Теория вероятностей и математическая статистика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

вероятность статистический численный интервал

Электрическая цепь составлена из блоков по данной схеме:

Найти вероятность разрыва цепи, если вероятность выхода из строя каждого блока p=0,3.

Решение:

Для решения этой задачи применяем теорему умножения вероятностей.

Обозначим:

Событие А - один из 1, 2 или 3 блока выйдет из строя;

Событие В - 4ый блок выйдет из строя;

Событие С - разрыв цепи.

Вероятности этих событий:

Р(А)= 1-Р=1-0,73=0,657

Р(В)= 0,7;

Тогда вероятность разрыва цепи:

Р(С)= Р(А).Р(В)=0,657. 0,7=0,4599

Ответ: вероятность разрыва цепи равна 45,99%.

Задание 2

Дискретная случайная величина задана законом распределения.

Построить многоугольник распределения и найти математическое ожидание, дисперсию и СКО случайной величины.

Решение:

По условию задачи:

Заметим, что=0,10+0,35+0,05+0,10+0,40=1

Найдём:

а) Математическое ожидание:

б) дисперсию:

Тогда,

в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х:

Ответ: а) Математическое ожидание:;

б) дисперсия:;

в) СКО:.

Задание 3

Известны математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал:

а = 8, =1, =4; =9

Решение:

Вероятность того, что случайная величина попадёт в заданный интервал:

-

=Ф(1)-Ф(-4) =Ф(1)+Ф(4)

=0,3413+0,5=0,8413 или 84,13%

Значения Ф (Х) нашли по таблице.

Ответ: Вероятность того, что случайная величина попадёт в заданный интервал: =0, 8413 или 84,13%;

Задание 4

Дана выборка, представленная статистическим рядом. Построить гистограмму и полигон относительных частот, найти выборочные математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

Построим полигон относительных частот

Определяем объем выборки n:

n = 8+10+60+12+5+3+2 = 100;

Определяем относительные частоты ni/n. Для удобства составим таблицу:

Составим график относительных частот согласно полученным данным:

Построим гистограмму относительных частот.

Гистограмма относительных частот -- это фигура, состоящая из m прямоугольников, опирающихся на интервалы группировки. Площадь i-гo прямоугольника полагают равной ni/n, т.е. относительной частоте данного интервала.

m = 7 - число интервалов группировки

Находим длину интервала группировки по формуле:

h = (xmax - xmin) / m;

(10,6+15,6)/2=2,5;

xmax=40,6+2,5=43,1;

xmin=10,6-2,5=8,1;

h=(43,1-8,1)/7=35/7=5.

Для построения гистограммы заполним таблицу. Для ее заполнения воспользуемся уже известными значениями границ интервалов и относительных частот представленных в предыдущих двух таблицах, а значения для нового столбца Hi (высота i-го прямоугольника) рассчитаем по формуле:

Hi = (ni/n)/h

Убеждаемся, что сумма всех высот Hi , умноженная на h, равна единице.

0,016+0,02+0,12+0,024+0,01+0,006+0,004=0,2;

0,2*5=1.

Строим гистограмму согласно таблице.

Найти выборочное математическое ожидание М.

М=.

Оценка математического ожидания выборки составляет: 25,6

Вычислим оценку дисперсии выборки.

D = (x1- M) 2 + (x2- M) 2 + ... + (xi- M) 2= 116,667

Оценка дисперсии выборки составляет: D=116,667

Список используемой литературы

1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Юнити, 2001.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностен и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1998.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1997.

4. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский Б.В. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1997.

Размещено на Allbest.ru