Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Пакет символьной математики MATHCAD в инженерных расчетах

Введение

Исторически первыми моделями как заместителями некоторых объектов были, языковые знаки, возникшие в ходе развития человечества и постепенно превратившиеся в разговорный язык. Слово было первой моделью реального объекта. математический моделирование информация

Следующим этапом развития моделирования можно считать возникновение знаковых числовых обозначений. Сведение о результатах счета первоначально сохранялись в виде зарубок. Постепенное совершенствование этого метода привело к изображению чисел в виде цифр как системы знаков. Можно предположить, что именно зарубки были прототипом римских цифр.

Значительное развитие моделирование получило в древней Греции. В 5 - 3 веках до нашей эры в Греции была создана геометрическая модель Солнечной системы. Греческий врач Гипократ для изучения человеческого глаза воспользовался его физической моделью - глазом быка.

С понятием "модель" мы сталкиваемся с детства. Игрушечный автомобиль, самолет или кораблик для многих были любимыми игрушками, равно как и плюшевый медвежонок или кукла. В развитии ребенка, в процессе познания им окружающего мира, такие игрушки, являющиеся, по существу, моделями реальных объектов, играют важную роль. В подростковом возрасте для многих увлечение авиа-, судомоделированием, собственноручным созданием игрушек, похожих на реальные объекты, оказало влияние на выбор жизненного пути.

В основе термина "модель" лежит латинское слово modulus - мера, образец. Появление этого термина обусловлено тем обстоятельством, что при изучении сложных явлений, процессов, устройств или систем (обобщенно - объектов исследования) не всегда удается учесть полную совокупность факторов, определяющих свойства объекта исследования.

Но, как правило, все факторы в создаваемой модели и не следует учитывать. Нужно лишь выделить наиболее характерные, доминирующие факторы, которые в подавляющей степени определяют основные свойства объекта исследования. В результате объект исследования заменяется некоторым упрощенным подобием, но обладающим теми же характерными, главными признаками, что и объект исследования. Появившийся в следствия проведенной подмены новый объект принято называть моделью объекта исследования.

Что же такое модель? Что общего между игрушечным корабликом и рисунком на экране компьютера, изображающим сложную математическую абстракцию? И все же общее есть: и в том, и в другом случае мы имеем образ реального объекта или иной достоверностью и подробностью. Или то же самое другими словами: модель является представлением объекта в некоторой форме, отличной от формы его реального существования.

Практически во всех науках о природе, живой и неживой, об обществе построение и использование моделей является мощным орудием познания. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и потому многократно более простой, чем эта реальность, и исследование вначале этой модели. Многовековый опыт развития науки доказал на практике плодотворность такого подхода.

Метод научного исследования явлений, процессов, объектов, устройств и систем, основанный на построении и изучении моделей с целью получения новых знаний или дальнейшего совершенствования характеристик объектов исследований, принято называть моделированием.

Различают два вида моделирования: физическое и математическое.

Математическое моделирование - изучение объекта исследования путем создания его математической модели и использования ее с целью получения полезной информации. Для составления математической модели можно использовать любые математические средства - дифференциальное и интегральное исчисления, теорию вероятностей, математическую статистику и т.д. По существу вся математика создана для формирования математических моделей. Математическое моделирование разделяется на аналитическое и машинное.

При аналитическом моделировании ученый-теоретик получает результат "на кончике пера" в результате раздумий, размышлений, умозаключений. Формирование модели производится, в основном, с помощью точного математического описания объекта исследования. Классическим примером аналитического моделирования является открытие У. Леверье планеты Нептун на основании анализа движения планеты Уран.

При машинном моделировании математическая модель создается и анализируется с помощью вычислительной техники.

При физическом моделировании используют физические модели, элементы которых подобны натуральным объектам исследования, но имеют чаще всего иной масштаб. Физическое моделирование применяется преимущественно для моделирования сложных объектов исследования, не имеющих точного математического описания.

Таким образом, моделирование - это метод познания объективного мира с помощью моделей, в результате которого получают новые знания или улучшают новые знания или улучшают свойства объекта исследования.

Системы класса MathCAD предоставляют уже привычные, мощные, удобные и наглядные средства описания алгоритмов решения математических задач. Система имеет достаточные возможности для выполнения наиболее массовых символьных вычислений и преобразований.

В своей работе я попробую рассмотреть возможности системы MathCAD для решения математических и физических задач.

Все выше изложенное позволило сформулировать цель курсовой работы: показать, что использование системы компьютерной математики MathCAD для решения математических и физических задач дает наиболее наглядное, простое, красивое решение этих задач, по сравнению со всеми другими используемыми для этого средствами.

Сформулированная цель требует решения следующих задач:

Рассмотрение основных математических функций системы MathCAD.

Изучение работы системы MathCAD для решения математических и физических задач.

Рассмотреть работу некоторых функций системы MathCAD на конкретных примерах.

Поставленные цели будут решены при помощи следующих методов исследования:

Теоретический (изучение и анализ литературы, связанной с решением математических и физических задач средствами компьютерной математики).

Эмпирический (решение математических и физических задач средствами системы компьютерной математики MathCAD, решение данных задач вручную).

1.1 Работа с пакетом MathCad

Одна из задач ЭВМ - автоматизация труда, повышение эффективности научных исследований. Основная особенность ЭВМ - ориентация на применение пользователями, не владеющими языками программирования. Такой подход позволяет преодолевать языковой барьер, отделяющий человека от машины. С этой целью разрабатываются пакеты прикладных программ, рассчитанные на широкие круги специалистов. К подобным пакетам относится MathCad.

MathCad - универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета - естественный математический язык, на котором формируются решаемые задачи. Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ. Пакет обладает широкими графическими возможностями, расширяемыми от версии к версии. Практическое применение пакета существенно повышает эффективность интеллектуального труда.

От других продуктов аналогичного назначения, например, Maple & Theorist (компании Waterloo Maple Software) и Mathematika (компании Wolf Research), MathCad (компании Mathsoft) отличается ориентация на создание высококачественных документов (докладов, отчетов, статей) в режиме WYSIWYG (What You See Is What You Get). Это означает, что, внося изменения, пользователь немедленно видит их результаты и в любой момент может распечатать документ во всем блеске. Работа с пакетом за экраном компьютера практически совпадает с работой на бумаге с одной лишь разницей -она более эффективна. Преимущества MathCad состоит в том, что он не только позволяет провести необходимые расчеты, но и оформить свою работу с помощью графиков, рисунков, таблиц и математических формул. А эта часть работы является наиболее рутинной и малотворческой, к тому же она и времяемкая и малоприятная.

Первая версия пакета MathCad появилась в 1986г., вторая (2.01) - в 1987г. Пакет постоянно совершенствуется. В настоящее время существуют версии MathCad, работающие под Windows. В августе 1995г. вышла последняя, известная на сегодняшний день, шестая 32-битная версия MathCad под Windows, Вышла она в двух вариантах: MathCad 6.0 SЕ (Standard Edition) и версия для профессионального пользователя - MathCad PLUS 6.0.

1.2 Основные панели инструментов

Панель инструментов Math (Математика) содержит кнопки для отображения следующих панелей инструментов: Calculator (Калькулятор), Graph (График), Matrix (Матрицы), Evaluation (Вычисления), Calculus (Исчисление), Boolean (Булева), Programming (Программирование), Greek (Греческий алфавит), Symbolic (Символы).

Calculator (Калькулятор) - это арифметическая панель, содержащая кнопки задания всех основных вычислительных операций, цифр и некоторых элементарных функций, которые можно найти на клавиатуре микрокалькулятора.

Graph (График) - это панель, содержащая кнопки для построения двух- и трехмерных графиков.

Matrix (Матрицы) - матричная панель, содержащая кнопки для создания и выполнения некоторых операций с векторами и матрицами.

Evaluation (Вычисления) - эта панель предназначена для ввода различных знаков присваивания, а также для задания собственных операторов.

Calculus (Исчисление) - эта панель содержит кнопки для задания операторов дифференцирования, интегрирования, вычисления сумм, произведений и пределов.

Boolean (Булева) - это панель, содержащая кнопки задания логических операторов сравнения.

Programming (Программирование) - эта панель содержит кнопки для задания команд программирования.

Greek (Греческий алфавит) - кнопки этой панели предназначены для ввода греческих букв.

Symbolic (Символы) - эта панель содержит кнопки для выполнения различных символьных вычислений.

1.3 Константы, переменные, вектора и матрицы

Константы в пакете имеются следующие типы данных:

целочисленные константы ( 2, -285, 521);

вещественные числа с мантиссой и порядком ( 5 6784 * 104);

*комплексные числа (1.5 + 1*3);

системные константы (е, я);

строковые константы («матрица», «12345»);

единицы измерения физических величин (при необходимости МаthСАD выполняет расчеты физических величин с преобразованием их размерности).

МаthСАD производит всевозможные математические операции с константами

(панель Calculator) и символьными переменными, причем символьные вычисления могут быть выполнены двумя способами:

с помощью команд меню Symbolics;

* с помощью операторов панели инструментов Symbolics, входящей в математическую панельMath.

Для вычисления численного выражения с помощью панели Calculator вводят выражение и в конце введенного выражения ставят знак = . Количество десятичных знаков, выводимых в числе после запятой, устанавливают с помощью команды Number of decimal places, расположенной в меню Format/Result/Number Format. Для символьного вычисления с помощью команд меню Symbolics вводят выражение, выделяют его при помощи курсора, затем из меню Symbolics выбирают подменю Evaluate и команду Symbolicalli. Если же из подменю выбрать команду Floating Point, то конечный результат будет представлен в виде числа с плавающей точкой. Для символьного вычисления выражений с радикалами нужно использовать команду Factor из меню Symbolics.

Переменные.

Для задания переменной нужно указать её имя, которое называется идентификатором. Имена (идентификаторы) могут иметь любую длину и состоять из букв латинского и греческого алфавитов, арабских цифр, однако, первой должна быть буква. Имена переменных не должны совпадать с именами встроенных функций и системных переменных. Чтобы присвоить переменной значение, нужно набрать её имя, щелкнуть по пиктограмме оператора присваивания := на панели Calculator и ввести численное значение либо математическое выражение. Если переменной присвоено значение с помощью оператора :=, то такая переменная называется локальной. Переменная может быть размерной, то есть характеризоваться как физическая величина. Для задания размерности переменной после ввода численного значения надо набрать знак умножения и физическую единицу измерения, которую можно выбрать на панели инструментов либо по команде Units в меню Insert. В процессе вычислений отслеживается соответствие размерных величин и выдается сообщение об ошибке в случае его нарушения.

Векторы, матрицы.

Одномерный массив чисел либо символов называется вектором, а двухмерный - матрицей. Для создания массивов можно воспользоваться командой Matrix меню Insert или панелью Matrix: В диалоговом окне Insert Matrix нужно указать размер матрицы, задав количество строк (Rows) и столбцов (Columns). Если параметр Rows равен 1, то будет задаваться вектор-строка, если параметр Columns равен 1, то будет задаваться вектор-столбец. После задания размеров вектора либо матрицы следует щелкнуть по кнопке ОК либо Insert, и в документе появится шаблон массива, который нужно заполнить данными. Матрицы и векторы можно конструировать и с помощью ранжированных переменных, только надо помнить, что системная переменная ORIGIN, определяющая индекс первого элемента массива, по умолчанию принимает значение 0.

1.4 Решение задач элементарной математики в MathCad

Завершая первое знакомство с MathCad, попробуем решить в среде пакета несколько простейших задач элементарной математики.

Для того чтобы преобразовать алгебраическое выражение, вычислить значение функции, построить график функции или решить уравнение, необходимо прежде всего ввести соответствующее выражение в рабочий документ MathCad. Последовательность действий при вводе выражений будет описана для каждого конкретного примера.

Как отмечалось выше, большинство вычислений в MathCad можно выполнить тремя способами - выбором операции в меню, с помощью кнопочных панелей инструментов или обращением к соответствующим функциям. Далее, при решении каждой конкретной задачи, выбран один из возможных способов действий, но в совокупности будут продемонстрированы разные способы вычислений. Преобразование алгебраических выражений

MathCad можно выполнить следующие символьные преобразования алгебраических выражений;

Simplify (упростить) -- выполнить арифметические операции, привести подобные, сократить дроби, использовать для упрощения основные тождества (формулы сокращенного умножения, тригонометрические тождества и т.п.);

Expand (развернуть) -- раскрыть скобки, перемножить и привести подобные;

Factor (разложить на множители) -- представить, если возможно, выражение в виде произведения простых сомножителей;

Substitute (подставить) -- заменить в алгебраическом выражении букву или выражение другим выражением;

Converte to partial fraction-- разложить рациональную дробь на простейшие дроби. Если MathCad не может выполнить требуемую операцию, то он выводит в качестве результата вычислений исходное выражение.

Следует помнить, что MathCad далеко не всегда преобразует выражение к самому простейшему виду.

2. Описание индивидуальных заданий с анализом их решения

В качестве практической части данного курсового проекта являлось решение примеров и задач высшей математики с помощью пакета MathCad 2001. Задания были взяты из сборника индивидуальных заданий ч.1, ч.2 (под общей редакцией А.Л. Рябушко, Мн.: Вышэйшая школа, 1990, 1991 гг.).

Проведем анализ решения задач «вручную» и с помощью пакета символьной математики MathCad 2001.

Задание 1

Условие: Провести полное исследование функции и построить ее график:

Решение:

1. Найдем область определения функции. Данная функция определена для всех чисел .

2. Так как функция не имеет точек разрыва, то она не имеет вертикальных асимптот. Так как при , то график проходит через начало координат.

3. Исследуем функцию на четность и нечетность: функция ни четная, ни нечетная так как

.

4. Функция не имеет наклонных асимптот.

5. Исследуем первую производную функции.

Найдем, при каких значениях производная обращается в 0.

0 - экстремум функции.

Исследуем функцию на возрастание и убывание.

Промежутки
	+	+

Значит, функция возрастает на промежутке .

6. Исследуем вторую производную.

Найдем, при каких значениях переменной вторая производная обращается в 0.

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. График функции пересекает оси координат в точке , .

7. Построим график функции.

Задача 2

Даны векторы и , где

Найти:

a)

б)

в)

Решение:

a)

б)

в)

Задача 3

Найти неопределенный интеграл( результаты интегрирования проверить дифференцированием).

Решение :

Задача по нахождению неопределенного интеграла от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов. Это можно достичь путем алгебраических тождественных преобразований подынтегральной функции f(x) или подведения части ее множителей под знак дифференциала. Поскольку в таблице основных интегралов такого нет, нужно избавиться от корня; т.е привести подкоренное выражение в степень.

Затем, с помощью табличного интеграла

находим свой неопределенный интеграл.

Проверим полученный результат дифференцированием.

Задача 4

Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной данными линиями.

Ф - ограничена дугой синусоиды.

Решение:

Для нахождения координат центра тяжести некоторой фигуры применяют следующие формулы:

Задача 5

Найти вторые частные производные функции:

Убедиться в том, что

Решение.

Дифференцируя каждую из полученных производных по x и y, находим вторые частные производные данной функции.

Сравнив последние два выражения, видим, что

и равны.

Задача 6

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

,

.

Решение.

Для решения уравнения сделаем следующую замену: , . Тогда получим следующее уравнение

С учётом начальных условий найдём . Тогда последнее уравнение можно переписать в виде

.

С учётом начальных условий найдём . Тогда искомое уравнение примет вид

.

Выводы и предложения

Работа состоит из нескольких частей: введения, теоретической части и приложения. Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, перечисляются задачи и методы исследования. В теоретической части описаны основные возможности и приемы работы системы MathCAD. Также здесь рассмотрены примеры решения задач и приведен анализ их решения. В качестве приложения к данной работе приведены листинги описанных в теоретической части задач, решенных уже с помощью математического пакета MathCAD.

Данная курсовая работа позволила мне более близко познакомиться с пакетом системы компьютерной математики MathCAD. Мною были рассмотрены способы решения некоторых математических и физических задач с использованием данной программы.

По результатам проделанной работы можно сделать вывод об основных достоинствах пакета MathCAD.

Во-первых, это универсальность пакета, который может быть использован для решения самых разнообразных инженерных, экономических, статистических и других научных задач.

Во-вторых, программирование на общепринятом математическом языке позволяет преодолеть языковой барьер между машиной и пользователем. Потенциальные пользователи пакета - от студентов до академиков.

И в-третьих, совместно применение текстового редактора, формульного транслятора и графического процессора позволяет пользователю в ходе вычислений получить готовый документ.

Список литературы

Алексеев А.П. Основные понятия моделирования: Системы моделирования // Алексеев А. Информатика 2001.- М., 2001. -С. 269-308.

Могилев А.В. и др. Компьютерное математическое моделирование // Могилев А.В. и др. Информатика.-М.,1999.-С.674-802.

Варламова С.Л Компьютерное моделирование построение графика функции: Лабораторная работа // Информатика и образование.-2002. №4. - С. 15-17.

Яковлева Т.А. Технология компьютерного моделирования // Информатика и образование.-1997.-№5. -С.39-43.

Кирьянов, Д. В. Самоучитель MathCAD.-СПб.: БХВ-Петербург, 2003.-560 с.: ил.

Симонович, С. В. Информатика. Базовый курс. .-СПб.: БХВ-Петербург, 2003.-347 с.

Сборник индивидуальных заданий по высшей математике ч.1, ч.2 / под ред. А. П. Рябушко- Мн.: Вышэйшая школа, 1990 г.

Бутенков, С. А. Методические указания к использованию системы MathCad в практических занятиях по курсу высшей математики. - Таганрог: ТРТУ, 1995. - 450 с.

Плис, А.И. MathCAD: Математический практикум для экономистов и инженеров/ А. И. Плис, Н. А. Сливина. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 656 с.: ил.

Дьяконов, В. Г. MathCAD 7. 0. в математике, физике и в Internet / В. Г. Дьяконов, И. В. Абраменкова. - М.: Ноллидж, 1999. - 352 с.

Бидасюк, Ю. М. Mathsoft MathCAD 11. Самоучитель. - СПб: Диалектика, 2004. - 224 с.

Черняк, А. А. Математика для экономистов на базе MathCAD / А. А. Черняк, В. А. Новиков, О. И. Мельников, А. В. Кузнецов.-СПб.: БХВ-Петербург, 2003.-496 с.: ил.

Шушкевич, Г.Ч. Введение в MathCAD 2000: Учебное пособие / Г. Ч. Шушкевич, С. В. Шушкевич. - Гродно: ГрГУ, 2001. - 138 с.

MathCAD. Среда. Методы решения задач: методическое пособие / С. Н. Гуз, С. Н. Дегтяр. - Мозырь: МГПУ, 2002. - 102 с.

Герасимович, А. И. Математический анализ: Справ. пособие. В 2 ч. Ч. 1. / А. И. Герасимович, Н. А. Рысюк. - Мн.: выш. шк., 1989. - 287 с.: ил.

Размещено на Allbest.ru