Кратные интегралы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации

Институт "ИНФО"

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Кратные интегралы

1. Доказать равенство

,

если S - прямоугольник: .

Доказательство

Поскольку область интегрирования прямоугольник двойной интеграл можно записать в виде

.

Поскольку внутренний интеграл берется при , может быть вынесен из под знака внутреннего интеграла и тогда получим то что требовалось доказать, т.е. .

2. Показать, что формула интегрального исчисления

, выражающая площадь криволинейной трапеции S, ограниченной осью Х, ординатами и кривой , является следствием очевидного равенства

.

Решение

.

3. Установить, что формула

есть произвольная функция непрерывная в треугольнике, ограниченном прямыми .

Решение

На рисунке изображена область интегрирования (1, 2, 3) для случая .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из рисунка видно, что при изменении порядка интегрирования в обоих случаях у внешних интегралов области интегрирования не меняются (от до b). У внутренних интегралов: для подынтегральной функции область интегрирования от до х, а для подынтегральной функции область интегрирования от y до b, что и следовало доказать.

4. Доказать теорему о среднем для двойного интеграла

Теорема: Если функция непрерывна в замкнутой области S, то в области S существует, по крайней мере, одна точка , в которой значение функции

.

Доказательство

Если функция непрерывна в замкнутой области S, то этой области существуют величины m и M, являющиеся соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции , то есть или

.

Следовательно, существует некоторое среднее значение функции .

Отсюда следует, что среднее значение функции определится из выражения , откуда .

5. Доказать теорему о среднем для тройного интеграла

Теорема о среднем: Если функция

непрерывна в замкнутой области V, то в области V существует, по крайней мере, одна точка , в которой значение функции

.

Доказательство: Если функция непрерывна в замкнутой области S, то этой области существуют величины m и M, являющиеся соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции , то есть или .

Следовательно, существует некоторое среднее значение функции .

Отсюда следует, что среднее значение функции определится из выражения , откуда .

6. Построить область интегрирования

.

Решение

Внутренний интеграл берется в пределах от

до .

Первая кривая парабола, с вершиной в начале координат и концы параболы направлены вверх. Вторая кривая окружность радиус которой равен и центр расположен в начале координат. Границы по у определяются внешними пределами . Построим область интегрирования, при условии, что . Область интегрирования (см. рисунок) заштрихована.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

7. Вычислить

Решение .

8. Вычислить

.

Решение

Область интегрирования расположена между двух пересекающихся парабол (см. рис.). Параболы пересекаются в точках .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выберем порядок интегрирования сначала по х вдоль прямой от , затем по у от 0 до 1.

В результате получаем

интеграл область интегрирования

.

9. Перейдя к полярным координатам, вычислить .

Решение

Область интегрирования расположена между окружностью радиусом равным 1 и окружностью радиусом 3 (кольцо) за исключением части кольца, расположенной между двумя линиями находящимися в первой четверти (см. рисунок), причем .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В полярных координатах

.

Следовательно

.

10. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение

Границами фигуры являются две окружности радиусом 1 и 5 две прямые, одна их которых совпадает с осью х, а вторая проходит через начало координат под углом 60° к оси х (см. рис.).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Запишем уравнения окружностей в полярных координатах: .

Следовательно, в полярных координатах получаем: .

11. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

Решение

Границами тела являются: координатная плоскость ; цилиндрическая поверхность

,

радиусом равным 1, центр которой сдвинут по оси у на 1, а ось проходит параллельно оси z; параболоид вращения

,

вершина которого расположена на оси z (z = 4), ось совпадает с осью z, а поверхность направлена вниз.

Объем тела, на нижней границе которого , определяется по формуле .

Сверху тело ограничено параболоидом

,

а областью интегрирования является окружность

, лежащая на плоскости . Выберем порядок интегрирования сначала по х, а затем по у. Тело симметрично относительно плоскости zОу (см. рис. вид сверху). Запишем уравнение в полярных координатах: .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тогда получаем:

.

Для вычисления интегралов

,

воспользуемся табличными интегралами из «Справочника по высшей математике, М.Я. Выгодский».

.

12. Вычислить площадь поверхности цилиндра? (параболоида) , отсеченного плоскостями .

Решение

Изобразим поверхность на виде спереди, а область интегрирования на виде сверху.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Далее получаем: .

Выполним интегрирование вначале по х, а потом по у.

.

13. Вычислить

.

Решение

Границами тела является плоскость и координатные поверхности .

Объем тела, на нижней границе которого , определяется по формуле .

Сверху тело ограничено плоскостью, для которой

. Областью интегрирования S является треугольник АОВ, лежащий в плоскости (см. рисунок). Уравнение линии АВ: . Выберем порядок интегрирования вначале по у, а потом по х. В результате получаем:

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на Allbest.ru