Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Задание 1

1) Предел функции при Проследим характер изменения функции при возрастании значения аргумента x:

функция последовательность предел числитель

x	1	2	10	100	1000
y	1	1,50	1,9	1,99	1,999

и построим ее график.

Рис.1 График функции

Пусть M(x,y) - текущая точка графика . Тогда расстояние MN от этой точки до прямой y=2 можно определить как

Совершенно очевидно, что с ростом значения аргумента x расстояние d уменьшается. Если , то , следовательно, функция неограниченно приближается к числу 2, или при бесконечно возрастающем имеет пределом число 2.

2) Число в является пределом функции y=f(x) при , если каково бы ни было , можно найти такие числа N и M (N<x0<M), что для всех x, лежащих в интервале (N,M) (за исключением, быть может, точки x0) выполняется неравенство

Символическая запись предела функции при :

Геометрический смысл этого предела легко понять из графика:

Рис. 2. Геометрический смысл предела функции при

3) Определение 1. Функция y=f(x) называется бесконечно малой при и т.д.), если ее предел при равен нулю.

На основании понятия предела имеем для бесконечно малых функций или

Основные теоремы о бесконечно малых функциях:

Теорема 1. Если функции (x) и (x) являются бесконечно малыми функциями (при ), то их сумма (x) + (x) также является бесконечно малой функцией (при ).

Эта теорема может быть легко обобщена на любое конечное число бесконечно малых функций. Кратко ее читают так: сумма нескольких бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции (при ) на функцию, ограниченную (при ), является функцией бесконечно малой.

Теорема 3. Частное от деления функции f(x), бесконечно малой при , на функцию (x), предел которой (при ) отличен от нуля, является функцией бесконечно малой.

4) Функция y=f(x) называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа L можно подобрать такое число N, что для всех значений x>N выполняется неравенство

Так, например, функция y=x2 является бесконечно большой при . Какое бы положительное число L мы не взяли, эта функция может стать больше, чем L (для всех значений ). Символически бесконечно большая положительная функция записывается в виде:

Если бесконечно большая функция отрицательна, то говорят, что она стремится к и пишут:

5) Между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями существует тесная связь, которая устанавливается в следующих теоремах:

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при , то функция - бесконечно малая при .

Доказательство. Возьмем произвольное >0. Покажем, что для достаточно больших x выполняется неравенство , а это и означает, что - бесконечно малая функция. Так как по условию f(x) является бесконечно большой функцией, то существует такое число N, что при . Но тогда для тех же x. Тем самым теорема доказана.

Теорема 2. Если функция f(x) не обращается в нуль и есть бесконечно малая при , то - бесконечно большая функция при .

Теорема приводится без доказательства.

6) Основные теоремы о пределах:

Теорема 1. Если функция y=f(x) имеет предел (при ), равный b, то ее можно представить в виде суммы числа b и бесконечно малой функции при :

Теорема 2 (обратная). Если функцию y=f(x) можно представить как сумму числа b и некоторой бесконечно малой функции (при ), то число b является пределом функции f(x) (при ).

Теорема 3. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов.

Теорема 4. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.

Теорема 5. Предел дроби равен отношению пределов числителя и знаменателя, если последний не равен нулю.

Теорема 6 (о промежуточной функции). Пусть даны три функции, удовлетворяющие неравенствам для достаточно больших значений x. Если функции и имеют один и тот же предел при , то и функция заключенная между ними, имеет предел, равный пределу функций и .

Теорема 7. Если функция для всех достаточно больших значений x при имеет предел, то этот предел не может быть отрицательным, т.е.

7) Функция областью определения которой является множество натуральных чисел N, называется функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью.

Число b называется пределом числовой последовательности если для любого положительного сколь угодно малого числа найдется такое натуральное число N, что для всех выполняется неравенство

8) Очевидно, что элементы возрастающей или убывающей, но ограниченной последовательности, неограниченно приближаются (сходятся) к некоторым ограниченным числовым значениям b, т.е. имеют предел.

Символическая запись предела последовательности

Поскольку неравенство равносильно то геометрический смысл предела последовательности можно представить следующим образом: если последовательность имеет пределом число b, то каково бы ни было найдется такое N, что все точки, изображающие члены последовательности с номерами , попадут в полосу, ограниченную прямыми (рис. 3).

Рис.3. Геометрический смысл предела последовательности

9) Число иррациональное. Его приблизительное значение с точностью до равно 2,71828182. Предел функции . Обозначив этот же предел можно записать в виде .

Показательная функция с основанием , т.е. называется экспоненциальной, или экспонентой. Логарифмы с основанием называются натуральными логарифмами, причем вместо принято писать .

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут вместо

Достаточно знать значения только десятичных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию. Для этого используется формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию:

(1)

где

Докажем справедливость формулы (1).

Запишем основное логарифмическое тождество Возьмем от обеих его частей логарифмы по основанию z: Используя свойство логарифма степени, получаем: откуда

Из формулы (1) при z=10 и z=e получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:

(2)

10) Определение 1. Функции и называются бесконечно малыми одного порядка малости при если и .

Определение 2. Функции и , бесконечно малые при , называются эквивалентными (равносильными), если предел их отношения Тогда для значений x, близких к имеет место приближенное равенство или точность которого возрастает с приближением x к xo. Если и - эквивалентные бесконечно малые при то пишут

Пример А. Сравнить бесконечно малые функции и при

Решение:

Следовательно, указанные функции являются бесконечно малыми одного порядка малости при

Определение 3. Функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем функция при если

Пример Б. Сравнить бесконечно малые функции и при

Решение:

Следовательно функция бесконечно малая при более высокого порядка малости, чем функция .

Определение 4. Функция называется бесконечно малой более низкого порядка малости, чем функция при если

Пример В. Сравнить бесконечно малые функции и при

Решение:

Следовательно функция бесконечно малая при более низкого порядка малости, чем функция .

Определение 5. Функции и называются несравнимыми бесконечно малыми при если не существует и не равен

Пример Г. Сравнить бесконечно малые функции и при

Решение:

Так как не имеет предела при указанные функции являются несравнимыми бесконечно малыми при

2. Задание 2

1) Доказать, что функция является бесконечно малой при

Решение: Чтобы функция была бесконечно малой при необходимо выполнить условие Это возможно при всех значениях или При это условие выполняется.

2) Доказать, что функция является бесконечно большой при Решение: Чтобы функция была бесконечно большой при необходимо, чтобы выполнялось условие Это происходит при или при При это условие выполняется.

3) Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что есть предел последовательности

Решение: Число называется пределом числовой последовательности если для любого положительного сколь угодно малого числа найдется такое натуральное число N, что для всех выполняется неравенство .

Поскольку неравенство равносильно то геометрический смысл предела последовательности можно представить следующим образом: если последовательность имеет пределом число a, то каково бы ни было найдется такое N, что все точки, изображающие члены последовательности с номерами попадут в полосу, ограниченную прямыми

4) Доказать, что

В данном примере числитель и знаменатель - бесконечно большие величины, т.е. имеет место неопределенность типа Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на x. Получим: так как при каждая из дробей стремится к нулю.

Доказать, что для любого положительного сколь угодно малого числа найдется такое натуральное число N, что для всех выполняется неравенство:

 где

что и следовало доказать.

Произвести расчеты для =0,1; =0,01; =0,01:

§ Найдем x при =0,1. Тогда необходимо решить уравнение

Следовательно, для =0,1 неравенство выполняется при

§ Найдем x при =0,01. Тогда необходимо решить уравнение

Следовательно, для =0,01 неравенство выполняется при

§ Найдем x при =0,001. Тогда необходимо решить уравнение

Следовательно, для =0,001 неравенство выполняется при

5) Доказать, что функция является бесконечно малой при . Доказательство: Функция является бесконечно малой при , так как она является произведением ограниченной функции (изменяющейся от -1 до +1) на бесконечно малую (при ) функцию Такое произведение есть бесконечно малая величина. Каково бы ни было можно найти такое число N, что при всех выполняется неравенство: поскольку

6) Если и то функция имеет пределы при :

Дано: , .

Доказать, что

Доказательство:

где и - бесконечно малые при Тогда

Следовательно:

7) Если и то функция также имеет предел при причем

Дано:

Доказать, что

Доказательство:

где и - бесконечно малые при



Здесь т.к. все слагаемые есть бесконечно малые функции.

8) Если бесконечно малая функция при то - бесконечно большая функция.

Доказательство: Возьмем произвольное Покажем, что для достаточно больших x выполняется неравенство а это также означает, что - бесконечно малая функция. Так как по условию - бесконечно большая функция, то существует такое число N, при котором при . Но тогда для тех же.

9) Теорема о промежуточной функции.

Пусть даны три функции, удовлетворяющие неравенствам для достаточно больших значений x.

Если функции и имеют один и тот же предел при то и функция , заключенная между ними, имеет предел, равный пределу функций и .

Рис. 4

В качестве доказательства, приведем простую геометрическую интерпретацию условий теоремы.

10) Докажем, что при величины и равносильны между собой.

Решение:

Покажем, что при малых x имеет место приближенное равенство

При x=0 имеем:

При x=1 имеем:

При x=3 имеем:

3. Задание 3

5 Вариант

5.1.

Решение: Слагаемые образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, n-я частичная сумма которой равна Следовательно:



5.2.

Решение: Разделим числитель и знаменатель на наибольшее выражение при

5.3.

Решение: Разделим числитель и знаменатель выражения на x4.

5.4.

Решение: Разделим числитель и знаменатель выражения на x4.

5.5.

Решение: Разделим числитель и знаменатель выражения на x4.

5.6.

Решение: При подстановке в выражение x=2 имеем неопределенность Раскрываем неопределенность, разложив на множители числитель и знаменатель выражения:

5.7.

Решение: При подстановке в выражение x=1 имеем неопределенность Для раскрытия неопределенности преобразуем выражение и разделим числитель и знаменатель выражения на В результате получаем:

5.8.

Решение: При подстановке в выражение x=0 имеем неопределенность Для раскрытия неопределенности обозначим Следовательно, при

Перейдем к новой переменной:

5.9.

Решение: При подстановке в выражение имеем неопределенность Перенесем иррациональность в знаменатель, умножая и деля исходное выражение на такой множитель, чтобы получить разность квадратов, т.е. на В результате получим:

Окончательно, для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель выражения на x и тогда получим:

5.10.

Решение: Данная функция не определена в предельной точке и представляет отношение двух бесконечно малых величин (неопределенность вида ).

Подвергаем функцию преобразованию с тем, чтобы использовать первый замечательный предел:

5.11.

Решение: Данная функция не определена в предельной точке и представляет отношение двух бесконечно малых величин (неопределенность вида ). Подвергаем функцию преобразованию с тем, чтобы использовать первый замечательный предел:

5.12.

Решение: Данная функция не определена в предельной точке и представляет отношение двух бесконечно малых величин (неопределенность вида ). Подвергаем функцию преобразованию с тем, чтобы использовать первый замечательный предел:

5.13.

Решение: Данная функция не определена в предельной точке и представляет отношение двух бесконечно малых величин (неопределенность вида ). Подвергаем функцию преобразованию с тем, чтобы использовать первый замечательный предел:

5.14.

Решение: В данном случае имеет место неопределенность типа , которую можно раскрыть следующим образом. Обозначим тогда Если то и Следовательно:

5.15.

Решение: Воспользуемся замечательным пределом

5.16.

Решение: Здесь имеет место неопределенность вида Чтобы раскрыть эту неопределенность, обозначим Если то и Затем используем второй замечательный предел:

5.17.

Решение: Здесь имеет место неопределенность вида Чтобы раскрыть эту неопределенность, будем использовать замечательные пределы: и На основании первого предела выполним замену и на основании второго предела получаем:

5.18.

Решение: Здесь имеет место неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся свойствами логарифма и Кроме того, для непрерывных логарифмических функций существует правило: Итак:



5.19.

Решение: Если значит, тогда Итак:

Размещено на Allbest.ru