Уравнение синус-Гордона

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ошибка! Закладка не определена.

Российская Федерация

Федеральное агентство по образованию и науке

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Тамбовский государственный университет имени Г.Р.Державина

Институт математики, физики и информатики

Кафедра алгебры и геометрии

Контрольная работа

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ СИНУС-ГОРДОНА

Исполнитель: Юрицын А.А.

студент 5 курса (54 группы)

дневного отделения

Научный руководитель: Фомичева Ю.Г.

к. ф.-м. н., доцент

Тамбов- 2006

СОДЕРЖАНИЕ

1. Доказательство существования регулярного решения уравнения синус-Гордона на всей плоскости

2. Аналитическое решение уравнения синус-Гордона и сетевой угол чебышевской сети на псевдосфере

3. Геометрическая интерпретация произвольных решений уравнения

синус-Гордона

Литература

1. Доказательство существования регулярного решения уравнения синус-Гордона на всей плоскости

уравнение синус гордон

Рассмотрим следующую задачу: на плоскости переменных (x,y) найти функцию z(x,y), удовлетворяющую уравнению синус-Гордона

zxy = sin z (1)

с начальными условиями

z(x,0)=ц(x)Ск , (кN,к?2)

z(0,y)=ш(y)Ск (2)

ц(0)=ш(0)

Докажем существование решения задачи (1)-(2). Для этого нужно построить решение интегрального уравнения

, (3) где x>0, y>0.

Для других значений x и y рассуждения проводятся аналогично.

Рассмотрим итерационную последовательность:

, (4) где z0(x,y)?0,

z1(x,y)=ц(x)+ш(y)-ц(0)

При n?1 имеем

 (5)

где x>0, y>0.

Т. к. z0=0, |sin z1|?1, получаем

(6)

Проведем далее рассуждения по индукции.

При n=1 для разности zn+1-zn справедлива оценка (6)

Пусть для некоторого n>1 выполняется неравенство

(7)

Покажем, что для разности zn+1-zn имеет место аналогичная оценка.

Заменим в правой части (5) |zn -zn-1| на , получим, что

(8)

Отсюда: оценка (7) справедлива для любого n>1.

Из неравенства (7) вытекает равномерная сходимость последовательности zn(x,y) на всей плоскости.

Функция z(x,y) = lim zn(x,y) является решением интегрального n>? уравнения (3). Эта функция имеет k непрерывных производных на всей плоскости. Из (2) следует, что ц(x),ш(y)Ск, т.е.эти функции имеют k непрерывных производных; - периодическая функция класса С?. Поэтому из равенства (3) следует, что функция z(x,y) является решением задачи (1)-(2).

Задача (1)-(2) имеет единственное решение, т.к. задача (1)-(2) - это задача Коши, а решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным условиям (2), существует и притом единственное.

2. Аналитическое решение уравнения синус-Гордона и сетевой угол чебышевской сети на псевдосфере

Для выяснения геометрических свойств решений уравнения синус-Гордона на всей плоскости рассмотрим конкретный пример - псевдосферу. Псевдосфера является одной из простейших поверхностей отрицательной гауссовой кривизны К=const<0. Она получается при вращении трактрисы

,

u(0,р), (9) лежащей в плоскости xOz, вокруг оси Oz.

Параметрические уравнения псевдосферы имеют следующий вид:

, u(0,р), vR (10)

Т.е. ее векторное уравнение принимает вид

(11)

Рис.1 Псевдосфера

Поскольку v - угол поворота плоскости xOy, в которой лежит трактриса, и при вращении этой плоскости вокруг оси Oz этот угол изменяется от -? до +?, то плоскость xOz совершает бесконечно много оборотов и, значит, параметрические уравнения (10) представляют собой параметрические уравнения бесконечной обмотки псевдосферы - ее универсальной накрывающей.

Функции, входящие в параметрические уравнения (10), в области задания параметров u и v представляют собой аналитические функции. Однако псевдосфера не является регулярной поверхностью. Она имеет особенность - ребро возврата, отвечающее значению . Действительно, из формул (10) найдем частные производные функций x, y, z:

 (12)

При и любом v получаем, что

xu=0, yu=0, zu=0,

т.е. . Тем самым u Ч v =0 в точках линии , т.е. эта линия состоит из особых точек поверхности.

Первая и вторая квадратичные формы псевдосферы имеют вид

I=ctg2 u du2+sin2 u dv2 (13)

II= ctg u du2 - sin u cos u dv2 (14)

Гауссова кривизна псевдосферы равна :

K= - 1

Асимптотические линии определяются уравнением

, (15)

Отсюда легко получаем

, (16)

Интегрируя эти дифференциальные уравнения, получаем уравнения двух семейств асимптотических линий псевдосферы:

1-е семейство: -v = c1 , (17)

2-е семейство: +v = c1,

где с1 и с2 - произвольные константы.

При из соотношений (17) имеем v=c1, v=c2 , т.е. v может принимать любые значения. Это означает, что точки одновременно принадлежат асимптотическим линиям первого и второго семейств.

Обозначим через б угол между асимптотическими линиями разных семейств и найдем его:

(18)

Отсюда

б = 2u. (19)

При из этой формулы вытекает, что б = р. Значит, в точках ребра возврата псевдосферы асимптотические линии разных семейств касаются друг друга и ребра возврата.

Итак, мы получили следующий результат: псевдосфера - поверхность с особенностью (ребро возврата). Она покрыта двумя семействами асимптотических линий. Так как псевдосфера не является в целом регулярной поверхностью, то эти асимптотические мы будем называть обобщенными.

Т.к. гауссова кривизна псевдосферы К= - 1<0, то все точки этой поверхности гиперболические. Следовательно через каждую точку псевдосферы проходит ровно 2 асимптотические линии ( по одной из каждого семейства).

Примем асимптотические линии (17) за новую координатную сеть псевдосферы , введя новые переменные

(20)

Угол между координатными линиями и (сетевой угол) равен б(,)= б

Из (20) имеем

Тогда первая квадратичная форма псевдосферы примет вид:

где б(,) - сетевой угол.

Как известно из курса дифференциальной геометрии [4] координатные линии псевдосферы образуют чебышевскую сеть.

Докажем, что сетевой угол б(,) удовлетворяет уравнению синус-Гордона бxy = sin б(,).

Вычислим гауссову кривизну К псевдосферы по формуле Гаусса :

(21)

,,,

. Отсюда

Но K= - 1 , поэтому , т.е. сетевой угол б удовлетворяет уравнению синус-Гордона.

Выражая u через и при помощи формул (20), получаем, что

б = 2u = 4arctg (22)

Дифференцируя равенство (22), находим, что . Следовательно б = б(,) = 4arctg - решение уравнения синус-Гордона.

Покажем, что оно задано на всей плоскости.

Т.к. по условию u(0,р), vR, , то отсюда видим, что R R, т.е. (,)R2. Это означает, что решение уравнения синус-Гордона задано на всей плоскости. Итак, построенное на всей плоскости решение уравнения синус-Гордона является сетевым углом сети асимптотических линий псевдосферы.

3. Геометрическая интерпретация произвольных решений уравнения синус-Гордона

Сначала сформулируем известные из дифференциальной геометрии определения и утверждения, которые будут использоваться в дальнейшем.

Введем понятие асимптотической полосы.

Пусть в евклидовом пространстве Е3 кривая г задана уравнением =(s), где s - естественный параметр. Вдоль кривой г задается вектор-функция =(s), где (s) - единичный вектор, ортогональный касательному вектору = в соответствующих точках кривой. В этом случае говорят, что вдоль кривой г задана поверхностная полоса M={г, }. Если в каждой точке кривой г вектор коллинеарен бинормали кривой, то нормальная кривизна kn=0 и в этом случае полоса называется асимптотической.

Кривая г называется базовой кривой асимптотической полосы M={г, }.

Площадка полосы - плоскость, перпендикулярная вектору бинормали базовой кривой г.

Л е м м а 1. Пусть k1(s) и k2(s) - кривизна и кручение асимптотической полосы M; , , - векторы касательной, нормали и бинормали базовой кривой г этой полосы и s - длина дуги линии г. Тогда

, , (23)

Л е м м а 2. Пусть заданы функции k1(s) и k2(s) класса Сn , n?1. Тогда существует единственная с точностью до движения асимптотическая полоса M с базовой кривой г, длина дуги которой равнa s, векторы , , линии г удовлетворяют уравнениям (23), а k1(s) и k2(s) являются при этом кривизной и кручением полосы M. Векторные функции (s), (s), (s) принадлежат классу регулярности Сn.

Замечание. Если в пространстве задан начальный репер Френе , , , то существует лишь одна полоса, удовлетворяющая условию леммы 2, для которой векторы , , , отвечающие значению s=s0, совпадают с репером , , .

Л е м м а 3. Если поверхность Ф, заданная уравнением =(x,y), имеет первую квадратичную форму вида:

I=ds2= dx2+2 cos z dx dy +dy2,

то асимптотические линии на поверхности Ф образуют чебышевскую сеть, сетевой угол z(x,y) которой удовлетворяет уравнению (1) и условию z(x,y) ? mр, mZ.

В дальнейшем с асимптотическими линиями поверхности будем связывать асимптотические полосы, площадки которых совпадают с касательными плоскостями к поверхности Ф в точках рассматриваемой асимптотической линии.

Возникает вопрос: Можно ли найти в пространстве Е3 такую поверхность постоянной отрицательной кривизны К= -1, у которой сетевой угол z(x,y) сети асимптотических линий совпадает с регулярным решением уравнения (1), заданным на всей плоскости? Если это так, то найденную поверхность вместе с сетью асимптотических линий и сетевым углом можно рассматривать как одну из возможных геометрических интерпретаций решений уравнения синус-Гордона.

Ответ на данный вопрос дает теорема 1.

Теорема 1. Пусть функция z=z(x,y)С4,где x,yR, является решении ем уравнения (1). Тогда существует такая векторная функция =(x,y) С3, где x,yR, что график этой функции в области, где z? mр, mZ, представляет собой поверхность постоянной отрицательной кривизны К=-1. Координатные линии на указанной поверхности образуют асимптотическую сеть с сетевым углом z(x,y).

Доказательство:

Пусть z(x,y)С4, где x,yR, - решение уравнения (1). Рассмотрим на оси Оy функции k*1(y)=zy(0,y) и k*2(y)= -1, соответственно. Согласно лемме 2, существует асимптотическая полоса А c базовой кривой л1, кривизна и кручение которой равны k*1(y) и k*2(y). Эту полосу зафиксируем в пространстве. Обозначим через Т=((у), (у), (у)) основной репер Френе полосы А. В каждой точке базовой кривой л1 полосы А построим следующим образом начальный репер Френе Т0=((y), (y), (y)): вектор (y) располагается в площадке полосы А и составляет с вектором (у) угол, равный z(0,y) (отсчет углов производится от вектора (у) по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора (y)); вектор(y)= (у); вектор (y) определяется так, чтобы ортонормированная тройка , , была правой.

Рассмотрим теперь следующие функции :

k1(x,y)=-zx(x,y), k2(x,y)=1.

Согласно лемме 2 и замечанию, при любом фиксированном y однозначно определена асимптотическая полоса В, k1(x,y) и k2(x,y) будут соответственно кривизной и кручением базовой кривой л2, длина дуги которой равна x. Основной репер Френе полосы В при x=0 и заданном y совпадает с начальным репером Френе Т0=((y), (y), (y)).

Обозначим через =(x,у), =(x,у), =(x,у) реперы Френе полос A, B с базовыми кривыми л1, л2.

Совокупность базовых кривых л1, л2 построенных полос А и В при специально введенной параметризации образует поверхность Ф, заданную векторной функцией =(x,y). При этом параметризация строится следующим образом: базовые линии л1, л2 являются координатными линиями.

Осталось доказать, что найденная поверхность Ф представляет собой поверхность постоянной отрицательной кривизны К= -1. Для этого найдем первую квадратичную форму поверхности Ф .

Так как базовая кривая л2 является координатной линией поверхности Ф, заданной векторной функцией =(x,y) и x - длина дуги кривой л2, то согласно первой формуле Френе:

= (24)

Найдем выражение для y. Существование y следует из представления и возможности дифференцирования интеграла по параметру под знаком интеграла. Согласно лемме 1, для рассматриваемых асимптотических полос и базовой кривой л2, длина дуги которой равна x, формулы (23) примут вид

, , . (25)

Дифференцируя эти соотношения по y, учитывая при этом, что z(x,y) - решение уравнения (1), т.е. получаем

(26)

Система (26) может рассматриваться как система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций , , .

Функции

, , (27)

образуют решение системы (26).

Так как , то из формул (24) и (27) следует, что при фиксированном у функция y удовлетворяет следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:

.

Этому уравнению удовлетворяет функция

(28)

Из (24) и (28) следует, что для построенной векторной функции =(x,y) справедливы соотношения

(29)

Тогда первая квадратичная форма поверхности Ф, заданная векторной функцией =(x,y), примет вид:

I= (30)

Из формул (29) вытекает, что гауссова кривизна поверхности Ф равна -1.

Согласно лемме 3, базовые кривые л1, л2 асимптотических полос А и В на поверхности Ф образуют чебышевскую сеть, сетевой угол z(x,y) которой удовлетворяет уравнению (1) и условию z(x,y) ? mр, mZ.

Теорема доказана.

Данная теорема показывает, что

Литература

1.Ефимов Н.В. Высшая геометрия/Н.В. Ефимов. - М.: Наука,1971.- с.576

2.Курант Р. Методы математической физики/Р.Курант, Д.Гильберт. -

М.: Наука, 1951. - с.620

3.Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия/А.В.Погорелов. -

М.: Наука,1974. - с.176

4.Позняк Э.Г. Дифференциальная геометрия: первое знакомство/

Э.Г. Позняк, Е.В. Шикин - М.: Едитотриал УРСС, 2003. - с.408

5.Позняк Э.Г. Уравнение синус-Гордона: геометрия и физика/

Э.Г.Позняк, А.Г.Попов. - М.: Знание, 1991. - с.48

6.Позняк Э.Г. Геометрическая интерпретация регулярных решений

уравнения zxy = sin z// Дифференциальные уравнения. Т.15. - 1979.

- № 7. - с.1332-1336.

Размещено на Allbest.ru