Размещено на http://www.allbest.ru/

1

ЛЕКЦІЯ

Похідна та її застосування

1. Відомості з історії

похідна диференціальне числення

1. Про походження термінів і позначень. Розділ математики, у якому вивчаються похідні і їх застосування до дослідження функцій, називається диференціальним численням. Приріст виду , що представляє собою різницю, відіграє помітну роль при роботі з похідними. Природно тому поява латинського кореня differentia (різниця) у назві calculis differentialis нового числення, що переводиться як числення різноманітностей; ця назва з'явилася вже наприкінці XVII в., тобто при народженні нового методу.

Термін «похідна» є буквальним перекладом на українську французького слова derivйe, що ввів у 1797 р. Ж. Лагранж (1736--1813); він же ввів сучасні позначення . Така назва відбиває зміст поняття: функція походить з , є похідним від . И. Ньютон називав похідну функцію флюксиєй, а саму функцію -- флюєнтой. М. Лейбніц говорив про диференціальне відношення і ввів позначення похідної , що також часто зустрічається в сучасній літературі.

Символ Лейбніц вибрав для позначення диференціала функції . Диференціал функції -- це добуток похідної на приріст , тобто ; заміняючи позначення на , це ж можна записати так: , звідці .

Розповідь про походження термінології, прийнятої в диференціальному численні, був би не повний без поняття границі і нескінченно малої. Дамо означення похідної:

Пишуть замість прийнятого вище позначення при .



Рис. 1

Позначення -- скорочення латинського слова limes (межа, границя); зменшуючи, наприклад, , ми спрямовуємо значення до «границі» . Термін «границя» увів Ньютон.

Прикладом нескінченно малої може служити функція від , оскільки при . Узагалі, якщо , говорять, що -- нескінченно мала. Нескінченно малі відіграють важливу роль у математичному аналізі, що тому часто називають також аналізом нескінченно малих.

Помітимо нарешті, що слово «екстремум» походить від латинського extremum (крайній). Maximum переводиться як найбільший, а minimum -- найменший.

1.2 З історії диференціального числення

1) Диференціальне числення створене Ньютоном і Лейбніцем порівняно недавно, наприкінці XVII сторіччя. Тим більше разюче, що задовго до цього Архімед не тільки вирішив задачу на побудову дотичної до такої складної кривої, як спіраль (застосовуючи при цьому граничні переходи), але і зумів знайти максимум функції .

Епізодично поняття дотичної (яке, теж зв'язано з поняттям похідної) зустрічалося в роботах італійського математика Н. Тартальи (ок. 1500--1557) -- тут дотична з'явилася в ході вивчення питання про кут нахилу знаряддя, при якому забезпечується найбільша дальність польоту снаряда. И. Кеплер розглядав дотичну в ході рішення задачі про найбільший обсяг паралелепіпеда, уписаного в кулю даного радіуса.

У XVII в. на основі навчання Г. Галілея про рух активно розвилася кінематична концепція похідної. Різні варіанти викладу, застосовані до різних задач, зустрічаються вже в Р. Декарта, французького математика Роберваля (1602--1675), англійського вченого Д. Грегорі (1638--1675), у роботах И. Барроу (1630--1677) і, нарешті, И. Ньютона.

До розгляду дотичної і нормалі (так називається пряма, перпендикулярна дотичної і проведена в точці торкання) Декарт прийшов у ході вивчення оптичних властивостей лінз. За допомогою методів аналітичної геометрії і винайденого їм методу невизначених коефіцієнтів він зумів вирішити задачі про побудову нормалей до ряду кривих, у тому числі еліпсу.

У 1629 р. П. ферма запропонував правила перебування екстремумов багаточленів. Істотно підкреслити, що фактично при висновку цих правил ферма активно застосовував граничні переходи, розташовуючи найпростішою диференціальною умовою максимуму і мінімуму.

Ферма зіграв видатну роль у розвитку математики. Його ім'я заслужено носить не тільки відома вам теорема з аналізу. Велика теорема Ферма («Рівняння не має рішень у натуральних числах при натуральному , більшому двох»), не доведена, щоправда, і понині, лише один з підсумків його міркувань над проблемами теорії числі. Ферма один із творців аналітичної геометрії. Він займався й оптикою. Широко відомий принцип ферма («Промінь світла поширюється так, що час його проходження буде найменшим»), застосовуваний і у фізики.

Важливі наслідки цього принципу ви можете вивести самостійно, закон відображення світла («Кут відображення дорівнює куту падіння») зводиться відповідно до принципу Ферма до рішення відомої геометричної задачі. Для висновку закону переломлення світла потрібно застосувати відомі правила екстремума. (Потрібно вирішити таку задачу (мал. 1.1): «Промінь світла проходить із крапки нижньої напівплощини в точці верхньої. Швидкість світла в нижній напівплощині (однорідному середовищу) постійна і дорівнює х₁, а у верхній напівплощині -- х_2. По якому шляху повинна рухатися крапка, щоб весь її шлях забрав найменший час?»)

Рис. 1.1

Систематичне вчення про похідні розвите Лейбніцем і Ньютоном, що сформулював і дві основні проблеми аналізу:

«1. Довжина прохідного шляху постійно (тобто В будь-який момент часу) дана; потрібно знайти швидкість руху в запропонований час.

2. Швидкість руху постійно дана; потрібно знайти довжину пройденого в запропонований час шляху».

Якщо Ньютон виходив в основному з задач механіки (ньютонов аналіз створювався одночасно з ньютоновой класичною механікою), то Лейбніц по перевазі виходив з геометричних задач.

Говорячи про наступний розвиток ідей аналізу (а вони дуже швидко завоювали популярність і знайшли багатьох послідовників), випливає в першу чергу назвати імена учнів Лейбніца -- братів Я. і И. Бернуллі.

А. Лопіталь (1661--1704), що учився в И. Бернуллі, видав вже в 1696 р. перший друкований курс диференціального числення «Аналіз нескінченно малих для дослідження кривих ліній», що сприяв поширенню нових методів.

Ряд великих результатів одержав Лагранж, його роботи зіграли важливу роль в осмисленні основ аналізу.

Як і у випадку багатьох інших розділів математики, неоціненний внесок у розвиток математичного аналізу, внесений Л. Ейлером і К. Ф. Гаусом (1777--1855).

У короткому нарисі неможливо розповісти про суть відкриттів, зроблених у XVIII в. і пізніше. Але про один напрямок не можна не згадати. Мова йде про розклад функцій у степеневі ряди, тобто про представлення функцій у виді багаточленів з нескінченним числом доданків. З прикладом нескінченної суми (числового ряду) ми знайомі: нескінченні періодичні дроби представлялися у виді суми нескінченного числа доданків. З числовими і функціональними рядами працював не тільки Ньютон, але і його попередники, і тому трохи несправедлива назва формула Тейлора (Б. Тейлор (1685--1731) -- англійський математик, опублікувавши8ший її в 1715 р.), прийняте для наступного чудового співвідношення:

(тут -- значення, отримане n-кратним диференціюванням функції в точці ).

Виявилося, що в ряді випадків, відкидаючи нескінченне число доданків, можна одержувати формули, що дають гарні наближення функцій багаточленами.

2) ентузіазм, викликаний появою нового могутнього методу, що дозволяє вирішувати широке коло задач, сприяв бурхливому розвитку аналізу XVIII в. Але до кінця цього сторіччя проблеми, що виникли вже у творців диференціального й інтегрального числень, проявилися дуже гостро.

Основні труднощі полягали в тому, що точні означення таких ключових понять, як границя, неперервність, дійсне число, були відсутні (відповідно і міркування містили логічні пробіли, а іноді були навіть помилкові). Характерний приклад -- визначення неперервності. Ейлер, Лагранж і навіть Фур'є (а він працював уже на початку XIX в.) називали неперервною функцію, що у своїй області визначення задана одним аналітичним вираженням.

Тим самим «нова» математика не відповідала стандартам строгості, звичним для вчених, вихованих на класичних зразках грецьких математиків. Інтуїція, настільки необхідна математикам, істотно випередила логіку, що теж є невід'ємною характеристикою математичної науки.

Геніальна інтуїція таких гігантів, як Ньютон, Лейбніц, Ейлер, допомагала їм уникати помилок. Але необхідні були міцні логічні основи.

Характерні висловлення, що відносяться до XVIII сторіччя. Відомий математик М. Роль писав, що нове числення є колекція геніальних помилок. А великий французький мислитель Вольтер помітив, що це числення являє собою мистецтво обчислювати і точно вимірювати речі, існування яких не може бути доведено.

Рішучий крок до створення міцного фундаменту аналізу був зроблений у 20-і роки минулого століття французьким математиком О. Коші (1789--1857), що запропонував точні визначення границі функції і послідовності і на їхній основі доказавши багато фундаментальних теорем аналізу. Трохи раніш (1821 р.) означення межі і неперервності, цілий ряд інших чудових результатом (у тому числі знаменитий приклад функції, неперервної на проміжку, але не має похідної в жодній його точці) одержав чеський математик Б. Больцано (1781--1848), але його роботи стали відомі багато пізніше.

Означення границі функції по Коші формулюється в такий спосіб: «Число називається границею функції при , що прямує до (тобто ), якщо для будь-якого числа можна підібрати таке число , що для всій , задовольняє нерівность ».

Спираючись на це означення, вже неважко дати означення неперервності в точці: функція неперервна в точці , якщо .

Формулювання означення границі послідовності таке: «Число є границею послідовності , якщо для кожного існує номер , такий, що при усіх вірно нерівність ».

Коші довів наступні теореми про межі, якими ми фактично користалися при обчисленні похідних:

Якщо , то існують межі суми і різниці, добутку, частки (при ), причому

,

,

.

Гаслом багатьох математиків XVII в. був: «Рухайтеся вперед, і віра в правильність результатів до вас прийде».

2. Похідна

2.1 Поняття похідної

Нехай у = f(x) є неперервна функція аргументу х, визначена на інтервалі (a, b). Візьмемо деяке значення незалежної змінної х і надамо її деякого приросту х. Тоді функція y = f(x) набуде приросту

у = f(x + x) - f(x) (рис. 2.1).

Означення. Відношення приросту у функції у = f(x) до приросту незалежної змінної х називається диференціальним відношенням:

(1)

Рис. 2.1

Відношення є тангенсом кута нахилу січної до осі Ох. При січна прямує до дотичної в точці Р. Тангенсом кута нахилу дотичної до осі Ох при цьому буде границя відношення

.

Означення. Функція у = f(x) називається диференційовною в
точці х = х₀, якщо існує границя

. (2)

Значення границі при цьому називається похідною функції
у = f(x) у точці х₀ і позначається

Позначення. =

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Означення. Функція називається диференційовною на інтервалі І, якщо вона диференційовна в кожній точці х цього інтервалу.

Кожному значенню х із області диференційовності функції f (x) ставиться у відповідність її похідна в точці х. Отже, дістаємо похідну функцію, яку позначаємо f (x). Дія відшукання похідної функції f (x) називається диференціюванням.

Розглянемо функцію і знайдемо диференціальне відношення та похідну цієї функції.

Рис. 2.2

Диференціальне відношення визначаємо за формулою (1):

.

Похідну знаходимо за (2): .

2.2 Похідні основних елементарних функцій

1. Похідна степеневої функції

.

2. Похідна показникової функції

3. Похідна логарифмічної функції

4. Похідні тригонометричних функцій

2.3 Правила диференціювання

Правило 1. Похідна сталої дорівнює нулеві

(сonst) = 0.

(7) = 0; (- 100) = 0.

Правило 2. Якщо u -- будь-яка диференційовна функція від х і с -- довільна стала, то (cu) = cu.

Правило 3. Якщо u та v -- диференційовні функції від х, то їх сума u + v є диференційовною функцією:

.

Аналогічно, похідна суми будь-якого скінченного числа диференційовних функцій дорівнює похідним цієї функції:

.

Знайти похідну функції .

.

Правило 4. Добуток двох диференційовних функ-цій u та v є диференційовною функцією

.

Похідна добутку n функцій:

(3)

Знайти у, якщо у = (х² +1) lnx.

.

Правило 5. У точках, в яких , відношення двох дифе-ренційовних функцій є функція диференційовна, причому

.

Знайти у, якщо .

.

2.4 Похідна оберненої функції

Теорема 1. Якщо функція у = f(x) монотонна й має в точці х відмінну від нуля похідну, то функція, обернена до даної, подається у вигляді х = g(y) і має похідну х = g(y), обернену до похідної даної функції:

. (4)

Похідні обернених тригонометричних функцій:

2.5 Похідна складної функції

Правило 6.

Теорема 2. Похідна складної функції :

Задана функція у = f(x). Знайти у.

1) ; 2) ; 3) .

1) За формулою (5) маємо:

2) Візьмемо: . Тоді за правилом 4

.

Функції і -- складні. Згідно з (5) маємо:

.

3) Нехай і . Тоді за правилом 5 дістаємо:

.

Похідні функцій arctgx³ і обчислюємо за формулою (5):

;

2.6 Логарифмічне диференціювання

Правило 7. Якщо функція у = f(x) являє собою добуток кількох множників, то перш ніж диференціювати її, можна прологарифмувати цю функцію.

Знайти у, якщо .

Прологарифмуємо обидві частини даного рівняння:

.

Продиференціюємо обидві частини останньої рівності:

Правило диференціювання показниково-степеневої функції:

Щоб знайти похідну показниково-степеневої функції, потрібно спочатку продиференціювати її як показникову, а потім як степеневу функцію. Результати скласти

Окремі вимоги

1. Нехай функція y = f(x) є показниковою:

, тобто .

Тоді

.

2. Нехай функція у = f(x) є степеневою,

, тобто v(x) = .

Тоді,

Знайти у, якщо у = (х² + 1)^sinx.

1) .

2) .

3)

.

2.7 Похідні вищих порядків

Нехай у = f(x) -- деяка диференційовна функція на інтервалі І, причому похідна цієї функції у = f(x) також є диференційовною функцією на зазначеному інтервалі. Похідна функції f (x) називається похідною другого порядку функції f і позначається f або f ⁽²⁾. Якщо f ⁽²⁾ диференційовна на інтервалі І, то похідна функції f ⁽²⁾ називається похідною третього порядку функції f (х) і позначається f ⁽²⁾.

Аналогічно, похідною n-го порядку f ⁽ⁿ⁾ функції f (х) за індукцією називається похідна функції f ^(n-1), якщо вона існує і диферен-ційовна.

Іноді замість позначення f ⁽ⁿ⁾(х) застосовують символ або Dⁿy, Dⁿf(x).

Для функції f(x) = х⁴ + 2х³ + х + 5 знайти похідну n-го порядку.

f (x) = 4х³ + 6х² + 1, f (x) = 12х² + 12х, f ⁽³⁾(x) = 24х + 12, f ⁽⁴⁾(x) = 24, f ⁽ⁿ⁾(x) = 0 для n 5.

2.8 Правила знаходження похідних n-го порядку

На похідні n-го порядку легко поширюються правила, розглянуті в підрозд. 5.1.3.

Очевидно, виконуються рівності:

Виведемо так звану формулу Лейбніца, яка дає змогу обчислювати похідну n-го порядку від добутку двох функцій u(x) та v(x). Для того щоб вивести цю формулу, знайдемо спочатку кілька похідних, а далі встановимо загальне правило:

Закон утворення похідних зберігається для похідних будь-якого порядку й полягає ось у чому:

Вираз (u + v)ⁿ потрібно розкласти за формулою бінома Ньютона й у здобутому розкладі замінити показники степенів для u та v показниками порядку похідних, причому нульові степені(u⁰ = v⁰), що входять у крайні члени розкладу, слід замінити самими функціями (тобто похідними нульового порядку):

.

Це є формула Лейбніца.

Зауваження. Повне доведення цієї формули можна подати методом повної математичної індукції [9].

Задано функцію . Знайти її похідну у⁽ⁿ⁾.

,

.

2.9 Механічний та геометричний зміст похідної

Джерелом диференціального числення стали, як відомо, два питання:

1) про відшукання швидкості в разі довільного закону руху;

2) про відшукання дотичної до довільної лінії.

Обидва вони привели до однієї й тієї самої обчислювальної задачі, яку було покладено в основу диференціального числення. Ця задача полягає в тому, щоб за даною функцією f(x) відшукати іншу функцію f (x), яка дістала назву похідної і являє собою швидкість зміни функції f(x) щодо зміни аргументу.

У механіці відповідна задача формулюється так: знайти швидкість тіла, що рухається за законом , у деякий момент часу t. Вважаємо, що відстань S і час t -- фізичні величини, які можна вимірювати.

Нехай за час від t до t + t тіло пройшло шлях s + s = f(t + t).

Тоді s = f(t + t) - f(t).

Означення.

Середня швидкість

Середня швидкість тіла, що рухається вздовж деякої лінії, визначається за формулою

.

Щоб знайти миттєву швидкість v такого тіла, потрібно перейти до границі відношення при :

.

Означення.

Миттєва швидкість

Миттєвою швидкість тіла, що рухається вздовж лінії s = f(t), називається похідна функції s = f(t) за часом t:

.

Нехай -- рівняння вільного руху тіла, g -- прискорення його вільного падіння. Знайти миттєву швидкість тіла в будь-який момент часу; у момент часу t = 2 c.

За означенням маємо

.

Зокрема, якщо t = 2, дістаємо:

.

Сформулюємо тепер розглянуту задачу мовою геометрії.

Нехай дано функцію у = f(x), графік якої наведено на
рис. 5.1. Диференціальне відношення дорівнює тангенсу кута , утвореного січною, що проходить через точки А та В, які мають відповідно абсциси х та х + х, із додатним напрямом вісі Ох.

Якщо приріст х 0, то точка В прямує до точки А, а кут --до кута , утвореного дотичною до розглядуваної кривої в даній точці з додатним напрямом осі Ох. Отже, маємо:

. (10)

Значення похідної в деякій точці дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до кривої в цій точці з додатним напрямом осі Ох.

Знайти тангенси кутів нахилу дотичної до кривої у = х² у точках М₁(Ѕ; ј), М₂(-1; 1) (рис. 2.6.).

Рис. 2.6

Згідно з (10) дістаємо:

За формулою похідної степеневої функції маємо: .

Отже,



2.10 Рівняння дотичної та нормалі до кривої

Розглянемо рівняння кривої у = f(x) (рис. 5.7). Візьмемо на кривій точку М(х₁, у₁) і запишемо рівняння дотичної до цієї кривої в точці М, припускаючи, що дотична не паралельна жодній координатній осі.

Рівняння кривої, що має кутовий коефіцієнт k і проходить через точку М, набирає вигляду

.

Для дотичної , тому рівняння дотичної буде таке:

Поряд із дотичною до кривої розглядають і її нормаль.

Означення. Нормаллю до кривої в даній точці називається пряма, яка проходить через цю точку і перпендикулярна до дотичної в ній.

Рис.2.7

Із означення нормалі випливає, що її кутовий коефіцієнт k_норм пов'язаний із кутовим коефіцієнтом k дотичної рівністю

, тобто

Отже, дістаємо рівняння нормалі до кривої у = f(x) у точці М (х₁, у₁):

Написати рівняння дотичної та нормалі до кривої
у = х³ у точці М(1; 1).

Оскільки у = 3х², то кутовий коефіцієнт дотичної

.

Отже, згідно з (1) рівняння дотичної буде таке:

, або .

Рівняння нормалі:

, або (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Размещено на Allbest.ru