Стохастичні рівняння в просторах формальних рядів і формальних відображень

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 519.21

Стохастичні рівняння в просторах формальних рядів і формальних відображень

01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Спекторський Ігор Якович

Київ 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному технічному університеті України «Київський політехнічний інститут» Міністерства освіти України.

Захист відбудеться 21 червня 1999 р. об 11.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.37 при Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 252127, м.Київ - 127, проспект акад. Глушкова, 6, Київський університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий 11 травня 1999 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

стохастичний рекурентний варіація

Актуальнiсть теми. Теорія формальних степеневих рядів, тобто степеневих рядів без вимоги збiжностi - змістовний та перспективний напрямок сучасної математики. Формальнi ряди природним чином виникають при розв'язанні багатьох прикладних проблем - зокрема, при застосуваннi метода степеневих рядiв для розв'язку інтегральних та диференцiальних рiвнянь з аналiтичними коефiцiєнтами. Формальні операторні ряди як самостійний алгебраїчний об'єкт розглядались в роботах Харді, Бурбакі, а пізніше - в роботах Ю.Л. Далецького та його учнів.

Одним з найважливіших аспектів даної теорії є інтегро-диференціальні рівняння в просторах формальних степеневих рядів. Детермiнованi диференцiальнi рiвняння в просторах формальних операторних рядiв та відповідні еволюційні сімейства розглядались, зокрема, в роботах Ю.Л. Далецького та А.М. Барановича. Достатнi умови збiжностi ряда розв'язку в детермiнованому випадку, що уможливлюють застосування метода степеневих рядів до детермінованих диференціальних рівнянь з аналітичними коефіцієнтами, можна отримати за допомогою теореми Кошi-Ковалевської. Проте перенесення результатів теорії детермінованих рівнянь в просторах формальних рядів на стохастичний випадок пов'язане с певними труднощами, що обумовлені специфікою стохастичних інтегралів. Стохастичні рівняння в просторах формальних рядів та формальних відображень і є основним об'єктом дослідження даної дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Основні результати даної дисертаційної роботи були отримані в рамках досліджень по науковим держбюджетним темам, що виконувалась на кафедрі математичних методів системного аналізу Київського політехнічного інституту:

№2794 «Стохастичні диференціальні рівняння», 1994-1995 роки;

№2028 «Стохастичний аналіз та стохастичні рівняння», 1996-1997 роки.

Мета і задачі досліджень.

Отримання достатніх умов існування та єдиності для розв'язку стохастичних рівнянь в просторах формальних рядів і формальних відображень.

Розробка рекурентної процедури обчислення розв'язку рівнянь в просторах формальних рядів і формальних відображень на базі узагальнення класичної формули варіації сталої на випадок стохастичних рівнянь в гільбертовому просторі.

Отримання достатніх умов збіжності розв'язку стохастичного рівняння в просторі формальних рядів як степеневого ряду по початковій умові; отримання аналогу теореми Коші-Ковалевської для стохастичних рівнянь в гільбертовому просторі.

Методи дослiджень. У роботi використанi методи теорії стохастичного інтегрування та стохастичних рівнянь в гільбертовому просторі, а також загальні методи функціонального аналізу на гільбертових та банахових просторах.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, отримані в дисертаційній роботі, є новими.

Отримано аналог класичної формули варіації сталої для випадку лінійних стохастичних рівнянь в гільбертовому просторі;

Доведено теореми існування та єдиності розв'язку стохастичних рівнянь в просторах формальних рядів і формальних відображень та розроблен рекурентний алгоритм обчислення компонентів розв'язку.

Доведено марківську властивість розв'язку стохастичних рівнянь в просторі формальних рядів.

Доведено еволюційну властивість розв'язку стохастичного рівняння в просторі формальних відображень;

Отримано достатні умови збіжності степеневого ряду розв'язку стохастичного рівняння в просторі формальних рядів.

Доведено аналог теореми Коші-Ковалевської для стохастичних рівнянь в гільбертовому просторі у випадку лінійної дифузії і аналітичного в малому околі нуля зсуву, а також для скалярних стохастичних рівнянь з аналітичними в околі нуля дифузією та зсувом.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в дисертаційній роботі, мають теоретичне значення.

Аналог формули варіації сталої, виведений для лінійних неоднорідних стохастичних рівнянь в гільбертовому просторі, може бути використаний для дослідження та розв'язання стохастичних диференціальних рівнянь з частинними похідними, зокрема - в теорії керування, при дослідженні поведінки лінійного об'єкта в стохастичному середовищі.

Аналог теореми Коші-Ковалевської для стохастичних рівнянь може бути використаний для дослідження та розв'язання стохастичних рівнянь з неліпшіцевими коєфіцієнтами, аналітичними в довільно малому околі нуля; такі рівняння, як правило, мають лише локальний розв'язок, і запропонований метод дає змогу отримати сильний локальний розв'язок у вигляді степеневого ряду по початковій умові.

Отримані результати щодо існування, єдиності та властивостей розв'язку стохастичних рівнянь в просторах формальних рядів і формальних відображень можуть бути використані для подальшого розвитку стохастичного аналізу на формальних алгебраїчних структурах.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаціійної роботи отримані дисертантом самостійно, при постійній увазі та підтримці з боку наукового керівника.

Апробацiя роботи. Основнi результати дисертаційної роботи доповiдалися та обговорювалися на науковому семінарі кафедри теорії ймовірностей Київського університету імені Тараса Шевченка (керівник семінару - акад. М.Й. Ядренко), науковому семінарі Київського політехнічного інституту з теорії гаусівських процесів (керівник семінару - проф. В.В. Булдигін), науковому семінарі Інституту математики НАН України «Числення Маллявена та застосування» (керівник семінару - проф. А.А. Дороговцев), 5-й Міжнародній науковій конференції ім. акад. М.Кравчука (Київ, 1996), Conferenece on Stochastic Differential and Differentia Equations (Gyr, Hungaria, 1996), 7-й Кримській осiннiй школі-симпозiумі (Севастополь, 1996), Международной конференции по стохастическому и глобальному анализу (Воронеж, 1997), Мiжнароднiй конференцiї iм. М.Крейна по теорiї операторiв та її застосуванню (Одеса, 1997), 7th Vilnius Conference On Probability Theory And Mathematical Statistics (Vilnius, Lithuania, 1998).

Публiкацiї. Основнi результати опублiкованi в шести статтях [1-6] та у тезах конференцiї [7].

Структура і обсяг дисертації. Робота складається із вступу, трьох розділів, висновків і списку літератури із 51 найменувань. Загальний обсяг роботи 114 сторінок.

2. ЗМІСТ РОБОТИ

У вступi обгрунтовано вибiр теми дисертацiї на основi аналiзу стану проблеми, зазначена актуальнiсть задачi дослiдження стохастичних рівнянь в просторах формальних рядів і формальних відображень та побудови їх розв`язкiв, подана загальна характеристика новизни та теоретичної цiнностi одержаних результатiв.

У першому роздiлi розглядається лiнiйне стохастичне рiвняння



(1)

в гільбертовому просторі Y (всі гільбертові простори вважаються дійсними та сепарабельними), де:

w(t) - вінерівський простір, асоційований з гільберто-шмідтовим оснащенням H+ H0 H-;

функцiї A i B - узгодженi процеси iз значеннями в L(Y) та L(Y,L2(H0,Y)) вiдповiдно, диференцiйовнi при кожному t[0,T] по бiлому шуму та обмеженi рiвномiрно по t разом iз своєю похiдною по бiлому шуму;

f та g - узгодженi процеси iз значеннями в просторах Y i L(Y,L2(H0,Y)) вiдповiдно, всi моменти яких обмеженi рiвномiрно по t[0,T].

Тут і далі L(B1, B2) позначає простір лінійних неперервних операторів, що діють з банахова простору B1 в банахів простір B2; L2(B,Y) позначає простір гільберто-шмідтових операторів, що діють з банахова простору B в гільбертів простір Y.

Зазначимо, що при даних умовах еволюцiйний оператор S(t,s) відповідного однорідного рівняння може не мати обмеженого оберненого. Роздiл носить допомiжний характер, однак отриманi результати мають самостiйне значення.

Стохастичні рівняння типу (1) розглядались, зокрема, в роботах Ю.Л. Далецького, де були доведені теореми існування та єдиності і досліджено ряд властивостей розв'язку. В дисертаційній роботі для рівнянь типу (1) наводиться аналог відомої формули «варіації сталої».

Теорема 1.4. Розв'язок рівняння (1) дається формулою

,

де коефіцієнти c1(t) та c2(t) визначаються рівняннями:

, (2)

. (3)

Тут символом позначено операцію розширеного інтегрування, D позначає операцію диференціювання по білому шуму (стохастичного диференціювання).

Наслідок 1. У випадку детермінованої дифузії B(t) розв'язок рівняння (1) подається у вигляді:

Наслідок 2. Якщо і дифузія B(t) і зсув A(t) є невипадковими, розв'язок рівняння (1) набуває вигляду, аналогічного до відомої формули варіації сталої:

. (4)

Зауваження 1.1. У випадку, якщо стохастичні похідні DA(t) та DB(t) мають вигляд інтегральних функціоналів відносно траєкторій A та B, рівняння (2) відносно c2 є інтегральним рівнянням типу Вольтерра і має єдиний розв'язок, а c1 знаходиться із співвідношення (3) при відомому c2.

Приклад 1.1. Розглянемо стохастичне рівняння

, (5)

де: - невідомий узгоджений процес в гiльбертовому просторi Y;

z - узгоджений процес в гiльбертовому просторi Z, що задовольняє стохастичному рiвнянню

; (6)

функцiї A: Z [0,T] L(Y) та B: Z [0,T] L(Y,L2(H0,Y)) обмеженi разом з похiдною по zZ;

f та g - узгоджені процеси iз значеннями в просторах Y та L2(H0,Y) вiдповiдно, з обмеженими по t моментами будь-якого порядку;

функцiї (t) L(Z), (t) L(Z,L2(H0,Z)) обмеженi на [0,T].

Нехай U(t,r) (r t) - еволюційний оператор, що відповідає рівнянню (6). Тоді розв'язок рівняння (5) можна подати у вигляді

,

де коефіцієнти c1(t) та c2(t) визначаються рівняннями:

,

.

Далі в розділі розглядаються рівняння типу (1) з невипадковими операторами дифузіїї та зсуву, причому зсув, при додатковій вимозі дисипативності, не повинен бути обмеженим. Теореми існування та єдиності розв'язку для рівнянь цього типу доведені, зокрема, Ю.Л.Далецьким та С.В.Фоміним. В дисертаційній роботі для рівнянь даного типу доводиться аналог класичної формули варіації сталої.

Теорема 1.6. Нехай в рівнянні (1) коефіцієнти A та B є невипадковими, причому зсув A(t) є лінійним, можливо необмеженим оператором, що задовольняє вимогам:

(A(t), )Y 0 (дисипативність);

0, t[0,T]: (A(t)- idY)-1 C/(1+),

де C - константа, що не залежить від t. (Тут і далі idY позначає тотожній оператор в просторі Y.)

Тоді розв'язок рівняння (1) може бути поданий у вигляді (4).

Як приклад можливого застосування теореми 1.6, наводиться стохастичне рівняння з частинними похідними.

Приклад 1.3. Нехай Y = H0 = L2(G), де G - область в Rn. Розглянемо стохастичне рівняння з частинними похідними:

де:

A = (ajk)1 j,k n - додатньо визначена матриця;

ядро Kb: [0,T] G3 R квадратично інтегровно в [0,T] G3 по мірі Лебега;

ядро Kg: [0,T] G2 R інтегровно в [0,T] G2 по мірі Лебега в будь-якій степені.

Дане рівняння задовольняє вимогам теореми 1.6 і має єдиний розв'язок, який може бути знайдений за формулою (4).

У другому розділі розглядаються стохастичні рівняння в просторі формальних рядів.

Означення 2.1. Нехай B - банахiв простiр. Довiльну послiдовнiсть y = (yk)k 0, таку що k 1: ykB, назвемо формальним рядом в просторі B (yB). Якщо y0=0, формальний ряд y будемо називати центрованим.

Означення 2.2. Нехай Y - гільбертів, B - банахів простори. Довiльну послiдовнiсть операторів a = (ak)k 0, таку що k 1: ak - лiнiйний оператор з Yk в B, a0B, назвемо формальним вiдображенням, що дiє з Y в B. Будемо казати, що формальне вiдображення a з Y в B є неперервним, якщо k1: akL(Yk,B). Будемо казати, що формальне вiдображення a з Y в B є центрованим, якщо a0 = 0.

Простiр формальних вiдображень з Y в B позначається L(Y,B).

Надалі, якщо не вказано iнше, усі формальнi вiдображення вважаються неперервними.

Нехай Y1, Y2 - гільбертові простори, B - банахів простір. Для формальних вiдображень a?L?(Y1,Y2) та b?L?(Y2,B), b0 = 0, вводиться операцiя композицiї:

, n1.

Доводиться, що операцiя композицiї асоцiативна.

Для формального вiдображення a?L?(Y,B) і центрованого формального ряда yB вводиться формальний ряд a(y)B:

, n1.

Формальний ряд a(y) розглядається як результат дії формального відображення a на формальний ряд y. Надалі, якщо не вказано iнше, усi формальні ряди і формальні відображення вважаються неперервними та центрованими.

Далі в розділі вводяться стохастичнi рiвняння в просторi формальних рядiв. Нехай Y - гільбертів простір. Об'єктом розгляду є наступне рiвняння:

(7)

Рiвняння (7) розумiється покомпонентно, тобто (7) за визначенням еквiвалентне системi:

n1. (8)

Для рiвняння (7) доведено iснування i єдиність розв'язку, а також марківська властивiсть розв'язку як випадкового процесу в Y.

Теорема 2.5. Рівняння (7) має розв'язок, єдиний з точністю до стохастичної еквівалентності.

Теорема 2.6. Розв'язок рівняння (7) є марківським процесом в просторі Y.

Доводиться, що компоненти розв'язку системи (8) можна знаходити рекурентно, розв'язуючи на кожному кроці лінійне неоднорідне стохастичне рівняння типу (1) за допомогою формули (4)/

Для випадку "лiнiйної дифузiї" i "аналiтичного зсуву" доведена теорема про збiжнiсть розв'язку рiвняння (7). Введемо позначення:

, .

Теорема 2.7. Нехай bn0 при n2 («лiнiйнiсть дифузiї»), (ys)n=0 при n2, та для деякого r>0 («аналітичність зсуву»). Нехай, крiм того, a1(t) та b1(t) - гiльберто-шмiдтовi оператори.

Тодi iснують деякі константи r1,r2 >0 та момент зупинки , >s майже напевне, такі що при st:

.

Теорема 2.8. Нехай |b1(t)| > 0 для всіх t[0,T]. Нехай всі ak(t) та bk(t) (k1) диференційовні по t в інтервалі [0,T], та виконується умова: .

Тодi iснують деякі константи r1,r2 >0 та момент зупинки , >s майже напевне, такі що при st:

.

Твердження теорем 2.7 та 2.8 уможливлюють застосування метода степеневих рядів до розв'язку стохастичних рівнянь в гільбертовому просторі.

Розглянемо стохастичне рівняння в гільбертовому просторі:

(9)

де (t) - невідомий узгоджений процес в гільбертовому Y, A та B - вимiрнi обмеженi вiдображення з [0,T] Y в Y та в L?(H0,Y) вiдповiдно, s --- невипадкова початкова умова. Будемо вважати, що A(t,) та B(t,) - аналiтичнi функцiї по в околi нуля.

Нехай функцiям A(t,) та B(t,) вiдповiдають формальнi вiдображення a(t) L(Y), тобто:

для з радіусу аналітичності.

Означення 2.12. Нехай - момент зупинки, A(t) = A(t)(t), B(t) = B(t)(t), де (t) - характеристична функція множини {t[0,T]| t }.

Будемо казати, що (9) має розв'язок (t), що iснує до момента зупинки , якщо процес (t) є сильним розв'язком наступного стохастичного рiвняння:

.

Нехай (yn)n1 - розв'язок рівняння (7) з початковою умовою s та коєфіцієнтами a(t) та b(t), що відповідають функціям A(t,) та B(t,).

Теорема 2.9. Нехай iснують деякi константи r1,r2 > 0 i момент зупинки , >s майже напевне, такi, що при s t :

,

де .

Тоді при s||Y r2 «зупинений» процес

,

є розв'язком (9), що iснує до момента зупинки .

Приклад 2.5. Скалярне стохастичне рівняння

(10)

В силу теореми 2.8, рівняння (10) задовольняє вимогам теореми 2.9. Отже, рівняння (10) має розв'язок до деякого додатнього момента зупинки, і цей розв'язок можна шукати методом степеневих рядів.

У розділі 3 доведено існування, єдиність та еволюційна властивість розв'язку стохастичного рівняння в просторі формальних відображень. Основним об'єктом дослідження в розділі є рівняння

(11)

Рiвняння (11) розумiється покомпонентно, тобто (11) за визначенням еквiвалентне системi:



n1.

Теорема 3.1. Нехай an та bn an та bn є вимірними обмеженими відображеннями з [0,T] в L2(Yn,Y) та L2(Yn???Y) відповідно. Нехай, до того ж: S1(s,s)-idY L2(Y,Y), Sn(s,s) L2(Yn,Y) (n .2).

Тоді рівняння (11) має єдиний з точністю до стохастичної еквівалентності розв'язок S(t,s), причому: S1(t,s)-idY L2(Y,Y), Sn(t,s) L2(Yn,Y) (n .2).

Теорема 3.2. Нехай виконуються вимоги теореми 3.1 та S(s,s)=IdY, де (IdY)1= idY, (IdY)n=0 при n .2 (IdY - тотожнє формальне відображення в Y).

Тоді сім'я операторів S(t,s) (0 s t T) є еволюційною, тобто S(s,s) =IdY, S(t,r) S(r,s)= S(t,s) при s r t.

ВИСНОВКИ

Як допоміжний результат, побудован стохастичний аналог формули варіації сталої для розв'язку лінійних неоднорідних рівнянь;

доведенi теореми iснування та єдиності розв`язкiв стохастичних рівнянь в просторах формальних рядів і формальних відображень;

доведена марківська властивість розв'язку стохастичного рівняння в просторі формальних рядів;

доведена еволюційна властивість розв'язку стохастичного рівняння в просторі формальних відображень;

отримані достатні умови збіжності (протягом випадкового інтервалу часу) для ряду розв'язку стохастичного рівняння в просторі формальних рядів;

побудован аналог теореми Коші-Ковалевської для стохастичних рівнянь в гільбертовому просторі в випадку лінійної дифузії та аналітичного в околі нуля зсуву, а також для скалярних стохастичних рівнянь з аналітичними в околі нуля дифузією та зсувом;

ОСНОВНI РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦIЇ ОПУБЛIКОВАНО В РОБОТАХ

1. Спекторский И.Я. Явная формула для решения линейного неоднородного стохастического уравнения// Доповіді НАН України. - 1996. - №11. - С.45-52.

2. Spectorsky I. Stochastic Equations in Formal Mappings// Progress in Systems and Control Theory. - 1997 - Vol.23: Stochastic Differential and Difference Equations. - P. 267-272.

3. Спекторский И.Я. Обобщение формулы вариации постоянной для линейного неоднородного стохастического уравнения// Проблемы управления и информатики. - 1998. - №5. - C. 107-112.

4. Спекторский И.Я. Метод степенных рядов для стохастических уравнений с аналитическими коэффициентами// Кибернетика и системный анализ. - 1999. - №2. - C. 133-140.

5. Spectorsky I. Analog Of Feimann-Kac Formula for Multiplicative Functional in the Space of Formal Series.// Spectral and Evolutionary Problems. - Vol.8: Proceedings of the Eighth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. - P. 151-155.

6. Spectorsky I. Stochastic Equations and Evolution Families in the space of Formal Mappings// Spectral and Evolutionary Problems. - Vol.7: Proceedings of the Seventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. - P.124-127.

7. Spectorsky I. Convergence of Solution of Stochastic Equation in the Space of Formal Series// 22-nd European Meeting of Stastistisians.7-th Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. - Vilnius: TEV. - 1998.

8. Користуючись нагодою, хочу відзначити постійну увагу та підтримку з боку наукового керiвника академіка НАН України Далецького Юрія Львовича, передчасна смерть якого є тяжкою втратою для вітчизняної та світової науки.

Размещено на Allbest.ru