3

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Задача соболева для еліптичних і параболічних рівнянь і систем в повних шкалах просторів узагальнених функцій

01.01.02 - Диференціальні рівняння

ЛОСЬ Валерій Миколайович

УДК 517.956.223 + 517.956.4

Київ - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Чернігівському державному педагогічному університеті іменi Т. Г. Шевченка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

РОЙТБЕРГ Яків Абрамович, Чернігівський державний педагогічний університет іменi Т.Г.Шевченка, професор

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор ЖИТАРАШУ Микола Васильович, Державний університет Молдови, Кишинів, професор;

доктор фізико-математичних наук, професор НИЖНИК Леонід Павлович, Інститут математики НАН України, головний науковий співробітник.

Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки НАН України, м.Донецьк.

Захист відбудеться “ 19 ” вересня 2000р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою:

01601, Київ, Терещенківська 3, Інститут математики НАН України.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “_24_”_липня_2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

Анотації

еліптичний параболічний рівняння

Лось В.М. Задача Соболева для еліптичних і параболічних рівнянь і систем в повних шкалах просторів узагальнених функцій.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння.- Інститут математики НАН України, Київ, 2000.

Задача Соболева - це задача, в якій граничні умови задаються лінійними диференціальними виразами на многовидах різних розмірностей. В дисертаційній роботі вивчаються в повних банахових шкалах еліптична, еліптична з параметром і параболічна задачі Соболева для одного рівняння і для загальних систем. Для них одержані умови існування узагальненого розв'язку і доведені теореми про повний набір ізоморфізмів, відмічені застосування.

Ключові слова: еліптична задача Соболева, еліптична з параметром задача Соболева, параболічна задача Соболева, многовид, узагальнений розв'язок, теорема про повний набір ізоморфізмів

Los V.M. Sobolev's problem for elliptic and parabolic equations and systems of equations in complete scales of spaces of generalized functions.-Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of physical and mathematical degree on the speciality 01.01.02 - Differential Equations. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2000.

Sobolev's problem is the problem, in which boundary conditions are given by linear differential expressions on manifolds of various dimensions. The thesis deal with elliptic, elliptic with parameter and parabolic Sobolev's problems in complete Banach scales. For these problems conditions of existion of generalized solution are obtained, theorems on complete collection of isomorphisms are proved.

Key words: elliptic Sobolev's problem, elliptic with parameter Sobolev's problem, parabolic Sobolev's problem, manifold, generalized solution, theorem on complete collection of isomorphisms.

Лось В.Н. Задача Соболева для эллиптических и параболических уравнений и систем в полных шкалах пространств обобщенных функций.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения.- Институт математики НАН Украины, Киев, 2000.

Диссертация посвящена исследованию в полных шкалах пространств обобщенных функций эллиптической, эллиптической с параметром и параболической задач Соболева для одного уравнения и для систем структуры Дуглиса-Ниренберга (эллиптическая и эллиптическая с параметром задача), и Петровского (параболическая задача).

В ограниченной области , граница которой состоит из компактных многообразий без края различных размерностей, рассматривается правильно эллиптическая (правильно эллиптическая с параметром) задача, граничные условия в которой ставятся помимо внешней границы еще и на внутренних . Используя теорию разрешимости общих эллиптических (эллиптических с параметром) граничных задач в областях с гладкой (n-1)-мерной границей и теоремы об изоморфизмах для задач на многообразиях без края, находим отдельно компоненты решения эллиптической (эллиптической с параметром) задачи Соболева в и отдельно на (). Для получения заданной гладкости необходимо, чтобы компоненты вектора-решения были согласованы между собой. Далее, используя методику перенесения результатов с эллиптических с параметром задач на параболические, получаем теоремы о разрешимости параболической задачи Соболева. Итак, в работе изучены эллиптическая, эллиптическая с параметром и параболическая задачи Соболева, для них получены условия существования обобщенного решения, доказаны теоремы о полном наборе изоморфизмов, отмечены их применения.

Ключевые слова: эллиптическая задача Соболева, эллиптическая с параметром задача Соболева, параболическая задача Соболева, многообразие, обобщенное решение, теорема о полном наборе изоморфизмов.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Починаючи з 60-х років в роботах Ліонса-Мадженеса, Ю. М. Березанського, С. Г. Крейна, Я. А. Ройтберга та інших авторів еліптичні задачі вивчаються в повних шкалах гільбертових та банахових просторів. Для них встановлені теореми про повний набір ізоморфізмів, які, грубо кажучи, означають, що оператор, породжений еліптичною задачею, встановлює ізоморфізм між простором функцій, що ”має похідних”, і простором функцій, ”що має похідних” ( будь-яке дійсне число, порядок задачі). В роботі М. С. Аграновіча і М. І. Вішика виділено важливий клас: еліптичні з параметром задачі. Найсуттєвіша відмінність, яка відрізняє ці задачі від еліптичних, полягає в тому, що замість нетеровості має місце однозначна розв'язність, а це в свою чергу дозволяє вивчати параболічні задачі. Для параболічних задач теореми про повний набір ізоморфізмів встановлені М. В. Житарашу та С. Д. Ейдельманом.

Теореми про ізоморфізми, важливі самі по собі, знайшли численні застосування як в самій теорії диференціальних рівнянь математичної фізики, так і в спектральній теорії, в задачах механіки і оптимального управління.

У названих вище авторів еліптичні задачі вивчаються в обмеженій області з гладкою - вимірною межею Між тим в роботах С. Л. Соболева вивчались задачі, де межа вже не являє собою гладку - вимірну поверхню, а може складатися з многовидів різних розмірностей: , -вимірний компактний многовид без краю - зовнішня межа , -вимірний компактний многовид без краю, , розташований всередині Г₀. Результати С. Л. Соболева були узагальнені в роботах Б. Ю. Стерніна і С .П. Новікова. В них задача Соболева для загальних еліптичних рівнянь в класах достатньо гладких функцій вивчена достатньо повно. В роботах Я. А. Ройтберга і А. В. Склярця задача Соболева для еліптичних рівнянь і систем вивчається в повних шкалах банахових просторів; для неї встановлені теореми про повний набір ізоморфізмів при додаткових припущеннях на граничні умови, а саме, граничні вирази на нормальні в розумінні Ароншайна - Мільграма - Шехтера, граничні умови на утворюють для кожного системи Діріхле. Між тим, в класах достатньо гладких функцій умови нормальності не є обов'язковими.

Природно виникають питання про встановлення теорем про повний набір ізоморфізмів для еліптичної задачі Соболева без додаткових обмежень на граничні умови, про вивчення еліптичних з параметром та параболічних задач Соболева в повних шкалах банахових просторів і встановлення для них теорем про повний набір ізоморфізмів. Розв'язанню цих питань і присвячено дану роботу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота є частиною теми ”1-98 Теорія розв'язності задач математичної фізики в повних шкалах банахових просторів узагальнених функцій та її застосування”, включеної в план наукових досліджень з математики Національної академії наук України і план наукових досліджень кафедри математичного аналізу Чернігівського державного педагогічного університету імені Т. Г. Шевченка.

Мета роботи. Метою дисертації є доведення теорем про повний набір ізоморфізмів для еліптичної, у випадку загальних граничних умов, еліптичної з параметром і параболічної задачі Соболева, і узагальнення цих результатів на системи структури Дугліса-Ніренберга (еліптична і еліптична з параметром задача) і Петровського (параболічна задача).

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, наступні:

доведені теореми про повний набір ізоморфізмів для еліптичної задачі Соболева як для одного рівняння, так і для систем структури Дугліса-Ніренберга без припущень про нормальність граничних умов;

доведені теореми про повний набір ізоморфізмів для еліптичної з параметром задачі Соболева як для одного рівняння, так і для систем структури Дугліса-Ніренберга;

доведені теореми про повний набір ізоморфізмів для параболічної задачі Соболева як для одного рівняння, так і для систем структури Петровського.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер, її результати є певним внеском в теорію диференціальних рівнянь в частинних похідних і можуть бути використані для подальших досліджень у цьому напрямку.

Зазначимо, що всі твердження з тими ж доведеннями залишаються вірними, якщо вирази (0.1)-(0.3), (0.6)-(0.8) псевдодиференціальні вздовж і диференціальні в нормальних до напрямках.

З одержаних в роботі результатів можна виводити такі ж твердження для задачі Соболева, які одержують з теорем про ізоморфізми для звичайних граничних задач. Наведемо коротко деякі з можливих застосувань. Теорема про повний набір ізоморфізмів дозволяє побудувати і вивчити функцію Гріна для задачі Соболева, дозволяє вивчити локальну гладкість розв'язків впритул до , дозволяє вивчити задачі Соболева, що сильно вироджуються, дозволяє вивчити задачу Соболева у випадку, коли праві частини мають як завгодно великі степеневі особливості вздовж многовидів різних розмірностей.

Апробація результатів дисертації і публікації. Основні результати дисертації доповідалися на семінарах кафедри математичного аналізу Чернігівського державного педагогічного університету, науковому семінарі Інституту математики НАН України, Міжнародній конференції ”Operator Theory And Applications” (1997р., Одеса), 8-й Кримській Міжнародній Математичній Школі-симпозіумі (КРОМШ-8) ”Spectral and Evolutionary Problems” (1997р., Севастополь), 7-й Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (1998р., Київ) та опубліковані у 6 працях (список наведено в кінці автореферату).

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації опубліковано в працях [1-6]. В усіх сумісних роботах Я. А. Ройтбергу належить постановка задачі і обговорення результатів, автору - доведення всіх тверджень. В роботі [4] автору належить доведення всіх тверджень для еліптичної задачі Соболева без припущень про нормальність граничних умов, А. В. Склярцю - для еліптичної задачі Соболева з нормальними граничними умовами.

Структура дисертації. Дисертаційна робота викладена на 121 сторінці і складається з вступу, шести розділів основного змісту, висновків та списку цитованої літератури (7 сторінок, 67 найменувань).

2. Основний зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність теми, коротко викладено зміст роботи, сформульовано основні результати, показано відмінність одержаних результатів від результатів попередників. Перший розділ присвячено огляду наукових праць в галузі дослідження. В другому розділі вивчається еліптична задача Соболева для одного рівняння, докладно розкривається методика дослідження таких задач без додаткових припущень про нормальність граничних виразів, доводиться теорема про повний набір ізоморфізмів для даної задачі, а в третьому - ці результати узагальнюються на системи структури Дугліса-Ніренберга. В четвертому розділі вивчається еліптична з параметром задача Соболева для одного рівняння, доводиться теорема про повний набір ізоморфізмів для даної задачі, в п'ятому - ці результати узагальнюються на системи структури Дугліса-Ніренберга. В шостому розділі вивчається параболічна задача Соболева для одного рівняння і для систем структури Петровського, і встановлюються теореми про ізоморфізми для цих задач.

1. Постановка і основні результати для еліптичної задачі Соболева

Нехай - обмежена область, її межа; - вимірний компактний многовид без краю - зовнішня межа -вимірний компактний многовид без краю, розташований всередині, ковимірність . Розглянемо задачу:

Нехай . Коефіцієнти всіх виразів вважаємо, для простоти, нескінченно гладкими в і відповідно. Скрізь в роботі вважається, що задача (0.1), (0.2) еліптична в тобто що вираз правильно еліптичний в а вирази задовольняють на умови Лопатинського. Вважається також, що умови (0.3) утворюють на для кожного еліптичну за Дуглісом-Ніренбергом систему. Пояснимо це. Запишемо в околі в локальних координатах вирази у вигляді Нехай Матриця для кожного має структуру Дугліса-Ніренберга: якщо рядку з номером поставити у відповідність число а стовпчику з номером число то одержимо, що ord якщо і якщо Вважаємо, що для кожного матриця визначає еліптичну на по Дуглісу-Ніренбергу систему: матриця квадратна і де головний символ виразу. Розв'язок задачі (0.1)-(0.3) шукаємо як елемент простору який вводимо як поповнення простору по нормі де нормаль до ортогональний репер до норма в просторі бесселевих потенціалів норма в просторі Бєсова

Простір (лема 2.2.4.) складається з векторів

Для виключених значень простір і норма в ньому визначаються за допомогою комплексної інтерполяції.

Теорема 2.2.1. Для кожного і замикання відображення неперервно діє в парі просторів

Якщо то оператор є розширенням по неперервності оператора

Означення. Елемент для якого назвемо узагальненим розв'язком задачі (0.1)-(0.3).

При дослідженні розв'язності задачі (0.1)-(0.3) користуємось, по-перше, теоремою про повний набір ізоморфізмів для задачі (0.1)-(0.2), це дозволяє знайти перші компоненти шуканого розв'язку, по-друге, вирази (0.3) утворюють для кожного на компактних многовидах без краю еліптичні за Дуглісом-Ніренбергом системи, для яких також вірна теорема про повний набір ізоморфізмів, це дозволяє знайти решту компонент. А для того, щоб знайдений вектор належав, необхідно і достатньо, щоб вико-нувались умови узгодження Зауважимо, що в роботах Я. А. Ройтберга і А. В. Склярця використовувалась теорема про повний набір ізоморфізмів для задачі (0.1)-(0.2) у випадку, коли граничні вирази (0.2) нормальні в розумінні Ароншайна-Мільграма-Шехтера і перша шукана частина розв'язку мала вигляд а граничні вирази (0.3) утворювали системи Діріхле, а це, в свою чергу, дозволяло автоматично знайти решту компонент. Отже,

Теорема 2.5.1. Нехай Для розв'язності в задачі необхідно, а якщо виконуються умови узгодження при то і достатньо, щоб виконувались наступні співвідношення:

Тут компоненти ядра оператора - коядра операторів, породжених задачею (0.1)-(0.2) і умовами (0.3) відповідно, і розширення скалярного добутку в і відповідно. Зауважимо, що якщо дефект задачі (0.1)-(0.3) відсутній, то оператор встановлює ізоморфізм в іншому випадку задача (0.1)-(0.3) лише нетерова. З доведення теореми випливає, що при, де оператор, по-роджений задачею (0.1)-(0.2), оператори, породжені умовами (0.3).

Нехай. Розглянемо задачу (0.1)-(0.3) з (частинний випадок: внутрішня межа складається з одного многовиду). Тоді, якщо то може бути зосередженим на Поставимо таке запитання: “Чи не можна до додати такий елемент, зосереджений на щоб для задачі (0.1)-(0.3) з виконувались умови узгодження?” Наступна теорема дасть відповідь на це запитання. Зауважимо, що і співпадають всередині якщо то

Теорема 2.6.1. Нехай Тоді до можна додати такий елемент, зосереджений на, щоб умови узгодження для задачі автоматично виконувались, і, тоді, ця задача розв'язна в тоді і тільки тоді, коли виконуються умови (0.4), (0.5).

Для ілюстрації одержаних результатів наведемо приклад Соболева. В області розглядається задача де оператор Лапласа. Функція є єдиним розв'язком з цієї задачі, при цьому. Легко перевірити, що в маємо (де міра Дірака, зосереджена в точці, можна вибрати як завгодно малим). Тому. Щоб одержати більш гладкий розв'язок, потрібно, щоб виконувалась умова узгодження

Далі точно так досліджується задача Соболева для еліптичних за Дуглісом-Ніренбергом систем і всі результати узагальнюються на цей випадок (розділ 3: теореми 3.2.1., 3.5.1., 3.6.1.).

Зауважимо, що основною метою при дослідженні еліптичної задачі Соболева як для одного рівняння так і для систем, є встановлення теорем про розв'язність задачі у випадку загальних граничних умов. Результати цього пункту у випадку, коли вирази (0.3) утворюють системи Діріхле, а вирази (0.2) нормальні в розумінні Ароншайна-Мільграма-Шехтера, добре відомі, тут позбавились від цих обмежень.

2. Постановка і основні результати для еліптичної з параметром задачі Соболева

Методика дослідження еліптичної з параметром задачі повністю співпадає з методикою вивчення еліптичної задачі, основна відмінність еліптичної з параметром задачі від еліптичної полягає в тому, що замість нетеровості має місце однозначна розв'язність, а це, в свою чергу, дозволяє встановити теореми про повний набір ізоморфізмів для параболічних задач Соболева.

Нехай область і її межа такі ж як і в попередньому пункті.

Розглянемо еліптичну з параметром задачу Соболева:

Коефіцієнти всіх виразів вважаємо, для простоти, нескінченно гладкими в і відповідно. Скрізь в роботі вважається, що задача (0.6)-(0.7) еліптична з параметром в, тобто що вираз правильно еліптичний з параметром в, а вирази задовольняють на умови Лопатинського з параметром. Вважається також, що умови (0.8) утворюють на для кожного еліптичну з параметром за Дуглісом-Ніренбергом систему (подібно до попереднього пункту). Будова всіх функціональних просторів базується на введенні в просторі бесселевих потенціалів норми, що залежить від параметра: Розв'язок задачі (0.6)-(0.8) шукаємо як елемент простору, який вводимо як поповнення простору по нормі де і норми, що залежать від параметра, в просторах і Будемо надалі позначати простори з нормами, що залежать від параметра, через і

Простір (аналог леми 2.2.4) складається з векторів

Для виключених значень простір і норма в ньому визначаються за допомогою комплексної інтерполяції.

Теорема 4.2.1. Для кожного і замикання відображення неперервно діє в парі просторів Якщо, то оператор є розширенням по неперервності оператора.

Означення. Елемент, для якого, назвемо узагальненим розв'язком задачі (0.6)-(0.8).

Теорема 4.5.1. Нехай. Існує таке число, що при і:

(і) для задача має єдиний розв'язок в. Існує стала, яка не залежить від, і така, що

(іі) твердження (і) вірне при тоді і тільки тоді, коли виконуються умови узгодження

Аналогічно, розглянемо задачу (0.6)-(0.8) з. В цьому випадку, якщо, то може бути зосередженим на.

Теорема 4.6.1. Нехай і. Тоді до можна додати такий елемент, зосереджений на, щоб умови узгодження для задачі автоматично виконувались, і існує таке число, що при і ця задача має єдиний розв'язок в. Існує стала, яка не залежить від, і така, що

Далі точно так досліджується задача Соболева для еліптичних з параметром за Дуглісом-Ніренбергом систем і всі результати узагальнюються на цей випадок (розділ 5: теореми 5.2.1., 5.5.1., 5.6.1.).

Зауважимо, що на відміну від попереднього пункту, де основною метою було одержати теореми про розв'язність задачі Соболева, звільнившись від додаткових обмежень про нормальність граничних виразів, еліптична з параметром задача Соболева в класах узагальнених функцій вивчається вперше, всі результати одержані вперше і належать автору.

3. Постановка і основні результати для параболічної задачі Соболева

Нехай область і її межа такі ж як і в першому пункті. зовнішня бокова поверхня циліндра..

Розглянемо в параболічну задачу Соболева в такій постановці: де лінійний диференціальний оператор порядку відносно, заданий в області, лінійні диференціальні оператори порядків відносно, задані на лінійні диференціальні оператори порядків відносно, задані на Порядок оператора визначається як найвищий порядок його членів, а порядок члена дорівнює . Число називається параболічною вагою задачі, дільник числа . Для простоти, коефіцієнти всіх виразів вважаємо нескінченно гладкими в і відповідно, і розглядаємо теорію.

Задачу (0.9)-(0.12) будемо називати параболічною в , якщо після фіксування значення часу в коефіцієнтах операторів , і і заміни на оператори і визначають в куті для будь-якого значення еліптичну з параметром задачу Соболева (див. попередній пункт).

Для через позначимо анізотропний простір функцій, що мають гладкість по і по. Позначимо через множину функцій з, що анулюються поблизу, через підпростір, одержаний замиканням множини в. Через позначимо простір, спряжений до відносно розширення скалярного добутку в. Аналогічно, анізотропний простір Соболева-Слободецького на. Розв'язок задачі (0.9)-(0.12) шукаємо як елемент простору який вводимо як поповнення простору по нормі

де нормаль до - ортогональний репер до і -норми в анізотропних просторах і відповідно. Для виключених значень простір і норма в ньому визначаються за допомогою комплексної інтерполяції.

Простір складається з векторів

Сформулюємо зараз умови, які будемо накладати на вектор де правих частин задачі (0.9)-(0.12), які необхідні для того, щоб при шуканий розв'язок належав.

Умова 1. Компоненти вектора задовольняють умови узгодження при до порядку.

Умова 2. При потрібно, щоб компоненти вектора були підібрані так, щоб для знайденого розв'язку виконувались умови.

Використовуючи методику М. С. Аграновіча і М. І. Вішика, М. В. Житарашу і С. Д. Ейдельмана, переносимо результати з еліптичних з параметром задач на параболічні.

Теорема 6.1.1. Для кожного замикання відображення неперервно діє в парі просторів. Якщо, то оператор є розширенням по неперервності оператора

Означення. Елемент, для якого, назвемо узагальненим розв'язком задачі (0.9)-(0.12).

Теорема 6.1.2.

(і) При задача має єдиний розв'язок в для будь-якого. Оператор встановлює ізоморфізм. Існує стала, яка не залежить від і така, що

(іі) Твердження (і) вірне при тоді і тільки тоді, коли задовольняє умови 1 і 2. Ізоморфізм відповідно здійснюється між і множиною функцій з, що задовольняють умови 1 і 2.

Далі точно так вивчається задача Соболева для параболічних по Петровському систем, всі результати узагальнюються на цей випадок (розділ 6: теореми 6.2.1., 6.2.2.). Зазначимо, що системи структури Петровського розглядаються для простоти викладок, результати залишаються вірними і для загальних систем структури Солоннікова. Зауважимо, що параболічна задача Соболева в класах узагальнених функцій вивчається також вперше, всі результати одержані вперше і належать автору.

Висновки

Доведені теореми про повний набір ізоморфізмів для еліптичної задачі Соболева для одного рівняння і для систем структури Дугліса-Ніренберга, в яких встановлюються необхідна і достатня умови існування узагальненого розв'язку. При виконанні цих умов оператор, породжений задачею, буде нетеровим у відповідних парах просторів, а в разі відсутності дефекта встановлюється ізоморфізм.

Доведені теореми про повний набір ізоморфізмів для еліптичної з параметром задачі Соболева для одного рівняння і для систем структури Дугліса-Ніренберга, в яких встановлюються необхідна і достатня умови існування узагальненого розв'язку. На відміну від еліптичної задачі при виконанні цих умов і достатньо великих значеннях параметра оператор, породжений задачею, встановлює ізоморфізм між відповідними парами просторів.

Доведені теореми про повний набір ізоморфізмів для параболічної задачі Соболева для одного рівняння і для систем структури Петровського, в яких встановлюються необхідна і достатня умови існування узагальненого розв'язку. При виконанні цих умов оператор параболічної задачі також здійснює ізоморфізм між відповідними парами просторів. Зауважимо, що результат залишається вірним з тим же доведенням і для систем структури Солоннікова.

Наприкінці автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику доктору фізико-математичних наук професору Ройтбергу Я. А. за постановку задачі і постійну увагу при її розв'язанні.

Публікації

Los V. N., Roitberg Ya. A. Sobolev's problem // Доп. НАН України.- 1998.- № 9.- С.31-38.

Los V. N. Sobolev's problem with parameter // Доп. НАН України.- 1998.- № 10.- С.31-38.

Лось В. Н., Ройтберг Я. А. О задаче Соболева в полной шкале банаховых пространств // Укр.мат.журн.- 1999.- 51,№9.- С.1181-1192.

Roitberg Yakov, Los Valerii and Andrei Sklyarets. Sobolev's problem on complete scale of Banach spaces // Mark Krein International Conference ”Operator Theory And Applications”. - Odessa,1997.-P.96-97.

Los V. N., Roitberg Ya. A. Sobolev's problem // Proceedings of the Eighth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium ”Spectral and Evolutionary problems”.- Simferopol, 1998.- P.197-203.

Лось В. М. Еліптична з параметром задача Соболева в повних шкалах банахових просторів // Матеріали Сьомої Міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука.- Київ, 1998.- С.297.

Размещено на Allbest.ru