Использование функций распределения.

F(х) = Р{х_i < х} = P{-? < х_i ? х}

График интегральной функции распределения показан на рис 2. Она имеет следующие свойства:

* неотрицательная, т.е. F(х)?0;

* неубывающая, т.е. F(х₂)? F(х₁), если х₂ ? х₁;

* диапазон ее изменения простирается от 0 до 1, т.е. F(-?) = 0; F(+?) = 1;

* вероятность нахождения случайной величины х в диапазоне от х₁, до х₂ Р{х₁ < х < х₂} = F(х₂)- F(х₁).

Более наглядным является описание свойств результатов измерений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей р(х)=dF(х)/dx. Она всегда неотрицательна и подчиняется условию нормирования в виде:

Учитывая взаимосвязь F(х) и р(х), легко показать, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (х₁; х₂)

Следовательно, рассмотренное выше условие нормирования означает, что вероятность попадания величины х в интервал [-?; +?] равна единице, т.е. представляет собой достоверное событие.

Из последнего уравнения следует, что вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал (х₁;х₂) равна площади, заключенной под кривой р(х) между абсциссами х₁ и х₂, (см. рис. 2). Поэтому по форме кривой плотности вероятности р(х) можно судить о том, какие значения случайной величины х наиболее вероятны, а какие наименее.

Результирующая погрешность зачастую складывается из ряда составляющих с различными плотностями распределения р₁(х), р₂,(х),..., р_n(х).

В связи с этим возникает задача определения суммарного закона распределения погрешности.

Для суммы независимых непрерывных случайных величин х₁, и х₂, имеющих распределения р₁(х₁) и р₂(x₂), он называется композицией и выражается интегралами свертки :

Z = x₁ (+) x₂

Использование специальных параметров.

Функции распределения являются самым универсальным способом описания поведения результатов измерений (и случайных погрешностей). Однако для их определения необходимо проведение весьма длительных и кропотливых исследований и вычислений.

В большинстве случаев бывает достаточно охарактеризовать случайные величины с помощью ограниченного числа специальных параметров, основными из которых являются:

* центр распределения;

* начальные и центральные моменты и производные от них коэффициенты -- математическое ожидание (МО), среднее квадратическое отклонение (СКО), эксцесс, контрэксцесс и коэффициент асимметрии;

* энтропийный коэффициент.

Понятие центра распределения

Координата центра распределения показывает положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими способами. Наиболее фундаментальным является центр симметрии, т.е. нахождение такой точки Х_м на оси х, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайной величины одинаковы и равны 0,5:

Точку Х_м называют медианой или 50%-ным квантилем. Для ее нахождения у распределения случайной величины должен существовать только нулевой начальный момент.

Можно определить центр распределения как центр тяжести распределения, т.е. такой точки X , относительно которой опрокидывающий момент геометрической фигуры, огибающей которой является кривая р(х), равен нулю:

Эта точка (Х = М) называется математическим ожиданием. Следует отметить, что у некоторых распределений (например, распределения Коши) не существует МО, так как определяющий их интеграл расходится.

При симметричной кривой р(х) в качестве центра может использоваться абсцисса моды, т.е. максимума распределения Х_м. Однако существуют распределения, у которых нет моды (например, равномерное). Распределения с одним максимумом называются одномодальными, с двумя -- двухмодальными и т.д.

Те, у которых в средней части расположен не максимум, а минимум, называются антимодальными.

Для двухмодальных распределений применяется оценка центра в виде центра сгибов:

X_c=(x_c1+x_c2)/2

где х_с1, х_c2 -- сгибы, т.е. абсциссы точек, в которых распределение достигает своих максимумов.

Для ограниченных распределений (равномерного, трапецеидального, арксинусоидального и др.) применяется оценка в виде центра размаха:

X_p=(x₁+x₂)/2

где х_1, х₂, -- первый и последний члены вариационного ряда, соответствующего распределению.

Моменты распределений

Начальные и центральные моменты r - порядка определяются соответственно по формулам

Нулевой начальный момент равен единице. Он используется для задания условия нормирования плотности распределения:

Первый начальный момент -- математическое ожидание (МО) случайной величины:

Для результатов измерений МО представляет собой оценку истинного значения измеряемой величины.

Начальные и центральные моменты случайной погрешности ? совпадают между собой и с центральными моментами результатов измерений:

б_r [?] = м_r [?] = м_r [x],

поскольку МО случайной погрешности равно нулю.

Следует отметить, что первый центральный момент тождественно равен нулю.

Важное значение имеет второй центральный момент

называемый дисперсией и являющийся характеристикой рассеивания случайной величины относительного МО.

Значительно чаще в качестве меры рассеивания используется среднее квадратическое отклонение (СКО)

имеющее такую же размерность, как и МО.

Для примера, на рис. 4 показан вид нормального распределения при различных значениях СКО. Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, поскольку они определяют важные черты распределения: положение центра и степень разбросанности результатов относительно него.

Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков. математическая погрешность дисперсия

Третий центральный момент

математический погрешность дисперсия

служит характеристикой асимметрии, или скошенности распределения.

С его использованием вводится коэффициент асимметрии - н.

н = м₃ [X] / у³

Для нормального распределения коэффициент асимметрии равен нулю.

Размещено на Allbest.ru