Размещено на http://www.allbest.ru/

9

Содержание

1. Задача линейного программирования (ЗЛП)

2. Трудности решения ЗЛП

3. Классификация задач оптимизации

1. Задача линейного программирования (ЗЛП)

Термин линейное программирование появился в Америке в середине 40-х годов (первая американская работа по частной задаче линейного программирования опубликована в 1941 г.). В Советском Союзе исследования в этой области начались ранее. В конце 30-х годов целый ряд существенных результатов по линейному программированию был установлен Л.В. Канторовичем.

Задача линейного программирования - это задача нахождения значений параметров, обеспечивающих экстремум функции при наличии ограничений на аргументы.

Задачи линейного программирования являются самыми простыми и лучше изученными задачами. Для них характерно: показатель эффективности (целевая функция) выражается линейной зависимостью; ограничения на решения - линейные равенства или неравенства.

2. Трудности решения ЗЛП

Трудности решения задач линейного программирования зависят от: вида зависимости, связывающей целевую функцию с элементами решения; размерности задачи, то есть от количества элементов решения х1, х2,…, xn; вида и количества ограничений на элементы решений.

3. Классификация задач оптимизации

Задача о рациональном питании (задача о пищевом рационе).

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Ферма производит откорм скота с коммерческой целью. Для простоты допустим, что имеется всего четыре вида продуктов: П₁, П₂, П₃, П₄; стоимость единицы каждого продукта равна соответственно С₁, С₂, С₃, С₄. Из этих продуктов требуется составить пищевой рацион, который должен содержать: белков - не менее b_i единиц; углеводов - не менее b₂ единиц; жиров - не менее b₃ единиц. Для продуктов П₁, П₂, П₃, П₄ содержание белков, углеводов и жиров (в единицах на единицу продукта) известно и задано в таблице, где a_ij (i=1,2,3,4; j=1,2,3) - какие - то определённые числа; первый индекс указывает номер продукта, второй - номер элемента (белки, углеводы, жиры).

Требуется составить такой пищевой рацион (т.е. назначить количества продуктов П₁, П₂, П₃, П₄, входящих в него), чтобы условия по белкам, углеводам и жирам были выполнены и стоимость рациона была минимальна.

МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ. Обозначим x₁, x₂, x₃, x₄ количества продуктов П₁, П₂, П₃, П₄, входящих в рацион. Показатель эффективности, который требуется минимизировать, - стоимость рациона (обозначим её L): она линейно зависит от элементов решения x₁, x₂, x₃, x₄.

Целевая функция:

Система ограничений:

a₁₁x₁+a₂₁x₂+a₃₁x₃+a₄₁x₄?b₁

a₁₂x₁+a₂₂x₂+a₃₂x₃+a₄₂x₄?b₂

a₁₃x₁+a₂₃x₂+a₃₂x₃+a₄₃x₄?b₃

Эти линейные неравенства представляют собой ограничения, накладываемые на элементы решения x₁, x₂, x₃, x₄.

Таким образом, поставленная задача сводится к следующей: найти такие неотрицательные значения переменных x₁, x₂, x₃, x₄, чтобы они удовлетворяли ограничениям - неравенствам и одновременно обращали в минимум линейную функцию этих переменных:

Задача о планировании производства.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Предприятие производит изделия трёх видов: U₁, U₂, U₃. По каждому виду изделия предприятию спущен план, по которому оно обязано выпустить не мене b₁ единиц изделия U₁, не мене b₂ единиц изделия U₂ и не мене b₃ единиц изделия U₃. План может быть перевыполнен, но в определённых границах; условия спроса ограничивают количества произведённых единиц каждого типа: не более соответственно ₁, ₂, ₃ единиц. На изготовление изделий идёт какое-то сырьё; всего имеется четыре вида сырья: s₁, s₂, s₃, s₄, причём запасы ограничены числами ₁, ₂, ₃, ₄ единиц каждого вида сырья. Теперь надо узнать какое количество сырья каждого вида идёт на изготовление каждого вида изделий. Обозначим a_ij количество единиц сырья вида s_i (I= 1, 2, 3, 4), потребное на изготовление одной единицы изделия U_j (j= 1, 2, 3). Первый индекс у числа a_ij - вид изделия, второй - вид сырья. Значения a_ij сведены в таблицу (матрицу).

При реализации одно изделие U₁ приносит предприятию прибыль c₁, U₂ - прибыль c₂, U₃ - прибыль c₃. Требуется так спланировать производство (сколько каких изделий производить), чтобы план был выполнен или перевыполнен (но при отсутствии «затоваривания»), а суммарная прибыль обращалась в максимум.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. Элементами решения будут x₁, x₂, x₃ - количества единиц изделий U₁, U₂, U₃, которые мы произведём. Обязательность выполнения планового задания запишется в виде трёх ограничений - неравенств: x₁b₁, x₂b₂, x₃b₃.

Отсутствие изделий продукции (затоваривания) даёт нам ещё три ограничения - неравенства: x₁₁, x₂₂, x₃₃.

Целевая функция:

L=c₁x₁+c₂x₂+c₃x₃> max.

Система ограничений:

a₁₁x₁+a₂₁x₂+a₃₁x₃₁.

a₁₂x₁+a₂₂x₂+a₃₂x₃₂.

a₁₃x₁+a₂₃x₂+a₃₃x₃₃.

a₁₄x₁+a₂₄x₂+a₃₄x₃₄.

оптимизация линейный планирование программирование

Задача о загрузки оборудования.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Ткацкая фабрика располагает двумя видами станков, из них N1 станков типа 1 и N2 станков типа 2.

Станки могут производить три вида тканей: T1, T2, T3, но с разной производительностью.

Данные a_ij производительности станков в таблице (первый индекс - тип станка, второй - вид ткани).

Каждый метр ткани вида T1 приносит фабрике доход c₁, вида Т2 - доход с₂, Т3 - доход с₃.

Фабрике предписан план согласно которому она должна производить в месяц не менее b₁ метров ткани Т1, b₂ метров ткани Т2, b₃ метров ткани Т3; количество метров каждого вида ткани не должно превышать соответственно ₁, ₂, ₃ метров. Кроме того, все без исключения станки должны быть загружены. Требуется так распределить загрузку станков производством тканей Т1, Т2, Т3, чтобы суммарный месячный доход был максимален.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. Введём букву x с двумя индексами (первый - тип станка, второй - вид ткани). Всего будет шесть элементов решения: x₁₁ x₁₂ x₁₃ x₂₁ x₂₂ x₂₃ .

Здесь x₁₁ - количество станков типа 1, занятых изготовлением ткани Т1, x₁₂ - количество станков типа 1, занятых изготовлением ткани Т2 и т.д.

Запишем суммарный доход от производства всех видов тканей. Суммарное количество метров ткани Т1, произведённое всеми станками, будет равно a₁₁x₁₁+a₂₁x₂₁ и принесёт доход c₁(a₁₁x₁₁+a₂₁x₂₁).

Целевая функция:

L=c₁ (a₁₁x₁₁+a₂₁x₂₁)+c₂ (a₁₂x₁₂+a₂₂x₂₂)+c₃ (a₁₃x₁₃+a₂₃x₂₃) >max

Система ограничений:

Обеспечим выполнения плана ограничениями по минимальным параметрам:

a₁₁x₁₁+a₂₁x₂₁b₁,

a₁₂x₁₂+a₂₂x₂₂b₂,

a₁₃x₁₃+a₂₃x₂₃b₃,

Ограничим выполнение плана по максимальным параметрам:

a₁₁x₁₁+a₂₁x₂₁₁,

a₁₂x₁₂+a₂₂x₂₂₂,

a₁₃x₁₃+a₂₃x₂₃₃,

Теперь запишем ограничения, связанные с наличием оборудования и его полной загрузкой. Суммарное количество станков типа 1, занятых изготовлением всех тканей, должно быть равно N1; типа 2 - N2.

x₁₁+x₁₂+x₁₃=N1,

x₂₁+x₂₂+x₂₃=N2,

линейный планирование программирование

Задача о снабжении сырьём.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Имеется три промышленных предприятия: П₁, П₂, П₃, требующих снабжения определённым видом сырья. Потребности в сырье каждого предприятия равны соответственно a₁, a₂, a₃ единиц. Имеются пять сырьевых баз, расположенных от предприятий на каких - то расстояниях и связанных с ними путями сообщения с разными тарифами. Единица сырья, получаемая предприятием П_i c базы Б_{j ,} обходится предприятию в с_ij рублей (1 индекс - номер предприятия, 2 - номер базы).

Возможности снабжения сырьём с каждой базы ограничены её производственной мощностью: базы Б₁, Б₂, Б₃, Б₄, Б₅ могут дать не более b₁, b₂, b₃, b₄, b₅ единиц сырья. Требуется составить такой план снабжения предприятий сырьём (с какой базы, куда и какое количество сырья везти), чтобы потребности предприятий были обеспечены при минимальных расходах на сырьё.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. Обозначим x_ij количества сырья с j - ой базы. Всего план будет состоять из 15 элементов решения: x₁₁ x₁₂ x₁₃ x₁₄ x₁₅ x₂₁ x₂₂ x₂₃ x₂₄ x₂₅ x₃₁ x₃₂ x₃₃ x₃₄ x_35.

Целевая функция:

Система ограничений:

x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄+x₁₅=a₁,

x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄+x₂₅=a₂,

x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄+x₃₅=a₃,

x₁₁+x₂₁+x₃₁b₁,

x₁₂+x₂₂+x₃₂b₂,

x₁₃+x₂₃+x₃₃b₃, (4.3.)

x₁₄+x₂₄+x₃₄b₄,

x₁₅+x₂₅+x₃₅b₅,

Размещено на Allbest.ru