Основы статистики

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Содержание

1. Общие сведения о линейных системах

• 2. Понятие дифференциального уравнения
• 3. Представление непрерывных систем в виде дифференциальных уравнений
• 4. Преобразование системы дифференциальных уравнений
• 5. Основные свойства линейных дифференциальных уравнений
• 6. Решение дифференциальных уравнений первого порядка
• 7. Общее решение линейной однородной системы
• 8. Физический смысл частного и вспомогательного решений
• 9. Линейная неоднородная система. Метод вариации произвольных постоянных

10. Примеры решения задач

Список используемой литературы

1. Общие сведения о линейных системах

Классическим методом описания линейной системы считается записанная при помощи дифференциального или разностного уравнения связь между ее входом и выходом. Дифференциальное уравнение применяется для описания непрерывных систем, а уравнение в конечных разностях -- для дискретных систем.

Линейные системы - это системы дифференциальных уравнений вида:

(1)

Где коэффициенты aij и fi - некоторые функции независимой переменной x. Будем считать их непрерывными; тогда для данной системы заведомо выполняются условия теоремы о существование и единственности решения задачи Коши. Если все fi=0, то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной. Система:

(2)

Называется однородной системой, соответствующей неоднородной системе (1).

При изучении линейных систем удобно использовать матричные обозначения:



Позволяющие записать систему (1) в виде одного матричного уравнения:

(3)

Так же, как и в случае линейных уравнений, общее решение неоднородной системы представляет собой сумму частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы. В свою очередь, общее решение однородной системы имеет вид:

(4)

Где С1,…,Сn- произвольные постоянные, а:

.

Произвольные линейно независимые решения, называемые фундаментальным набором решений этой системы. Критерием линейной независимости этих решений является неравенство нулю определителя Вронского:

(5).

2. Понятие дифференциального уравнения

Уравнения, которые, кроме неизвестных функций одного или нескольких переменных, содержат также их производные, называются дифференциальными. Дифференциальные уравнения называются обыкновенными, если неизвестные функции являются функциями одного переменного, в противном случае дифференциальные уравнения называются уравнениями в частных производных.

Соотношение вида:

называется дифференциальным уравнением n-го порядка. Решением дифференциального уравнения называется функция x=x(t), определенная на некотором интервале t, которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество на всем интервале . Это уравнение можно рассматривать как функцию, определяющую неявно производную n-го порядка x(n). При определенных условиях его можно решить относительно x(n):

Пусть x=x(t) - решение данного дифференциального уравнения. Тогда x(t) является непрерывной и непрерывно дифференцируемой функцией t. На плоскости (t,x) решению x=x(t) будет соответствовать непрерывная кривая, называемая интегральной кривой.

Функция x=x(t,C) называется общим решением дифференциального уравнения, если путем соответствующего выбора постоянной можно любую интегральную кривую.

3. Представление непрерывных систем в виде дифференциальных уравнений

Непрерывную систему часто описывают дифференциальным уравнением относительно ее выхода y(t) и входа r(t). В общем виде уравнение представляется так:

(1).

Предполагая, что входной сигнал v (t) известен, правую часть уравнения можно представить как F(t), называемую часто вынуждающей функцией,

(2).

Для линейных систем аi и bi не являются функциями v или у но могут зависеть от времени t.

Для линейных систем с постоянными параметрами эти коэффициенты должны быть постоянными.

Дифференциальное уравнение системы может быть задано или должно быть найдено на основе модели системы, в последнем случае модель дает непосредственно систему дифференциальных уравнений.

Оператор р, обозначающий часто операцию дифференцирования, определяется как:

(3).

Если c1 и c2 - постоянные величины, то:

(4),

(5),

(6),

где n и m неотрицательные целые числа. Как правило, с оператором р можно оперировать как с алгебраическим числом. Существенным исключением является то, что он в общем случае некоммутативен с функциями:

p(tv)?t(pv)

p(v1v2)?v1(pv2).

При помощи оператора р уравнения (1) и (2) приводятся к виду:

(anpn + an-1pn-1 +…+ a1p + a0)y(t) = bmpm +…+ b1p + b0)v(t) = F(t) (7),

стоящие в скобках перед у и v элементы сами являются операторами.

Для стационарных систем, коэффициенты которых постоянны, последнее выражение записывается символически как:

A(p)y(t) = B(p)v(t) = F(t).

Для линейных систем с переменными параметрами, коэффициенты которых являются функциями времени, А и В - зависящие от времени операторы. Это учитывается выражением:

A(p, t)y(t) = B(p, t)v(t) = F(t).

Формальное определение операторов А и В следует из сравнения последних трех выражений.

4. Преобразование системы дифференциальных уравнений

Непрерывная модель может быть описана математически системой дифференциальных уравнений. Один класс уравнений служит главным образом для характеристики отдельных составляющих, а другой - для описания связей между этими составляющими. При математическом описании модели указанные два типа уравнений обычно сочетаются с экспериментальной проверкой. Полученная система уравнений может быть, затем сведена к одному уравнению, связывающему вход и выход системы, хотя подобное преобразование не всегда элементарно. Решение системы уравнений с постоянными коэффициентами гораздо проще, чем системы уравнений с переменными коэффициентами, а потому рассматривается в первую очередь.

Пример: Дли цепи изображенной на рисунке запишем уравнение, связывающее напряжение на выходе е2 с напряжением источника e1. Суммируя токи, выходящие соответственно из узлов 3 и 2, получим:



.

Дифференцируя второе уравнение, чтобы избавиться от интеграла, и вводя оператор р - d/dt, приводим уравнения к виду:

(p+2)e3 - (p+1)e2 = e1,

(p2+p)e3 + (2p2+2p+1)e2 = p2e1.

Предполагается, для простоты, что все сопротивления, емкости и индуктивности равны соответственно 1 ом, 1 фарада, 1 генри. Помножим каждый из членов первого уравнения на оператор р2+р, а каждый из членов второго уравнения - на р + 2 и сложим затем эти уравнения. Поскольку:

(p2+p)(p+2)e3 = (p+2)(p2+p)e3,

то выражение, содержащее е3 уничтожится. Тогда:

(p+2)(2p2+2p+1)e2 - (p2+p)(p+1)e2 = [(p2+p) + p2(p+2)]e1,

или:

(p3 + 4p2 + 4p + 2)e2=(p3 + 3p2 + p)e1,

что и является искомым результатом.

Процедура, используемая в данном примере, справедлива для любых двух дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Если L означает оператор, являющийся функцией только р, то уравнения можно символически записать как:

L11(p)y1(t) + L12(p)y2(t) = F1(t),

L21(p)y1(t) + L22(p)y2(t) = F2(t). (8)

Умножим первое уравнение на L21, а второе на L11 и вычтем одно из другого. Так как:

L21L11y1=L11L21y1,

то:

(L11 L22 - L21 L12)y2 = L21F1 + L11F2 (9).

Аналогично:

(L11 L22 - L21 L12)y1 = L22F1 + L12F2 (10).

Каждое из последних двух уравнений содержит лишь одну независимую переменную.

Изложенный материал ограничивался дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Получение дифференциального уравнения, связывающего вход и выход, для систем с переменными коэффициентами гораздо сложнее. Предположим, что система описывается уравнениями:

t(py1) + p(t2y2) = F1(t),

p(ty1) + t(py2) = F2(t).

Чтобы исключить у1, из этих уравнений, можно попытаться умножить первое из них на pt, а второе на tp и затем вычесть одно из другого. Если это выполнено, то:

pt2(py1) + pt(pt2y2) = ptF1(t),

tp(pty1) + tp(tpy2) = tpF2(t).

Однако:

pt2(py1) = (t2p2 + 2tp)y1, а tp(pty1) = t(tp2 + 2p) y1.

Следовательно, исключить у1 вычитанием нельзя.

Для систем с переменными параметрами уравнения (9) и (10) несправедливы.

5. Основные свойства линейных дифференциальных уравнений

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в форме:

(anpn + an-1pn-1 +…+ a1p + a0)y(t) = F(t). (11)

В связи с тем, что все выражения справедливы как для систем с постоянными, так и с переменными параметрами, коэффициенты аi могут быть в общем случае функциями времени t. Если правая часть последнего уравнение равна тождественно нулю, т. е.

(anpn + an-1pn-1 +…+ a1p + a0)y(t) = 0. (12)

То такое уравнение называют однородным. Уравнение (11) называют соответственно неоднородным дифференциальным уравнением.

Уравнение (12) может иметь не более, чем п линейно независимых решений, n объектов называются линейно зависимыми, если по крайней мере один из них можно выразить в виде линейной комбинации остальных. В противном случае объекты считаются независимыми. Необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений уравнения (11) состоит в отличии от нуля определителя Вронского. Если у1, у2,... уn - n решений уравнения, то определитель Вронского имеет вид:

(13).

Общее решение уравнения (11) представляется как:

yн = K1y1 + K2y2 +…+ Knyn, (14)

где Ki -- произвольные постоянные. Индекс Н указывает на то, что решение соответствует однородному уравнению.

Из последнего уравнения следует, что если известны n независимых решений, то произвольное решение этого уравнения можно представить в виде линейной комбинация n известных решений. Для систем с постоянными параметрами существует общий метод

нахождения независимых решений однородного уравнения. Для систем с переменными параметрами такого метода, к сожалению, не существует.

Общее решение неоднородного уравнения (11) имеет вид:

У=Ун+Уp(15),

где ун -- решение (14) соответствующего однородного уравнения, ур - произвольное решение (вне зависимости оттого, каким образом оно получено), удовлетворяющее уравнению (11) и обычно называемое частным решением неоднородного уравнения, ун называют вспомогательным решением. Для нахождения ур приемлем любой способ, даже «метод проб». Так как ур не содержит произвольных постоянные то в решении у, как и в ун, содержится n постоянных.

6. Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Линейной системой дифференциальных уравнений называется такая система уравнений, в которую неизвестные функции и их производные могут входить только в первой степени.

Нормальная линейная система дифференциальных уравнений имеет вид:

(16)

Введем в рассмотрение векторные функции:

и матрицу:

 (17)

Тогда систему (1) можно переписать в виде:

(18).

Теорема существования и единственности справедлива для линейной системы на любом отрезке [а1 ,b1](а, b), где (a, b) - интервал, на котором функции aik(t) и fi(t) непрерывны.

7. Общее решение линейной однородной системы

Система (16) называется однородной, если fi(t)=0 (i=1, 2, …, n). Однородная система в векторной форме запишется в виде:

(19).

Совокупность S всех решений {x(t)} образует линейное пространство размерности n, так как решения этой системы являются линейно-независимыми и образуют базис. Любой элемент этого пространства представим в виде:

(20).

причем постоянные c1, c2, …, cn определяются однозначно. Отсюда следует, что любое решение данной системы может быть представлено в виде (20). Поэтому выражение (20) называется общим решением системы (19). Любая система из n линейно-независимых решений системы (19), образующая базис пространства S, называется фундаментальной системой решений.

8. Физический смысл частного и вспомогательного решений

Решение однородного уравнения (вспомогательное решение) зависит только от свойств системы и не зависит от входного воздействия. Характеристическое уравнение зависит только от параметров системы, а корни характеристического уравнения определяют вид составляющих вспомогательного решения. В случае отсутствия внешних источников (т. е. система возбуждается запасенной в ней начальной энергией) вспомогательное решение совпадает с общим решением. Таким образом, вспомогательное решение характеризует «естественное» поведение системы при отсутствии внешних возмущений. В связи с этим вспомогательное решение называют также свободным или не вынужденными движением. Если вспомогательное решение системы неограниченно возрастает при стремлении t к бесконечности, говорят, что система неустойчивая. Так как вспомогательное решение содержит экспоненциальные члены, то система станет неустойчивой, если ее характеристическое уравнение содержит корень с положительной действительной частью. С другой стороны, корни с отрицательной действительной частью обусловливают стремление к нулю составляющих решения при стремлении t к бесконечности. При рассмотрении корней характеристического уравнения в комплексной плоскости можно сформулировать следующее утверждение. Если система устойчива, то ее корни должны лежать в левой полуплоскости, а на мнимой оси могут находиться только простые корни.

Если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, то вспомогательное решение стремится к нулю при стремлении t к бесконечности и «совпадает» с переходным процессом в системе.

Величины составляющих во вспомогательном решении, т. е. произвольные постоянные решения, зависят от двух факторов, одним из которых является входной сигнал. Другим фактором служит предыстория системы (до момента приложения входного сигнала), которая полностью определяется знанием запасенной в системе энергии к моменту приложения входного воздействия. Вид частного решения обусловливается вынуждающей функцией; его легко усмотреть из метода неопределенных коэффициентов. Время влияет на вид решения лишь в том случае, если составляющая вынужденной функции совпадает с каким-либо членом в ун. Так как в этом случае система возбуждается на одной из ее собственных частот, то подобное явление называют резонансом.

В связи с тем, что вид частного решения зависит от входного воздействия, его называют также вынужденным движением. Если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, вынужденное решение совпадает с установившимся движением. Величины вынужденных составляющих зависят как от параметров системы, так и от входного сигнала.

Обычно считают, что вынужденная составляющая решения устанавливается мгновенно при подаче входного сигнала. Свободная же составляющая, т. е. вспомогательное решение, как бы настраивает себя путем правильного определения произвольных постоянных, чтобы обеспечить надлежащий переход системы из невозбужденного состояния в состояние, подчиненное входному воздействию.

Некоторые склонны рассматривать вспомогательное решение как первоначальное сопротивление системы желаниям входа. Величины произвольных постоянных зависят от того, насколько характер входного воздействия отличается от «естественного» поведения системы.

дифференциальный линейный уравнение

9. Линейная неоднородная система. Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим линейную неоднородную систему (18):

Соответствующая ей однородная система (19):

Пусть x=(t) и (t) - два решения системы (18). Тогда разность:

(t)= (t)-(t).

Представляет собой решение однородной системы (19).

Общее решение системы (18) имеет вид:

где ci - произвольные постоянные; i(t) (i=1, 2, …, n) - фундаментальная система решений системы (19).

Частное решение системы (18) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных. Рассмотрим этот метод. Пусть 1(t), 2(t), …, n(t)-- фундаментальная система решений системы (19). Частное решение неоднородной системы (18) будем искать в виде:



полагая, что ci являются не постоянными, а некоторыми функциями t. Подставим это решение в систему (18):

Так как вектор-функции i(t) - являются решениями однородной системы (19), то:

Поэтому:

Это выражение представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно сi(t) (i=l, 2, ,..., n). Определитель этой системы уравнений есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений. Он отличен от нуля, поэтому эта система имеет единственное решение сi'(t)=Фi(t) (i=l, 2,..., n).

Интегрируем полученные равенства:

Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

Значит, общее решение неоднородной системы будет:

10. Примеры решения задач

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:

Решение:

Данное уравнение является линейным и имеет простейший вид:

.

Как решить линейное уравнение?

Существуют два способа решения. Первый способ - это так называемый метод вариации произвольной постоянной, если вас интересует именно он, пожалуйста, перейдите по ссылке. Второй способ связан с заменой переменной и подстановкой, иногда его называют методом Бернулли. В данной статье будет рассматриваться подстановки, он алгоритмически прост и понятен, и решение уравнения принимает чёткий трафаретный характер. Рекомендую начинающим.

В который раз у меня хорошая новость! Линейное дифференциальное уравнение можно решить одной-единственной заменой:

,

где и - некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от «икс».

Коль скоро проводится замена:

,

то нужно выяснить, чему равна производная. По правилу дифференцирования произведения:

Подставляем:

и:

в наше уравнение:

:

.

В чём состоит задача? Необходимо найти неизвестные функции «у» и «вэ», которые зависят от «икс». И как раз этому будут посвящены все последующие действия.

После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на этих местах:

У них нужно вынести за скобки всё, что можно вынести. В данном случае:

Теперь нужно составить систему уравнений. Система составляется стандартно:

Приравниваем к нулю то, что находится в скобках:

.

Если:

,

тогда из нашего уравнения:

получаем:



или просто

.

Уравнения записываем в систему:

.

Именно в таком порядке.

Система опять же решается стандартно.

Сначала из первого уравнения находим функцию . Это простейшее уравнение с разделяющимися переменными, поэтому его решение я приведу без комментариев.

Функция найдена. Обратите внимание, что константу на данном этапе мы не приписываем.

Далее подставляем найденную функцию во второе уравнение системы :

Из второго уравнения находим функцию .

Функция найдена. А вот здесь уже добавляем константу .

Задача решена.

Записываем общее решение:

В ответе можно раскрыть скобки, это дело вкуса:

Ответ: общее решение:

Проверка выполняется по той же технологии, которую мы рассматривали на уроке Дифференциальные уравнения первого порядка.

Берём полученный ответ

и находим производную:

.

Подставим:



и:

в исходное уравнение:

:

Получено верное равенство, таким образом, общее решение найдено правильно.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, проведем замену:

Составим и решим систему:



Из первого уравнения найдем :

.

Подставим во второе уравнение системы:

.

Таким образом:

Ответ: общее решение:

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения:

,

удовлетворяющее начальному условию:

Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, за исключением того, что в конце прибавится один небольшой пунктик. Обратите внимание, что уравнение представлено не совсем в стандартной форме. Этого в данном случае можно не делать, но я все-таки рекомендую всегда переписывать уравнения в привычном виде

:

Данное ДУ является линейным, проведем замену:

Типовой вынос за скобки:

Составим и решим систему:



Из первого уравнения найдем :

.

Подставим найденную функцию во второе уравнение системы и найдем функцию :

Здесь интеграл взят методом подведения функции под знак дифференциала.

Обе функции найдены, таким образом, общее решение:

На заключительном этапе нужно решить задачу Коши, то есть найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

.

Как находить частное решения для диффура первого порядка, мы очень подробно рассмотрели на уроке Дифференциальные уравнения первого порядка.

В данном случае:

Ответ: частное решение:

А вот проверку частного решения еще раз повторим. Сначала проверяем, действительно ли выполняется начальное условие:

,

.

Да, начальное условие выполнено.

Теперь берём полученный ответ:

и находим производную. Используем правило дифференцирования частного:

Подставим:

и:

в исходное уравнение:

Получено верное равенство, значит, задание выполнено, верно.

Список используемой литературы

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: “Высшая школа”, 1986.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М.:”Наука”, 1978.

3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике. - М.:”Финансы и статистика”, 2003.

Размещено на Allbest.ru