина кривої.

Таким чином для побудови дуги еквідистанти необхідно вводити масштабний коефіціент ` перепараметризації по довжині дуги.

Розглянемо інтегральну модель (рис.17) кривої l, заданої натуральними рівняннями k=k(s)=const, t=ф(s)=const. `скільки ця крива є циліндричною гвинтовою лінією, її радіус кривини `=1/k і гвинтовий параметр `=1/t є постійними величинами. Тоді однопараметрична сім'я еквідистант (за параметром d) визначається паралельними лініями графіків кривини з `k=±d/т(т±d). Це, в свою чергу, призводить до відповідних змін графіків скруту на величину `t і повної кривини еквідистанти m, у відповідності з рівнянням Ланкре.

На рис.18 зображені: зовнішня еквідистанта (d>0) - крива 2; внутрішня еквідистанта (d<0, `k=-2k) - крива 3, при цьому еквідистанта 3 є дзеркальним відображенням вихідної кривої l. Відзначимо, що й графік її кривини також є дзеркальним відображенням графіка кривини вихідної кривої.

І'К дозволяє побудувати дискретний каркас, що однозначно відповідає кривій, представленій нею. На рис.19 наведено графічний алгоритм відповідних перетворень вихідної прямої за аналогією з кінематичним варіантом формоутворення.

На рис. 20 показано приклад моделювання кривої з постійними та рівними кривиною та скрутом (гіперболічна спіраль - окремий випадок геліси), на рис. 21 суміщені при рівних початкових умовах дві криві з постійними, але не рівними кривиною та скрутом, при цьому кривина однієї кривої є скрутом другої та навпаки (так звані диференціально обернені криві).

Моделювання кривої рис. 20 провадилось при параметрі дискретизації N=60, кривої рис.21 при N=100; метрика відповідала роздільній здатності 840'1024 екранних піксела.

На рис.22 представлений дискретний синтез складної трубчастої поверхні, утвореної згинанням осі циліндра обертання за заданими графіками кривини та скруту пилкоподібної конфігурації. Дискретизація - 120 елементів.

У висновках до розділу вказується, що IМК є найбільш компактним представленням просторової кривої, вона дозволяє реалізувати оптимальну дискретизацію. Відзначаються ілюстративні можливості IМК. Нова інтерпретація еквідистантної кривої у термінах IМК дозволяє реалізувати паралельні процеси моделювання. Методика оцінки інформативності дискретних каркасів кривих дає можливість реалізувати стиск графічної інформації з урахуванням збереження геометричної подібності моделі. Основний висновок - розроблено теоретичне ядро геометричного інструментарію дискретного ГМ.

Розділ 4 присвячено розробці методик синтезу об'єктів та динамічних сцен на базі IМК, траекторній інтерполяції, а також дослідженню функціональних можливостей IМК стосовно різноманітних задач візуалізації СВР.Технологію наскрізної дискретизації всіх етапів моделювання об'єктів складної геометричної природи можна наочно продемонструвати на прикладі автоматизованого синтезу поверхонь кінематичним методом. Задано інтегральні моделі двох кривих: m - просторова напрямна; l - плоска твірна, та параметри форми кінематичної поверхні класу каналових (рис. 23): ` - кут нахилу площини твірної l відносно дотичної площини напрямної m; ` - кут повороту дотичної tl твірної відносно дотичної tm напрямної в дотичній площині напрямної.

Ступінь дискретизації поверхні, що моделюється, визначається заданим числом чотирикутних полігонів і відповідає добутку параметра дискретизації твірної на параметр дискретизації напрямної.

Кут неплощинності ` визначає порогову величину в градусах (від 10 до 20), яка дорівнює куту при діагоналі чотирикутного полігона. Якщо кут перевищує `, то полігон слід разділити на два трикутних полігона, у противному разі можуть виникнути небажані візуальні ефекти при реалізації операцій текстурування чи згладжування, при розв'язанні задачі визначення взаємної видимості полігонів.

На рис. 24 представлені зображення (дротяна та текстурована моделі) поверхні, яка характеризується тим, що кут ` положення твірної лінійно змінюється в інтервалі від `/2 до -'/2, це приводить до значної кривини поверхні, що, в свою чергу, викликає підвищення ступеню тріангулювання полігонів. На правому перспективному зображенні візуальне спотворення форми поверхні викликане малою зоровою відстанню до об'єкта.

Вiдновлення кривих за інтегральними моделями у вигляді ламаної лінії забезпечує визначення диференціально-геометричних характеристик у вузлах і можна досить просто моделювати практично всі відомі методи констрування поверхонь.

Відсік оболонки, зображений на рис.25, одержано конструюванням кінематичної поверхні з постійною орієнтацією твірної p та її еквідистанти e відносно напрямної s за таким алгоритмом (рис. 26):

формується інтегральна модель напрямної s і задається параметр дискретизації (дорівнює 2);

формується інтегральна модель твірної p, задається параметр дискретизації (дорівнює 2) та параметр еквідистанти d;

задається орієнтація твірної p у вузлах напрямної та масштабування m по довжині твірної.

Згинання, що відповідає закритичним деформаціям тонкостінних оболонок, належить класу задач на кусково-регулярних поверхнях. Це означає, що поверхні завжди мають ребра. Як правило, це лінії сітки геодезичних. Таке положення визначено тим, що в теорії оболонок не враховуються внутрішні напруги і деформація зводиться до чисто геометричної, тобто - ізометричної. А ізометричне перетворення поверхонь, як відомо, найбільш точно відбивається на сітках геодезичних ліній.

Відомий варіаційний принцип: під дією заданого навантаження F, оболонка D серед всіх можливих форм D*, що задовольняють умовам закріплення, приймає таку форму F' (рис.27), на якій функціонал

W ` UD* ` AD*(F),

де AD*(F) - робота, що виконується навантаженням F; UD* - енергія деформації, стаціонарна, тобто має варіацію, що дорівнює нулю.

Якщо за умови моделювання прийняти такі обмеження: згинання ізометричне; контур оболонки закріплений; схема деформації - "дзеркальне випучування"; навантаження - рівномірно розподілене; сітка, що моделюється - геодезична, то використовуючи інтегральну модель кривої (у випадку, що розглядається, головний меридіан відсіку сферичної поверхні), можна змоделювати динаміку процеса деформації оболонки як деформацію інтегральної моделі. У даному випадку варіаційний принцип реалізується таким чином, що сумарна площа інтегральної моделі кривої (в енергетичній інтерпретації) та навантаження, є величини постійні (рис.28). IМК однозначно визначає форму деформованого меридіана оболонки.

На рис.29 представлено кілька фаз процесу деформації сферичної оболонки.

І'тегральна модель кривоі дозволяє будувати розгалужувані алгоритми. При цьому, завдяки своїм диференціальним властивостям, навіть при прямолінійному характері графіків кривини та скруту, IМК породжує просторові криволінійні форми, причому, всі ці форми характеризуються властивістю самоподібності, що є одним з обов'язкових атрибутів процесу фракталізації.

На рис.30 наведено схему алгоритму розгалуження IМК. Показано лише одну з віток, що породжуються IМК-атрактором (верхня модель) з глибиною фракталізації, яка дорівнює 3. При заданих параметрах, що визначають масштаб часу і простору, глибину фракталізації, а також параметр дискретизації кривих, програмний генератор псевдовипадкових чисел визначає такі параметри процесу:

кути нахилів графіків функцій кривини та скруту;

момент початку розгалуження;

початкові значення кривини та скруту, початкову орієнтацію тригранника кривої у глобальній системі координат простору моделювання.

Метод призначено для моделювання реалістичних сцен ландшафтних картин невеликої інформаційної потужності.

На рис.31 показано три кадри візуалізації процесу росту чагарника: перша фігура відповідає 20, друга - 50, третя - 80 кадрам, що адекватно реальному часу біля 3 секунд.

При моделюванні складних переміщень різних транспортних засобів /ТЗ/ в просторі віртуальної реальності розрізняють такі види рухів:

керований чи програмований рух наземного ТЗ по ландшафту заданої картографічної поверхні;

керований чи програмований рух повітряного ТЗ з 6-ма ступенями свободи.

Задача моделювання руху наземного ТЗ є найбільш складною з точки зору обчислювальної та графічної реалізації. Це пов'язано з тим, що дійсна траекторія руху ТЗ залежить не тільки від траекторії, що вимагається, але й від поточної форми поверхні (ландшафту). Оскільки пріоритет реальності масштабу часу моделювання абсолютний, алгоритми та процедури руху орієнтовані, в першу чергу, на досягнення необхідної швидкодії, іноді навіть за рахунок забезпечення точності позиціонування та орієнтації. З цієї ж причини в якості геометричної моделі віртуального наземного ТЗ використовується спрощена 3-х опорна конструкція, що визначається такими параметрами: довжина об'екту - L, ширина - d, база (відстань центра мас від опорних точок) - h, засіб технічного зору (наприклад об'єктив телекамери) розташовується на висоті P від центра мас (рис. 32).

На рис. 33 представлено кадри візуалізації динамічної сцени руху наземного ТЗ гірським ландшафтом (в полігональному та текстурованому форматах).

Зв'язки між всіма координатними системами простору моделювання рухів, до екранної включно, описуються тензорами геометричних перетворень, які можуть бути представлені як відповідні матриці трансляцій та обертань.

Для траекторії руху центра мас літального апарату /ЛА/ класичні рівняння Френе в траекторній системі координат можна записати у вигляді

; ; ,

Де - орт-вектор нормалі траекторії, що збігається з віссю oz траекторної системи координат;

- орт-вектор бінормалі, що збігається з віссю oy;

- орт-вектор дотичної, суміщений з віссю ox.

Якщо цю систему доповнити рівнянням dr/ds =, то формули можна інтерпретувати як ланцюжок з трьох послідовних обертань твердого тіла з вектором миттєвої абсолютної швидкості ф+ k. Оскільки вектор , розташований у спрямній площині траекторії, то його розклад має тільки два складових вектори: та k, тобто обертання тригранника зводиться тільки до двох незалежних обертань. Одно обертання відбувається навколо бінормалі з кутовою швидкістю k.