Сполуки напівгруп

Размещено на http://allbest.ru

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 512.53

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

СПОЛУКИ НАПІВГРУП

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

Кізіменко Олександр Михайлович

Київ-2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Донецькому державному університеті.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук

доцент Усенко Віталій Михайлович,

Слов'янський державний педагогічний інститут,

завідувач кафедрою алгебри.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Кириченко Володимир Васильович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

завідувач кафедрою геометрії.

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Новіков Борис Володимирович,

Харківський національний університет імені В. Каразіна.

Провідна установа: Львівський університет імені Івана Франка, м. Львів.

Захист відбудеться 15 червня 2000 року о 15¹⁵ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському Університеті імені Тараса Шевченка за адресою

м. Київ-127, проспект акад. Глушкова, 6, Київський університет

ім. Т.Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці університету за адресою: м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий 11 травня 2000 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради ПЕТРАВЧУК А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Сполуки (bands) напівгруп - одна з найбільш уживаних теоретико-напівгрупових конструкцій. Така конструкція виникає кожного разу, коли та, чи інша напівгрупа володіє гомоморфізмом на деяку напівгрупу ідемпотентів. Перші найбільш відомі застосування сполук - теорема про будову цілком простих напівгруп (Rees D. On semi-groups // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1940. - 36. - p. 387-400; зараз цю теорему називають теоремою Сушкевича-Ріса) та теорема Кліффорда (Clifford A.H. Semigroups admitting relative inverses // Ann. of Math. - 1941. - 42.- p.1037-1049) про будову інверсних напівгруп, що є об'єднаннями груп. Певний час конструкція сполуки використовувалась лише як засіб декомпозиції напівгруп з метою описання їх структурних властивостей. На цьому напрямку природньо постає пряма задача теорії сполук - задача класифікації декомпозицій напівгруп заданого класу в сполуки своїх піднапівгруп. Зворотньою задачею теорії сполук є задача побудови композиції сімейства напівгруп, індексованих елементами деякої напівгрупи ідемпотентів.

На наш час напівгрупові сполуки утворюють окремий самостійний розділ з широко розгалуженими тематикою і застосуваннями. Вивчаються властивості різних типів напівгрупових сполук, сполуки сімейств напівгруп, що задовільняють тим чи іншим умовам щодо властивостей їх елементів, піднапівгруп, структурних властивостей тощо. Так в роботах Гріна, Краузо, Макліна, Петрича, Саса та інших вивчаються комутативні сполуки простих напівгруп. Комутативні сполуки слабокомутативних напівгруп вивчалися Хідом, Петричем, Понделічеком, Тамурою, Ямадою. Предметом робіт Л.М. Глускіна, І.Є. Бурмістровича, Хьюітта та Цукермана, Мак-Алістера є комутативні сполуки сепаративних напівгруп. Комутативні сполуки архімедових напівгруп із скороченнями описано в роботах Р.Е. Холла, Хіггінса, Петрича, Тамури. Значна кількість результатів стосується матричних сполук. Деякі загальні властивості цієї конструкції описано Хашимото, Петричем, Є.Г. Шутовим, Йошидою. Матричні композиції та декомпозиції комутативних напівгруп із скороченнями вивчалися В.А. Баранським і А.Н. Трахтманом, Дікінсоном, Петричем, Б.М. Шайном. В роботах Бернелла, Петрича, Е.Г. Шутова, Уорне вивчалися декомпозиції напівгруп з лівим скороченням та з ідемпотентами.

Класифікацію напівгрупових сполук в термінах теорії многовидів здійснено в роботах Холла, Хоуві, Петрича, Ямади.

Теорію сполук напівгруп з нулем розвинуто в роботах Богдановича і Чирича, С. Шварца.

Поняття та методи теорії напівгрупових сполук узагальнюються та застосовуються і в інших класах алгебраїчних систем (див., наприклад, Шварц В.Я. О плотных расширениях коммутативных n-полугрупп // Теория полугрупп и ее приложения. Вып. 9. Изд. Саратов. ун-та. - 1988.- с. 86-95).

Актуальність теми даної дисертаційної роботи визначається проблемами, що постають в зв'язку з подальшим розвитком теорії напівгрупових сполук. До таких проблем перш за все слід віднести проблему класифікації зовнішніх конструкцій напівгрупових сполук та проблему описання декомпозицій інших напівгрупових конструкцій (таких, наприклад, як вінцевий добуток, вільний добуток тощо) в сполуки своїх піднапівгруп.

Одним з основних загальних засобів розв'язку задачі композиції є спектральний метод Кліффорда (Clifford A.H. The strucrure of orthodox unions of groups // Semigroup Forum. - 1972. - 3. - p. 283-337), який було узагальнено Б.М. Шайном (Schein B.M. Bands of monoids // Acta Sci. Math. Szeged. - 1974. - 36. - p. 145-154) за допомогою подвійних систем гомоморфізмів у застосуванні до сполук одноідемпотентних моноїдів. В іншому напрямку спектральний метод було розвинуто Петричем. Зв'язки конструкцій сполук з іншими напівгруповими конструкціями розглядались по відношенню до прямих та підпрямих добутків (див., наприклад, Petrich M. Introduction to semigroups. - Columbus, Ohio: Charles E. Merrill. - 1973). Декомпозиції вільних напівгруп вивчалися Гріном і Рісом, а також Герхардтом (Gerhardt J.A. The lattice of equational class of idempotent semigroups // J. Algebra. - 1970. - 15. - p. 195-224).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у межах держбюджетної наукової теми В-81.50-1/2.20 - “Симметричні (m,n)_напівгрупи. Напівгрупові кільця. Сполуки напівгруп ”, що здійснювалась у Донецькому державному університеті.

Метою дисертації є:

подальше узагальнення спектрального методу Кліффорда з метою побудови нових зовнішніх конструкцій напівгрупових сполук;

класифікація декомпозицій напівгрупових конструкцій вінцевого та вільного добутків напівгруп в сполуки своїх піднапівгруп;

застосування напівгрупових сполук до класифікації розширень та симетричних зображень напівгруп.

Основні методи дослідження - загальноалгебраїчні з використанням основних методів теорії напівгруп.

Автором запропоновано також нові методи побудови зовнішніх конструкцій напівгрупових сполук.

Основні результати дисертації:

визначено та вивчено конструкцію подвійного спектру напівгруп;

цим результатом узагальнюється спектральний метод Кліффорда. Узагальнення досягнуто за рахунок використання подвійних спектрів. Це дозволило поширити метод збалансованих систем гомоморфізмів Б.М. Шайна на напіврешітки довільних напівгруп, завдяки чому вдалося суттєво посилити описання комутативних сполук, запропоноване Петричем;

визначено поняття транзитивної системи трансляцій, в термінах якої побудовано зовнішню конструкцію довільної сполуки довільного сімейства напівгруп; описано симетричне зображення цієї конструкції;

цим результатом спектральний метод Кліффорда узагальнюється ще в одному напрямку - відмові від гомоморфності елементів тразитивних систем;

описано декомпозиції вінцевих добутків;

за допомогою цього результату для визначеної в дисертації конструкції афінного розширення напівгруп отримано аналог теореми Калужніна-Краснера.

описано матричні декомпозиції вільних добутків напівгруп.

Наукова новизна та теоретичне значення. Усі результати роботи є новими. Результати роботи мають теоретичне значення як такі, що є внеском в подальший розвиток структурної теорії напівгруп. Вони можуть бути застосованими до вивченя будови різних класів напівгруп.

Тема роботи є пов'язаною з науковими дослідженнями, що здійснюються в Київському університеті імені Тараса Шевченка, в Харківському університеті імені В. Н. Каразіна, в Слов'янському державному педагогічному інституті.

Особистий внесок здобувача. Усі результати роботи одержані автором особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на

XYIII Всесоюзній алгебраїчній конференції (Кішинев, вересень 1985),

III Всесоюзному симпозиумі з теорії напівгруп (Свердловськ, червень 1988),

Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті акад. А.І. Мальцева (Новосибірськ, серпень, 1989),

Міжнародній конференції з теорії напівгруп на честь проф. Е.С. Ляпіна (С.-Петербург, червень 1995),

Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті проф. Л.М. Глускіна (Слов'янськ, серпень, 1997),

Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті проф. Л.А. Калужніна (Київ-Вінниця, травень, 1999),

II Міжнародній конференції з теорії напівгруп на честь проф. Е.С. Ляпіна (С.-Петербург, липень 1999),

алгебраїчних семінарах Київського, Московського, Харківського, Донецького та Екатеринбурзького університетів 1988-1999 рр.

Публікацію основних результатів дисертації здійснено в 14 роботах автора, з яких 4 в співавторстві. Результати співавторів в дисертації не використовуються. Список робіт наведено в кінці автореферату.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 110 сторінках і складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку літератури, що містить 77 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі роботи визначено основні поняття, що використовуються в подальшому, сформульовано основні задачі теорії сполук, наведено основні результати про напівгрупи ідемпотентів.

Якщо S - напівгрупа, I - напівгрупа ідемпотентів, то гомоморфізм називають I-декомпозицією напівгрупи S, а піднапівгрупи - компонентами цієї I-декомпозиції. В природній спосіб при цьому визначається категорія, об'єкти якої називаються B-декомпозиціями напівгрупи S. Задачу описання B-декомпозицій даного класу напівгруп назвемо задачею Bn_класифікації.

Напівгрупову діаграму назвемо квазіточною, якщо є сюрьєкцією а співпадає з деяким класом конгруенції гомоморфізму. Сукупність квазіточних діаграм (K - деяка множина індексів) назвемо трансверсальною.

Нехай - деяка I-декомпозиція напівгрупи S, - сімейство напівгруп. B-композицією (-композицією) сімейства назвемо трансверсальну сукупність квазіточних діаграм, де - мономорфізми. Задачу побудови B_композиції сімейства напівгруп деякого класу називатимемо задачею Bn_розширення.

Якщо для напівгрупи S існує деяка _композиція сімейства, то говоритимемо, що S є I-сполукою цього сімейства (або I_сполукою своїх піднапівгруп).

У другому розділі роботи вивчаються та застосовуються так звані ліві сполуки напівгруп за допомогою техніки, запропонованої Петричем.

Напівгрупа L називається напівгрупою лівих нулів, якщо для всіх. Якщо L - напівгрупа лівих нулів, а S - напівгрупа, для якої існує деяка L_декомпозиція, то S називають лівою сполукою відповідних піднапівгруп.

В першому параграфі розділу описуються універсальні властивості конструкції лівої сполуки. Для цього визначається поняття R_мережі сімейства напівгруп.

Нехай сімейство напівгруп,- напівгрупи правих зсувів напівгруп. Будемо говорити, що визначено R_мережу сімейства S, якщо задано деяку систему гомоморфізмів R_мережу, що визначається системою позначимо через.

Зрозуміло, що в двоїстий спосіб можна було б визначити L_мережі на сімействі S, використавши систему анти гомоморфізмів в напівгрупи лівих зсувів напівгруп. Усі результати для R_мереж при цьому дуалізуються.

Будемо, далі, говорити, що система гомоморфізмів є накриттям напівгрупи F R_мережею (або, коротше, N_накриттям цієї напівгрупи), якщо які б не були,. N-накриття напівгрупи F позначатимемо через. Якщо, - деякі накриття напівгруп F₁ та F₂ R_мережею, то гомоморфізм цих накриттів визначимо як сюрьєктивний гомоморфізм, що задовільняє умові при будь-якому. Категорію, що при цьому виникає, назвемо категорією N_накриттів та позначимо через NG.

Множину конгруенцій напівгруп назвемо конгруенцсистемою R_мережі, якщо для всіх, виконуються умови:

В термінах конгруенцсистем визначається напівгрупа, яку названо головною конгруенцнапівгрупою R_мережі. Основним результатом § 1 розділу II є

ТЕОРЕМА (п. 1.8, розд. II). N_накриття головної конгруенцнапівгрупи будь-якої R_мережі є універсальним об'єктом категорії N_накриттів NG.

Оскільки при цьому напівгрупа виявляється лівою сполукою, то наведена теорема є універсальною характеристикою конструкції лівих сполук.

В § 2 другого розділу вивчаються декомпозиції вінцевих добутків і застосовуються для описання так званих афінних розширень напівгруп.

Нехай S - напівгрупа, T(X) - симетрична напівгрупа на множині X. Афінною S_параметризацією напівгрупи T(X) назвемо відображення, що задовільняє умові Якщо задано деяку афінну S-параметризацію напівгрупи T(X), то поклавши отримаємо на множині асоціативну операцію, що визначає напівгрупу, яку в роботі названо афінним -розширенням напівгрупи S.

Нехай - деяка R_мережа на сімействі , що визначається системою , T=T(I) - симетрична напівгрупа на множині I,. Через позначимо множину усіх відображень для яких при будь-якому, а через - відображення де- перетворення множини таке, що для всіх,. Відображення є афінною T-параметризацією напівгрупи. Виникає, отже афінне _розширення напівгрупи T= T(I). Такі афінні розширення в роботі названо мережевими, а систему - афінною мережею над напівгрупою T.

Основним результатом другого розділу є такий аналог теореми Калужніна-Краснера:

ТЕОРЕМА (п. 2.4, розд. II). Будь-яке мережеве афінне розширення напівгрупи T=T(I), шо належить афінній мережі над T, ізоморфно занурюється в вінцевий добуток головної конгруенцнапівгрупи R-мережі та симетричної напівгрупи T.

В цьому параграфі описано також ліві декомпозиції вінцевих добутків.

А саме, якщо розглянути вінцевий добуток конгруенцнапівгрупи та напівгрупи T=T(I), визначити на T структуру напівгрупи лівих нулів (позначивши її L_T), то для напівгрупи W матиме місце

ТЕОРЕМА (п. 2.5, розд. II). Для афінної мережі існує R_мережа така, що

У третьому розділі визначаються, вивчаються та застосовуються узагальнення спектрів Кліффорда.

Нехай - лінійна напіврешітка (тобто або для всіх), - сімейство напівгруп. Через позначатимемо напівгрупу правих (лівих) зсувів напівгруп. Трансляційним спектром сімейства назвемо системи, антигомоморфі змів та гомоморфізмів що задовільняють умовам при будь-яких, (для при цьому,) і при будь-яких.

Тут через позначено канонічне упорядкування напіврешітки L. Трансляційний спектр сімейства позначатимемо через. Множина є напівгрупою відносно операції Ця напівгрупа є L-композицією сімейства S - лінійна -напіврешітка з трансляційним спектром. Більше того - має місце

ТЕОРЕМА (п. 1.4, розд. III). Нехай - лінійна напіврешітка. Напівгрупа T тоді й лише тоді є -сполукою сімейства коли для деякого трансляційного спектра на сімействі S.

В § 2 третього розділу описуються напіврешітки довільних напівгруп. Результати, що при цьому отримано, узагальнюють результати Кліффорда про напіврешітки груп, посилюють результати Петрича про напіврешітки напівгруп та доповнюють результати Б.М. Шайна про довільні сполуки одноідемпотентних моноїдів.

Через позначимо трансляційну оболонку напівгрупи.

Нехай - трьохелементна напіврешітка, така що. Говоритимемо, що сімейство напівгруп утворює спектральний -симплекс, якщо визначено гомоморфізми та відображення такі, що - трансляційні спектри сімейств і, відповідно, і для всіх виконуються умови, де - внутрішній правий (лівий) зсув, який визначається елементом.

Якщо - деякий спектральний -симплекс, то покладемо Останні чотири рівності коректно визначають на множині бінарну операцію. Ця операція є асоціативною.

Напівгрупу назвемо композицією спектрального -симплексу, позначаючи

Напівгрупа тоді й лише тоді є -сполукою своїх піднапівгруп, коли існує спектральний -симплекс сімейства, для якого

Нехай- довільна напіврешітка, - сімейство напівгруп. Говоритимемо, що є -комплексом, якщо для будь-яких визначено деякий спектральний -симплекс, що у випадку пов'язані співвідношеннями -комплекс сімейства позначатимемо через, де. Якщо - деякий -комплекс сімейства, то множина є напівгрупою відносно операції

Позначимо цю напівгрупу через. Безпосередньо перевіряється, що --сполука сімейства.

ТЕОРЕМА (п. 2.3, розд. III). Нехай - деяка напіврешітка. Напівгрупа тоді й лише тоді є -сполукою сімейства своїх піднапівгруп, коли для деякого -комплексу.

Коли є групами, отримуємо результати Кліффорда про напіврешітки груп. У разі, коли є одноідемпотентними моноїдами, отримуємо описання їх напіврешіток в термінах збалансованих систем Б.М. Шайна. Коли, нарешті, є слаборедуктивними, отримуємо результати Петрича про напіврешітки слаборедуктивних напівгруп.

В § 3 третього розділу наводиться модифікація спектрального методу, що використовує довільні відображення напівгруп.

Нехай- напівгрупа ідемпотентів, - сімейство напівгруп. Систему відображень назвемо транзитивною трансляційною системою (або транзитивною системою трансляцій сімейства), якщо при будь-яких виконуються умови які б не були.

Відображення при цьому називатимемо трансляціями сімейства .

Нехай - транзитивна система трансляцій сімейства. Покладемо і визначимо операцію

Множина відносно так визначеної операції є напівгрупою. Напівгрупу назвемо трансляційною сполукою сімейства і позначимо через.

Важливий приклад трансляційних сполук виникає на сімействах симетричних напівгруп. Нехай - сімейство множин, індексованих елементами напівгрупи ідемпотентів, - система відображень таких, що - тотожні і для всіх виконується умова

Розглянемо сімейство симетричних напівгруп і покладемо де визначаються за правилом

Тоді множина є транзитивною системою трансляцій для сімейства, а множина є трансляційною сполукою напівгруп відносно операції

Визначимо на відношення, поклавши тоді й лише тоді, коли і

для всіх. Відношення є конгруенцією напівгрупи, що дозволяє охарактеризувати її симетричне зображення.

ТЕОРЕМА (п. 3.6, розд. III). Існує мономорфізм де.

В цьому параграфі охарактеризовано також один клас напівгруп, що розкладаються в трансляційну сполуку.

В останньому, четвертому розділі роботи описуються декомпозиції вільних добутків напівгруп в сполуки різних класів. Результати, що їх отримано, доповнюють результати Гріна і Ріса, Герхардта та інших авторів про декомпозиції вільних напівгруп.

У першому параграфі розділу описано декомпозиції вільних добутків одноелементних напівгруп. В основі цього результату - описання вільного добутку довільної напівгрупи і одноелементної.

Нехай S - довільна (мультиплікативна) напівгрупа, F[S] - вільний адитивний моноїд в алфавіті S ( - порожнє слово), - зовнішній ідемпотент. Покладемо I=S{} і визначимо II_матрицю умовами

Через M(S) позначимо напівгрупу Ріса матричного типу M(I, F[S], I; ) над F[S] із сендвіч-матрицею і визначимо V₃-напіврешітку напівгруп S, M(S), {}, поклавши для всіх sS, a = (i;x;j) M(S).

Так побудовану напівгрупу позначимо через Slt[S].

Для вільного добутку S[] напівгрупи S та одноелементної напівгрупи {}, має місце

ТЕОРЕМА (п. 1.4, розд . IV). S[] Slt[S].

Якщо через позначати вільний добуток n одноелементних напівгруп, то наслідком останньої теореми є ізоморфізм (п.1.5, розд. IV)

Це рекурентне описання набуває потрібної повноти описанням напівгрупи .

Нехай,- адитивний моноїд невід'ємних цілих чисел, _матриця, що визначається умовою Через позначимо напівгрупу Ріса матричного типу над із сендвіч-матрицею P. Елементи множини I вважатимемо при цьому зовнішніми ідемпотентами такими, що. Для всіх покладемо Отримаємо, як неважко помітити, _сполуку напівгруп, та, де - напіврешітка ідемпотентів, та . Щойно отриману напівгрупу позначимо через і покладемо. Множина є піднапівгрупою напівгрупи.

Має місце ізоморфізм.

В § 2 четвертого розділу описуються декомпозиції вільних напівгруп в термінах поняття напівретракції, визначеного В.М. Усенком (див., наприклад, Усенко В.М. О полуретракциях групп // Вопросы алгебры. Вып. 11. Гомель: Изд-во Гомельского Ун-та. - 1997. - с. 141-157).

Перетворення напівгрупи S називається напівретрацією цієї напівгрупи, якщо при будь-яких. Якщо - напівретрація напівгрупи S, то множина є напівгрупою відносно операції Ця напівгрупа називається -мутацією напівгрупи S і позначається через. Напівретракції та мутації напівгруп дозволяють вивчати гомоморфні образи довільної напівгрупи S внутрішніми засобами цієї напівгрупи. Саме ця обставина використовується для розв'язку основної задачі § 2 четвертого розділу.

Напівретракції напівгрупи назвемо еквівалентними, якщо. Оскільки згідно відомої теореми Кліффорда будь-яка напівгрупа ідемпотентів є напіврешіткою прямокутних напівгруп ідемпотентів, то описання декомпозицій вільної напівгрупи в § 2 четвертого розділу роботи розглядається для двох випадків - декомпозиції в напіврешітки і матричні декомпозиції.

Нехай F=F[X] - вільна напівгрупа (в не більш ніж зліченому) алфавіті X={x₁,…,x_n,…}. Напівретракцію напівгрупи F назвемо Slt_напівретракцією, якщо _мутація є комутативною напівгрупою ідемпотентів.

Для описання Slt-напівретракцій напівгрупи F введемо деякі позначення.

Довжину елемента позначимо через (w)=m. Покладемо далі,. Якщо то говоритимемо, що елемент є дільником елементу w (в позначеннях), якщо і порожніми можуть бути лише елементи. Для всіх wF, i, покладемо Нехай далі, а i(w) - максимальне з чисел t таких, що

Перетворення напівгрупи F таке, що є ідемпотентною напівретракцією напівгрупи F. Називатимемо декартовою напівретракцією напівгрупи. напівгруповий гомоморфізм ідемпотент

Якщо є деяким відношенням еквівалентності на множині X, то через позначимо перетворення множини X, яке визначається умовами

Перетворення є ідемпотентним ендоморфізмом напівгрупи. Будемо називати ендоморфізми канонічними ретракціями.

Перетворення напівгрупи, яке визначається рівністю назвемо лінеаризацією елементів. Лінеаризація елементів напівгрупи F є напівретракцією цієї напівгрупи.

ТЕОРЕМА (п. 2.7, розд. IV). Будь-яка Slt_напівретрація є еквівалентною композиції деякої канонічної ретракції та лінеаризації .

Виявляється, крім того, що мутація вільної напівгрупи, яка визначається її лінеарізацією є вільною напіврешіткою. При цьому застосування вільних добутків одноелементних напівгруп дозволяє отримати зображення вільних напіврешіток в термінах -напіврешіток непорожніх скінченних підмножин множини X, а також описання конгруенцій таких напіврешіток.

Напівретракцію р вільної напівгрупи назвемо Rct_напівретракцією, якщо є прямокутною напівгрупою ідемпотентів.

Нехай о₁, о₂ - довільні ідемпотентні перетворення множини X. Для всіх покладемо

Безпосередньо перевіряєтья, що - Rct-напівретракція напівгрупи. Напівретракцію назвемо Rct-добутком ідемпотентів о₁, о₂ , де - симетрична напівгрупа на множині X.

ТЕОРЕМА (п. 2.13, розд. IV). Будь-яка Rct-напівретракція вільної напівгрупи F[X] є еквівалентною Rct-добутку деяких ідемпотентів о₁, о₂

Висновки

В роботі досягнуто суттєвих просувань в розв'язку проблем Bn_класифікації та Bn_розширень напівгруп.

Розв'язок задач Bn_класифікації дозволив описати новий тип напівгрупових розширень, названих в роботі афінними розширеннями напівгруп. При цьому отримано аналог теореми Калужніна-Краснера. Отримано, крім того, описання основних типів B_декомпозицій вільних напівгруп та вільних добутків.

В напрямку проблеми Bn_розширень запропоновано два узагальнення спектрального методу Кліффорда, за допомогою яких отримано узагальнення та доповнення відомих результатів про зовнішні конструкції напівгрупових сполук.

Роботи автора за темою дисертації

Статті:

Кизименко А.М. Аффинные расширения и левые связки полугрупп // Cовременная алгебра. Вып. 3(22). Ростов н/Д: Рост. гос. пед. ун-т.- 1998.- с. 112-119.

Кизименко А.М. Трансляционные связки полугрупп // Вопросы алгебры. Вып. 13. Гомель: Изд-во Гомельского Ун-та.- 1998.- с. 121-129.

Кізіменко О.М. Прямокутні сполуки напівгруп. // Вісник Київ. Ун-ту. Сер. фіз.-мат. наук.- 1999.- вип. 2.- с. 37-39.

Кізіменко О.М. Про вільні добутки одноелементних напівгруп //Вісник Київ. Ун-ту. Сер. фіз.-мат. наук.- 2000.- вип. 1.- с. 37-41.

Кизименко А.М. Коммутатативные связки полугрупп // Донецк: ДонГУ.-1986.-10 с.- рус.- Деп. в УкрНИИНТИ. - 1986, № 2038. - Ук-Д85.

Тези доповідей:

Кизименко А.М., Потемкин Л.В. Коммутатативные связки полугрупп // XVIII Всесоюзн. алгебр. конф. (Кишинев, сентябрь 1985). Тез. сообщ., Ч.1,- Кишинев: Инст. Матем. с ВЦ АН МССР. - 1985. - с. 245.

Кизименко А.М. Об одном типе связок полугрупп // III Всесоюзн. симп. по теории полугрупп. (Свердловск, июнь 1988). Тез. сообщ.-Свердловск: Уральск. гос. ун-т. - 1988. - с. 36.

Кизименко А.М. О правых композициях полугрупп // Международн. конф. по алгебре (Новосибирск, август 1989). Тез. докл. по теории моделей и алг. систем. - Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР. - 1989. - с. 58.

Kizimenko A.M., Soroka L.I. On right compositions of semigroups // Международн. конф. “Полугрупы и их приложения” (С.-Петербург, июнь 1995). Тез. докл. - С.-Петербург: “Северный очаг”. - 1995. - с. 25-26.

Кизименко А.М. О коммутативных связках циклических полугрупп // VI Міжнародна матем. конф., присв. пам'яті акад. М.П. Кравчука (Київ, травень 1997). Матеріали конф.- Київ: Ін-т матем. АН України. - 1997. - с. 193.

Кизименко А.М., Усенко В.М. Левые связки полугрупп // Міжнародна алгебр. конф. присвяч. пам'яті проф. Л.М.Глускіна (Слов'янськ, серпень 1997).- Київ: Ін-т матем. НАН України.- 1997.- с.9-10.

Кизименко А.М. Свободные полугруппы и коммутативные связки // II Міжнародна алгебр. конф. в Україні, присв. пам'яті проф. Л.А.Калужніна. (Київ-Вінниця, травень 1999).- Вінниця: ВДПУ.- 1999.- с. 84-85.

Кизименко А.М. Свободные полугруппы и прямоугольные связки //Ibid.- с. 85.

Kizimenko A.M., Usenko V.M. The bands and free products // II Международн. конф. “Полугрупы и их приложения” в честь проф. Е.С. Ляпина (С.-Петербург, июль 1999). - С.-Петербург: “Северный очаг”. -1999. - с.85.

АНОТАЦІЯ

Кізіменко О. М. Сполуки напівгруп. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський університет імені Тараса Шевченка. Київ, 2000.

В роботі розглянуто проблему класифікації напівгруп за допомогою їх гомоморфізмів на напівгрупи ідемпотентів. Досліджено як внутрішній (задача декомпозиції) так і зовнішній (задача розширення) аспекти цієї проблеми.

Описано декомпозиції вінцевих добутків напівгруп. Визначено конструкцію афінного розширення напівгруп. Для афінних розширень отримано аналог теореми Калужніна-Краснера.

Узагальнено метод транзитивних систем гомоморфізмів Кліффорда. За допомогою цього узагальнення описано зовнішню конструкцію довільної комутативної сполуки об'єднання напівгруп.

Описано матричні декомпозиції вільних добутків напівгруп. Описано основні типи декомпозицій вільних напівгруп.

Ключові слова: Напівгрупа, напівгрупа ідемпотентів, напіврешітка, сполука, прямокутна сполука, транзитивна система гомоморфізмів, вінцевий добуток, вільна напівгрупа, вільний добуток.

ANNOTATION

Kizimenko O. M. Bands of semigroups. - Manuscript.

Thesis for the candidate degree by speciality 01.01.06 - algebra and number theory. - Kyiv Taras Shevchenko University. Kyiv, 2000.

The structural semigroup classification problem in terms of bands decompositions and band compositions is considered.

The decompositions of semigroup wreath products are described. The construction of affine semigroup extension is defined. The analogue of Kaloujnine-Krasner theorem is obtained for affine extensions.

The Clifford's method of transitive homomorphism system is generalized for description of arbitrary semilattices of semigroup union.

The matrix decompositions of semigroup free products are described. The main types decompositions of free semigroups are described.

Key words: semigroup, semigroup of idempotents, semilattice, rectangular band, transitive system of homomorphisms, wreath product, free semigroup, free product.

АННОТАЦИЯ

Кизименко А. М. Связки полугрупп. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский университет имени Тараса Шевченко. Киев, 2000.

Работа посвящена проблеме структурной классификации полугрупп в терминах связок их подполугрупп или, что равносильно, в терминах их гомоморфизмов на полугруппы идемпотентов. Исследуются как внутренний (задача декомпозиции) так и внешний (задача расширения) аспекты этой проблемы.

Одним из основных методов построения связок семейств полугрупп является метод транзитивных систем гомоморфизмов Клиффорда. В работе этот метод обобщается в двух направлениях. С одной стороны - использование двойных систем гомоморфизмов в сдвиговые оболочки позволяет описывать конструкции произвольных полурешеток семейств полугрупп, а с другой - использование определенных в работе транзитивных трансляционных систем позволяет описывать конструкции произвольных связок и их симметрических представлений. В первом из указанных направлений получено обобщение результатов Петрича о полурешетках слаборедуктивных полугрупп. Кроме того для полурешеток произвольных полугрупп модифицируются результаты Б. М. Шайна о связках одноидемпотентных моноидов, полученные его методом прямых сбалансированных систем гомоморфизмов над квазипорядками.

Задачи декомпозиции в работе рассматриваются для таких полугрупповых конструкций как сплетение и свободное произведение полугрупп. Описанные в работе декомпозиции сплетений в применении к введенной здесь конструкции аффинного расширения позволили получить соответствующий аналог теоремы Калужнина-Краснера. Для свободных произведений получено описание декомпозиций в терминах полугрупп Риса матричного типа.

Ключевые слова: полугруппа, полугруппа идемпотентов, полурешетка, прямоугольная связка, транзитивная система гомоморфизмов, сплетение, свободная полугруппа, свободное произведение.

Размещено на Allbest.ru