Розв’язування кубічного рівняння
Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння. Розрахунок рівнянь, розміщених на комплексній площині, що позначають вершини рівностороннього трикутника. Перетворення вигляду рівняння, якщо умова не виконується і всі корені рівняння різні.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 24.01.2014 |
| Размер файла | 49,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
4.12 Новий метод розв'язування кубічного алгебраїчного рівняння
1. Відшукуємо розв'язок алгебраїчного рівняння
(1)
Сутність методу полягає в тому, що рівняння (1) перетворюється до вигляду
(2)
або
(3)
Викладемо спочатку допоміжний результат.
Теорема 1. Для того щоб корені рівняння (1), розміщені на комплексній площині, були вершинами рівностороннього трикутника, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність.
(4)
тобто щоб похідна рівняння (1) мала двократний корінь.
Доведення. Необхідність. Нехай рівняння (1) має корені
які є вершинами рівностороннього трикутника. Знаходимо коефіцієнти рівняння (1):
.
Вони, як легко переконатися, задовольняють рівняння (4). Достатність. Нехай виконується умова (4). Позначимо
Для похідної знаходимо вираз
звідки дістаємо інший вираз для :
Рівняння має корені
які є вершинами рівностороннього трикутника.
Зауважимо, що точки є вершинами рівностороннього трикутника, якщо виконується одне з рівнянь
які можна записати у вигляді
(5)
рівняння алгебраїчний трикутник площина
2. Доведемо основний результат.
Теорема 2. Якщо умова не виконується і всі корені рівняння (1) різні, то рівняння (1) можна перетворити в рівняння виду (2). Якщо умова (4) виконується, то рівняння (1) можна перетворити в рівняння виду (3).
Доведення. Для відшукання коефіцієнтів рівняння (2) маємо систему рівнянь
(6)
Із перших двох рівнянь (6) при знаходимо:
(7)
Підставивши А та В в останні два рівняння (6) і поділивши ці рівняння на дістанемо симетричну систему рівнянь для a, b
яку можна записати у вигляді
(8)
де
Ця система рівнянь має розв'язок
(9)
Коефіцієнти a, b є коренями квадратного рівняння
Дискримінант D цього рівняння
лише ненульовим дільником відрізняється від дискримінанта зведеного кубічного рівняння (1).
Якщо корені рівняння різні, то і з рівнянь (7) знаходимо A, B. Для рівняння (1) з дійсними коефіцієнтами всі коефіцієнти рівняння (2) будуть дійсними при
Зауважимо, що з рівнянь
можна знайти значення виражені через корені рів-няння (1):
Рівняння зводиться до рівнянь і рівносильне одній із рівностей .
Якщо виконується умова (4), то рівняння (1) можна записати у вигляді рівняння (3). Для відшукання коефіцієнтів рівняння (3) маємо систему рівнянь
розв'язну в разі виконання умови (4). Рівняння (1) можна записати у вигляді
Приклад 1. Розв'язати кубічне рівняння
Згідно з формулами (7)--(9) знаходимо:
Рівняння виду (2) набирає вигляду
і має розв'язок
Рівняння має дійсний корінь
Приклад 2. Розв'язати рівняння.
.
Знаходимо значення
Рівняння виду (2) набирає вигляду
і має розв'язок який визначається з рівнянь
При знаходимо дійсний корінь
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Умова існування цілих розв’язків лінійних діофантових рівнянь, алгоритм Евкліда. Розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах. Методика вивчення діофантових рівнянь в загальноосвітніх школах. Діофантові рівняння вищих порядків.
курсовая работа [758,4 K], добавлен 15.05.2019Теоретичні основи розв’язування рівнянь з параметрами. Функція пряма пропорційність. Загальне поняття про аналітичний та графічний метод. Дробово-раціональні рівняння з параметрами, що зводяться до лінійних. Система розв’язування задач для 9 класу.
курсовая работа [596,8 K], добавлен 21.03.2013Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.
контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016Задача Коші і крайова задача. Двоточкова крайова задача для диференціального рівняння другого порядку. Види граничних умов. Метод, заснований на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коші. Розв'язування систем нелінійних рівнянь.
презентация [86,2 K], добавлен 06.02.2014Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.
курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.
отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Лінійні диференціальні рівняння I порядку. Рівняння з відокремлюваними змінними. Розв’язування задачі Коші. Зведення до рівняння з відокремлюваними змінними шляхом введення нової залежної змінної.
лекция [126,9 K], добавлен 30.04.2014Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають пониження порядку. Лінійні диференціальні рівняння II порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації довільних сталих як загальний метод розв’язування та й приклад розв’язання задачі Коші.
лекция [202,1 K], добавлен 30.04.2014Схема класифікації та методи розв'язування рівнянь. Метод половинного ділення. Алгоритм. Метод хорд, Ньютона, їх проблеми. Граф-схема алгоритму Ньютона. Метод простої ітерації. Питання збіжності методу простої ітерації. Теорема про стискаючі відображення.
презентация [310,1 K], добавлен 06.02.2014
