Обработка равноточных и неравноточных измерений одной величины

Тема: «Обработка равноточных и неравноточных измерений одной величины»

Автор: студент гр. ГГ-09 ____________________ /Костюкова И.С./

Руководитель проекта: Доцент _______________ /Зверевич В.В./

Санкт-Петербург,

2013

Аннотация

Данная курсовая работа направлена на выполнение обработки равноточных и неравноточных измерений одной величины. Работа состоит из двух частей. Первая часть посвящена обработке равноточных измерений и анализу полученного ряда измеренных значений на нормальность распределения ошибок измерений; вторая часть - обработке ряда неравноточных измерений. В обеих частях курсовой работы построены доверительные интервалы для наиболее вероятных значений измеренных величин и для их средних квадратических ошибок. Все исходные данные заданы преподавателем.

The summary

The given course work is directed on performance of processing равноточных and неравноточных measurements of one size. Work consists of two parts. The first part is devoted to processing равноточных measurements and to the analysis received of some the measured values on нормальность distributions of mistakes of measurements; the second part - processing of some неравноточных measurements. In both parts of course work confidential intervals for the most probable values of the measured sizes and for their average quadratic mistakes are constructed. All initial data are set by the teacher.

Содержание

равноточный измерение доверительный интервал

Введение

1. Обработка ряда равноточных измерений одной величины

2. Исследование ряда равноточно измеренных величин на нормальность распределения ошибок

3. Построение доверительных интервалов для интервальной оценки истинного значения

4. Обработка ряда неравноточных измерений одной и той же величины

5. Построение доверительного интервала в случае разноточных измерений

Библиографический список

Введение

При обработке равноточных и неравноточных измерений определяют наиболее вероятные оценки искомых величин. С помощью этих данных строят доверительный интервал, который при каждом измерении имеет свое определенное значение. Доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью накрывает истинное значение измеренной величины.

1. Обработка ряда равноточных измерений одной величины

Наиболее вероятным значением Xист равноточных измерений будет значение вычисленное по формуле:

, (1)

где X0 - некоторое произвольно выбранное значение.

Отклонение результатов измерений от выбранного X0, находят по формуле:

, (2)

Уклонение результатов измерений от арифметической середины:

, (3)

Таблица 1. Обработка равноточных измерений

Находим отклонение дi по формуле (2) на примере первого измерения:

Вычисление Xист по формуле (1):

Находим отклонение Vi по формуле (3) так же на примере первого измерения:

Контроль:

В процессе решения необходимо соблюсти два контроля:

Как видно из таблицы, оба условия выполняются.

Вычисляем среднюю квадратическую погрешность m по отдельного измерения по формуле Бесселя по формуле:

(4)

Величина средней квадратической ошибки наиболее вероятного значения Xист находится по формуле:

 (5)

Точечная оценка обрабатываемого ряда:

Уточнение величины m по формуле:

(6)

2. Исследование ряда равноточно измеренных величин на нормальность распределения ошибок

Проверку распределения эмпирических данных на нормальность при малых объемах измерений одной величины целесообразно осуществлять по критерию Дейвида. При это вычисляется коэффициент:

, (7)

где Xmax - максимальное значение измеренной величины,

Xmin - минимальное измеренное значение.

Найденное значение D сравнивается с табличными Dmin и Dmax при заданной доверительной вероятности p0 или риске r0. Причем:

(8)

Если найденная величина D заключена в промежутке Dmin и Dmax, то результаты измерений и их ошибки распределены по нормальному закону.

Доверительная вероятность для оценки качества построения интервала:

p0=95,4%.

Находим коэффициент D по формуле (7):

При данной доверительной вероятности и данном количестве измерений величины:

Dmin=3,18

Dmax=4,49

Как видно, неравенство выполняется, что говорит о том, что результаты измерений и их ошибки распределены по нормальному закону.

3. Построение доверительных интервалов для интервальной оценки истинного значения

В математической статистике часто встречается оценка измеренной величины с помощью интервала I, который с заданной доверительной вероятностью p0 накрывает истинное значение измеренной величины. Такой интервал I называется доверительным интервалом, а доверительная вероятность p0 - надежностью.

В курсовой работе рекомендуется построить доверительный интервал для истинного значения равноточно измеренной величины, пользуясь распределением Стьюдента, и для его средней квадратической погрешности, пользуясь распределением ч2.

Построим доверительный интервал для истинного значения: при числе избыточных измерений , найдем t=2,09 - некоторый коэффициент, определяемый по доверительной вероятности. Доверительный интервал для истинного значения измеренного угла находим по формуле:

 (9)

Доверительный интервал для средней квадратической ошибки среднего арифметического значения найдем по формуле:

, (10)

где q1 и q2 - коэффициенты, находимые в таблицах ч2-распределения по заданной доверительной вероятности p и числу степеней свободы (количеству избыточных измерений).

q1=0,760, q2=1,460

4. Обработка ряда неравноточных измерений одной и той же величины

Наиболее вероятное значение измеренной величины из ряда многократных неравноточных ее измерений вычисляется по формуле:

, (11)

где p - вес измерения (задается преподавателем),

l - отклонение измеренной величины.

Отклонение измеренной величины Xi от выбранной X0:

(12)

Уклонение каждого измерения от среднего взвешенного находят по формуле:

(13)

Таблица 2. Обработка неравноточных измерений

 м

Находим отклонение li по формуле (12):

мм

Xист вычисляем по формуле (11):

м

Уклонение каждого измерения от среднего взвешенного находим по формуле (13):

мм

Контроль:

Контроль вычислений Xист и Vi осуществляется путем вычисления равенств:

Оба условия выполняются.

Средняя квадратическая погрешность единицы веса м рассматриваемого ряда определяется по формуле:

(14)

мм

Среднюю квадратическую ошибку М наиболее вероятного значения вычисляем по формуле:

(15)

мм

Результат обработки ряда неравноточных величин:

мм

5. Построение доверительного интервала в случае разноточных измерений

Доверительный интервал в данном случае строится для истинного значения измеренной величины Xист и для средней квадратической погрешности М этого значения по выбранной доверительной вероятности p0=0,95 и по выбранному виду распределения погрешности измерений.

В работе принимаем, что ошибки в ряде разноточных измерений распределены по закону ч2. Тогда доверительный интервал для нашего случая имеет вид, аналогичный формуле (10).

Доверительный интервал для средней квадратической погрешности:

Доверительный интервал для измеренной длины:

Библиографический список

1. Зверевич В.В. Теория погрешностей и способ наименьших квадратов: Методические указания к выполнению курсовой работы/ СПГГИ, 1999. 18с.

2. А.В. Хлебников «Основы теории погрешностей маркшейдерских измерений». Л, 1979.

Размещено на Allbest.ru