Линеаризация нелинейных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим первичные данные:

По параметрам:

Материальный баланс какого-либо процесса производства принимает следующую простую формулировку: масса исходных продуктов процесса должна быть равна массе его конечных продуктов. Сумма приходов компонентов должна быть равна сумме расхода, независимо от состава продукта при поступлении и выходе, т. е., независимо от того, каким изменениям они подверглись в данном аппарате. Из этого следует, что изменение объема жидкости в резервуаре за время dф зависит от разности расходов на притоке Fвх и стоке Fвых.

Переписав выражение в виде:

Получим уравнение, определяющее уровень жидкости L в резервуаре (состояние объекта) при изменении расходов на притоке и на стоке.

В рассматриваемом случае расход жидкости на линии притока не зависит от уровня жидкости в объекте, а расход жидкости на линии стока зависит от уровня жидкости в объекте в соответствии с равенством:

Где:

б - коэффициент расхода.

Так как по условию сказано, что отклонения:

От исходного значения малы, тогда нелинейную зависимость:

Можно линеаризовать, разлагая в ряд Тейлора по степеням в окрестности исходного значения и ограничивая ряд только двумя первыми членами, так как высшие порядки малости отбрасывают, так как в этих элементах учитывается скорость изменения уровня нефти:

Разложение в ряд Тейлора представлено в Mathcad:

Далее берем:

- как отклонение притока от исходного значения.

Следовательно можно переписать выражение 2 в виде:

С учётом выражений 3 и 4:

И на конец получаем дифференциальное уравнение первого порядка:

Для того чтобы получить математическую модель в виде дифференциального уравнения динамического звена первого порядка нужно привести уравнение к виду:

Где:

T - постоянная времени;

К - статический коэффициент передачи.

С учетом 6 нужно освободить один член от коэффициента путем до умножения всего выражения на:

Получим:

Тогда уравнение 7 примет вид:

По виду уравнения можно судить, что это инерционное устойчивое звено первого порядка.

Коэффициент расхода для данной системы будет равен:

Численно б = 0,433.

Решение представлено в пакете Mathcad:

Преобразование Лапласа.

Для того чтобы получить математическую модель в виде передаточной функции необходимо сделать преобразование Лапласа, которое позволяет перейти от интегро-дифференциальных уравнений к более простым математическим операциям. В общем виде одностороннего прямого преобразования Лапласа имеет вид:

Таким образом можно получить операторное изображение дифференциального уравнения.

Передаточная функция это отношение выходящей величины к входящей, следовательно математическая модель в общем виде передаточной функции примет функцию:

Одностороннее преобразование Лапласа вполне удобно для решения задач анализа переходных процессов в системах, так как всегда имеется возможность принять за начало отсчета времени t момент начала переходного процесса и поэтому нет необходимости учитывать процессы t<0. Найдем наше дифференциальное уравнение в области изображения. Для начала вспомним свойства преобразований Лапласа.

По виду передаточной функции можно сделать вывод что система устойчива, т. к., все коэффициенты полинома знаменателя положительны, т. к., это одно из условий устойчивости системы.

Построим переходную характеристику объекта при условии мгновенного изменения величины F.

Мгновенное изменение входной величины описывается функцией Хэвисайда, т. е., функцией единичного скачка:

Построим Операторно-структурную схему для нашей системы:

Так как наша передаточная функция представлена в виде изображения, а не в виде функции времени, то нужно входной сигнал найти в области изображения. Далее нужно умножить входной сигнал в области изображения на звено через которое он пройдет, а затем нужно перейти в область времени путем обратного преобразования Лапласа.

Для нахождения изображения входного сигнала воспользуемся таблицей преобразования Лапласа.

Входной сигнал = 0.49.

Тогда изображение будет равно:

Переходная характеристика в области изображения примет вид:

Теперь перейдем в область времени:

Из графика видно, что система выходит на установившееся значение, и как следствие система устойчива. Вообще как уже говорилось ранее звено этого типа, называют апериодическим (не колебательным) звеном и инерционным. Так как апериодический характер и свойства инерционности присуще не только этому типу звена, то такие названия не корректны. Чтобы проверить допустимость выбранной модели, необходимо по реакции на ступенчатое воздействие убедиться в том, что значения параметров этой модели - статического коэффициента и постоянной времени не зависят от уровня входного воздействия на систему. Построим переходную в Mathcad:

Докажем это на практике: в первом случае система вышла на установившееся значение, которое равно 6,27, а входной сигнал равен 0,49:

Вывод

математический дифференциальный уравнение

В ходе работы была получена математическая модель реального объекта в виде дифференциального уравнения линейного инерционного звена первого порядка, а также математическая модель в виде передаточной функции, которая отражает взаимосвязь между выходными и входными сигналами системы. Была построена переходная характеристика, которая показала, что у нас устойчивое звено первого порядка, а также была доказана правильность выбора типа звена. Из всего этого можно сделать вывод, что применение данного объекта вполне допустимо, т. к., его характеристики устойчивости доказаны.

Список используемой литературы

1. Малышенко А.М. Математические основы теории систем. Учебник для вузов. - Томск: ТПУ, 2008. - 364 с.

2. Математические основы теории автоматического регулирования. / Под ред. Б.К. Чемоданова. - М.: Высшая школа, 1971.

Размещено на Allbest.ru