Теория вероятностей и математическая статистика

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Задача 1

В двух ящиках находится по 16 деталей. Причем в первом ящике находится 9 стандартных деталей, а во втором - 12. Из первого ящика наугад извлекли одну деталь и переложили во второй ящик. Найти вероятность того, что деталь, наугад извлеченная после этого из второго ящика, будет стандартной.

Решение

Пусть событие А = {извлеченная из второго ящика деталь, стандартная}.

Рассмотрим гипотезы

= {из первого ящика во второй переложили стандартную деталь};

= {из первого ящика во второй переложили бракованную деталь }.

Т.к. в первом ящике 16 деталей, из которых 9 стандартные, а значит 16-9=7 бракованные, то ; а .

События образуют полную группу событий, поэтому для определения вероятности события А применим формулу полной вероятности

- вероятность того, что из второго ящика извлекли стандартную деталь, при условии, что в него была добавлена стандартная деталь (а значит в ящике стало 16+1=17 деталей, из которых 12+1=13 стандартные)

- вероятность того, что из второго ящика извлекли стандартную деталь, при условии, что в него была добавлена бракованная деталь (а значит в ящике стало 16+1=17 деталей, из которых 12стандартные)

Подставим в формулу полной вероятности

- вероятность того, что из второго ящика извлекли стандартную деталь.

Ответ:

2. Задача 2

Электронная система состоит из 2000 элементов. Вероятность отказа любого из них в течение года равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов.

Найти вероятность отказа за год работы:

а) двух элементов;

б) не менее двух элементов.

Решение

Число элементов велико: .

Вероятность отказа любого элемента в течение года мала: .

Произведение меньше 10, следовательно искомую вероятность можно найти по формуле Пуассона:

а) Необходимо найти вероятность того, что за год работы откажут ровно 2 элемента, значит :

б) Пусть событие А = {за год работы откажут не менее двух элементов}

Рассмотрим противоположное событие = {за год работы откажут менее двух элементов}

Событие произойдет, если откажут или элемент, значит

Подставим в формулу Пуассона

Тогда,

Искомая вероятность

Ответ:

3. Задача 3

При установившемся технологическом процессе среди изготавливаемой продукции оказывается в среднем 15% бракованных шин. Сколько шин нужно отобрать для проверки, чтобы с вероятностью 0,9876 число бракованных шин отклонилось от своего среднегозначения не более чем на 15 штук?

Решение

По условию 15% шин бракованные, следовательно вероятность того, что шина бракованная , тогда вероятность того, что шина стандартная

Пусть взято для проверки n шин

Т.к. для каждой выбранной шины вероятность оказаться бракованной постоянна, то вероятность того, что число бракованных шин m отклонилось от своего среднего значения np не более чем на , согласно следствию из интегральной теоремы Лапласа, можно определить по формуле

По условию , значит =15 подставим в формулу

По таблице значений функции Лапласа найдем значение аргумента при котором функция равна

Значит нужно отобрать 282 шины для проверки, чтобы с вероятностью 0,9876 число бракованных шин отклонилось от своего среднегозначения не более чем на 15 штук.

Ответ: 282

4. Задача 4

С целью изучения дневной выработки ткани (м) по схеме собственно случайной бесповторной выборки было отобрано 100 ткачих комбината из 2000. Результаты обследования представлены в таблице.

Найти:

а) границы, в которых с вероятностью 0,9883 заключена средняя дневная выработка всех ткачих комбината;

б) вероятность того, что доля ткачих комбината, вырабатывающих в день не менее 85 м ткани, отличается от доли таких ткачих в выборке не более чем на 0,05 (по абсолютной величине);

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для средней дневной выработки (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,9942.

Решение

А) Предельная ошибка выборки для выборочной средней определяется по формуле:

где - нормированное отклонение, зависит от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки,

- средняя ошибка выборки.

Средняя ошибка выборки при бесповторном отборе рассчитывается по формуле:

Где - исправленная дисперсия,

,

- объем выборки,

- объем генеральной совокупности.

По условию

Вычисления выборочной средней и исправленной дисперсии проведем во вспомогательной расчетной таблице

Выборочная средняя:

Исправленная дисперсия

Т.к. по условию то

По таблице значений функции Лапласа находим, .

Тогда средняя ошибка выборки

Значит предельная ошибка выборки для выборочной средней

Таким образом, границы, в которых заключена средняя дневная выработка всех ткачих комбината:

Т.о. с вероятностью 0,9883 можно утверждать, что дневная выработка одной ткачихи в среднем по комбинату лежит в пределах от 76,658 до 84,143 м.

б) Определить границы, в которых заключена генеральная доля признака, можно, зная выборочную долю признака и предельную ошибку выборки . Тогда верным будет двойное неравенство:

,

где - искомая доля признака в генеральной совокупности.

,

где - нормированное отклонение, зависящее от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки, .

- средняя ошибка выборки для альтернативного признака.

Средняя ошибка выборки при бесповторном отборе рассчитывается по формуле:

Выборочная доля ткачих комбината, вырабатывающих в день не менее 85 м ткани, равна:

По условию , значит

Тогда,

Т.к. , то

По таблице значений функции Лапласа , для находим вероятность

Т.о. с вероятностью 0,7198 можно утверждать, что доля ткачих комбината, вырабатывающих в день не менее 85 м ткани, отличается от доли таких ткачих в выборке не более чем на 0,05 и лежит в пределах от 30 до 40%.

в) Для бесповторной выборки

Предельная ошибка выборки для выборочной средней

Т.к. по условию то

По таблице значений функции Лапласа находим, .

Для того чтобы с вероятностью 0,9942 можно было утверждать, что дневная выработка одной ткачихи в среднем по комбинату лежит в пределах от 76,658 до 84,143 м, необходимо проверить 119 ткачих.

5. Задача 5

вероятность дисперсия статистический

Распределение 50 однотипных предприятий по основным фондам Х (млн руб.) и себестоимости единицы продукции Y (млн руб.) представлено в таблице.

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние и , построить эмпирические линии регрессии.

2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию

полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить себестоимость выпускаемой продукции на предприятии с основными фондами 270 млн руб.

Решение

1) Для определения групповых средних используем формулы:

Дополним заданную таблицу столбцом и строкой групповых средних

Для построения эмпирической линии регрессии Y по X в системе координат хОу отложим точки с координатами и соединим и последовательно ломанной

Для построения эмпирической линии регрессии X по Y в системе координат уОх отложим точки с координатами и соединим и последовательно ломанной

2) Определим направление связи.

Рассчитаем средние значения признаков:

Стоимость основных фондов

млн. руб.

Себестоимость единицы продукции

млн. руб.

Так как значение коэффициента ковариации меньше нуля, то можно предположить наличие обратной связи между исследуемыми показателями.

а) Для определения по данным парной корреляции параметров прямолинейной регрессии

решаем систему нормальных уравнений:

Для нахождения параметров и используем формулы:

Вспомогательные расчеты оформим в таблицу

построим график на одном чертеже с эмпирической линией регрессии

Если стоимость основных фондов будет равна нулю, то себестоимость единицы продукции составит 5,3 млн. руб. При увеличении стоимости основных фондов на 1 млн. руб. сокращение себестоимости единицы продукции составит 13,9 тыс. руб.

Для определения по данным парной корреляции параметров прямолинейной регрессии

решаем систему нормальных уравнений:

Для нахождения параметров и используем формулы:

Вспомогательные расчеты оформим в таблицу

построим график на одном чертеже с эмпирической линией регрессии

Если себестоимость единицы продукции будет равна нулю, то стоимость основных фондов составит 277,3 млн. руб. Рост себестоимости единицы продукции на 1 млн. руб. позволяет сократить стоимость основных фондов на 38,3 млн. руб.

б) Рассчитаем дисперсию по обоим признакам

Значение коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции проверим на значимость с помощью -критерия Стьюдента:

В качестве нулевой, выдвигаем гипотезу об отсутствии связи между факторами.

Находим критическую точку по таблице критических точек распределения Стьюдента для уровня значимости и: . Расчетное значение t-критерия существенно больше табличного, , поэтому нулевая гипотеза об отсутствии связи между исследуемыми показателями отвергается.

Таким образом, между исследуемыми показателями существует достаточно тесная обратная связь.

в) Подставим в уравнение

млн. руб.

Размещено на Allbest.ru