Теорiя кривини грассманового образу пiдмноговидiв в евклiдовому i рімановому просторi

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теорiя кривини грассманового образу пiдмноговидiв в евклiдовому i рімановому просторi

Тема дисертаційної роботи відноситься до теорії грассманового образу підмноговидів у евклідовому просторі, яка інтенсивно розробляється на даний час.

Питання, що пов'язані з вивченням підмноговидів евклідового простору давно визивають інтерес у геометрів. Геометрія підмноговидів є частиною сучасної геометрії. Спочатку, геометрія пiдмноговидiв була тільки частиною ріманової геометрії, але сьогодні це є самостійний напрямок в багатовимірному узагальнені класичної теорії поверхонь. Геометрія підмноговидів вивчає нові факти, що не мають аналогів в класичній теорії поверхонь. Геометрія підмноговидів поставила та розв'язала нові цікаві проблеми разом з її спеціальними методами. Вона має також багато явних та несподіваних зв'язків з механікою та фізикою.

Поняття кривини є одним із центральних понять диференціальної геометрії. За виразом відомого французького геометра Марселя Берже кривина є "рімановий інваріант № 1''. Кривина також грає важливу роль в фізиці. Наприклад, рух тіла в гравітаційному полі, у відповідності з загальною теорією відносності Ейнштейна, визначається кривиною простору-часу.

Добре відома та роль, яку в класичній диференціальній геометрії грає гауcсове сферичне відображення поверхонь. Гауссове відображення, яке називається також грассмановим, знайшло застосування i в багатовимiрнiй диференціальній геометрії. Воно плідно застосовується як при глобальних, так і при локальних дослідженнях просторів сталої кривини. Особливо успішно гауссове відображення застосовується при вивченні двовимірних поверхонь і гiперповерхонь евклiдового простору.

Грассмановий образ пiдмноговиду в евклiдовому просторі є його важливою геометричною характеристикою. Вивчення грассманового образу i, в зв'язку з цим, дослідження геометричних властивостей многовидiв Грассмана в останній час привертає все більший інтерес.

Многовидом Грассмана () називається множина всіх m-вимірних площин, що проходять через початок координат O у евклідовому просторі . На природнім чином вводиться структура аналітичного многовиду. Його картами є множина m-вимірних площин, які проектуються без виродження на дану m-вимірну площину . Разом з многовидом Грассмана розглядається многовид Грассмана m-вимірних площин, що проходять через , враховуючи орієнтацію. Він є дволистною вкривною над . Відмітимо, що кожній m-вимірний площинi в , яка проходить через початок координат однозначно вiдповiдає ортогональна їй n-вимiрна площина, що проходить через O. Таким чином, разом з многовидом можна розглядати i многовид . Многовиди i ізометричні. Систематичне вивчення диференціальної геометрії грассманових многовидiв m-вимірних пiдпросторiв (n+m)-вимірного евклiдового та ермiтового простору започаткували в своїх роботах К.Лейхтвейсс та Ю.Вонг , де були введені локальні координати спеціального вигляду, обчислений метричний тензор, тензор кривини, секційна кривина, розглянуті геодезичні на многовидах Грассмана. З'ясовано, що метрики, якi називаються канонiчними метриками на перетворюють в простiр Ейнштейна сталої скалярної кривини в двовимiрних напрямках, i що тiльки на iснують ще інші рiмановi метрики, инварiнтнi вiдносно SO(4) i O(4); останнi не перетворюють в простiр Ейнштейна. Ю. Вонг в 2 встановив, що рiманова кривина дiйсного грассманового многовиду має точнi межі , і дав характеристику тих 2-напрямкiв s, в яких або мiнiмальна, або максимальна.

Нехай -- регулярний (класу n-вимiрний пiдмноговид в (n+m)-вимiрному евклiдовому просторi. Побудуємо в кожнiй точцi пiдмноговиду нормальний простiр та перенесемо його паралельно в точку -- початок координат. Множина одержаних m-вимiрних площин, що розглядаються як точки многовиду Грассмана , називається грассмановим образом пiдмноговиду . Вiдображення ?, що ставить у вiдповiднiсть точцi пiдмноговиду точку многовиду Грассмана , яка вiдповiдає m-вимiрній нормальній площині в точцi будемо називати грассмановим вiдображенням. Якщо в точцi пiдмноговиду грассманове відображення ? має максимальний ранг, що дорiвнює n, то грас-смановий образ буде невиродженим: вiн буде регулярним (класу n-вимiрним пiдмноговидом в . Невироджений грассмановий образ пiдмноговиду ми будемо позначати в подальшому через .

Дослiдження грассманового образу iдмноговидiв у евклiдовому просторi проводилось в працях Y.Muto , Ю.А.Амiнова ,,,, Борисенко О.А., Нiколаєвського Ю.А. , та iнших. Ними одержано ряд теорем про кривину грассманового многовиду для площадок, дотичних до грассманового образу. Результати, якi одержанi до 1989 року висвiтленi в оглядовiй статтi Борисенко О.А,Нiколаєвский Ю.А. 9. В , розглядались гауссові відображення підмноговидів у ріманових просторах сталої кривини. С.Е.Козлов запропонував конструкцію сферичних відображень у довільному рімановому просторі. Обчислено форму метрик сферичних відображень та розглянуто ряд слідств. Одержано форму метрики сферичного відображення, що, за умови сталості секційної кривини перетворюється у відому формулу Обата. На поверхні введено деяку квадратичну форму, названу формою тривимірного скрута. Ця формула має аналог для поверхні .

Улюбленим предметом для геометрів від Лагранжа до наших днів є мінімальні поверхні як звичайного тривимірного простору, так і багатовимірних просторів, в яких їх також визначають як "екстремалі" деякої певної варіаційної задачі. Автор роботи вивчає мінімальні поверхні в евклідовому просторі з колами індикатриси нормальної кривини всіх порядків, які ввів та вивчив О.Борувка в 1935 р., а потім досліджували Ю.Г.Лумісте та інші. Доводиться, що якщо метрика грассманового образу виключної мінімальної поверхні має кривину , то якщо і якщо . Для мінімальної поверхні в просторовій формі замість стоїть і замість стоїть . Доводиться, що якщо при виключна мінімальна поверхня має , то її кривина є або або ; якщо виключних мінімальних поверхонь з немає.

В роботі досліджено підмноговиди в сфері, що мають мінімальний гауссовий образ. Доведено, що для того, щоб підмноговид мав мінімальний гауссовий образ необхідно та достатньо, щоб , де слід береться відносно метрики гауссового образу, а є друга фундаментальна форма .

В іншій роботі розглядається внутрішня кривина гауссового образу мінімальної поверхні. Нехай є n-вимірна однозв'язна прос-торова форма сталої кривини . Коли , ; коли , ; коли , . Нехай є мінімальна поверх-ня в ; позначимо через гауссову кривину по відношенню до індукованої метрики . На ми можемо вибрати локальне поле ортонормальних реперів в так, що та дотичні до а нормальні до . Їх дуальні формы є . Метрика на є . У роботі розглядається гауссове відображення (в розумінні Обата) із у просторі всіх цілком геодезичних 2-вимірних підпросторі в . Ріманова метрика гауссового відображення (1.1) , яка вироджується в точках, де . Нехай є гауссова кривина у відношенні , яка є гауссовою кривиною гауссового образу поверхні . Головний результат роботи є слідуюча теорема. Нехай є мінімальна поверхня в і на . Тогда (1.2) , і рівність в (1.2) на буде виконуватись тоді і тільки тоді, коли і (1.3) , де є норма-льна скалярна кривина в.

В.О. Горькавий в статтях, займається проблемою вiдбудови пiдмноговиду евклiдового простору за його грассмановим образом. В 18 вказанi необхiднi та достатнi умови, при яких регулярний тривимiрний пiдмноговид в многовидi Грассмана є грассмановим образом регулярного тривимірного пiдмноговиду (m+3) вимiрного евклідового простору.

Основним об'єктом дисертацiйної работи є кривина самого многовиду Грассмана вздовж двовимiрних площадок, дотичних до грассманового образу (яка як вже вiдзначалось вище ).

Значне мiсце в геометричних дослiдженнях займають питання пов'язані з зовнiшньою геометрiєю пiдмноговидiв. З iншої боку, дотичнi вектори до грассманового образу пiдмноговиду в евклiдовому просторi виражаються через другу квадратичну форму . Отже, кривина дає iнформацiю про зовнiшню геометрiю пiдмноговиду . Формула, що беспосередньо виражає кривину через коефiцiєнти , наведена Ю. А. Амiновым в 4. Вiдмiтимо також, що подiбну формулу ранiше зустрiчаємо у Й.Муто 3 .

О.А. Борисенко висунув гіпотезу про те, що: 1) при в дотичному просторі до грассманового образу пiдмноговиду завжди знайдеться двовимірна площадка, вздовж якої кривина грассманового многовиду не перевищує ; 2) якщо в точцi для всіх площадок із дотичного простору до грассманового образу буде , то (в цій точці), і точкова ковимірність підмноговиду в точці (розмірність першого нормального простору) дорівнює 1. Ю.А.Ніколаєвським була доведена

Теорема (Ю.А.Ніколаєвський). Нехай є регулярний (класу ) підмноговид з невиродженним грассмановим образом, причому розмірність n та ковимірність m задовольняють одній з трьох умов:

або

за винятком випадку

;

Тоді

a) В кожній точці існує дотична площадка до грассманового образу, вздовж якої кривина многовиду Грассмана не більше 1. Якщо в якійсь точці найменше значення кривини по всім площадкам є 1, то кривина по всім площадкам дорівнює 1.

b) В останньому випадку підмноговид має точкову ковимірність 1 і, якщо це виконано у всіх точках: є гіперповерхнею.

Оскільки задача є "точковую", то в випадку ковимірності ми не одержує нічого нового у порівняні з випадком . Отже, поза розгляду залишилось лише скінченне число випадків. В той же час до припущення 2) Ю.А. Нiколаєвським був побудований контр приклад при n=4, m=3. Надалі говорячи про гiпотезу О.А.Борисенка ми будемо мати на увазі припущення пункту 1).

Таким чином ми бачимо, що в останні роки грассмановий образ вивчається у двох напрямках: 1) внутрішня геометрія грассманового образу; 2) зовнішня геометрія грассманового образу. Необхідно відмітити, що всі роботи пов'язані з першим напрямком присвячені вивченню грассманового образу цілком визначених класів підмноговидів.

Із наведеного огляду стану питання видно, що ряд невирішених питань ще потребують свого дослідження. Зокрема цiкавим є питання про кривину 2-вимірних площин дотичних до грассманового образу пiдмноговидiв, якi мають певні геометричні властивості або пiдмноговидiв, що мають певнi групи руху.

Зв'язок роботи з науковими програмами, темами. Робота вико-нувалась впродовж 1993-1999 р.р. років за плановою темою кафедри геометрії Харьківського державного університету "Грассманів образ" державний регістр № 0187004404 .

Мета роботи. Метою нашого дослідження є

1) доведення гіпотези О.А.Борисенко;

2) доведення теорем зв'язаних з кривиною грассманового образу (як внутрішньої так і зовнішньої) для часткових випадків підмноговидів просторів та .

Наукова новизна одержаних результатів полягає в систематичному застосуванні теорії кривини грассманового образу до вивчення властивостей підмноговидів в та .

Одержані слідуючі результати дисертації є новими.

1) доведена гіпотеза О.А.Борисенко для підмноговидів у яких корозмірність m не перевищує розмірність n (за винятком випадку ) ;

2) для підмноговидів з корозмірністю яка перевищує розмірність встановлена справедливість гіпотези О.А.Борисенко для випадку , де . Крім того встановлено виконання гіпотези в класі комплексно-аналітичних поверхонь.

3) вперше дана характеристика деяких спеціальних класiв пiдмноговидiв в термiнах кривини грассманового образу;

4) встановлена формула для нормальної кривини грассманового образу підмноговиду в евклідовому просторі. З'ясовано, що ця кривина може розглядатись як аналог скрута кривої.

5) знайдена формула для внутрішньої кривини грассманового образу підмноговиду з плоскою нормальною зв'язністю та встановлено, що ізопараметричний підмноговид має сталу внутрішню кривину.

Практичне та теоретичне значення одержаних результатів. Дослідження можуть бути доцільними при теоретичному розгляді геометрії підмноговидів. Матерiали роботи можуть бути також використанi для читання спецiальних курсiв студентам, якi спецiалiзуються по геометрiї.

Особистий внесок здобувача. Всi результати якi викладенi у дисертацiї, одержанi автором самостiйно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертацiї допові-дались та обговорювались на Харкiвскому мiсцевому семiнарi (керiв-ник - акад. О.В.Погорелов), на семiнарi кафедрі геометрiї ХГУ (керiвник член-кор НАН України Борисенко О.А), на семінарі "геометрія і топологія " ( керівник - проф. Ю. А. Амінов), на Міжнародній конференції по геометрії в цілому (м. Черкаси -1995 р.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 3 статті в фахових виданнях та 1 теза доповіді наукової конференції.

Структура і обсяг роботи. Дисертацiя викладена на 137 сторiнках і складається з вступу, 3 глав, висновків та списку літератури, що охоплює 59 найменувань.

Глави мають слідуючі назви:

Гл. 1. Основні формули, факти та визначення.

Гл. 2. Про грассмановий образ підмноговидів в евклідовому просторі у яких корозмірність не перевищує розмірності.

Гл. 3. Грассмановий образ підмноговидів у яких корозмірність .

В першiй главi вводяться основнi геометричнi об'єкти, що вивчаються в дисертацiйнiй роботi. В параграфi § 1.1 розглядається многовид Грасссмана, дається формула для секцiйної кривини. Ця формула записана в зручнiй для обчислень формi. Для подальшого використання, в параграфах § 1.2,1.3, наведенi деякi вiдомостi iз лiнiйної алгебри, що стосуються сингулярного розкладу довiльної матрицi, основнi рiвняння теорiї пiдмноговидiв та основнi факти, що стосуються грассманового вiдображення пiдмноговидiв в та .

В параграфi § 1.4 одержано формули для других квадратичних форм многовиду Грассмана, що розглядається як пiдмноговид в для напрямкiв, дотичних до грассманового образу пiдмноговиду. На ми можемо вибрати локальне поле ортонормальних реперiв в так, що дотичнi до а нормальнi до . Їх дуальнi формы є . Через будемо позначати коефiцiєнти другої квадратичної форми пiдмноговиду . Тодi для других квадратичних форм многовиду Грассмана, для напрямків дотичних до грассманового образу данного пiдмноговиду

Крiм того, в цьому ж параграфi формула для секцiйної кривини грассманового образу записана через кривину нормальної та дотичної зв'язностi заданного пiдмноговиду:

де -- коефiцiєнти першої квадратичної форми , а -- бiвектор площадки з базисними векторами та , дотичної до грасс-манового образу пiдмноговиду. Ця формула є iнша форма вiдповi-дньої формули iз 3 .

Друга глава присвячена вирiшенню гiпотези Борисенко О. А. для пiдмноговидiв в евклiдовому просторi у яких точкова коразмiрнiсть не перевищує розмiрнiсть самого пiдмноговиду. Доведена

Теорема 2.1.1. Нехй , (n 3) - регулярний (класу ) підмноговид з невиродженим грассмановим образом . Якщо nm, (за винятком випадку n=m=4), то в дотичному просторi до грассманового образу в довiльнiй точцi iснує двовимiрна площина, для якої кривина многовиду Грассмана не перевищує 1.

Доведення цiєї першої основної теореми дано в § 2.2 глави 2. Суттєвим моментом в доведенні теореми є використання теореми iз cтаттi . Нехай через позначається максимальна розмiрнiсть над полем дiйсних чисел пiдпростору -матриць з елементами iз , в якому всi матрицi крiм нульової невиродженi. Аналогiчна розмiрнiсть для простору симетричних -матриць позначається через. Адамсом показано, що , де -- функція Радона-Гурвiца, яка визначається слiдуючим чином. Нехай i , де -- цiлi числа, причому , тодi . В рoботi 20 показано, що .

В роботi 9 було сформульоване слiдуюче питання: чи вiрно, що в довiльному тривимiрному пiдпросторi, який є дотичним до многовиду Грассмана, є двовимiрна площадка вздовж якої секцiйна кривина не перевищує 1? Слiдуюча теорема, доведення якої наведено в параграфi 1 глави 2 дає позитивну вiдпопiдь на це запитання.

Теорема 2.1.2. В довiльному тривимiрному пiдпросторi дотичного простору до iснують площадки s з кривиною .

Класична теорема Каталана стверджує, що мiнiмальними лiнiйчатими поверхнями евклiдового простору є площина та гелiкоїд. В їх узагальнюють мiнiмальнi лiнiйчатi (n+1)-підмноговиди евклiдового простору , які називаються узагальненими гелiкоїдами i які описуються n-площиною при однопараметричнiй групi руху яка ортогонально перетинається з вiссю та центром що лежить в цiй площинi. Аналiтично довiльний мiнiмальний лiнiйчатий пiдмноговид може бути описаним радiус-вектором

де та є довiльнi дiйснi числа. В § 2.3 глави 2 дослiджуються мінімальні пiдмноговиди . Встановлена теорема 2.3.1. Мінімальний лінійчатий підмноговид має невироджений грассмановий образ і кривина вздовж грассманового образу належить промiжку

В § 2.4 глави 2 дається доведення гiпотези Борисенко О. А. для поверхонь рiвного нахилу. При цьому поверхня евклiдового простору над алгеброю подвiйних чисел називається поверхнею рiвного нахилу, якщо у всiх її точках дотична площина площина i головна n-площина iзоклiннi, тобто всi їх стацiонарнi кути рiвнi мiж собою. В п'ятому параграфi глави 2 дослiджується зв'язок грассманового образу з геометричними властивостями пiдмноговиду.

Вiдомо 9, що многовид Грассмана аналiтично вкладується в (в орiєнтовному випадку в ) за допомогою плюккерових координат m-вимiрної площини . В випадку m=2 одержуем вкладення . В параграфi § 2.6 наведено зостосування формул для другої квадратичной форми многовиду Грассмана для напрямкiв, дотичних до грассманового образу пiдмноговиду .

Теорема 2.6.1. Для того щоб пiдмноговид (n непарне) в грассмановому многовидi був грассмановим образом пiдмноговиду , необхiдно, щоб в дотичному пiдпросторi до icнував напрямок, асимптотичний для , що розглядається як пiдмноговид сфери , i секцiйна кривина вздовж довiльнiх площадок якi проходять через цей напрямок, не перевищувала 1.

Третя глава мiстить результати, що стосуються дослiдженню гра-ссманового образу пiдмноговиду в евклiдовому просторi у яких короз-мiрнiсть бiльша за розмiрнiсть заданого пiдмноговиду. Доведення гi-потези коли корозмiрнiсть бiльша розмiрностi заданого пiдмно-говида дано в 17 для випадку m>n52. Нами доведена гiпотеза Борисенко О. А. для випадку пiдмноговидiв , де n<m 2n-2. Таким чином має мiсце

Теорема 3.3.1. Нехай - регулярний (класу ) пiдмноговид в евклiдовому просторi з нeвиродженим грассмановим образом. Якщо , то в дотичному просторi до грассманового образу, в довiльнiй точцi, iснує двовимiрна площина, для якої кривина многовиду Грассмана не перевищує 1.

Доведення цiєї основної теореми дано в параграфi § 3.3. Оскiльки при доведеннi цiєй теоремы суттєво використовують геометричнi властивостi пiдмноговидiв, то в першому параграфi наведенi деякi твердження iз , що стосуються поняття спряжених напрямкiв.

В §3.2 цiєї глави наведена афiнна класифiкацiя точок пiдмноговидiв та . Iз цiєї класифiкацiї випливає, що пiдмноговид завжди має спряженi напрямки, а нi. Цей факт використовується при доведеннi основної теореми в параграфi § 3.3.

Як вже вiдзначалось, кривина многовиду Грассмана належить промiжку [0,2]. Природньо в зв'язку с цим постає питання про пiдмноговиди, грассмановий образ яких дотикається тiльки площадок, вздовж яких , або тiльки площадок, вздовж яких . Воно було розв'язане Муто та О. А. Борисенко, Ю. А. Ніколаєвським вiдповiдньо.

І нарешті в останньому параграфі § 3.10 знаходиться формула кривини метрики грассманового образу пiдмноговиду з плоскою нормальною зв'язністю. Дано застосування одержаної формули для iзопараметричних пiдмноговидiв. При цьому пiдмноговид в з плоскою нормальною зв'язністю називається iзопараметричним, якщо всi його головнi кривини паралельнi в нормальнiй зв'язноcтi. Виявляється, що внутрішня кривина грассманового образу iзопараметричного пiдмноговиду є сталою.

Висновки

евклiдовий простір грассмановий образ

1. Доведена гіпотеза О.А.Борисенко (за винятком випадку ) для підмноговидів ковимірності яка не перевищує розмірність. Цей результат є покращенням відповіднього результату Ю.А.Ніколаєвського.

2. Для підмноговидів з корозмірністю яка перевищує розмірність встановлена справедливість гіпотези О.А.Борисенко для випадку , де . Крім того встановлено виконання гіпотези в класі комплексно-аналітичних поверхонь. Цей результат є також покращенням відповідного результату Ю.А.Ніколаєвського.

3. Встановлена формула для нормальної кривини грассманового образу підмноговиду в евклідовому просторі. З'ясовано, що ця кривина може розглядатись як аналог скрута кривої.

4. Виведена формула для внутрішньої кривини грассманового образу підмноговиду з плоскою нормальною зв'язністю та встановлено, що ізопараметричний підмноговид має сталу внутрішню кривину.

Робота носить теоретичний характер. Одержані результати та розвинені в ній методи можуть бути використані при вивчені геометрії підмноговидів в евклідовому просторі в тих наукових та учбових заліках де ведеться дослідження підмноговидів в евклідових та неевклідових просторах. Матеріали, що містяться в дисертації: можуть використовуватись також при читанні спеціальних курсів з диференціальної геометрії в педінститутах та університетах.

На завершення автор щиро дякує свого наукового керівника проф. Амінова Ю.А. за постановку задач та допомогу в роботі над дисертацією.

Література

1. Савельев В.M. О грассмановом образе четырехмерного подмногообразия в //Укр. геометр. cб. - 1992. - Вып. 35- p. 125-132.

2. Савельев В.М. К теории кривизны грассманова образу подмного-образий в евклидовом пространстве //Мат. физика, анализ, геометрия. - 1994. - T.1,N3/4. - C. 520-528.

3. Савельев В.М. О грассмановом образе подмногообразий , коразмерность которых не превосходит размерности //Мат. физика, анализ, геометрия. - 1998. - T.5,N 1/2. - C. 125-133.

4. Савельев В.М. О кривизне грассманова образа //Международная конференция по геометрии в целом . Черкасы, 1995. - С. 78 -79.

1. Размещено на Allbest.ru