Переключательные функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Общие вопросы

1.1 Определение переключательной функции и способы её представления

1.2 Определение СКНФ и СДНФ переключательной функции. Определение минтерма и макстерма

1.3 Тождества и законы булевой алгебры. Минимизация функции с применением законов и тождеств

1.4 Представление переключательной функции на картах Карно. Минимизация с помощью карт Карно

1.5 Минимизация функции методом испытаний

1.6 Функционально полные системы элементов

2. Расчетная часть

2.1 Таблица истинности для предложенной переключательной функции

2.2 Переключательная функция в виде СДНФ и СКНФ

2.3 Минимизация переключательной функции с применением законов и тождеств

2.4 Представление переключательной функции на картах Карно. Минимизация функции с помощью карт Карно

2.5 Минимизация переключательной функции методом испытаний

Заключение

Литература

Введение

Цифровая схемотехника нового поколения активно используется в различных научных и технических направлениях и широко внедряется в различные промышленные отрасли и сферы экономики. Современный специалист, работающий в области науки и техники, должен знать основы построения и принципы работы цифровых устройств, так как широкое применение цифровой техники резко увеличивает спрос на специалистов соответствующего профиля.

Знание цифровой техники невозможно без изучения её логических основ, правил минимизации и построения схем по логическим функциям, которые применяют основой проектирования цифровых устройств.

Курсовая работа предполагает изучение логических функций, построение их таблицу истинности, создание стандартных видов функций, изучение правил их минимизации и построения схем в различных базисах логических элементов.

1. Общие вопросы

1.1 Определение переключательной функции и способы её представления

Логические переменные могут подвергаться различным преобразованиям с использованием логических элементов. Такие преобразования описываются с помощью переключательных функций, в которых используются различные буквы латинского алфавита, например A, B, C, D, X, x₁, x₂ , x₃ и т.д.

Функция от входных переменных называется переключательной, если она так же, как её аргументы, принимает два значения: логической единице или логического нуля. Любая функция может быть задана двумя способами: в виде формул и в виде таблиц истинности. В таблице истинности рассматриваются значения функций в зависимости от сочетания переменных. Число сочетаний переменных определяется как 2ⁿ, где n - число переменных.

1.2 Определение СКНФ и СДНФ переключательной функции. Определение минтерма и макстерма

Функция может быть задана в аналитическом, формульном или табличном виде. Для того чтобы задать переключательную функцию, не обязательно задавать все ее значения при всех сочетаниях переменных, а достаточно знать состояния, при которых она, например, равна единице (или нулю), так как для всех остальных состояний переменных значение функции равно нулю (единице).

В формульном виде функция в своей основе имеет набор логических произведений (или сумм) переменных, связанных между собой знаками логических сумм (или произведений).

Произведение переменных, в которое каждая из переменных входит только один раз в прямом или инверсном виде, называется минтермом (m).

Сумма переменных, в которую каждая из переменных входит только один раз в прямом или инверсном виде, называется макстермом (M). У двух переменных может быть четыре возможных макстерма или минтерма. Количество переменных, входящих в макстерм или минтерм, называется рангом. Если используются две переменные, следовательно, ранг равен 2.

Если функция алгебры логики задана таблицей состояний, то из таблицы всегда можно взять логическую сумму - дизъюнкцию всех переменных, для которых функция равна единице. Эта запись будет точно представлять функцию и называться совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) представления функции:

СДНФ - это логическая сумма минтермов, при которых значение функции равно единице.

Если функция алгебры логики задана таблицей состояний, из нее всегда можно взять логическое произведение всех макстермов, для которых функция равна нулю. Эта запись будет точно представлять функцию и называться совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) представления функции:

СКНФ - это логическое произведение макстермов, при которых значение функции равно нулю. В СКНФ переменные имеют инверсный вид.

1.3 Тождества и законы булевой алгебры. Минимизация функции с применением законов и тождеств

Булева алгебра была разработана английским ученым Джорджем Булем в середине 19 века. По - другому она называется алгеброй логики.

Для преобразования логических выражений, содержащих одну переменную, пользуются следующими легко доказываемыми тождествами:

(1.31)

Для преобразования логических выражений, содержащих несколько переменных, необходимо соблюдать определенный порядок, который представляется в виде законов алгебры логики.

Переместительный закон (коммутативности):

Сочетательный закон (ассоциативности):

Распределительный закон (дистрибутивности):

(1)

Для четырех переменных

Закон двойного отрицания:

Закон инверсии или правило де Моргана (двойственности):

(2)

Используя закон двойного отрицания, можно преобразовать закон инверсии в более удобный вид:

(3)

Широкое практическое использование закона инверсии в тех случаях, когда необходимо реализовать функцию сложения на логических элементах, реализующих логическое умножение, и наоборот, - функцию логического умножения на элементах, реализующих логическое сложение.

Используя рассмотренные законы и тождества алгебры логики можно производить упрощение исходных функций.

Операция поглощения:

,

где A поглощает AD

Операция склеивания:

(4)

Данная операция применяется в случае, когда имеется пара произведений или сумм, в каждую из которых одна переменная входит в прямом и инверсном виде, а вторая - имеет одинаковый вид. Последняя операция склеивания является сверткой распределительного закона для двух переменных.

Используя различные способы, можно получить более простые формы представления функций, которые называются упрощенными или минимизированными. В результате минимизации удается значительно упростить схемную реализацию переключательных функций. Переключательная функция, подвергаемая упрощению, представляется в СДНФ. Сущность упрощения сводится к отысканию минтермов, имеющих общие переменные, которые группируются. Общие переменные выносятся за скобки, а в скобках переменные упрощаются с использованием законов и тождеств алгебры логики. В результате упрощения логического выражения в минтермах или в макстермах возможно отсутствие ряда переменных. Такой вид записи называется дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной формой (ДНФ или КНФ).

1.4 Представление переключательной функции на картах Карно. Минимизация с помощью карт Карно

Способ упрощения логических функций с использованием законов и тождеств алгебры логики бывает очень трудоемким, так как при выполнении операции минимизации необходимо сравнить все возможные сочетания переменных исходного выражения. Один из наиболее удобных методов минимизации основан на применении карт Карно, которые могут отражать функцию, представленную как в СДНФ, так и СКНФ. Такие карты представляют собой специальную таблицу, разбитую на клетки, каждая из которых соответствует одному из возможных сочетаний переменных (минтермов, макстермов).

Процесс минимизации функции состоит из трех этапов.

1. Представление переключательной функции на карте Карно. Для этого на карте следует записать единицы (нули) в клетках, соответствующих заданным сочетаниям переменных, при которых функция равна единице (нулю).

2. Объединение (склеивание) минтермов или макстермов. Единицы (нули) соответствующих минтермов (макстермов), количество которых кратно двум (два, четыре, восемь), расположены рядом в одном столбце (в одной строке) или образуют квадрат. Единицы (нули) соответствующих минтермов (макстермов) расположены в противоположных концах столбца (строки) или по противоположным углам.

Необходимо иметь в виду, что склейки должны охватывать максималъное количество единиц (нулей). За счет этого достигается оптимальный вариант минимизации, не требующий последующих дополнительных действий по упрощению переключательной функции.

3. Получение результата минимизации

В общем виде карта Карно записывается следующим образом. Они имеют столько клеток, сколько строк в таблице истинности, например, для двух переменных:

1.5 Минимизация функции методом испытаний

Метод испытания применяется только после минимизации СДНФ.

Метод испытаний, позволяющий исключить в процессе упрощения выражения лишние склейки, и заключается в следующем: последовательно из упрощенной функции исключается один из минтермов и приравнивается единице; анализируется значение функции без этого минтерма. Если при этом функция равна единице, то исключенный минтерм больше в функцию не вводится.

1.6 Функционально полные системы элементов

Одна из основных задач синтеза заключается в выборе типов элементов, на которых будут реализовываться заданные функции. Поэтому необходимо определить минимальный набор логических элементов (базис), образующих функционально полную систему элементов.

Базис - это функционально полный набор элементов, с помощью которого можно реализовать сколь угодно сложную переключательную функцию. Их может быть несколько. Базис из логических элементов И, ИЛИ, НЕ называется основным. Функционально полную систему элементов образует логический элемент И - НЕ или ИЛИ-НЕ, а также один элемент И-ИЛИ-НЕ. Сокращение видов логических элементов возможно, если применить закон инверсии.

При реализации схемы на базисе одного типа И - НЕ или ИЛИ-НЕ не обойтись без закона инверсии. Для удобства преобразования введем дополнительные обозначения:

Для построения схемы базиса И-НЕ исходная функция должна быть преобразована так, чтобы в ней присутствовали только логические связки И. Для построения схемы на базисе ИЛИ-НЕ исходная функция должна быть преобразована так, чтобы в ней присутствовали только логические связки ИЛИ.

Синтез или построение схемы на элементах вычислительной техники складывается из нескольких этапов.

1. Постановка задачи.

2. Составление таблицы истинности

3. Составление СДНФ и упрощение выражения.

4. Выбор оптимального набора логических элементов для реализации функции.

2. Расчетная часть

Предложенная переключательная функция

(5)

Соответствие нумерации и действий функции представлено в таблице 1.

Таблица 1. Таблица соответствия нумерации и действий функции:

Номер	Действия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

2.1 Таблица истинности для предложенной переключательной функции

переключательная логическая функция алгебра

Таблица 2.Таблица истинности для предложенной переключательной функции:

A	B	M	H	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	f
0	0	0	0	1	0	0	0	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0
0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	1	0	0	1	1	1	1	1	0
0	0	1	0	1	1	1	0	1	1	0	1	0	0	1	0	0	0	1
0	0	1	1	1	1	1	0	1	1	0	1	0	0	1	0	0	0	1
0	1	0	0	0	0	1	0	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	0	1	0	0	0	0	1	1	0	0	1	1	1	1	0
0	1	1	0	0	1	0	0	1	1	1	1	0	0	1	0	0	0	1
0	1	1	1	0	1	0	0	1	1	1	1	0	0	1	0	0	0	1
1	0	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	1	0	1	0	1	1	0	0	1	1	1	1	1	0
1	0	1	0	0	1	0	1	1	1	1	1	0	0	1	1	1	1	0
1	0	1	1	0	1	0	1	1	1	1	1	0	0	1	1	1	1	0
1	1	0	0	1	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0
1	1	0	1	1	1	1	1	0	1	0	1	0	0	1	1	1	1	1
1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1	0	0	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	0	0	1	1	1	1	1

2.2 Представление переключательной функции в виде СДНФ

Составляем по таблице истинности совершенную дизъюнктивную нормальную форму:

(6)

Представление переключательной функции в виде СКНФ:

Составляем по таблице истинности совершенную конъюнктивную нормальную форму:

(7)

2.3 Минимизация переключательной функции с применением законов и тождеств

Для минимизации переключательной функции применяется операция склеивания (формула 4)

Минимизация СДНФ (формула 6) с применением законов и тождеств:

Минимизация СКНФ (формула 7) с применением законов и тождеств:

2.4 Представление переключательной функции на картах Карно. Минимизация функции с помощью карт Карно

Представляем на карте Карно СДНФ:

	1
1	1
1	1	1	1
1

Минимизированная функция, полученная на карте Карно:

(8)

Представляем на карте Карно СКНФ:

0	0		0
0		0
0	0

Минимизированная функция, полученная на карте Карно:

(9)

2.5 Минимизация переключательной функции методом испытания

Проверяем наличие лишних минтермов методом испытаний:

1) ,следовательно,

А=1;

Тогда ,

т.е. функция равна 0, значит минтерм остается.

2) , следовательно,

Тогда ,

т.е. функция равна М, значит минтерм остается.

3) , следовательно,

Тогда ,

т.е. функция равна , значит минтерм остается.

4) следовательно,

Тогда ,

т.е. функция равна ,значит минтерм остается.

5) , следовательно,

Тогда ,

т.е. функция равна , значит минтерм остается.

Заключение

Курсовая работа помогает закрепить знания в области арифметических и логических основ цифровой техники и рассмотреть один из основных этапов построения цифровых схем на основе переключательных функций с применением различных способов. Последующая реализация функций на основе конкретных базисов логических элементов позволяет понять связь математических абстракций алгебры логики и реальных схем на физических устройствах, выполняющих конкретные функции, необходимые человеку.

Курсовая работа является одним из основных видов самостоятельной работы, направленной на изучение, закрепление, углубление и обобщение знаний по учебным дисциплинам профессиональной подготовки.

Список литература

1. Мышляева И.М. Цифровая схемотехника / М «ACADEMA»,2005.

2. Схемы: основные понятия www.cxem.net

Размещено на Allbest.ru