Розв’язок крайових задач теорії потенціалу та теорії пружності для тіл з кутовими точками

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 539.3

Розв'язок крайових задач теорії потенціалу та теорії пружності для тіл з кутовими точками

01.02.04 - Механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Ловейкін Андрій Вячеславович

Київ 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

Захист відбудеться "29" червня 2000 р. о 16 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: м. Київ, проспект Академіка Глушкова, 2, корпус 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, вул. Володимирська, 58)

Автореферат розісланий " 26 " травня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Кепич Т.Ю.

інтегральний лежандр пружність

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Розвиток різних галузей машинобудування, створення потужних промислових установок пов'язаний із широким застосуванням різноманітних композитних матеріалів з високою питомою міцністю, що дозволяє знизити матеріаломісткість конструкцій. В той же час, ці матеріали мають малу тріщиностійкість, що несе за собою небезпеку їх швидкого руйнування. Тому задачі про визначення напружено-деформованого стану в тілах з тріщинами привернули до себе значну увагу вчених. Розв'язання задач математичної теорії тріщин в межах лінійної теорії пружності дозволяє відносно просто визначити напружено-деформований стан в тілах з тріщинами, що відповідає дійсності. Тому з розв'язанням цих задач і пов'язана проблема визначення умов і законів розповсюдження тріщин, встановлення граничних навантажень, що призводять до руйнування матеріалу. Характерною особливістю задач теорії тріщин є те, що всі вони є мішаними крайовими задачами теорії пружності, і їх розв'язання вимагає специфічних математичних методів. Аналіз стану питання про розв'язання мішаних задач теорії пружності встановив, що на теперішній час розроблені математичні методи та побудовані точні розв'язки плоских задач для тіл з тріщинами та деяких класів просторових задач для тіл з тріщинами, фронт яких окреслений гладкими кривими. В той же час недосконалість математичних методів не дозволяє будувати точні розв'язки задач математичної теорії тріщин для тіл з внутрішніми та приповерхневими тріщинами, фронт яких має кутові точки.

Таким чином, із сказаного вище можна зробити висновок, що питання про розробку математичних методів розв'язання крайових задач для тіл з тріщинами з кусково-гладким контуром та побудову точних розв'язків цих задач залишається відкритим.

За своєю математичною постановкою та методом досліджень задачі теорії пружності для тіл з тріщинами схожі з просторовими задачами теорії потенціалу. Тому природньо, що в багатьох випадках методика розв'язання мішаних задач теорії потенціалу може бути перенесена на мішані задачі теорії пружності для тіл з тріщинами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження та результати дисертаційної роботи тісно пов'язані з науковими дослідженнями, що проводяться на кафедрі теоретичної та прикладної механіки Київського університету ім. Тараса Шевченка за комплексною науковою програмою "Дослідження закономірностей деформування складних механічних структур з урахуванням явищ і ефектів зв'язності полів різної природи і розробка методів їх кількісного аналізу" на 1997 - 2000 рр.

Мета дослідження. Розробка схеми розв'язання та побудова точних розв'язків задач теорії потенціалу для просторових тіл з кутовими точками та просторових задач теорії пружності для тіл з однією або двома внутрішніми та приповерхневими клиноподібними тріщинами із використанням інтегральних розвинень по функціях Лежандра типу Мелера-Фока. На основі отриманих точних розв'язків встановити характер особливості електростатичного поля та поля напружень в кутових точках просторових тіл.

Наукова новизна одержаних результатів.

- Проведене узагальнення перетворень типу Мелера-Фока по функціях на проміжках (0,/2) та (0,) на більш широкий клас функцій.

- Вперше розроблена схема застосування інтегрального перетворення типу Мелера-Фока по функціях на проміжку (0,) до розв'язання просторових задач теорії потенціалу та теорії пружності для тіл з кутовими точками.

- На основі представленої схеми вперше побудовані точні розв'язки задач теорії потенціалу для просторових тіл у формі зігнутої клиноподібної пластини та тригранного кута і задач теорії пружності для простору з однією або двома внутрішніми клиноподібними тріщинами та нестисливого півпростору з розрізом по чверті площини, ребро якого перпендикулярне поверхні півпростору.

- З отриманих точних розв'язків вперше визначені характери особливостей електростатичного поля та поля напружень в кутових точках розглянутих тіл, встановлені залежності цих особливостей від геометричних параметрів тіл.

Практичне значення одержаних результатів. Запропонована схема застосування інтегрального перетворення типу Мелера-Фока дозволяє розв'язувати мішані крайові задачі теорії потенціалу, теорії пружності та контактні задачі в сферичній та просторовій біполярній системах координат. Побудовані точні розв'язки вказаних задач математичної теорії тріщин дозволяють оцінити напружено-деформований стан в реальних тілах з тріщинами, що мають схожу геометрію. Отримані особливості пружного поля в кутових точках тріщин дозволяють розробляти ефективні алгоритми наближеного визначення напружено-деформованого стану в реальних тілах та передбачити процес розповсюдження тріщин, геометрія яких аналогічна розглянутим в роботі.

Особистий внесок здобувача. Основні результати роботи отримані особисто здобувачем. В роботах [1, 4, 5, 6] співавтору, А.Ф. Улітку, належить постановка задач, а побудову аналітичних розв'язків та аналіз отриманих результатів здійснено дисертантом. В роботі [1] співавтором, Д.М. Парфененком, запропоновано методику розв'язування задачі про зігнуту клиноподібну пластину, дисертантом здійснено розв'язок даної задачі та аналіз отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати роботи та робота в цілому доповідались на науковому семінарі "Проблеми механіки" при кафедрі теоретичної та прикладної механіки Київського університету ім. Тараса Шевченка (1997 - 2000 рр.).

Крім цього, окремі результати роботи доповідались на наукових конференціях:

- Наукова конференція студентів і аспірантів механіко-математичного факультету Київського університету ім. Тараса Шевченка, 1996 р.

- Міжнародна наукова конференція "Современные проблемы концентрации напряжений", присвячена 75-річчю академіка НАН України О.С. Космодаміанського, м. Донецьк, 1998 р.

- ІІ міжнародна конференція "Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій", м. Львів, 1999 р.

Публікації. Матеріали дисертації опубліковано в 4-х наукових журналах, одному збірнику наукових праць і в матеріалах конференцій.

Дисертація обсягом 131 с. складається із вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел із 100 найменувань; містить 12 рисунків.

Автор висловлює подяку науковому керівникові, чл.-кор. НАНУ, проф. Улітку А.Ф. за підтримку і цінні поради під час роботи над дисертацією.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі аналізується сучасний стан питання про розв'язання задач математичної теорії тріщин, контактних задач та споріднених задач теорії потенціалу для тіл з кутовими точками. Обгрунтовується актуальність проблеми розв'язання задач вказаного класу та визначається мета досліджень. Встановлена наукова новизна та практичне значення дисертаційної роботи, вказується особистий внесок здобувача, апробація роботи та публікації автора, в яких викладений основний зміст. Вказано на зв'язок проведеного дослідження з науковими темами.

В першому розділі зроблений огляд наукових праці за вказаною проблематикою. Огляд починається з робіт Г. Вестергаарда, І. Снеддона, Г. Ірвіна, В.З. Морозова, в яких розглянуті плоскі задачі теорії пружності для тіл з тріщинами. Наступним кроком в розгляді вказаного питання можна вважати розв'язання задач просторової теорії пружності для тіл з тріщинами, що мають гладкий фронт, та споріднених контактних задач для штампів з гладкою межею. Це, в першу чергу, роботи В.І. Моссаковського, А.Ф. Улітка, Я.С. Уфлянда, В.М. Александрова, В.В. Панасюка, Ю.М. Подільчука, О.Є. Андрейківа та інших. Найскладнішими задачами вказаного класу є задачі про рівновагу пружних тіл з тріщинами з кусково-гладким фронтом, контактні задачі для штампів, обмежених кусково-гладкими кривими, та споріднені задачі теорії потенціалу для плоских та об'ємних тіл з кутовими точками. Тут слід відмітити роботи Л.А. Галіна, В.Л. Рвачова, В.С. Проценка, В.М. Александрова, А.Ф. Улітка, Д.М. Парфененка, в яких розглянуті мішані задачі теорії пружності для півпростору, коли лінія зміни крайових умов є кусково-гладкою, а також роботи М.М. Лебедєва, І.П. Скальської, в яких розглядались споріднені задачі теорії потенціалу. Останнім часом в роботах В.М. Александрова та Д.О. Пожарського розглянуті методи розв'язання мішаних задач теорії пружності для просторового клина.

Другий розділ роботи присвячений розгляду інтегральних перетворень типу Мелера-Фока по функціях на проміжках 0<< та 0<</2, , s - чисто уявні числа, які були розроблені в роботах А.Ф. Улітка, Д.М. Парфененка, а також М.М. Лебедєва, І.П. Скальської. Зроблене узагальнення цих перетворень на більш широкий клас функцій.

В третьому розділі розглянуті дві просторові задачі теорії потенціалу для провідників, що мають форму симетрично зігнутої клиноподібної пластини та форму тригранного кута (рис. 1, 2), кутовими точками яких є їх вершини, що на обох рисунках співпадають з початком координат.

Нехай E - замкнена множина, що визначає провідник в просторі, а S - його поверхня. Дослідження характеру поведінки електростатичного поля поблизу кутової точки провідника базується на однорідних розв'язках поставлених задач, які визначаються як нетривіальні розв'язки такої крайової задачі

=0, (x,y,z)R3\E, |S=0 (1)

при цьому умова регулярності на нескінченності не ставиться.

Розглянемо задачу про симетрично зігнуту клиноподібну пластину, на основі якої розроблена схема застосування інтегральних перетворень типу Мелера-Фока, яка використовується при розв'язанні всіх задач даної роботи. В даній задачі провідник є плоским, тому E=S. Сам провідник зручно описати у сферичній системі координат (,,), в якій буде проводитись і розв'язання задачі: E={0, =, 00}, 0<1/2, 0<0. З рис. 1 бачимо, що крайова задача (1) в цьому випадку має симетрію по координаті y. Характер особливості електростатичного поля в вершині провідника, точці O, визначається з розв'язку парної відносно площини y=0 задачі. Розв'язок цієї задачі досить шукати у півпросторі y > 0, на поверхні якого має виконуватись умова

. (2)

Використовуючи метод частинних областей, розбиваємо півпростір на дві клиноподібні області:

1={0<<+, 0<<, 0<<},

2={0<<+, 0<-<, 0<<},=1-,

в яких шукаємо гармонічні функції 1 та 2, що задовольняють умову (2), крайову умову задачі (1) та умови зшиття, які перепишемо у вигляді

1|==2|= , 0<<; (3)

1|==0, 0<<0; , 0<<. (4)

Невідомі функції 1 та 2 представимо у вигляді інтегралів типу Мелера-Фока по змінній на проміжку 0 < <

(5)

де as(), bs() - невідомі функції змінної , s - невідомий параметр. При такому виборі функцій 1,2 умова (2) вже виконана. Тому залишилось задовольнити умову (3) та мішані умови (4). Підставивши (5) в (3), отримаємо взаємозв'язок між невідомими функціями as() та bs()

as()cos = bs()cos .

Для остаточного розв'язання задачі підставимо (5) в мішані умови (4), скористаємось останньою рівністю та довизначимо отримані співвідношення на весь проміжок 0<< невідомими функціями. Матимемо

(6)

(7)

де us, s - невідомі функції, для яких справедливо

;

Для визначення з рівностей (6) та (7) невідомої функції as() застосуємо до них формули обернення інтегрального перетворення типу Мелера-Фока. З рівності (6), врахувавши властивості функцій Лежандра, отримаємо

(8)

де , X+() - невідома, аналітична при Re >- (>0) функція, що при Re >0 має вид

і при ~ поводить себе як O(-1/2). Аналогічно з рівності (7) можна отримати

, (9)

де - невідома функція, аналітична при Re >-1/(2), що при ~ має асимптотику вигляду O(-1/2).

Вилучивши з рівностей (8) та (9) невідому функцію as(), прийдемо до функціонального рівняння Вінера-Хопфа, справедливого в смузі |Re |<, ,

(10)

де , - нові невідомі функції, що лінійно визначаються через X+(), Y+() відповідно та введені для зручності, вони є аналітичними при Re >- і поводять себе як O(-1) при ~ ;

.

Застосовуючи до отриманого рівняння (10) методику Вінера-Хопфа, вихідну задачу можна звести до нескінченної, однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь

(11)

,

де xk, yk, k0, - невідомі, лінійна комбінація яких визначає невідомі функції X+() та Y+(), а як наслідок і розв'язки поставленої задачі (5). Зауважимо, що система (11) не є регулярною, але її розв'язки можна побудувати методом редукції до скінченної, якщо вибрати M=[L] невідомих xm та N=[L] невідомих yn, L 10, []- ціла частина числа. Крім цього система (11) матиме сенс, якщо , тобто /20.

Оскільки система (11) є однорідною, то вона матиме нетривіальні розв'язки лише у випадку, коли її визначник обертається в нуль, що дає можливість визначити значення параметру s. Нулі визначника системи (11) шукались чисельно. При цьому встановлено, що всі вони дійсні та прості. Основна увага приділялась найменшому додатньому визначнику, бо саме він визначає особливість електростатичного поля в вершині провідника.

На основі знайдених нулів визначника системи (11), представлень розв'язків поставленої задачі (5) та виразу для поверхневої густини зарядів у випадку плоского провідника можемо встановити, що

|S~C, ~0+, (12)

де =s1-3/2, s1 - найменший додатній нуль визначника системи (11), С не залежить від . Залежність показника від геометричних параметрів провідника представлена на рис. 3. Поверхнева густина зарядів має в точці O локальну особливість степеневого характеру, яка залежить від геометрії провідника. Отримані результати в деяких частинних випадках співпадають з відомими в літературі. Так при 0=/2, а ~0+ провідник вироджується в плоский, який займає чверть площини, і -0,793. М.М. Лебедєвим та І.П. Скальською розглядалась задача для такого провідника у сферо-конічних координатах і було отримано, що -0,695. Врахувавши, що обидва результати отримані наближено, можна вважати, що вони узгоджуються.

В ході розв'язання розглянутої задачі можна встановити схему застосування перетворень типу Мелера-Фока до побудови точних розв'язків мішаних задач теорії потенціалу у сферичній системі координат. Розв'язок поставленої задачі представляються у вигляді комплексних інтегралів по функціях , інтегрування проводиться по . На основі мішаних крайових умов на одній з координатних поверхонь =Const розв'язання задачі зводиться до функціонального рівняння Вінера-Хопфа, яке, використовуючи відому методику, можна звести до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. При цьому нулі визначника отриманої системи визначають особливість поведінки розв'язків задачі поблизу кутової точки, що лежить в початку координат. Зауважимо, що у випадку, коли мішані крайові умови задаються на двох координатних поверхнях =Const, то задача зводиться до системи рівнянь Вінера-Хопфа.

Переходячи до розгляду задачі про розподіл електростатичного поля зовні тригранного кута, зауважимо, що в даному випадку провідник є об'ємним, який у сферичній системі координат має вид (див. рис. 2) E={0, ||, /2}, 0<<1, а його поверхня - S={0, =, /2}{0, ||, =/2}. Крім цього дана задача теж має симетрію по координаті , і її розв'язок досить шукати у півпросторі y>0 з умовою (2) на його поверхні.

На основі методу частинних областей розіб'ємо півпростір y>0 зовні провідника на дві області

1={0<<+, 0<<, 0<</2},

2={0<<+, 0<-<, 0<<},=1-,

та будемо шукати невідомі функції 1 та 2, гармонічні у 1 та 2 відповідно, які задовольняють умову (2), нульові крайові умови на S та умови зшиття при =,

1|=/2=0, 0<<; 2|==0, /2<<;

1|==2|=; .

Таким чином, для знаходження функцій 1,2 маємо мішані крайові умови при =. Відмінність розв'язання даної задачі від попередньої полягає в тому, що функція 1 представляється через інтеграл по функціях на проміжку (0,/2), а функція 2 - по функціях на проміжку (0,). Запропонована схема дозволяє звести поставлену задачу до нескінченної однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, аналогічної до системи (11). Аналіз отриманої системи та використання співвідношення, що визначають поверхневу густину зарядів для об'ємного провідника, дав можливість встановити, що при наближенні до вершини тригранного кута, точки O (див. рис. 2), функція має поведінку, що визначається співвідношенням (12). При цьому показник залежить від геометричного параметра , і ця залежність представлена на рис. 4. Як бачимо, поверхнева густина має в вершині тригранного кута локальну особливість степеневого характеру. Цікавим є порівняння отриманих результатів з відомими в літературі. Так при =1/2 триграний кут перетворюється у двограний з кутом /2 (точка O лежить на ребрі), і отримана особливість -0,3334 співпадає з відомою особливістю на ребрі (=-1/3). Особливої уваги заслуговує випадок, коли =1/4 і триграний кут перетворюється в "рівнобічний" (його ребра взаємноперпендикулярні), який розглядався в роботі Г. Фікери, де було отримано, що -0,5665<<-0,5355. В даній роботі визначено, що -0,5460. Результати узгоджуються.

Четвертий розділ присвячений розгляду трьох просторових задач теорії пружності для простору, який послаблений одним клиноподібним розрізом (рис. 5), двома симетричними клиноподібними розрізами, які лежать в одній площині та утворюють вертикальні кути (рис. 6), і послабленого розрізом по півплощині та клиноподібним розрізом, що лежать в одній площині (рис. 7). В усіх трьох випадках розрізи лежать в площині y=0 і позначені через S, а кутові точки просторових тіл співпадають з початком координат.

Вважаємо, що на стінках розрізів S виникають лише симетричні нормальні напруження, а дотичні відсутні (тріщини нормального відриву). Тоді всі задачі матимуть симетрію по координаті y і їх розв'язки досить шукати лише у півпросторі y>0, на поверхні якого маємо такі мішані крайові умови

де p(x,z) - відома, визначена на S функція.

Якщо представити розв'язки задач у вигляді

де - гармонічні в {y>0} функції, G - модуль зсуву пружного матеріалу, m - число Пуассона, то поверхня y=0 буде вільною від дотичних напружень, а для нормальних напружень та зміщень матимемо

В результаті для розв'язання поставлених задач досить знайти для кожної одну гармонічну в {y>0} функцію , яка задовольняє мішані крайові умови на поверхні півпростору

(13)

Характер поведінки поля напружень в околах кутових точок даних розрізів визначається на основі однорідних розв'язків, для яких виконуються однорідні мішані крайові умови (13), а умова регулярності на нескінченності не ставиться. Розв'язки всіх задач даного розділу будувались у сферичних координатах за представленою вище схемою, використовуючи розвинення по функціях Лежандра на проміжку 0<<.

В задачі про рівновагу пружного простору, послабленого одним клиноподібним розрізом (див. рис. 5), вважалось, що кут розхилу розрізу задовольняє умову <0<2. Тому в цій задачі S={0, 0, =0}{0, 0, =}, 0=2-0, а однорідні крайові умови (13) мають вид

В даній задачі мішані умови задані на поверхні =. Тому за вказаною схемою задача зведена до функціонального рівняння Вінера-Хопфа, а воно - до квазіцілком регулярної, однорідної, нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Проаналізувавши отриману нескінченну систему, встановлено, що нулі її визначника дійсні та прості, а нормальні напруження мають в вершині розрізу, точці O, локальну особливість степеневого характеру

, (14)

де C не залежить від . Залежність показника від кута 0 представлена на рис. 8. Бачимо, що у випадку, коли клиноподібна тріщина "більша" за півплощину, то в її вершині особливість є сильнішою за класичну кореневу, яка має місце на ребрах. Тобто, в вершині концентрація напружень є більшою. Тоді при досягненні критичних навантажень розповсюдження тріщини в цьому випадку почнеться з її вершини.

При розгляді задачі про пружний простір з двома симетричними клиноподібними розрізами (див. рис. 6) множину S слід представити в такому вигляді: S={0, 00, =0}{0, -0, =}, а однорідні крайові умови (13) матимуть вид

Відмінність цієї задачі від попередньої полягає в тому, що мішані крайові умови задані на двох координатних поверхнях, =0 та =. Тому за схемою розв'язання ми отримаємо систему функціональних рівнянь Вінера-Хопфа. Зауважимо, що дана задача має симетрію відносно осі Oy (див. рис. 6). Для визначення особливості поля напружень в вершині розрізів, точці О, досить знайти парний відносно Oy розв'язок. В цьому випадку для розв'язання системи функціональних рівнянь досить знайти розв'язок лише одного з рівнянь, бо вони будуть функціонально залежними. Отриманий факт дозволив звести поставлену задачу до однорідної, нескінченної, квазіцілком регулярної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, нулі визначника якої є дійсними та простими.

Отримані результати та аналіз однорідних розв'язків дають можливість встановити, що характер поведінки нормальних напружень поблизу точки О визначається асимптотичним співвідношенням, що має вид (14). При цьому поле напружень в точці О має локальну особливість, яка залежить кута 0 (рис 9). При 0=0, коли розрізи зникають, особливість відсутня (=0). При збільшенні кута 0 від 0 до особливість посилюється. Якщо , то особливість в вершині розрізів є слабшою за класичну кореневу, що має місце на ребрах розрізів. При особливість співпадає з класичною кореневою, а при поступово посилюється. Якщо 0~2, то відбувається стрибок до -1. Це пов`язано з тим, що у випадку 0=2 наше тіло вироджується у два півпростори, з`єднані нескінченно тонкою перемичкою, і розгляд задачі в статичній постановці є неможливим. На основі отриманих результатів можна проаналізувати процес руйнування тіла, що має тріщину схожої геометрії. Якщо , то руйнування матеріалу почнеться в вершині і буде поширюватись від вершини симетрично в протилежних напрямках. При руйнування почнеться на ребрах, і цей процес буде напрямлений в бік збільшення кута розхилу розрізів 0. При досягненні цим кутом величини подальший процес руйнування залежить від розподілу коефіцієнту інтенсивності вздовж ребер розрізу.

Розглядаючи задачу про рівновагу пружного простору з розрізом по півплощині та клиноподібним розрізом (див. рис. 7), поверхню S слід записати у такому вигляді S={0, 0-0, =0}{0, 0, =}, де 0=/2-0, 0<0</2, 20 - кут розхилу клиноподібного розрізу.

Однорідні крайові умови (13) в даній задачі матимуть вид

Оскільки дана задача має симетрію по координаті відносно =/2 (по координаті z) (див. рис. 7), то для визначення характеру поведінки нормальних напружень в точці О досить знайти лише парні відносно =/2 однорідні розв'язки задачі. Оскільки мішані крайові умови задані лише при =0, то, використовуючи запропоновану схему розв'язання, задача зводиться до одного функціонального рівняння Вінера-Хопфа, а воно - до квазіцілком регулярної, однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Проаналізувавши властивості отриманої нескінченної системи, маємо, що асимптотична поведінка нормальних напружень визначається співвідношенням, аналогічним (14). При цьому показник залежить від кута 0, і ця залежність представлена на рис. 10. У випадку, коли 0=0, клиноподібний розріз зникає, і в просторі ми маємо лише розріз по півплощині, на ребрі якого має місце класична коренева особливість, що узгоджується з отриманими результатами. При 0<0</2 особливість в точці O має степеневий характер, але ця особливість є сильнішою за кореневу, що має місце на ребрах розрізів. З отриманих результатів бачимо, що при симетричному навантаженні руйнування матеріалу почнеться саме з точки O, бо в ній більше концентруються напруження.

В п'ятому розділі розглядається задача про рівновагу пружного півпростору з розрізом по чверті площини, ребро якого перпендикулярне поверхні півпростору (рис. 11). В даній задачі вважається, що поверхня півпростору вільна від зусиль, а розріз знаходиться в умовах нормального відриву, тобто на його стінках виникають лише симетричні нормальні напруження, а дотичні - відсутні. Поставлена задача має симетрію відносно площини розрізу. Тоді, якщо півпростір займає область {x>0}, а розріз - поверхню S={y=0,x0,z0}, то розв'язок задачі досить шукати у чверті простору ={x>0, y>0}, на поверхні якого задані мішані крайові умови

де p(x,z) - відома, визначена на S функція. Зауважимо, що область має вид просторового клина з кутом розвороту /2.

Розв'язок отриманої мішаної задачі шукаємо у вигляді суперпозиції розв'язків для півпростору {x>0} та півпростору {y>0}, що залишають їх поверхні вільними від дотичних зусиль

де , - гармонічні в функції, для визначення яких маємо такі крайові умови

(15)

де - окружна координата.

Дослідження особливості поведінки пружного поля при підході до точок ребра розрізу, і особливо при підході до точки виходу ребра на поверхню півпростору, здійснюється на основі однорідних розв'язків, для яких мають виконуватись нульові крайові умови (15) та не ставиться умова регулярності на нескінченності. Для випадку нестисливого матеріалу (m=2) досить знайти лише функції 1,2, для побудови яких у сферичній системі координат (,,) застосовується схема із використанням розвинення по функціях на проміжку 0<< В результаті застосування цієї схеми побудова розв'язку задачі зводиться до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, але коефіцієнти цієї системи, на відміну від попередніх задач, будуть комплексними. Аналіз отриманої нескінченної системи дозволив встановити, що нулі її визначника дійсні та прості, а нормальні напруження в околі точки О поводять себе таким чином

С не залежить від . Бачимо, що напруження в цій точці матимуть локальну степеневу особливість, але ця особливість слабша за класичну кореневу, яка має місце у внутрішніх точках ребра розрізу. З отриманого результату видно, що напруження більше концентруються у внутрішніх точках ребра розрізу. Тому руйнування матеріалу почнеться саме в цих точках з поступовим виходом на вільну поверхню півпростору.

Побудовані однорідні розв'язки дають можливість встановити схему деформування вільної поверхні півпростору (x=0) поблизу точки О. При наближенні до ребер розрізу, що лежать на поверхні півпростору (~0+), компоненти вектора зміщень мають вид

,

де A>0 - стала, що не залежить від та і визначається з умов конкретної задачі. Крім цього можна встановити, що при наближенні до точок, які лежать на продовженні ребер розрізу (~-0), деформації зникають як sin2, тобто ці точки, а як наслідок і точка О, залишаються нерухомими. Виходячи з отриманих результатів, можемо встановити, що в околі точки О (див. рис. 11) вільна поверхня півпростору матиме форму, що представлена на рис.12. В результаті бачимо, що навколо точки О утворюється "воронка", яка спостерігається і на практиці. Механізм її утворення пов'язаний з тим, що точки поверхні півпростору піднімаються вгору, а сама вершина "воронки" залишається нерухомою.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

Вперше розроблена схема використання інтегрального перетворення типу Мелера-Фока по функціях на проміжку 0<< до побудови точних розв'язків мішаних крайових задач теорії потенціалу та теорії пружності для тіл з кутовими точками, яка дозволяє послідовно звести розв'язок поставленої задачі до рівняння або системи рівнянь Вінера-Хопфа, а потім до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

На основі розробленої схеми вперше побудовані точні розв'язки двох задач теорії потенціалу для провідників, що мають форму симетрично зігнутої клиноподібної пластини та форму тригранного кута. Встановлено, що в кутових точках розглянутих провідників поверхнева густина зарядів має локальну особливість степеневого характеру, але ця особливість відрізняється від класичної особливості на ребрі провідника і залежить від геометричних параметрів цих провідників.

Вперше, використовуючи розроблену схему, розв'язані задачі про рівновагу пружного простору, послабленого одним клиноподібним розрізом, "більшим" за півплощину, двома симетричними клиноподібними розрізами, що лежать в одній площині і утворюють там вертикальні кути, та послабленого двома розрізами: розрізом по півплощині і клиноподібним розрізом, які лежать в одній площині. Базуючись на отриманих розв'язках, визначено, що напруження в вершинах розрізів мають степеневу особливість, відмінну від класичної кореневої, яка спостерігається на ребрах. Визначені залежності особливості від геометричних параметрів розрізів. Отримані залежності дозволили описати процес руйнування просторових тіл, які мають тріщини геометрії, схожої з розглянутими розрізами.

Розглянута нова задача про рівновагу пружного півпростору з розрізом по чверті площини, ребро якого перпендикулярне вільній поверхні півпростору. На основі розглянутого інтегрального перетворення побудований точний розв'язок задачі для нестисливого матеріалу. В цьому випадку встановлено, що в точці виходу ребра розрізу на поверхню півпростору напруження мають степеневу особливість, яка слабша за класичну кореневу. Отриманий результат дозволив описати процес розповсюдження приповерхневої тріщини в пружному тілі. Крім цього теоретично обгрунтоване явище утворення "воронки" навколо точки виходу ребра розрізу при деформуванні півпростору, яке спостерігалось на практиці.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Улітко А.Ф., Парфененко Д.М., Ловейкін А.В. Розподіл електростатичного поля на поверхні провідника у формі зігнутої пластини // Вісник Київського університету. Сер.: фіз.-мат. науки. - 1997. - № 2. - С. 89-97.

2. Ловейкін А.В. Розподіл електростатичного поля на поверхні тригранного кута // Доповіді НАН України. - 1998. - № 9. - С. 26-30.

3. Ловейкін А.В. Рівновага пружного півпростору, послабленого розрізом по чверті площини // Вісник Київського університету. Математика. Механіка. - 1998. - № 2. - С. 55-63.

4. Улітко А.Ф., Ловейкін А.В. Рівновага пружного простору, послабленого плоским, клиноподібним в плані розрізом // Математичні методи та фізико-механічні поля. - 1999. - Т. 42, № 2. - С. 117-124.

5. Улітко А.Ф., Ловейкін А.В. Рівновага пружного простору, послабленого двома клиновидними в плані розрізами // Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій (випуск 2): В 3-х т. / Під ред. Панасюка В.В. - Львів: Каменяр, 1999. - Т. 2: Аналітичні методи в механіці руйнування матеріалів. - С. 229-233.

6. Улитко А.Ф., Ловейкин А.В. Равновесие упругого полупространства с разрезом по четвертьплоскости, перпендикулярной к его границе // Труды междунар. научн. конф. "Современные проблемы концентрации напряжений". - Донецк: Донец. гос. ун-т., "Кассиопея". - 1998. - С. 236-241.

Размещено на Allbest.ru