Класифiкацiйнi задачі в теорії модулярних зображень груп

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Київський національний університет iменi Тараса Шевченка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

«Класифiкацiйнi задачі в теорії модулярних зображень груп»

Бондаренко Вiталiй Михайлович

Київ - 2000

Вступ

Дисертаційна робота присвячена розв'язку класифiкацiйних задач теорії модулярних зображень скiнченних груп, а також класифiкацiйних задач лiнiйної алгебри, що виникають в процесі досліджень. Отримані результати застосовуються в теоріях зображень інших об'єктів (скiнченновимiрних алгебр, орієнтовних графів, частково впорядкованих множин) i для детального дослідження операторів, що діють в градуйованих векторних просторах.

Актуальність теми. Класифiкацiйнi задачі теорії зображень та лiнiйної алгебри виникають в самих різних ситуаціях. Добре вiдомi широкі застосування нормальної форми Жордана i канонічної форми Кронекера-Вейєрштрасса (для пучка матриць). Інтерес до таких задач сильно виріс в зв'язку з розвитком теорії модулярних i цілочислових зображень груп.

Добре відомо, що опис модулярних зображень групи G над полем k (тобто тоді, коли характеристика p поля k ділить порядок групи) зводиться до аналогічної задачі для її силовської p-підгрупи. Циклічна p-група (з точністю до еквiвалентностi) скiнченне число нерозкладних зображень, якi описуються тривіальним чином; довільна нециклічна p-група має вже (над полем характеристики p) нескінченне число нерозкладних зображень.

Першим прикладом класифiкацiї зображень нециклічної p-групи над полем характеристики p була отримана в 1961 р. В.А. Башевим 1 класифiкацiя зображень групи (2, 2), яка легко звелася до задачі про пучок матриць. Пiсля цього серед спецiалiстiв з теорії зображень панувала думка, що i для інших p-груп модулярнi зображення можна описати. Проте пiзнiше вияснилося, що в бiльшостi випадків це не так, бо задача про опис зображень містить в собі класичну нерозв'язану задачу лiнiйної алгебри про канонiчну форму пари операторів, що діють в скiнченновимiрному векторному просторi (пiзнiше такі задачі були названі дикими, а решта - ручними 2,3 А саме в 1963 р. С.А. Кругляк 4 довів, що дикою є задача про опис модулярних зображень групи (p, p) при (а значить i довільної скiнченної нециклічної p-групи при). В 1970 р. Ш. Бреннер 5 довела, що дикими є задачi про опис модулярних зображень груп (2, 2, 2) i (2, 4), а значить i довiльної нециклiчної 2-групи G, такої, що (- комутант групи G). I, таким чином, надiятися на класифiкацiю модулярних зображень (нециклічних) p-груп можна було тільки при p=2 i лише для груп, фактор-група по комутанту для яких ізоморфна групі (2, 2). Такі групи, як добре відомо, вичерпуються наступними трьома нескiнченними серіями 2-групп: дiедральнi групи, квазiдiедральнi групи, узагальнені групи кватернiонiв.

Наступний, пiсля В.А. Башева, результат про повну класифiкацiю модулярних зображень p-груп був отриманий бiльш нiж через 10 рокiв автором 6 i (незалежно) К. Рiнгелем 7 А саме, були описанi модулярнi зображення всіх дiедральних груп. Вказані результати є наслідком розв'язання (тими ж авторами) задачі про опис зображень вільного добутку двох циклічних груп другого порядку над полем характеристики 2, яка, в свою чергу, є наслідком розв'язання задачі про класифiкацiю (з точністю до подiбностi) пар матриць над полем довільної характеристики, рівних в квадраті нулю. При розгляді останньої задачi К. Рiнгель використав метод, запропонований I.М. Гельфандом i В.А. Пономарьовим, а автор ввів i розв'язав деякий клас матричних задач з одним спiввiдношенням.

В дисертацiйнiй роботі повністю описуються модулярнi зображення квазiдiедральних груп; звідки випливає, що групи є також ручними.

Класифiкацiйнi задачі лiнiйної алгебри широко застосовуються в теорії цілочислових зображень груп. Розв'язана А.В. Ройтером задача про опис цілочислових зображення циклічної групи 4-го порядку (перший результат для груп непростого порядку) - це по суті задача про приведення трьох матриць одночасними перетвореннями рядків i незалежними перетвореннями стовпців.

При описанні Л.О. Назаровою 10 цілочислових зображень групи (2, 2) виникає задача про приведення чотирьох матриць такими ж самими перетвореннями, яка незалежно розв'язана

М. Гельфандом та В.О. Пономарьовим. Пiзнiше A.В. Яковлев звів задачу про опис 2-адичних зображень циклічної групи 8-го порядку до деякої матричної задачi, яка виявилася ручною 13 (як вiдмiчено в останній роботі, цей факт доведено також учнем А.В. Яковлева Ассаром). П.М. Гудiвком 14 показано, що скiнченна p-група, яка має нескінченне число нерозкладних p-адичних зображень, є дикою в усiх випадках, за виключенням нециклiчної групи 4-го порядку i циклічної групи 8-го порядку (p-групи зi скiнченним числом нерозкладних зображень вичерпуються циклічними групами порядку i 15, 16.

Те ж саме можна сказати про задачі, зв'язані з описом зображень деяких класів кілець, що розглядалися в працях Ю.А. Дрозда, В.В. Кириченка, А.В. Ройтера, Х. Якобiнського та ін.

Крім окремих класифiкацiйних задач лiнiйної алгебри, при вивченні зображень різних об'єктів виникають цiлi класи (схожих одна на одну) матричних задач, які досліджуються одночасно кілець. Цей результат був використаний автором для класифiкацiї взаємно анулюючи па (вказується деякий алгоритм, який дозволяє кожну із конкретних матриць звести до нової матрицi, що належить цьому ж класу, але вже має меншу розмiрнiсть). Вказаний метод вперше застосовується в процесі дослідження модулів над дiадою двох локальних дедекiндових р матриць (див. параграф 5), яка - раніше, але більш складним методом - була отримана I.М. Гельфандом i В.А. Пономарьовим.

Суттєве узагальнення цього класу матричних задач виникає при розгляді задачі про цiлочисловi зображення циклічної групи 8-го порядку 12 i задачі, поставленої I.М Гельфандом на Мiжнародному математичному конгресі в Нiцце в зв'язку з класифiкацiєю модулiв Хариш-Чандри для групи SL(2, R)13. В останнiй роботі доведено, що введені задачі є ручними; звідси випливає, що задача I.М. Гельфанда є також ручною. В дисертацiї отримано повний розв'язок (в явному вигляді) матричних задач із вказаного класу, а також деяких їх узагальнень (які автор назвав зображеннями в'язок напiвланцюгiв). Цей результат використовується для отримання повного розв'язку задачі I.М. Гельфанда та її, введеного автором, узагальнення; при деяких обмеженнях на поле задачі подібного типу розглядалися також іншими авторами.

Подальший розв'язок класифікаційних задач лінійної алгебри зв'язаний з введенням Л.О. Назаровою i А.В. Ройтером 22, 23 зображень частково впорядкованих множин (з різними додатковими структурами)i введенням П. Габрiелем 24 зображень орієнтовних графів. Зображення таких об'єктів виникають в різних областях алгебри; цi питання висвiтленi в багатьох статтях i ряді монографій 25, 26, 27. Для всіх редуктивних груп Лi доведена принципова можливість зведення задач про класифiкацiю модулів Харiш-Чандри до зображень орієнтовних графів зі спiввiдношеннями. В ряді робіт розглядаються означення i властивості більш широких класів задач.

Основними результатами, що зв'язані з класифiкацiєю зображень частково впорядкованих (скорочено ч. в.) множин без додаткових структур, є наступнi:

a) опис ч. в. множин скiнченного типу;

б) опис точних ч. в. множин скiнченного типу i їх зображень;

в) опис ч. в. множин ручного типу;

г) опис одно параметричних ч. в. множин i їх зображень;

д) опис ч. в. множин скiнченного росту;

е) опис точних ч. в. множин скiнченного росту i їх зображень.

В дисертацiйнiй роботі описуються точнi частково впорядковані множини нескінченного росту i вивчається структура їх зображень; цей результат завершує повний опис точних ручних частково впорядкованих множин.

Зображенням орієнтовних графів присвячено дуже багато робіт. Це зв'язано, зокрема, з тим, що коли розглядати зображення графів, наклавши на них деякі спiввiдношення (що задаються орієнтовними шляхами на графі i їх лiнiйними комбiнацiями), то отриманий клас задач містить в собі по суті задачу про зображення довільної скiнченновимiрної алгебри. На сучасному етапі розвитку теорії зображень (скiнченновимiрнi) алгебри трактуються саме таким чином. Для орієнтовних графів без спiввiдношення всі класифiкацiйнi питання розв'язані як відносно графів скiнченного типу 35, 36, так i ручних графів. Вiдмiтимо, що задача I.M. Гельфанда, про яку йшла мова вище, також природним чином формулюється в термінах зображень графів.

Таким чином, при вивченні молулярних i цілочислових зображень груп, зображень асоціативних алгебр, алгебр Лi i таке iнше виникають класифiкацiйнi задачі лiнiйної алгебри (часто одна i та ж задача в різних ситуаціях), які розвиваючись, вже незалежно вiд початкових задач, знаходять нові застосування в різних областях алгебри i функціонального аналізу, особливо в теоріях зображень (класичних i не класичних) об'єктів.

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку класифiкацiйної частини теорії модулярних зображень груп, узагальненню старих i постановці нових класифiкацiйних задач, їх розв'язанню та застосуванню.

Мета i задачі дослідження. Метою дослідження є отримання критерiя ручностi довільної скiнченної групи над довільним полем i розв'язання класифiкацiйних задач теорії модулярних зображень, що виникають при цьому, шляхом зведення їх до класифiкацiйних задач лiнiйної алгебри; узагальнення задач лiнiйної алгебри, якi виникають в процесi дослiдження, i розвинення вiдповiдних методiв їх розв'язання (як тих, що належать автору, так i iнших); застосування отриманих результатiв в теорiях зображень локальних алгебр, орієнтовних графів i частково впорядкованих множин та для вивчення лiнiйних операторів, що діють в скiнченновимiрних градуйованих векторних просторах.

Наукова новизна. В дисертації автором отримані нові теоретичні результати, головними із яких є наступні:

Описано всі скiнченнi групи, задача про опис зображень яких над полем характеристики є ручною.

Отримано повну класифiкацiю модулярних зображень квазiдiедральних груп.

Для кожного натурального числа n отримано повну класифiкацiю пар матриць A, B, що задовольняють рiвностi (знайдено канонічну форму).

Отримано повну класифiкацiю нерозкладних зображень довільної в'язки напiвланцюгiв.

Отриманo в явному вигляді розв'язок відомої задачі I.М. Гельфанда та її узагальнення (над полем довільної характеристики).

Описано точні частково впорядковані множини нескінченного росту та вивчено структуру їх нерозкладних зображень.

Для лiнiйних операторів, що діють в скiнченновимiрному векторному просторi, проградуйованому за допомогою частково впорядкованої множини з iнволюцiєю S (зокрема, в фiльтрованому просторі), i довільного фіксованого мiнiмального многочлена f(t) описано випадки скiнченного та нескінченного типів, скiнченного та нескінченного росту, ручного та дикого типів.

1. Теореми, що повністю описують ручні скiнченнi групи над довільним полем характеристики

Як відомо, при довільна скiнченна p-група є дикою над полем характеристики. При ручні групи описуються наступною теоремою.

Теорема 1.1 Нециклічна скiнченна 2-група G є ручною над полем k характеристики 2 тоді i лише тоді, коли через позначається, як звичайно, комутант групи G. Ручні групи довільного порядку над полем характеристики описуються такою теоремою.

Теорема 1.2 Скiнченна група G є ручною над полем k характеристики p тоді i лише тоді, коли довільна її абелева p-підгрупа порядку більше 4 циклічна.

Вiдмiтимо, що в це твердження формально можна включити i випадок, якщо за силовську 0-пiдгрупу вважати одиничну підгрупу.

Ці два критерії є головними результатами дисертаційної роботи. З ними в тій чи iншiй мiрi зв'язані все iншi результати дисертації (з точки зору методів досліджень, які належать автору, i класифiкацiйних задач лiнiйної алгебри, які виникають в процесі досліджень).

У цьому ж роздiлi доведення сформульованих теорем зводиться до питання про ручнiсть квазiдiедральних груп над полем характеристики 2.

Опишемо схему доведення ручностi квазiдiедральних груп.

1-й крок. Оскільки групова алгебра є локальною i квазiфробенiусовою, то замість неї можна розглядати фактор-алгебру по цоколю («втративши» при цьому лише одне нерозкладне, а саме регулярне, зображення), яка ізоморфна алгебрі. Іншими словами, виникає задача про класифiкацiю пар матриць A,B (над полем характеристики 2), які задовольняють такі рiвностi: при.

2-й крок. Позначимо через наступну частково впорядковану множину з iнволюцiєю: елементами A є числа, де, з природною впорядкованiстю (при цьому для, а i єдина пара непорiвняльних елементів).

Сформульована задача про пару матриць розглядається для довільного поля i для довільного натурального числа n. Вона зводиться до задачі про блокову матрицю (з квадратними діагональними клітинами), рівну в квадраті нулю, за допомогою перетворень подiбностi спеціального вигляду: можна робити довільне елементарне перетворення одночасно з рядками всіх горизонтальних смуг, номери яких належать множині, де, але при цьому зі стовпцями дуальних вертикальних смуг (тобто смуг з тими ж номерами) треба зробити обернене перетворення;

2) якщо, де, то рядки i-ї горизонтальної смуги, помножені на елементи, можна додавати до рядків j-ї горизонтальної смуги, але при цьому кожного разу з дуальними стовпцями потрібно зробити обернене перетворення.

3-й крок. Отримана на другому кроці задача узагальнюється, а саме за A береться довільна частково впорядкована множина, кожний елемент якої непорiвняльний не більше, ніж з одним елементом, а за таку iнволюцiю, яка може діяти нетривіальним чином лише на точках, що порiвняльнi з усiма іншими точками (такі множини S називаються - напiвланцюгами). Доводиться, що ця задача є ручною.

2. Клас класифiкацiйних задач

Нагадаємо, що напiвланцюг це частково впорядкована множина X, кожний елемент якої непорiвняльний не більше, ніж одним елементом; тоді X однозначно представляється у вигляді, де кожна підмножина (яка називається компонентою напiвланцюга) складається із однієї або двох непорiвняльних між собою точок i (тобто для довільних).

В`язкою напiвланцюгiв назвемо пару, де деяка iнволюцiя на множині, така, що для довільного x із двоелементної компоненти.

Зображенням в`язки над полем k назвемо набір блокових матриць з координатами із k, такий, що горизонтальні i вертикальні смуги матриці занумеровані вiдповiдно елементами напiвланцюгiв i, i при цьому число рядків чи стовпців в смузі з номером (в залежності вiд того чи) дорівнює числу рядків чи стовпців в смузі з номером, якщо. Розмiрнiстю зображення назвемо суму числа рядків i стовпців усіх матриць. Два зображення U i V назвемо еквівалентними, якщо одне з них може бути отриманим з іншого за допомогою таких перетворень: по-перше, в смугах з номерами x i можна робити, одночасно, довiльнi елементарні перетворення (однакові, якщо обидвi смуги горизонтальнi або вертикальнi, i взаємно обернені, якщо одна із смуг горизонтальна, а інша вертикальна), i, по друге, при в (вiдповiдно в), то рядки (вiдповiдно стовпці) смуги (матриці) з номером x можна добавляти до рядкiв смуги з номером y.

В дисертацiйнiй роботі отримана повна класифiкацiя (з точністю до еквiвалентностi) нерозкладних зображень довільної в'язки напiвланцюгiв. При цьому канонiчнi зображення задаються в явній i iнварiантнiй (без ''вiдбиткiв" на вiдповiдi в тій чи iншiй мiрi методу доведення) формi. Вiдмiтимо, що в сучасних працях, при розглядi зображень різних об'єктів, ці умови виконуються далеко не завжди; це, зокрема, викликано тим, що часто на перше місце в дослідженнях різних авторів виступає не класифiкацiя зображень, а обчислення категорії зображень, що дозволяє переходити до еквівалентних категорій, i навіть якщо «нова» задача повністю розв'язується, то питання про побудову функтора iз ''нової" задачі в задачу задану не розглядається. При цьому часто природного функтора i не існує. Іншими словами, розв'язується по суті більш слабка, хоча i еквівалентна з точки зору теорії категорій, класифiкацiйна задача.

3. Повна класифiкацiя зображень локальної алгебри над довільним полем k

Як уже було сказано, звідси випливає класифiкацiя зображень квазiдiедральних груп над полем характеристики 2.

Перш ніж перейти до опису нерозкладних зображень алгебри, вкажемо їх iнварiанти.

Граф C, для ребер якого задана орiєнтацiя, позначаємо через (i вiдповiдно множина вершин i ребер графа). У нашому випадку неорiєнтовний граф C буде ланцюгом або циклом з вершинами, а деякою орiєнтацiю C. Для простоти термiнологiї вiдповiдний граф також будемо називати ланцюгом або циклом (в кожному конкретному випадку буде ясно, розглядається неорiєнтовний чи орієнтовний граф). Вершини ланцюга (вiдповiдно никла) довжини m будемо позначати символами (вершини i сусiднi); індекси для никла завжди розглядаються по модулю m.

Якщо в множині кiнцiв ланцюга виділена деяка підмножина M, то кінець, який належить M, будемо називати вiдмiченим, а пару ланцюгом з вiдмiченими кінцями (випадок не виключається).

Зіставимо ланцюгу (вiдповiдно циклу) послiдовнiсть (вiдповiдно, де, якщо, i, якщо ; будемо позначати її через (для ланцюга, що складається iз однієї точки,; для циклів із однієї точки i зі стрілками, направленими вiдповiдно за i проти годинникової стрілки, покладемо i, де i).

Ланцюги (вiдповiдно цикли) i вважаються рівними тоді i лише тоді, коли. Якщо ланцюг (вiдповiдно цикл), то через будемо позначати ланцюг (вiдповiдно цикл), де (вiдповiдно Ланцюг, який отримується із ланцюгів i ототожненням правої вершини i лівої вершини, будемо позначати через; якщо цикл, то через (p ціле число) позначається цикл, для якого.

Нехай s натуральне число i. Назвемо s-ланцюгом (вiдповiдно s-циклом) пару, де ланцюг (вiдповiдно цикл) i f функцiя, яка зiставляє кожнiй вершинi число. Трійку назвемо s-ланцюгом з вiдмiченими кінцями, якщо ланцюг з вiдмiченими кінцями i функція приймає на M нульовi значення. Якщо s-ланцюг з вiдмiченими кінцями, то дуальним до A назвемо s-ланцюг вiдмiченими кінцями, де (i-а вершина). Аналогічним чином визначається s-цикл, дуальний до s-циклу :де якщо при цьому, то s-цикл A будемо називати само дуальним. Через, де цикл iнатуральне число, будемо позначати s-цикл, де i-а вершина.

У випадку, коли s-ланцюги з вiдмiченими кінцями i (вiдповiдно вершини i), введемо новий s-ланцюг з вiдмiченими кiнцями i.

Для s-ланцюга з вiдмiченими кiнцями покладемо, де при непарному i при парному i. Назвемо s-ланцюг з вiдмiченими кiнцями складеним, якщо його можна представити у виді при, i простим в противному разi(зокрема, при s-ланцюг з вiдмiченими кiнцями A тоді лише тоді є складеним, коли i); s-цикл A назвемо простим, якщо для довільного.

Переходимо тепер безпосередньо до побудови нерозкладних зображень алгебри i формулювання класифiкацiйної теореми.

Позначимо через (вiдповiдно) множину простих допустимих s-ланцюгів з вiдмiченими кiнцями (вiдповiдно - циклiв), що задовольняють наступні умови: 1) якщо, то або, де; 2) якщо;

3) якщо, то. (Зокрема, для -циклу iз однiєю вершиною при i при).

Для - ланцюга покладемо, а для -циклу, де; таким чином, задано розбиття множини (вiдповiдно) на класи, якi попарно не перетинаються; множину цих класів будемо позначати через (вiдповiдно).

Для довiльного позначимо через множину полiномiв виду, де незвідний над полем k полiном (зi старшим коефiцiєнтом 1), вiдмiнний вiд t i t+a, i q натуральне число. Якщо цикл i в класі існує само дуальний цикл, то покладемо, де.

Простому ланцюгу з вiдмiченими кiнцями, який належить множині, заставляються такі зображення алгебри: а) при б) i при в) при.

Простому -циклу, який належить множині, зіставляються зображення, де, якщо клас не містить само дуального - циклу;, якщо клас містить в собі само дуальний цикл i число парне;, якщо клас містить в собі само дуальний цикл i число непарне.

Укажемо явний вигляд цих зображень.

Для ланцюгів з вiдмiченими кiнцями i (не обов'язково простих) будемо писати, якщо існує число (де), таке, що i при i або, або i (при цьому вважаємо). Очевидно, що це відношення є відношенням порядку.

Нехай - ланцюг з вiдмiченими кiнцями, i. Через будемо позначати - ланцюг з вiдмiченими кiнцями, де пiдланцюг, що складається із вершин i стрілок, які їх з'єднують (тобто для якого), i обмеження на. Покладемо якщо, якщо або якщо i якщо або. Вершину - ланцюга з вiдмiченими кiнцями назвемо лівою, якщо, i правою, якщо.

Аналогічним чином визначаються лiвi i правi вершини - цикла, якщо покласти i, де - ланцюг в цьому випадку визначається так же, як i для ланцюга.

Переходимо безпосередньо до побудови зображень виду i. Якщо зображення алгебри, то простір, в якому воно реалізується, будемо позначати через, а лiнiйне відображення, яке вiдповiдає елементу, через ; очевидно, що зображення однозначно визначається простором i лiнiйними відображеннями i (i, навпаки, довільна пара матриць, така, що i, задає зображення алгебри якщо покласти. Нагадаємо, що лiнiйнi відображення пишуться справа вiд елементів простору.

Для довільного цілого числа покладемо при, при i. Найменше число множини будемо позначати через.

Розглянемо спочатку випадок, коли - ланцюг з вiдмiченими кiнцями із, для якого.

Для зображення базис простору складається iз елементiв, де i (при довільному фіксованому).

Зрозуміло, що в кожному конкретному випадку ці рiвностi потрібно розглядати лише для допустимих значень.

алгебра лінійний модулярний

Висновки

Дисертаційна робота присвячена розв'язку класифiкацiйних задач теорії модулярних зображень скiнченних груп i класифiкацiйних задач лiнiйної алгебри, що виникають в процесі досліджень, а також застосуванню отриманих в цьому напрямку результатів для вивчення зображень iнших об'єктів i дослідження операторів, що діють в градуйованих векторних просторах.

Головними результатами дисертації є критерії, які повністю описують ручні скiнченнi групи над полем довільної характеристики. Доведено, що довільна скiнченна група є ручною над полем характеристики тодi i лише тоді, коли довільна її абелева - пiдгрупа порядку більше 4 циклічна. Основним при цьому є випадок, коли i є 2-групою; при виконаннi цих умов вказаний критерій еквівалентний наступному: нециклічна скiнченна 2-група є ручною над полем характеристики 2 тоді i лише тоді, коли.

В процесі доведення цих критеріїв розв'язана задача про класифiкацiю (над довільним полем) зображень алгебри для довільного натурального ; i як наслідок задача про класифiкацiю модулярних зображень квазiдiедральних (в iншiй термiнологiї напiвдiедральних) груп.

В свою чергу в процесі розв'язання цих задач повністю розв'язується широкий клас класифiкацiйних задач, названий автором зображеннями в'язок напiвланцюгiв. Цей результат суттєво використовується в подальших роздiлах дисертацiйної роботи, при розв'язанні класифiкацiйних задач, які зв'язані з зображеннями асоціативних алгебр, алгебр Лi, орієнтовних графів, частково впорядкованих множин.

В дисертації, з істотним використанням класифiкацiї в'язок напiвланцюгiв, отримано повний опис (над полем довільної характеристики) зображень симетричного графа, з множиною вершин, стрілками, де i із спiввiдношеннями, таких, що i. Ця задача містить в собі як частинний випадок відому задачу, поставлену I.М. Гельфандом на Математичному конгресі в Нiцце в зв'язку з вивченням будови модулів Харiш-Чандри для групи.

Зображення частково впорядкованих множин, яке виникли в результаті доведення другої гіпотези Брауера-Трелла, знаходять застосування в рiзних областях алгебри. Зображенням множин скiнченного типу i скiнченного росту присвячено ряд кандидатських i докторських дисертацій. Автором отримано повний опис точних частково впорядкованих множин нескінченного росту, що завершує опис усіх точних ручних частково впорядкованих множин (вiдмiтимо, що на вiдмiну вiд множин скiнченного росту, число точних множин нескінченного росту є нескінченним). А саме, в дисертації доводиться, що точну ч. в. множину нескінченного росту можна представити однозначним чином у вигляді суми (об'єднання без перетину) двох напiвланцюгiв; при цьому двоелементні компоненти утворюють відносно нового, введеного на компонентах, відношення часткового порядку ординально нерозкладну множину, а число одноелементних компонент не перевищує 2, причому кожна із них непорiвняльна (відносно введеного порядку) з деякою двоелементною компонентою. Доводиться, що цi умови є також i достатніми. Із цього результату випливає, зокрема, що для множин нескінченного росту існують нерозкладні зображення з довільним значенням форми Тiтса (для множин скiнченного росту це значення може дорівнювати 0,1 i, у виключних випадках, 2).

В заключному роздiлi дисертації розглядається узагальнення задачі, яка виникає в зв'язку з класифiкацiєю медулярних зображень квазiдiедральних груп i є природною сама по собі. А саме, детально досліджується задача про опис операторів, що діють в градуйованих за допомогою частково впорядкованих множин з iнволюцiєю (зокрема, в фільтрованих, в класичному розумiннi) просторах. З використанням результатiв попереднiх роздiлiв повністю описуються в цій ситуації випадки скiнченного i нескінченного типу, скiнченного i нескінченного росту, ручного i дикого типу (для довільної фіксованої множини i довільного фіксованого мiнiмального поліному). В усіх ручних випадках нескінченного типу (коли корені поліному належать основному полю), опис таких операторiв зводиться до опису зображень деяких, явно вказаних, в'язок напiвланцюгiв, що дає можливість користуватися класифiкацiєю зображень в'язок напiвланцюгiв (у випадках скiнченного типу опис операторів проводиться окремо).

Отже, в процесі отримання автором класифiкацiї ручних скiнченних груп над полем довільної характеристики виникають рiзнi класи класифiкацiйних задач, що відносяться до теорії зображень, в широкому розумiннi цього слова, i лiнiйної алгебри (-зображення, зображення в'язок, оператори в градуйованих просторах). В дисертації наведено повні розв'язки цих задач, які, в свою чергу, застосовуються для вирішення ряду класифiкацiйних задач i, зокрема, наступних добре відомих проблем: опису модулярних зображень квазiдiедральних груп, розв'язку в явному вигляді i над довiльним полем задачі I.М. Гельфанда (та її узагальнення), опису точних частково впорядкованих множин нескінченного росту.

При вирiшеннi перерахованих проблем автор застосовує свої нові прийоми i методи, які можуть бути корисними при дослiдженнi інших класифiкацiйних задач.

Література

1. Бондаренко В.М., Дрозд Ю.A. Представленческий тип конечных групп // Модули представления. - Записки науч. семинаров ЛОМИ. - 1977. - 71. - С. 24-41.

2. Бондаренко В.М., Завадский А.Г., Назарова Л.А. О представлениях ручных частично упорядоченных множеств // Представления и квадратичные формы. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1979. - С. 75-105 (переклад англiйською мовою: On representations of time partially ordered sets //Amer. Math. Soc. Transl. (2). - 1986. - 128. - P. 57-78).

3. Бондаренко В.М. Точные частично упорядоченные множества бесконечного роста // Линейная алгебра и теория представлений. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1983. - С. 68-85.

4. Бондаренко В.М. Связки полуцепных множеств и их представления. - К.: 1988. - 32 с. (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 88.60).

5. Бондаренко В.М. Представления обобщенной связки полуцепных множеств // Комплексный анализ, алгебра и топология. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1990. - С. 9-19.

6. Назарова Л.А., Бондаренко В.М., Ройтер А.В. Ручные частично упорядоченные множества с инволюцией // Теория Галуа, кольца, алгебраические группы и их приложения. - Труды мат. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. - 1990. - 183. - С. 149-159.

7. Bondarenko V.M., Zavadskij A.G. Posets with an equivalence relation of tame type and of finite growth // Canad. Math. Soc. Conf. Proc. - vol. 11. - 1991. - P. 67-88.

8. Бондаренко В.М. Представления связок полуцепних множеств и их приложения // Алгебра и анализ. - 1991. - 3. - вып. 5. - С. 38-61.

9. Bondarenko V.M., Zavadskij A. G. Tame posets with equivalence relation // Contem. Math. - 1992. - 131, part 2. - P. 237-251.

Размещено на Allbest.ru