Різницевий нестандартний оператор Штурма-Ліувілля

Размещено на http://www.allbest.ru/

Львівський національний університет імені Івана Франка

Яворський Юрій Михайлович

УДК 517.983.

Різницевий нестандартний оператор Штурма-Ліувілля

01.01.01. - математика

Автореферат

на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів -2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті

імені Івана Франка на кафедрі математичного і функціонального аналізу.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Лянце Владислав Елійович.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, Горбачук Мирослав Львович, професор кафедри Київського національного університету ім. Т. Шевченка, доктор фізико-математичних наук, Адам'ян Вадим Мовсесович, професор кафедри Одеського державного університету ім І. Мечнікова, Провідна установа - Фізико-технічний інститут низьких температур імені Б.І. Вєркіна НАН України, відділ математичної фізики.

Захист відбудеться "29" червня 2000 р. о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.07 у Львівському національному університеті ім. І.Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського національного університету ім. І.Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розіслано "25" травня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Микитюк Я.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В роботі вивчається спектр, резольвента та розвинення за власними і приєднаними функціями нестандартного різницевого оператора Штурма-Ліувілля. Одним із основних питань, які досліджуються, є питання про колостандартність (наявність тіні) об'єктів, які виникають в процесі дослідження.

Крайові задачі типу Штурма-Ліувілля фактично з самого початку виникнення сучасного математичного аналізу були і продовжують бути предметом інтенсивного вивчення науковців. Їх важливість пов'язана з тим, що вони з необхідністю виникають при моделюванні найрізноманітніших фізичних явищ і технологічних процесів (коливання, теплообмін, дифузія, квантування тощо)

З відкриттям нестандартного математичного аналізу (A. Robinson 1961, E. Nelson 1977) в теорії операторів Штурма-Ліувілля виникають нові аспекти і проблеми, частина яких досліджується в цій роботі.

Наявність великої кількості наукових публікацій зі застосуваннями нестандартних методів у функціональному аналізі і, зокрема, в теорії операторів, свідчать про актуальність теми роботи і методів, які у ній застосовуються.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Частина результатів роботи отримана в процесі виконання тем Ма - 196 Б "Проблеми теорії операторів в гільбертовому просторі" і ДКНТ 14/17 "Деякі проблеми теорії несамоспряжених операторів і нестандартний аналіз" (Львівський державний університет ім. І.Франка; кафедра математичного і функціонального аналізу).

Мета і задачі дослідження. З формально-алгебраїчної точки зору оператор L, який вивчається в даній роботі, можна ототожнити з певною тридіагональною матрицею. З цієї точки зору спектр оператора - набір (необов'язково різних) комплексних чисел, де - порядок матриці.

Скрізь в роботі припускаємо, що натуральне число m є нестандартним, а тому нескінченним:. В найпростішому випадку, коли головна діагональ матриці складається з нулів, формули для власних значень і власних функцій виписуються явно. З них видно, що власні значення є між собою нескінченно близькими і розташовані на відрізку ((чим ближче до кінців - тим густіше). Крім того, власні функції не є (в певному природньому сенсі) інтегровними з квадратом. Керуючись аналогією з власними функціями неперервного спектру стандартних (наприклад, диференціальних) операторів, ми визначаєм відрізок як неперервний спектр оператора.

Мета роботи полягає, зокрема, в тому, щоб прослідкувати, чи подібне явище зберігається в більш загальних припущеннях щодо головної діагоналі матриці. В роботі знайдено умови, коли це справджується, в основному. Але виявляється, що можливою є поява скінченної (в стандартному розумінні) кількості власних значень, які лежать зовні певного стандартного околу (в комплексній площині) відрізка. Ці власні значення ми називаємо побічними. Вони є аутентичними, тобто їх власні (і приєднані) функції є "інтегровними" з квадратом.

Одним із основних питань, яке стосується нестандартного математичного об'єкту є питання про його колостандартність (наявність нескінченно близького стандартного об'єкту-тіні). Ще одна мета роботи - дослідження питання про колостандартність операторів (які вивчаються), їх спектрів, власних і приєднаних елементів, резольвент. Відзначимо, що постановка задачі в роботі вимагала певного узагальнення поняття стандартності і колостандартності. Автор використовує стандартність і колостандартність в певному природньому умовному сенсі, яка спирається на принцип стандартного продовження Нельсона.

Наукова новизна одержаних результатів. Нестандартний різницевий оператор Штурма-Ліувілля, в припущеннях, прийнятих в дисертації, в науковій літературі не розглядався.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в даній роботі результати показують, що лінійні оператори у випадку, коли є нестандартним натуральним числом, мають властивості, аналогічні до властивостей стандартних операторів в стандартних нескінченновимірних просторах. Це дозволяє сподіватись, що (в окремих випадках) перші можуть заміняти других в математичному моделюванні. Зрозуміло, що таке сподівання вимагає підкріплення наступними багатоваріантними дослідженнями.

Особистий внесок дисертанта. В спільних публікаціях науковому керівнику належить постановка задачі і формування очікуваних результатів. Фактична реалізація запланованих досліджень, остаточне формулювання результатів належить автору дисертації. Результати, які стосуються оператора на всій "дискретній осі" і "періодичних" краєвих умов, отримані за ініціативою автора дисертації і належать йому повністю.

Апробація роботи. Основні результати дисертації доповідались на Всеукраїнській науковій конференції "Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях" (Львів-1995), на Міжнародній конференції пам'яті М. Крейна (Одеса-1997), на Львівському міському семінарі з функціонального аналізу (ЛДУ, керівник професор В.Е. Лянце).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в статтях [1-5], список яких подано в кінці автореферату і з яких чотири надруковані у виданнях з переліку № 1, затвердженого ВАК України.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел із 30 назв. Загальний обсяг праці разом із списком використаних джерел - 116 сторінок.

диференціальний оператор штурм ліувілль

ЗМІСТ РОБОТИ

У розділі 1 дано загальну характеристику роботи, а також деякі базові відомості з нестандартного аналізу.

У розділі 2 розглянуто скінченнорізницевий оператор на дискретній "півосі" (де - задане натуральне нестандартне число, визначено його спектр, резольвенту та розвинення за власними функціями.

Через ми позначаємо Гільбертовий простір комплекснозначних функцій, які визначені на, зі скалярним добутком.

В природньому базисі простору матриця оператора є 3-х діагональною матрицею розміру. Оскільки функція є комплекснозначна і, то треба розглядати як несамоспряжений сингулярний оператор.

М.А. Наймарк був першим, хто детально дослідив несамоспряжений диференціальний оператор Штурма-Ліувіля. Як видно з даної дисертації, є багато спільного між властивостями оператора і оператора Наймарка.

Позначимо через розв'язок рівняння, який визначається початковими умовами.

Очевидно, що власними значеннями оператора є - корені рівняння, а єдиною (з точністю до числового множника) власною функцією, яка відповідає власному значенню, є.

Для опису спектра оператора, зручно використовувати комплексні і - площини, пов'язані між собою співвідношеннями

В підрозділі 2.2 розглядається оператор в припущенні, що. Легко бачити, що спектр оператора в - площині є множина ("дуальна" до):

А власними значеннями в - і - площині є, відповідно, числа:. Кожному відповідає власна функція. Має місце наступне твердження

Теорема. Власні функції утворюють ортонормальну базу простору. Таким чином, для "дискретного" sin - перетворення Фурьє: маємо наступну формулу обернення.

Нестандартність оператора проявляється в наступному

1. Власні значення є нескінченно близькими

2. Власні функції оператора не є "квадратично інтегровними".

В цьому підрозділі доведено наступне твердження про "асимптотику" власних значень оператора.

Твердження. Нехай таке, що. Припустимо також, що. Тоді існує точно одне власне значення оператора таке, що міститься в (нескінченно малому) прямокутнику (з центром в точці), який утворений прямими лініями.

Введемо означення. Власне значення оператора називається побічним, якщо існує такий стандартний окіл, в - площині, сегмента відстань від до сегмента [-1,1] не є нескінченно малою).

Має місце наступне твердження.

Теорема. Нехай - побічне власне значення оператора. Позначимо через простір фундаментальних функцій, які відповідають.

Більш того, збігається з кратністю як кореня рівняння.

Відмітимо, що тоді і тільки тоді, коли є власним значенням оператора.

Позначимо через спектральний проектор оператора, який відповідає власному значенню: є лишком резольвенти відносно полюса. Нехай матриця проектора відносно природньої бази простору, а саме

Твердження. Нехай - кратність, як кореня рівняння. Тоді

Для спрощення припустимо, що всі власні значення оператора є прості. Має місце наступне твердження.

Твердження. Нехай. Покладемо

В підрозділі 2.9 також доведені певні твердження, що стосуються побічних власних значень.

Теорема. Нехай - побічне власне значення оператора. Тоді існує такий стандартний окіл (цього власного значення, що всі власні значення оператора, які містяться в, нескінченно близькі до…

Наслідок. Нехай (довільний стандарний окіл сегмента. Тоді сума алгебраїчних кратностей власних значень, що містяться зовні, є стандартне натуральне число (залежне від).

Відмітимо, що всі власні функції оператора, які відповідають побічним власним значенням є квадратично інтегровними. Крім того, для кожного резольвентного значення (відстань від якого до сегмента є нескінченно малою,. Ми розглядаємо це як ще один аргумент на користь твердження: являється "неперервним спектром" оператора.

В розділі 3 ми розглядаємо оператор в (який породжений скінченнорізницевим виразом (описаним в розділі 2) і "періодичними" крайовими умовами.

Через і (як і в розділі 2) позначаємо розв'язки рівняння, які визначаються наступними початковими умовами, відповідно,

Зауваження. У випадку "періодичних" крайових умов і власні значення, оператора є двохкратними.

Надалі розглядається оператор з ненульовим "потенціалом". Нехай - оператор, який розглядався в розділі 2. Позначимо через розв'язок неоднорідної крайової задачі

Лема. Нехай і така функція, що рівняння має розв'язок. Позначимо через розв'язок наведеної вище неоднорідної крайової задачі при Тоді

Зауваження. Числа у вище наведеній формулі з леми 3.4.3, не є довільними. Після нескладних обчислень, підставляючи цю формулу в умови "періодичності" (з), отримуємо систему рівнянь для сталих і виду.

Виявляється, що ця система є сумісною. Через і позначимо розв'язок цієї системи, а через і праві частини першого та другого рівняння системи, відповідно.

Твердження. Нехай є резольвентним значенням як оператора так і оператора.

Зауваження. Нехай належить спектру оператора M і є револьвентним значенням оператора.

Тоді має місце рівність

В цьому випадку геометрична кратність власного значення дорівнює одиниці, а відповідно власна функція має вигляд.

В розділі 4 висвітлено деякі питання, які стосуються оператора, породженого скінченорізницевим виразом (описаним в розділі 2) і крайовими умовами.

Як і раніше вважаємо натуральне число нескінченним. Множину задано наступним чином.

Спектральна теорія оператора, який розглядається в розділі 4, не є тотожня теорії, розглянутій в розділі 2, оскільки в розділі 4 вимога "інтегрованості на півосі" де, замінюється умовами і через позначаємо розв'язки рівняння, які задовільняють наступні початкові умови.

Рівняння для власних значень оператора можна записати у двох еквівалентних формах.

Теорема. Власними значеннями оператора з нульовим потенціалом (тобто) в - площині, - площині і - площині є числа, відповідно, власному значенню відповідає власна функція.

Власні функції утворюють ортонормовану базу простору.

В підрозділі 4.3 доведено наступне твердження про "асимптотику" власних значень оператора.

Твердження. Нехай є таким, що. Припустимо, що Тоді існує в точності одне власне значення оператора таке, що міститься в нескінченно малому прямокутнику (з центром в точці нагадаємо, що є власним значенням з нульовим потенціалом), утвореному прямими.

Позначимо через оператори, які породжені скінченнорізницевим виразом (описаним в розділі 2) і крайовими умовами, відповідно, "півосях" з нульовими крайовими умовами, які розглядались в другому розділі дисертації. В підрозділі 4.4 описано резольвенту оператора, причому вона виражається через резольвенти операторів та функції і

В підрозділі 4.5 ми розглядаємо спектральний проектор, який відповідає власному значенню оператора і подаємо його явний вигляд.

В підрозділі 4.6 розглянуті властивості побічних власних значень оператора, а також доведена теорема.

Теорема. Нехай - побічне власне значення оператора, але резольвентне для операторів,. Тоді підпростір власних і приєднаних функцій оператора має базу, елементи якої колостандартні.

ВИСНОВКИ

Нестандартні методи дозволяють утворювати нові об'єкти: лінійні оператори гіперскінченого рангу. За принципом перенесення такі оператори володіють усіма властивостями лінійних операторів в лінійних скінченновимірних просторах. Але якщо ранг оператора - нестандартне натуральне число, то в його спектрі (природнім чином) виділяються "точкова" і "неперервна" частини. Основою для такої класифікації є:

1) якість розподілу власних значень,

2) "інтегровність" або "неінтегровність" власних і приєднаних елементів,

3) узгодженість з властивостями операторів класичного функціонального аналізу при переході від нестандартного об'єкта до його (стандартної) тіні.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ ОПУБЛІКОВАНІ В НАСТУПНИХ СТАТТЯХ

1. V.E. Lyantse, Yu.M. Yavorsky, A nonstandard Difference Sturm - Liouville operator, Bull.Polish Acad. Sc. Vol.46, № 3,- 1998. - PP.285-290.

2. V.E. Lyantse, Yu.M. Yavorsky, Nonstandard Sturm - Liouville operator, Math.Studii Part I, V.10 № 1, - 1998. - PP.54-68.

3. V.E. Lyantse, Yu.M. Yavorsky, Nonstandard Sturm - Liouville operator, Math.Studii Part II, V.11 № 1, - 1999. - PP.72-82.

4. Ю.М. Яворський. Про нестандартний сингулярний різницевий оператор. Доповіді національної академії наук України. Математика, природознавство, технічні науки. № 7, - 1999. - С.41-45.

5. Ю.М. Яворський. Про резольвенти нестандартних різницевих операторів. Вісник Львівського університету. Серія механіка-математика, - 1999. - Випуск 53. - С.93-97.

Размещено на Allbest.ru