Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание

Ориентированные графы

Понятие ориентированного графа (орграфа) играет важную роль в теории графов и ее разнообразных приложениях. В курсовой работе необходимо изучить основные свойства орграфов и проанализировать известную классификацию таких графов. Рекомендуется следующий план работы.

1. Изучить такие основополагающие понятия теории графов, как ориентированный граф. ориентированный маршрут, орцепь, орцикл и сильная связность, доказать теорему Роббинса об ориентируемом связном графе.

2. Рассмотреть понятие эйлерова орграфа и доказать основною теорему о таких графах.

3. Рассмотреть понятия гамильтонова орграфа и проанализировать взаимосвязь полугамильтоновых оргафов с турнирами.

Разобрать приложение орграфов к теории цепей Маркова.



Введение

Теория графов предоставляет эффективные средства формализации задач из самых различных областей: экономики, физики, химии, планово-производственной практики, управления производством, сетевого и календарного планирования, информационных систем, и многих других. Одним из таких средств является ориентированный граф. Существует большое количество задач, решаемых на орграфах. Чаще всего рассматриваются задачи о достижимости (т.е. о существовании пути, связывающем две заданные вершины), о нахождении путей, обладающих какой-либо экстремальной характеристикой (например, кратчайший, или наиболее надежный путь), о случайных блужданиях, потоковая задача. Все они хорошо изучены и разработаны эффективные алгоритмы их решения. При этом предполагается, что все пути на графе являются допустимыми, т.е. не накладывается никаких ограничений на достижимость.

На тему изучения орграфов было написано много работ, например, Басанговой Е.О. и Ерусалимским Я.М. было введено понятие ориентированных графов с нестандартной достижимостью, т.е. орграфов, в которых на допустимые пути накладываются какие-либо ограничения. В обычном ориентированном графе, для того чтобы одна вершина была достижима из другой, необходимо существование пути, связывающего две эти вершины. В случае же орграфов с нестандартной достижимостью требуется, кроме того, чтобы этот путь удовлетворял некоторому условию (ограничению). Понятно, что в этом случае классические алгоритмы решения задач на графах непосредственно неприменимы.

В работах Ерусалимского Я.М., Басанговой Е.О., Логвинова С.Ю., Скороходова В.А., Петросяна А.Г. описаны различные виды ограничений на достижимость. Так, Ерусалимским Я.М. и Басанговой Е.О. рассмотрено несколько видов достижимости на частично-ориентированных графах, на которых присутствуют ориентированные и неориентированные ребра. Введено понятие смешанной цепи, на дуги и звенья которой накладываются различные условия, в зависимости от вида ограничений. Например, рассмотрены случаи, когда в смешанной цепи два неориентированных ребра не могут следовать непосредственно друг за другом, или дуги и звенья строго чередуются.

Цель курсовой работы состоит в изучении ориентированных графов и их свойств. Так же рассмотрение различных понятий и теорем, связанных с орграфами. Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи:

1. Изучить такие основополагающие понятия теории графов, как ориентированный граф, ориентированный маршрут, орцепь, орцикл и сильная связность, доказать теорему Роббинса об ориентируемом связном графе.

2. Рассмотреть понятие эйлерова орграфа и доказать основною теорему о таких графах.

3. Рассмотреть понятия гамильтонова орграфа и проанализировать взаимосвязь полугамильтоновых оргафов с турнирами.



1. Понятия теории графа

Начало теории графов часто ведут от 1736 года и связывают с решением Эйлером знаменитой задачи о Кенигсбергских мостах. Жителям в те далекие времена, чтобы придать воскресному гулянию осмысленность, предлагалось выйдя из дома (на любом участке суши (А, В, С или D) пройти по всем мостам строго по одному разу и вернуться домой….

Следующий импульс теория графов получила спустя почти 100 лет с развитием исследований по электрическим сетям, кристаллографии, органической химии и другим наукам.

Рис. 1 -- Граф

На втором рисунке этот корявый план нарисован в виде графа. Следует отметить некоторые практические особенности теории графов. Слово граф однокоренное со словом графика. Поэтому не удивительно, что многие задачи теории графов представляются в виде специального рисунка - графа. Однако, это, как правило, возможно только для простейших вариантов задач. Рисовать графы для задач с сотнями вершин и тысячами дуг, если и возможно, то бессмысленно. Теряется главное преимущество рисунка - наглядность. Кроме того, сегодня при решении задач теории графов широко используется вычислительная техника, а для нее - решение задачи, заданной рисунком - одно из самых неудобных представлений, какие можно придумать. А наглядность компьютер понимает по-своему.

Граф G задается как совокупность двух сущностей: множества вершин V и множества соединений - множества дуг или ребер E . G = (V, E).

· {V}= (v1 ,v2 ,...,vn) - конечное непустое множество;

· {E}= (e1,e2 ,...,em) = - конечное множество, каждый элемент которого соответствует паре не обязательно различных элементов множества V .

Элементы множества V называются вершинами графа.

Если элемент множества E соответствует неупорядоченной паре вершин, т. е. e_i ~ ( v_i1, v_i2), то он называется ребром, вершины v_i1 и v_i2 - концами этого ребра. Говорят, что ребро e_i= ( v_i1, v_i2), соединяет вершины v_i1 и v_i2. Ребро, для которого v_i1= v_i2, называется петлей.

Граф, содержащий только ребра, называется неориентированным графом. Если элемент множества E соответствует упорядоченной паре вершин, т. е. e_i ~ (v_i1, v_i2) , то он называется дугой, вершина v_i1- началом, а v_i2 - концом этой дуги. Говорят, что дуга e_i = ( v_i1, v_i2) исходит из вершины v_i1и заходит в вершину v_i2 . Дуга, для которой v_i1 = v_i2 , называется ориентированной петлей.

Граф, содержащий только дуги, называется ориентированным графом. Обычно рассматривают только ориентированные или неориентированные графы. Ребра (дуги), соответствующие одним и тем же парам (упорядоченным парам) вершин называются кратными. Граф, не содержащий кратных ребер (дуг) называется простым графом, иначе - мультиграфом.

Если e_i ~ { v_i1, v_i2} или e_i ~ ( v_i1, v_i2) , то вершины v_i1 и v_i2 называются

смежными, а ребро (дуга) e_i и вершины v_i1 и v_i2- инцидентными. Если конец ребра e_i совпадает с концом ребра e_j, то эти ребра называются смежными; если начало или конец дуги e_i совпадает с началом или концом дуги e_j , то эти дуги называются смежными.

Удобство использования графов в значительной степени определяется наглядностью их геометрического изображения.

Вершины графа обычно (но не обязательно всегда!) изображают

точками или незакрашенными кружочками, ребра - плавными линиями, соединяющими их концы, дуги - плавными линиями соединяющими начало и конец со стрелками у концов дуги. Местоположение, размеры и форма вершин значения не имеют. Важен только факт сохранения отношений смежности и инцидентности.

Рис. 2. -- Неориентированный граф Рис.2.2 -- Ориентированный граф

Предположим, что G = (V,E) простой или мультиграф.

Граф G' = (V',E') называется частью графа G, если V'? V , E'? E .

Часть G" = (V",E") называется подграфом графа G, если в ней сохраняются все ребра или дуги между вершинами множества V" ? V .

Часть G"' = (V"',E"') называется суграфом графа G, если V "' =V .

Примеры.

Рис. 3 - Различные виды частей графа



Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся части графов.

Как было указано выше, ребро, соединяющее вершину саму с собой, называется петлей, а дуга, соединяющая вершину саму с собой, называется ориентированной петлей

Вершина, не имеющая смежных вершин, называется изолированной.

Рис. 4 - Петли и изолированные вершины

Последовательность вершин и ребер (дуг) (не обязательно различных) v₀, e₁, v₁,e₂, v₂,…v_n-1,e_n,v_n (1) такая, что соседние вершины и ребра (дуги) инцидентны, называется путем. Если граф G ориентированный и в v_i-1 и v_i - начало и конец дуги e_i , то путь называется ориентированным. Если путь не содержит повторяющихся вершин (кроме, может быть, первой и последней) и ребер или дуг, то он называется простым. Если первая и последняя вершины пути совпадают, то он называется циклом.

Длиной пути называется число ребер (дуг), которые он содержит.

Подграф G' графа G называется компонентой связности, если

1) между любыми двумя его вершинами G'существует путь,

2) G' не является подграфом ни одного связного подграфа графа G , т.е. является максимальным по включению вершин связным подграфом графа G .

Если граф содержит одну компоненту связности, то он называется связным, а если более одной - несвязным.

Вершина v называется точкой сочленения, если ее исключение из графа G увеличивает количество его компонент связности. Ребро или дуга e называется мостом, если его исключение из графа G увеличивает количество его компонент связности.

Как легко видеть через не один простой цикл не может содержать точек сочленения и мостов.

Подграф G'ориентированного графа G называется кликой, если

1) любые две вершины G' смежны,

2) G' не является подграфом ни одного подграфа графа G, обладающего свойством, т.е. является максимальным по включению вершин сильно связным подграфом графа G.

Рис. 5 - Граф G и все его клики

Графы, не содержащие циклов, называются лесами. Связные графы, не содержащие циклов, называются деревьями. Легко видеть, что компонентами связности лесов являются деревья.

Рис. 6 - Ориентированный лес Рис 7 -- Неориентированное дерево

Граф G называется пустым, если он не содержит вершин. Неориентированный простой граф G называется полным, если

1) любые две различные его вершины являются смежными;

2) он не содержит петель.

Ориентированный простой граф G называется полным, если

1) для любой его вершины есть дуга, концом которой являются любая другая вершина;

2) он не содержит ориентированных петель.

Полный граф, как ориентированный, так и неориентированный, содержащий n вершин, обозначают K n .

Граф G = (V,E) называется дополнительным к графу G = (V,E) с

тем же множеством вершин V , если он содержит все ребра или дуги, которые содержатся в полном графе и не содержатся в графе G.

Граф On , дополнительный к полному графу Kn , называется 0- графом. Легко видеть, что 0-граф O n состоит из n изолированных вершин.

Ориентированный маршрут длины k в орграфе из v в w в орграфе G=(V,E) - последовательность дуг вида (v,w 1), (w 1, w 2), (w 2, w 3), …, (w k-1,w), т.е. конец каждой дуги, кроме последней, совпадает с началом следующей. Для упрощения маршрут удобно представлять последовательностью вершин, которые его представляют, однако следует помнить об одинаковом направлении дуг, входящих в маршрут: v, e1, e2, e3, …, ek-1,e.

Ориентированная цепь (путь) - это ориентированный маршрут, в котором все дуги различны.

Маршрут называется циклическим, если его начало и конец совпадают.

Циклический путь называется контуром.

Для орграфов понятие связности является более содержательным, чем для графов. Различают три важных типа связности орграфа:

а) G сильно связный, если для каждой пары различных вершин v,w in V существует маршрут из v в w и обратно.

Б) G односторонне связный , если для каждой пары различных вершин v, w in V существует маршрут из v в w или обратно.

В) G слабо связный, если граф F(G) связный.

Теорема Роббинса:

Пусть G-- связный граф; он ориентируем тогда и только тогда, если каждое его ребро содержится, по крайней мере, в одном цикле.

Доказательство:

Необходимость условия очевидна. Чтобы доказать достаточность, выберем любой цикл C и ориентируем его ребра в направлении какого-либо обхода этого цикла. Если каждое ребро из G содержится в C, то доказательство завершено; если нет, то возьмем любое ребро e , не принадлежащее C, но смежное некоторому ребру из C. По предположению, ребро e содержится в каком-то цикле C1. Ребрам цикла C1 можно приписать ориентацию в направлении какого-либо обхода этого цикла (за исключением тех ребер, которые уже были ориентированы, то есть тех ребер из C1, которые принадлежат также C). Нетрудно убедиться в том, что описанная процедура за конечное число шагов приведет к сильно связному орграфу.

2. Эйлеров орграф

Пусть G = (V,E) - связный ориентированный мультиграф. Эйлеровым циклом называется цикл в графе G, который содержит все ребра в графе и каждое только один раз. Эйлеровым графом называется граф, содержащий эйлеров цикл. Эйлеровым путем называется путь в графе G, не являющийся циклом, который содержит все ребра в графе и каждое только один раз. Полуэйлеровым графом называется граф, содержащий эйлеров путь.

Теорема Эйлера

1) Граф G является эйлеровым тогда и только тогда, когда все вершины графа имеют четную степень.

Доказательство. Необходимость. Пусть G-- эйлеров граф. Эйлеров цикл этого графа, проходя через каждую его вершину, входит в нее по одному ребру, а выходит по-другому. Это означает, что каждое прохождение вершины по циклу вносит слагаемое 2 в ее степень. Поскольку цикл содержит все ребра графа, то степени всех вершин будут четными. Достаточность. Предположим, что степени всех вершин связного графа G четные. Начнем цепь G1 из произвольной вершины v1, и будем продлевать ее, выбирая каждый раз новое ребро. Так как степени вершин четные, то, попав в некоторую вершину, мы всегда будем иметь в распоряжении еще не пройденное ребро. Таким образом, построение цепи Р1обязательно закончится в вершине v1, и Р1будет циклом. Если Р1содержит все ребра графа G, то построен эйлеров цикл. В противном случае, удалив из G ребра Р1, получим граф G2. Так как степени всех вершин графов G и Р1 были четными, то и G2 будет обладать этим свойством. В силу связности G графы Р1 и G2 должны иметь хотя бы одну общую вершину v2. Теперь, начиная из v2, построим в G цикл Р2 подобно тому, как построили Р1. Объединим циклы Р1 и Р2 следующим образом: пройдем часть Р1 от вершины v1 до вершины v2, затем пройдем цикл Р2, затем -- оставшуюся часть Р1 от v2 до v1.

Рис. 8 -- Связной граф G

2) Граф G является полуэйлеровым тогда и только тогда, когда все вершины графа, кроме двух, имеют четную степень. При этом путь начинается в одной вершине с нечетной степенью и заканчивается в другой.

Доказательство этой теоремы начнем с так называемой леммы о рукопожатиях. Название этой леммы связано с тем, что эта лемма отвечает на следующий вопрос: У Вас собрались гости. Некоторые из них здороваются друг с другом посредством рукопожатий. Какими свойствами обладает число таких людей? Ответ дается следующей достаточно простой леммой.

Лемма о рукопожатиях. Число вершин в графе (или мультиграфе без петель), имеющих нечетную степень, четно.

Доказательство леммы. Заметим, что сумма степеней всех вершин в графе (или мультиграфе без петель) должна быть четной. Это следует из того, что если взять вершины, вообще не связанные друг с другом, то сумма степеней этих вершин равна нулю. Прибавляя любое ребро, которое связывает две вершины, увеличиваем сумму всех степеней на 2 единицы. Таким образом, сумма всех степеней вершин четна. Удаляя из этой суммы степени четных вершин, получим, что сумма степеней нечетных вершин, должна быть четной. Это значит, что само число таких вершин должно быть четным. Лемма доказана.

С точки зрения задачи о рукопожатиях это означает, что число гостей, которые поздоровались за руку нечетное число раз, должно быть четным. Перейдем к доказательству теоремы Эйлера.

А) Пусть граф является эйлеровым. Тогда в нем имеется эйлеров цикл, который должен прийти в вершину по одному ребру и покинуть его по другому, так как каждое ребро должно использоваться только один раз (т. е. каждый "заход" в вершину и "выход" из нее дает 2 степени вершины). Таким образом, сумма степеней всех вершин должна быть четной (и равна удвоенному числу "заходов" в эту вершину при обходе эйлерова цикла).

Б) Пусть в данном связном графе (или мультиграфе без петель) степень любой вершины четна (т. е. степень больше или равна 2, так как нулевая степень приводит к несвязному графу). Докажем, что в нем имеется эйлеров цикл. Доказательство проведем индукцией по числу вершин. В случае, когда в связном графе всего 2 вершины и обе они имеют четную степень (в этом случае имеем мультиграф, один из которых изображен на рис. 9), ясно, что в этом случае имеется эйлеров цикл (при любой четной степени этих двух вершин).



Рис. 9 - Мультиграф

Предположим, что наше утверждение верно для всех связных графов, число вершин в которых строго меньше п, и докажем его для графа, имеющего п вершин.

Заметим, что по лемме 1 в этом графе есть контур (степень всех вершин больше или равна 2). Если этот контур содержит все ребра, то этот контур сам является эйлеровым циклом (а граф эйлеровым). Удалим все эти ребра из графа и те вершины, которые после удаления ребер стали иметь нулевую степень. Тогда получим новый граф (который может быть несвязным), но в этом новом графе все вершины обязательно имеют четную степень (так как при удалении ребер контура степень каждой вершины, входящей в этот контур, уменьшается на 2). Новый граф распадается на "компоненты связности", каждая из которых должна иметь общую вершину с удаленным контуром (иначе первоначальный граф не был бы связным), степени всех вершин каждой компоненты связности четны и число вершин в ней строго меньше п, т. е. по индукционному предположению эта компонента имеет эйлеров цикл. Теперь можем построить эйлеров цикл в данном графе следующим образом. Обходим последовательно ребра удаленного контура. Если мы пришли в вершину, общую для контура и какой-то компоненты связности, то обходим по эйлерову циклу эту компоненту, возвращаемся при этом в вершину контура и идем по этому контуру дальше. Тем самым все ребра будут пройдены и каждое только один раз (все это схематично изображено на рис. 9: сначала начинаем обходить контур АВСDEА. Пройдя ребро АВ, проходим "верхний" граф, затем возвращаемся в т. В и далее идем по ребру АС, обходим "правый" граф и т. д.). Утверждение Б доказано.

Рис. 10 -- Полученный новый граф

В) Пусть теперь граф полуэйлеров. Это значит, что он имеет эйлеров путь, начинающийся в одной вершине и заканчивающийся в другой. Видно, что обе эти вершины должны иметь нечетную степень, а степень остальных четная.

Г) Обратно. Пусть в связном графе вершины к и р имеют нечетную степень, а остальные вершины - четную. Тогда возможны 2 случая: эти вершины связаны ребром или не связаны. В первом случае удалим это ребро, а во втором добавим. В обоих случаях степень всех вершин станет четной. Заметим, что в случае удаления ребра, новый граф может стать несвязным и иметь 2 компоненты связности (в этом случае удаляемое ребро было мостом), каждая из которых или весь новый граф имеет эйлеров цикл. Теперь если новый граф имеет эйлеров цикл, то начнем (и закончим его) в вершине с нечетной степенью и далее добавим ребро или удалим его. В обоих случаях получим эйлеров путь. Если новый граф имеет 2 компоненты связности, то, пройдя одну из них по эйлерову циклу, начиная и заканчивая в вершине (которая в первоначальном графе имела нечетную степень), затем добавим удаленное ребро (мост), пройдем его, попадем в другую вершину, которая ранее имела нечетную степень, и пройдем вторую компоненту связности по эйлерову циклу. Во всех разобранных случаях получим эйлеров путь, который начался в одной из вершин с нечетной степенью и закончился в другой. Теорема доказана.

3. Понятия Гамильтонова орграфа

Название "гамильтонов цикл" произошло от задачи "Кругосветное путешествие" предложенной ирландским математиком Вильямом Гамильтоном в 1859 году. Нужно было, выйдя из исходной вершины графа, обойти все его вершины и вернуться в исходную точку. Граф представлял собой укладку додекаэдра, каждой из 20 вершин графа было приписано название крупного города мира.

Если граф имеет простой цикл, содержащий все вершины графа по одному разу, то такой цикл называется гамильтоновым циклом, а граф называется гамильтоновым графом. Граф, который содержит простой путь, проходящий через каждую его вершину, называется полугамильтоновым. Это определение можно распространить на ориентированные графы, если путь считать ориентированным.

Гамильтонов цикл не обязательно содержит все ребра графа. Ясно, что гамильтоновым может быть только связный граф и, что всякий гамильтонов граф является полугамильтоновым. Заметим, что гамильтонов цикл существует далеко не в каждом графе.

Любой граф G можно превратить в гамильтонов граф, добавив достаточное количество вершин. Для этого, например, достаточно к вершинам v₁,…,v_p графа G добавить вершины u₁,…,u_p и множество ребер {(v_i,u_i)}{(u_i,v_i+1)}.

Степенью вершины v называется число ребер d(v), инцидентных ей, при этом петля учитывается дважды. В случае ориентированного графа различают степень do(v) по выходящим дугам и di(v) -- по входящим.

В отличии от эйлеровых графов, где имеется критерий для графа быть эйлеровым, для гамильтоновых графов такого критерия нет. Более того, задача проверки существования гамильтонова цикла оказывается NP-полной. Большинство известных фактов имеет вид: "если граф G имеет достаточное количество ребер, то граф является гамильтоновым".

Теорема Дирака. Если в графе G(V,E) c n вершинами (n ? 3) выполняется условие d(v) ? n/2 для любого vV, то граф G является гамильтоновым.

Доказательство.

От противного. Пусть G -- не гамильтонов. Добавим к G минимальное количество новых вершин u₁, … ,u_n, соединяя их со всеми вершинами G так, чтобы G':= G + u₁ + … + u_n был гамильтоновым.

Пусть v, u₁, w, … ,v -- гамильтонов цикл в графе G', причем vG, u1G', u1G. Такая пара вершин v и u₁ в гамильтоновом цикле обязательно найдется, иначе граф G был бы гамильтоновым. Тогда wG, w {u₁,…,u_n}, иначе вершина u₁ была бы не нужна. Более того, вершина v несмежна с вершиной w, иначе вершина u₁ была бы не нужна.

Далее, если в цикле v,u1,w, … ,u',w', … ,v есть вершина w', смежная с вершиной w, то вершина v' несмежна с вершиной v, так как иначе можно было бы построить гамильтонов цикл v,v', … ,w,w', … ,v без вершины u1, взяв последовательность вершин w, … ,v' в обратном порядке. Отсюда следует, что число вершин графа G', не смежных с v, не менее числа вершин, смежных с w. Но для любой вершины w графа G d(w) ? p/2+n по построению, в том числе d(v) ? p/2+n. Общее число вершин (смежных и не смежных с v) составляет n+p-1. Таким образом, имеем:

n+p-1 = d(v)+d(V) ? d(w)+d(v) ? p/2+n+p/2+n = 2n+p.

Следовательно, 0 ? n+1, что противоречит тому, что n > 0.

Турниром называется орграф, в котором любые две вершины соединены ровно одной дугой.



Рис. 11 -- турнир

Основанием для выбора такого названия служит то, что подобные орграфы можно использовать для записи результатов теннисных или любых других турниров, в которых не разрешены ничьи. Например, на (рис. 11) представлены результаты турнира, в котором команда Z нанесла поражение команде U , но проиграла команде V, и т.д.

Поскольку турнир может обладать источником или стоком, турниры не являются в общем случае гамильтоновыми орграфами. Однако теорема, принадлежащая Реди и Камиону, показывает, что всякий турнир почти гамильтонов.



Заключение

Графы существуют везде, и даже маленькие дети неожиданно сталкиваются с ними, когда рисуют или играют. Они встречаются на картах дорог, созвездий, при построении схем и чертежей. Графы лежат в основе многих компьютерных программ, которые делают возможными современную коммуникацию и технологические процессы. Графы способствуют развитию мышления как логического, так и абстрактного. При решении задач, наверное, не раз приходилось изображать объекты точками, соединять их отрезками или стрелками, при этом для решения задачи был использован специальный математический аппарат, а именно была применена теория графов.

Графы достаточно широко применяются в математике, технике, экономике, управлении. Знание основ теории графов необходимо в различных областях, связанных с управлением производством, бизнесом (например, сетевой график строительства, графики доставки почты).

В работе рассмотрены различные понятия графов, в том числе ориентированный граф. Были изучены различные понятия связанный с орграфом: ориентированный маршрут, орцепь, орцикл и сильная связность и т.п. Была доказана теорему Роббинса об ориентируемом связном графе. Рассмотрены понятия эйлерова и гамильтонова орграфа, доказаны их основные теоремы.

граф орграф цепь марков



Список литературы

1. Дискретная математика: учебно-методическое пособие для слушателей факультета заочного обучения / В.В. Меньших. - Воронеж: ВИ МВД России, 2010. - 155 с.

2. Специальная математика: конспект лекций /А.Е. Соловьев - Пермь: ПГТУ, 2001г.

3. Дискретная математика: булевые функции и элементы теории графов методические указания и контрольные задания./ Е.Л Рабкин, Ю.Б. Фарфоровская - Санкт-Петербург. Статья Эйлеровы и полуэйлеровы графы, <http://dvo.sut.ru/libr/himath/w163rabk/10.htm >

4. Статья Эйлеровы и гамильтоновы графы,

< http://bestreferat.ru/referat-54029.html#__RefHeading__336_1441090104>

Размещено на Allbest.ru