Основи комбінаторики і теорії імовірностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

451

Лекція 18. Основи комбінаторики і теорії імовірностей

18.1 Елементи комбінаторики

Групи, що складені з яких-небудь елементів, називаються з'єднуючими.

Розрізняють три основні види з'єднань: розміщення, перестановки і сполучення.

Задачі, в яких здійснюється підрахунок можливих різних з'єднань, складених з кінцевого числа елементів за деяким правилом, називаються комбінаторними. Розділ математики, який займається їх розв'язання називається комбінаторикою.

1. Розміщення. Розміщеннями з елементів по в кожному називаються такі з'єднання, які відрізняються один від одного або елементами (хоча б одним), або порядком їх розташування.

Число розміщень з елементів по позначається символом і обчислюється за формулою

(18.1)

2. Перестановки. Перестановками з елементів називаються такі з'єднання з усіх елементів, які відрізняються одне від одного порядком розташування елементів.

Число перестановок з елементів позначається символом

Перестановки являють собою окремий випадок розміщення з елементів в кожному, тобто

або

(18.2)

Серед усіх перестановок з елементів рівне добутку послідовних чисел від 1 до включно. Добуток позначають символом (читається «п-факторіал»), причому вважають причому рівність (16.2) можна переписати у вигляді

(18.3)

Використовуючи формулу (16.3), формулі (16.1) можна надати вигляду

(18.4)

При розв'язанні задач часто використовується рівність

(18.5)

Визначення. Сполученнями з елементів по в кожному називають з'єднання, які відрізняються одне від одного хоча б одним членом.

Сполучення з елементів по позначається . Вона знаходиться

(18.6)

Можна записати також у вигляді

(18.7)

комбінаторика імовірність байєс бернуллі

або

(18.8)

Крім того, при розв'язанні задач використовуються наступні формули, що виражають основні властивості сполучень:

(18.9)

(за визначенням вважають і );

(18.10)

1. Знайти число розміщень: 1) з 10 елементів по 4; 2) з елементів по

Згідно з формулою (16.1), отримуємо:

1)

2)

2. Розв'язати рівняння

Використовуючи формулу (16.1), перепишемо рівняння у вигляді

Враховуючи, що розділимо обидві його частини на тоді маємо

3. Скласти всі можливі перестановки з елементів 1)  2) 

1) 3) 

4. Обчислити значення виразів: 1) 2)

1)

2)

5. Обчислити: 1) 2)

Згідно з формулою (16.7), отримаємо:

1)

2)

6. Розв'язати систему рівнянь

Розв'яжемо друге рівняння:

Оскільки то не задовольняє умові задачі.

Підставивши в перше рівняння системи, отримаємо Використовуючи формулу (16.9), маємо Тоді і, таким чином, звідки Таким чином, отримуємо відповідь:

7. Знайти число розміщень: 1) 2)

8. Обчисліть: 1) 2) 3)

9. 30 учнів обмінялися один з одним фотокартками. Скільки всього було роздано карток?

10. Розв'яжіть рівняння:

1)  2)  3) 

11. Розв'яжіть рівняння:

1)  2)  3) 

12. Розв'яжіть рівняння:

1)  2)  3)  4)  5) 

13. Складіть усі можливі перестановки з літер:

14. Обчисліть значення наступних виразів: 1)  2) 

15. Доведіть тотожності

1) 2) 

16. Скоротіть дроби:

1)  2)  3) 

17. Виконайте дії:

1) 2) .

18. Обчисліть: 1) 2) 3) 4)

19. Перевірте рівності:

1) 2) 3) 4)

20. Перевірте рівності: 1) 2)

21. Число сполучень з елементів по 3 в п'ять разів менше числа сполучень з елементів по 4. Знайти .

22. Скількома способами з 15 робочих можна складати бригади по 5 чоловік в кожній?

23. Розв'яжіть системи рівнянь:

2)

18.2 Випадкові події, імовірність подій

1. Імовірні події. Вивчення кожного явища в порядку спостереження або здійснення досліду пов'язане з існування деякого комплексу умов (іспитів). Будь-який результат або підсумок іспиту називається подією.

Якщо подія при заданих умовах може відбутися або не відбутися, то вона називається випадковою. В тому випадку, коли подія має обов'язково відбутися, її називають достовірною, а в тому випадку, коли вона свідомо не може відбутися, -- неможливою.

Події називаються несумісними, якщо кожного разу можлива поява тільки однієї з них. Події називаються сумісними, якщо в даних умовах поява однієї з цих подій не виключає появи другої при тому ж іспиті.

Події називають протилежними, якщо в умовах іспитів вони, будучи єдиними їх підсумками, несумісні.

Імовірність події розглядається як міра об'єктивної можливості появи випадкової події.

2. Класичне визначення імовірності. Імовірністю події А називається відношення числа наслідків , що сприяють здійсненню даної події А, до числа всіх підсумків (несумісних, єдиних можливих і рівноможливих), тобто

Імовірність будь-якої події не може бути меншою нуля і більше одиниці, тобто Неможливій події відповідає імовірність а достовірній -- імовірність

29. В лотереї з 1000 білетів є 200 виграшних. Виймають випадково один білет. Чому дорівнює імовірність того, що цей білет буде виграшним?

Загальне число різних підсумків є Число підсумків, що сприяють отриманню виграшу, складає Згідно з формулою (16.11), отримаємо

30. З урни, в якій знаходяться 5 білих і 3 чорних кулі, виймають один шар. Знайти імовірність того, що куля виявиться чорною.

Позначимо подію, що полягає в появі чорної кулі, через А. Загальне число випадків Число випадків що сприяє появі події А, дорівнює 3. За формулою (16.11) отримаємо

31. З урни, в якій знаходяться 12 білих і 8 чорних куль, виймають випадково дві кулі. Яка імовірність того, що обидві кулі виявляться чорними?

Позначимо подію, що складається з появи двох чорних куль, через А. Загальне число можливих випадків дорівнює число сполучень з 20 елементів по два:

Число випадків сприяє події А, складає

За формулою (16.11) знаходимо імовірність появи двох чорних куль:

32. В партії з 18 деталей знаходяться 4 бракованих. Випадково обирають 5 деталей. Знайти імовірність того, що з цих 5 деталей дві виявляться бракованими.

Число всіх рівноможливих незалежних підсумків дорівнює число співвідношень з 18 по 5, тобто

Підрахуємо число підсумків що сприяють події А. Серед 5 взятих випадково деталей май бути 3 якісних і 2 бракованих. Число способів вибірки двох бракованих деталей з 4 наявних бракованих дорівнює числу сполучень з 4 по 2:

Будь-яка група якісних деталей може комбінуватися з будь-якою групою бракованих деталей, тому спільне число комбінацій являє

Шукана імовірність події дорівнює відношенню числа підсумків що сприяють цій події, до числа всіх рівноможливих незалежних підсумків:

33. В ящику з деталями виявилося 300 деталей І ґатунку, 20 деталей ІІ ґатунку і 50 деталей ІІІ ґатунку. Випадково виймають одну з деталей. Чому дорівнює імовірність вийняти деталь І, ІІ або ІІІ ґатунку?

34. В урні знаходяться 20 білих і 15 чорних куль. Випадково виймають одну кулю, яка виявляється білим, і відкладають його. Після цього беруть ще одну кулю. Знайдіть імовірність того, що ця куля також виявиться білою.

35. В урні знаходяться 7 білих і 5 чорних куль. Знайдіть імовірність того, що: 1) випадково вийнята куля виявиться чорною; 2) дві випадково вийняті кулі виявлять чорними.

36. Вважаючи випадіння будь-якої грані гральної кості однаково імовірною, знайдіть імовірність випадіння грані з непарною кількістю балів.

37. В коробці є 30 лотерейних білетів, з яких 26 пусті (без виграшів). Випадково виймають одночасно 4 білета. Знайдіть імовірність того, що 4 білетів два виявлять виграшними.

18.3 Теорема додавання ймовірностей

Теорема додавання ймовірностей несумісних подій. Імовірність появи однієї або декількох попарно несумісних подій, не важливо якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

(16.12)

(16.13)

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій. Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без імовірності їх сумісної появи

(16.14)

Для трьох сумісних подій має місце формула

(16.15)

Подія, протилежна події А (тобто настання події А), позначають Сума ймовірностей двох протилежних подій дорівнює одиниці:

(16.16)

Імовірність настання події обчислена в припущенні, що подія вже відбулася, називається умовною ймовірністю події при умові і позначається або

Якщо і -- незалежні події, то

Події -- називаються незалежними у сукупності, імовірність кожної з них не змінюється у зв'язку з настання або ненастанням інших подій окремо або в будь-якій їх комбінації.

38. В ящику в випадковому порядку розкладені 20 деталей, причому п'ять з них стандартні. Робочий бере випадково три деталі. Знайти імовірність того, що хоча б одна з узятих деталей виявиться стандартною (подія ).

І спосіб. Очевидно, що хоча б одна з узятих деталей виявиться стандартною, якщо відбудеться будь-яке з трьох несумісних подій: -- одна деталь стандартна, дві нестандартні; -- дві деталі стандартні, одна нестандартна і -- три деталі стандартні.

Таким чином, подію можна подати у вигляді суми цих трьох подій: За теоремою додавання маємо Знаходимо ймовірність кожної з цих подій

Додавши знайдені величини, отримаємо

ІІ спосіб. Події (хоча б одна з трьох взятих деталей виявилася стандартною) і (жодна з узятих деталей не виявилася стандартною) є протилежними; тому або

Імовірність появи події складає

Таким чином, шукана ймовірність є

39. Знайти імовірність того, що випадково взяте двозначне число виявиться кратним або 3, або 5, або тому і іншому одночасно.

Нехай -- подія, що полягає в тому, що випадково взяте двозначне число виявиться кратним 3, а -- в тому, що воно кратне 5. Знайдемо Так як і сумісні події, то скористаємося формулою (16.14):

Всього є 90 двозначних чисел: 10, 11, …, 98, 99. З них 30 є кратними 3 (сприяють настанню події ); 18 -- кратні 5 (сприяють настанню події ) і 6 -- кратні одночасно 3 і 5 (сприяють настанню події ). Таким чином

тобто

40. В ящику з у випадковому порядку викладені 10 деталей, з яких 4 нестандартні. Контролер взяв випадково 3 деталі. Знайдіть імовірність того, що хоча б одна з чотирьох узятих деталей виявилась стандартною.

41. В урні знаходяться 10 білих, 15 чорних, 20 синіх і 25 червоних куль. Знайдіть імовірність того, що вийнята куля виявиться: 1) білою; 2) чорною або червоною.

42. Знайдіть імовірність того, що випадкового взяте двозначне число виявиться кратним або 4, або 5, або тому і іншому одночасно.

18.4 Теореми множення ймовірностей

Теорема множення ймовірностей незалежних подій. Імовірність сумісної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

(16.18)

Імовірність появи деяких подій, незалежних у сукупності, обчислюється за формулою

(16.19)

Теорема множення ймовірностей залежних подій. Імовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добутку однієї з них на умовну імовірність другої:

(16.20)

43. В одній урні знаходяться 4 білі і 8 чорних куль, в другій -- 3 білі і 9 чорних. З кожної урни вийняли по кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі виявляться білими.

Нехай -- поява білої кулі з першої урни, а -- поява білої кулі з другої урни. Очевидно, що події і -- незалежні. Знайдемо

За формулою (16.18) отримаємо

44. В ящику знаходяться 12 деталей, з яких 8 стандартних. Робітник бере випадково одну за другою дві деталі. Знайти імовірність того, що обидві деталі виявляться стандартними.

Введемо наступні позначення: -- перша взята деталь, стандартна; -- друга взята деталь стандартна. Імовірність того, що перша деталь стандартна, складає Імовірність того, що друга взята деталь виявиться стандартною при умові, що була стандартною перша деталь, тобто умовна ймовірність події дорівнює

Імовірність того, що обидві деталі виявляться стандартними, знаходимо за теоремою множення ймовірностей залежних подій:

45. Робітник обслуговує два автомати, що працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що протягом години перший автомат не потребуватиме уваги робітника, дорівнює 0,8, а для другого автомата ця імовірність дорівнює 0,7. Знайдіть імовірність того, що протягом години жоден з автоматів не потребуватиме уваги робітника.

46. В урні знаходяться 6 куль, з яких 3 білі. Випадково вийняті одна за другою дві кулі. Обчисліть імовірність того, що обидві кулі виявляться білими.

47. В урні знаходяться 10 білих і 6 чорних куль. Знайдіть імовірність того, що три випадково обрані одна за одною кулі виявляться чорними.

18.5 Формула повної імовірності. Формула Байєса

Нехай події (гіпотези) утворюють повну групу подій і при настанні кожної з них, наприклад подія може наступити з деякою умовною імовірністю Тоді імовірність настання події рівна сумі добутку ймовірностей кожної кожної з гіпотез на відповідну умовну імовірність події :

(16.21)

де

Формула (16.21) називається формулою повної імовірності.

Нехай подія може наступити лише за умови появи однієї з несумісних події (гіпотез) які утворюють повну групу подій. Якщо подія вже відбулася, то імовірності гіпотез можуть бути переоцінені за формулою Байєса (формулі ймовірності гіпотез):

(16.22)

де -- імовірність кожної з гіпотез після іспиту, в результаті якого відбулася подія ; -- умовна імовірність події після настання події а знаходиться за формулою повної імовірності (16.21).

48. На склад поступили деталі трьох верстатів. На першому верстаті виготовлено 40 % деталей від їх загальної кількості, на другому -- 35 % і на третьому 25 %, причому на першому верстаті було виготовлено 90 % деталей першого ґатунку, на другому -- 80 % і на третьому -- 70 %. Яка імовірність того, що взята випадково деталь виявиться першого ґатунку?

Введемо наступні позначення: -- деталь виготовлена на першому верстаті, -- на другому верстаті і -- на третьому верстаті; подія -- деталь виявилася першого ґатунку. З умови випливає, що і Таким чином,

49. В першому ящику є 8 білих і 6 чорних куль, а другому -- 10 білих і 4 чорних. Випадково обирають ящик і кулю. Відомо, що вийнята куля -- чорна. Знайти ймовірність того, що був обраний перший ящик.

Введемо позначення: -- був обраний перший ящик; -- був обраний другий ящик; -- при проведенні двох послідовних іспитів вибору ящика і вибору кулі була обрана чорна куля. Тоді Імовірність видобування чорної кулі після того, як обраний перший ящик, складає Імовірність видобування чорної куля після того, як обраний другий ящик, дорівнює

За формулою повної імовірності знаходимо ймовірність того, що витягнута куля виявилася чорною:

Шукана ймовірність того, що чорна куля була витягнута з першого ящика, обчислюється за формулою Байєса:

51. В ящику складені деталі: 16 деталей з першої ділянки, 24 -- з другої і 20 -- з третьої. Імовірність того, що деталь, виготовлена на другій ділянці, відмінної якості, дорівнює 0,6, а для деталей, виготовлених на першій і третій ділянці, імовірності дорівнюють 0,8. Знайдіть імовірність того, що випадково витягнута деталь виявиться відмінної якості.

52. На двох автоматах виробляються однакові деталі, які поступають на спільний конвеєр. Виробнича здатність першого автомату в два рази більша виробничої здатності другого. Перший автомат в середньому виробляє 80 % деталей першого ґатунку, а другий -- 90 %. Взята випадково з конвеєра деталь виявилася першого ґатунку. Знайти ймовірність того, що ця деталь вироблена першим автоматом.

53. Є три партії деталей по 30 шт. в кожній. Число стандартних деталей в першій, другій і третій партіях відповідно дорівнюються 30, 25 і 20. З довільно обраної партії випадково добута деталь, що виявилася стандартною. Деталь повертають в партію і другий раз з тієї ж партії випадково беруть деталь, яка також виявляється стандартною. Знайдіть імовірність того, що деталі були видобуті з третьої партії.

18.6 Повторення іспитів. Формула Бернуллі

Якщо здійснюються іспити, при яких імовірність появи події в кожному іспиті не залежить від результатів цих іспитів, то такі іспити називають незалежними відносно події А.

Імовірність того, що в незалежних іспитів, в яких імовірність появи події дорівнює (де ), подія наступить рівно разів (однаково, в якій послідовності), знаходиться за формулою Бернуллі:

де

54. Імовірність влучення в ціль при одному пострілі складає Знайти ймовірність влучень при шести пострілах.

Тут За формулою Бернуллі знаходимо

55. Імовірність влучення в ціль при одному пострілі складає Знайдіть імовірність трьох влучень при чотирьох пострілах.

56. Схожість насіння оцінюється імовірністю 0,8. Яка ймовірність того, що з п'яти посіяних насінних проростуть три?

57. При обробці деталей на верстаті в середньому 4 % з них бувають з дефектами. Яка імовірність того, що кожні дві деталі з 30 узятих на перевірку виявляться з дефектами?

7. Змішані задачі

55. Розв'яжіть рівняння:

1) 2)

3) 4)

5)

59. Розв'яжіть нерівності: 1) 2)

60. Число сполучень з елементів по 4 належить до числа сполучень з елементів по 5, як 5 : 18. Знайти .

61. В ящику 6 білих і 4 чорні кулі. Виймають одну за одною дві кулі. Знайдіть імовірність того, що обидві кулі виявлять чорними.

63. В урні знаходяться 15 білих і 6 чорних куль. З неї виймають випадково одну кулю, знову повертають її до урни і куля змішують. Потім виймають другу кулю. Знайти імовірність того, що обидві вийняті кулі білі.

64. В першій урні знаходяться 10 білих і 2 чорні кулі, а у другій -- 4 білі і 8 чорних куль. З кожної урни вийняли по кулі. Яка імовірність того, що обидві кулі чорні?

65. На окремих картках написані літери «и», «л», «о», «е», «ч»,. Після перемішування беруть по одній картці і кладуть послідовно поряд. Обчисліть імовірність того, що з цих літер виставиться слово «число».

66. Три стрільці стріляють по мішені. Імовірності влучення в ціль для першого, другого і третього стрільців відповідно дорівнюють 3/4, 4/5 і 9/10. Знайдіть імовірність того, що всі три стрільці одночасно влучать в ціль.

67. На кожні полиці довільним чином розставлено вісім книжок. Обчисліть імовірність того, що три певні книжки виявлять поряд.

68. На трьох автоматичних лініях виготовляються однакові деталі на першій лінії виготовляється 50 % всіх деталей, на другій -- 30 % і на третій -- 20 %. При цьому на першій лінії виготовляється 0,025 нестандартних деталей, на другій -- 0,02 і на третій -- 0,015. Знайдіть імовірність того, що випадково взята з готової продукції деталь виявиться стандартною.

69. Монету підкидають 10 разів. Яка імовірність того, що при цьому «орел» випаде 3 рази?

70. В ящику знаходять 60 стандартних і 40 нестандартних деталей. Знайдіть імовірність того, що з узятих випадково двох деталей одна виявиться стандартною, а друга нестандартною.

Залікова робота

І варіант

1. Доведіть тотожність

2. Розв'яжіть рівняння

3. Розв'яжіть рівняння .

4. Талони, скручені в трубочку, пронумеровані всіма двозначними числами. Випадково беруть один талон. Яка імовірність того, що номер узятого талону складається з однакових цифр?

5. В ящику знаходяться деталі, з яких 12 виготовлені на першому верстаті, 20 -- на другому і 16 -- на третьому. Імовірність того, що деталі, виготовлені на першому, другому і третьому верстатах, відмінної якості, відповідно дорівнює 0,9; 0,8 і 0,6. Знайдіть імовірність того, що взята випадково деталь виявиться відмінної якості.

ІІ варіант

1. Доведіть тотожність

2. Розв'яжіть рівняння

3. Розв'яжіть рівняння

4. В урні 12 куль. Серед цих куль 3 білі і 9 чорних. Яка імовірність того, що випадкового вийнята куля виявиться білою?

5. На двох поточних лініях виробляються однакові вироби, які поступають в ВТК. Виробнича потужність першої поточної лінії в два рази більша виробничої потужності другої. Перша поточна лінія в середньому виробляє 70 % виробів першого ґатунку, а друга -- 90 %. Випадково взятий ВТК на перевірку виріб виявить першого ґатунку. Знайдіть імовірність того, що цей виріб вироблений на першій поточній лінії.

Размещено на Allbest.ru