Інтегрування лінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку. Аналіз диференціальних рівнянь R-L контуру

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА»

Курсова робота

На тему «Інтегрування лінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку. Аналіз диференціальних рівнянь R-L контуру»

Виконав: студент

1 курсу, 1 групи

Зінчук Роман Миколайович

Київ 2013



Анотація

У даній курсовій роботі розглянуто методи інтегрування лінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку. Також проаналізовано диференціальні рівняння в R-L контурі. Розглянуто на прикладі 2 способи інтегрування лінійного диференціального рівняння 1-го порядку.

Робота складається з 18 сторінок, титульного аркушу, анотації, змісту, завдання курсової роботи, теоретичної частини, прикладу, висновків, списку використаної літератури.

інтегрування диференціальний константа



Зміст

Завдання курсової роботи

1. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку

2. Диференціальні рівняння в R-L контурі

3. Приклади

Висновки

Список використаної літератури



Завдання курсової роботи

Завданнями даної курсової роботи є розглянути методи інтегрування лінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку. Також проаналізувати диференціальні рівняння в R-L контурі. Розглянути на прикладі 2 способи інтегрування лінійного диференціального рівняння 1-го порядку.



1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

, (1)

лінійне відносно невідомої функції і її похідної. Якщо в рівнянні (1) права частина , то рівняння

(2)

називається лінійним однорідним рівнянням, яке являє собою рівняння з відокремленими змінними.

Розв'яжемо рівняння (2):

, , ,

,

де приймає будь-які додатні та від'ємні значення, відповідного даному неоднорідному (тобто яке має таку ж ліву частину, що і рівняння (1)), тоді загальний розв'язок неоднорідного рівняння може бути отриманий методом варіації довільної константи.

Покладемо в розв'язок однорідного рівняння константу деякої невідомої функції змінної , запишемо

(3)

Підставимо вираз (3) в неоднорідне рівняння (1):

,

(4)

Отримано рівняння з розділеними змінними відносно невідомої функції , розв'язавши яке можна записати загальний розв'язок неоднорідного рівняння (1) у вигляді (3).

З рівняння (4) маємо

.

Повертаючись до виразу (3), знайдемо

, (5)

де перший доданок являється частинним розв'язком неоднорідного рівняння (1), а другий доданок - загальним розв'язком однорідного рівняння (2).

Таким чином, загальний розв'язок неоднорідного лінійного рівняння може бути представлено у вигляді суми

, (6)

де - загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння, а - деякий частинний розв'язок неоднорідного рівняння.

Метод варіації довільної константи не є єдиним при розв'язуванні лінійних рівнянь.

Зручним способом розв'язку лінійних рівнянь є метод Бернуллі. Нехай дано рівняння (1). Розв'язок цього рівняння будемо шукати у вигляді добутку двох функції:

,

де , . Підставимо розв'язок у вихідне рівняння (1):

,

,

.

Знайдемо таку функцію , яка би являлась розв'язком диференціального рівняння

.

Тоді розв'язок рівняння (1) буде зведений до розв'язку системи рівнянь з розділеними змінними

(7)

Замітимо, що при розв'язуванні першого рівняння системи достатньо вказати будь-який частинний розв'язок, тобто вибір константи довільний.

2. Диференціальні рівняння в R-L контурі

Рис. 1

Диференціальне рівняння для струму має вигляд

(8)

Воно не потребує перетворень, так як сам струм i є змінною стану. Запишемо загальний розв'язок рівняння у вигляді суми вимушеної и вільної складових

Характеристичне рівняння

має корінь , тому загальний розв'язок однорідного рівняння буде мати вигляд

де -- постійна часу індуктивного контуру.

Вигляд часткового розв'язку i' залежить від характеру напруги джерела струму.

Підключення до джерела постійної напруги (u0(t) = U0 = const)

У цьому випадку при в контурі встановлюється постійний струм, спад напруги на індуктивності стає рівним нулю, і вся напруга джерела прикладена до резистора. Тому цей струм буде рівним i' = . Тепер для визначення значень константи A в загальному розв'язку

(9)

використаємо закон комутації -- умова неперервності струму в контурі в момент включення.

Так як до замикання i(- 0) = 0, то

і . Це призводить до кінцевого виразу для струму в контурі і напруги на індуктивності

(10)

Характер залежностей струму і напруги на котушці від часу (рис. 1, б)

Замикання контуру R-L накоротко.

Процеси при короткому замикані контуру, по якому раніше тік струм I0 (рис. 2, а), описуються однорідним рівнянням (u0(t) = 0);

Рис. 2

загальний розв'язок для струму в контурі має лише вільний доданок

(11)

З початкової умови маємо i(0) = I0 = A, тому остаточно

(12)

а напруга на котушці дорівнює

(13)

Відповідні криві зображені на рис. 2, б. Струм після замикання котушки зберігає напрям, а напруга приймає стрибкоподібно в момент комутації значення - I0R, після чого спадає експоненціально. При великому значенні опору контуру початковий скачок може викликати перенапругу на елементах контуру. Так, якщо ділянка, яка закорочує сама має велике значення опору R0 >> R (зображено штриховою лінією на рис. 2, а), модуль початкової напруги зросте до значення I0(R + R0), що може привести до пошкодження елементів контуру.

Включення до джерела синусоїдальної напруги

.

Загальний розв'язок диференціального рівняння для струму зберігає форму

(14)

де постійна часу = L/R.

Для знаходження часткового розв'язку розглянемо встановлений режим в контурі при по закінченні перехідного процесу. Використовуючи комплексний метод, знайдемо комплексну амплітуду струму

(15)

де -- імпеданс контуру; -- кут зсуву фаз між напругою і струмом. Миттєве значення встановленого струму дорівнює

, (16)

де Im = Um/Z -- амплітуда встановленого струму.

Для визначення сталої A використаємо початкову умову

, (17)

звідки A =. Тому остаточно для струму маємо

. (18)

Криві струму в контурі, які відповідають цьому виразу, зображені на рис. 3.

Рис. 3

3. Приклади

Розв'язати диференціальне рівняння:

.

Розв'язок. Дане рівняння є лінійним. Розв'яжемо його двома способами.

1 спосіб.

Розв'яжемо рівняння методом варіації довільної константи. Відповідне однорідне рівняння має вигляд:

.

Це рівняння з розділеними змінними:

,

, ,

, ,

.

Знайдено загальний розв'язок однорідного рівняння. Загальний розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо в тому ж вигляді, вважаючи, що :

; .

Підстановка в початкове рівняння приводить до рівності



.

Розв'яжемо отримане диференціальне рівняння відносно невідомої функції :

, ,

, ,

, .

Підставивши у вираз знайдену функцію отримаємо загальний розв'язок лінійного рівняння:

або ,

де - довільна константа. Розв'язок являє собою суму вигляду

де , .

2 спосіб. Розв'яжемо це ж рівняння методом Бернуллі, вважаю, що , де , .

Вихідне рівняння прийме вигляд:

,

.

Система може бути записана як

Розв'язок першого рівняння системи:

, , ,

; .

Частковий розв'язок рівняння (при ): . Підставивши функцію в друге рівняння системи, отримаємо:

, , , .

Загальний розв'язок лінійного рівняння:

,

.



Висновки

У даній курсовій роботі ми розглянули основні методи інтегрування лінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку. Також проаналізували диференціальні рівняння в R-L контурі. Розглянули на прикладі 2 способи інтегрування лінійного диференціального рівняння 1-го порядку.



Список використаної літератури

1. Диференціальні та інтегральні рівняння / С.А. Кривошея, М.О. Перестюк, В.М. Бурим. - К.: Либідь, 2004. - 408 с.

2. Диференціальні рівняння. Завдання для самостійної роботи студентів / С.А. Кривошея, Н.В. Майко, О.В. Сугакова. - К.: ВПЦ «Київський університет», 2010.

3. Диференциальные уравнения / Р.С. Густер, А.Р. Ямкольский. - М.: «Высшая школа», 1976.

4. Загальна фізика у прикладах, запитаннях і відповідях. Механіка / В.Ф. Коваленко. - К.: ВПЦ «Київський університет», 2011. - 223с.

5. Общий курс физики. Т.1. Механика / Д.В. Сивухин. -
М.: Наука, 1979. - 520с.

6. Курс общей физики. Т.1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика / И.В. Савельев. - М.: Наука, 1970. - 432с.

7. Элементарный учебник физики Т.1. Механика / Г.С. Ландсберг. - М., 1964. - 606 С.

Размещено на Allbest.ru