U-критерий Манна-Уитни

Размещено на http://www.allbest.ru/

7

U-критерий Манна-Уитни

1. Назначение критерия

Критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n1*n2?3 или n1=2, n2?5, и является более мощным, чем критерий Розенбаума.

2. Описание критерия

Существует несколько способов использования критерия и несколько вариантов таблиц критических значений, соответствующих этим способам.

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами. Мы помним, что 1-м рядом (выборкой, группой) мы называем тот ряд значений, в котором значения, по предварительной оценке, выше, а 2-м рядом - тот, где они предположительно ниже.

Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны. Иногда эти различия называют различиями в расположении двух выборок.

Графическое представление критерия U.

На Рис. 2.5. представлены три из множества возможных вариантов соотношения двух рядов значений.

В варианте (а) второй ряд ниже первого, и ряды почти не перекрещиваются. Область наложения слишком мала, чтобы скрадывать различия между рядами. Есть шанс, что различия между ними достоверны. Точно определить это мы сможем с помощью критерия U.

В варианте (б) второй ряд тоже ниже первого, но и область перекрещивающихся значений у двух рядов достаточно обширна. Она может еще не достигать критической величины, когда различия придется признать несущественными. Но так ли это, можно определить только путем точного подсчета критерия U.

В варианте (в) второй ряд ниже первого, но область наложения настолько обширна, что различия между рядами скрадываются.

Ограничения критерия U

1. В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений: n1*n2?3; допускается,чтобы в одной выборке было 2 наблюдения, но тогда во второй их должно быть не менее 5.

2. В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений; n1*n2?60. Однако уже при n1*n2>20 ранжирование становиться достаточно трудоемким.

Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше Uэмп, тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы: Н0: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1. H1: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

3. Подсчет критерия U Манна-Уитни

1. Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки.

2. Пометить карточки испытуемых выборки 1 одним цветом, скажем красным, а все карточки из выборки 2 - другим, например синим.

3. Разложить все карточки в единый ряд по степени нарастания признака, не считаясь с тем, к какой выборке они относятся, как если бы мы работали с одной большой выборкой.

4. Проранжировать значения на карточках, приписывая меньшему значению меньший ранг. Всего рангов получится столько, сколько у нас (n1+п2).

5. Вновь разложить карточки на две группы, ориентируясь на цветные обозначения: красные карточки в один ряд, синие - в другой.

6. Подсчитать сумму рангов отдельно на красных карточках (выборка 1) и на синих карточках (выборка 2). Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.

7. Определить большую из двух ранговых сумм.

8. Определить значение U по формуле:

где n1 - количество испытуемых в выборке 1;

n2 - количество испытуемых в выборке 2;

Тх - большая из двух ранговых сумм;

nх - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

9. Определить критические значения U по Табл. II Приложения 1. Если Uэмп.>Uкp 005,Но принимается. Если Uэмп?Uкp_005, Но отвергается. Чем меньше значения U, тем достоверность различий выше.

Теперь проделаем всю эту работу на материале данной задачи.

4. Задача

Студент факультета психологии, выполняя курсовую работу, исследовал уровень личностной тревожности учеников выпускных классов и подростков. Получены следующие данные:

Определить достоверность различий в уровне тревожности между юношами и подростками. Обосновать выбор критерия. Сделать выводы.

Ранжирование: юноши выделены черным цветом, подростки красным цветом.

1-9-1 3-11-3

2-10-2 4-12-4,5

5-12-4,5 6-13-6

8-14-7,5 7-14-7,5

9-15-9

Общая сумма рангов: 15+30=45

Расчетная сумма:

манна уитни выборка

Равенство реальной и расчетной сумм соблюдено.

Мы видим, что по уровню тревожности более "высоким" рядом оказывается выборка подростков. Именно на эту выборку приходится большая ранговая сумма: 30

Теперь я готова сформулировать гипотезы:

Н0: уровень тревожности у юношей не ниже уровня тревожности у подростков.

H1: уровень тревожности у юношей ниже уровня тревожности у подростков.

В соответствии со следующим шагом алгоритма определяем эмпирическую величину U:

эмп = (n1*n2)+ -Tx,

где n1-n2 количество испытуемых в выборках 1 и 2, Тх - большее из двух ранговых сумм, nх - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

эмп =4*5+ - 30 = 20+15-30=5

Подсчитаем эмпирическую величину U и для второй ранговой суммы (15), подставляя в формулу соответствующее ей пх:

эмп = 4*5+-15=15

Для сопоставления с критическим значением выбираем меньшую величину U: Uэмп=5

По табл. II приложения 1в учебнике Сидоренко Е.В. определяем критические значения для n1=4, n2=5

кр=

критерий выборка ограничение

Мы помним, что критерий U является одним из двух исключений из общего правила принятия решения о достоверности различий, а именно, мы можем констатировать достоверные различия, если Uэмп?Uкp

А так как у нас Uэмп=5,то Uэмп Uкp

Построим "ось значимости".

Ответ: принимается гипотеза Н0 уровень тревожности у юношей не ниже уровня тревожности у подростков.

Вывод: достоверность различий в уровне тревожности между юношами и подростками не существенна.

Выбор критерия: в отличие от критерия Q Розенбаума этот критерий определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя выборками, чтобы считать их отличающимися по исследующемуся признаку.

Размещено на Allbest.ru