Понятие матриц

Размещено на http://www.allbest.ru/

Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Робототехнические системы»

Курсовая работа

по дисциплине «Математическое обеспечение промышленных роботов»

Тема: Матрица

Исполнитель: Жос О.А.

студент 5 курса группы 107117

Руководитель: Околов А.Р.

Минск 2011

Содержание

1. Элементы матриц

2. Сложение умножение матриц, свойства произведения матриц

3. Единичная матрица, транспортированная матрица, симметричная матрица, невырожденная матрица

1. Элементы теории матриц

Матрицей размером mЧn называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером mЧn записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами aij: первый указывает номер строки, а второй - номер столбца. Например, a23 - элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица - её порядок равен 3, и четвёртая матрица - её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей - строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей - столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид

матрица сложение умножение

2. Сложение, умножение матриц, свойства произведения матриц

Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.

Прежде всего договоримся считать матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают. Перейдем к определению основных операций над матрицами.

Сложение матриц: Суммой двух матриц, например: A и B, имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков m и n называется матрица С = ( Сij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n ) тех же порядков m и n, элементы Cij которой равны.

Cij = Aij + Bij ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ) ( 1.2 )

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция составления суммы матриц называется их сложением

Итак по определению имеем :

+ =

=

Из определения суммы матриц, а точнее из формулы ( 1.2 ) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

переместительным свойством: A + B = B + A

сочетательным свойством: (A + B) + C = A + (B + C)

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число:

Произведением матрицы A = (Aij) ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ) на вещественное число называется матрица C = (Cij) ( i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n ), элементы которой равны

Cij =Aij ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ). (1.3)

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = A или C = A. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами :

распределительным свойством относительно суммы матриц:

(A + B) =A +B

сочетательным свойством относительно числового множителя:

() A =( A)

распределительным свойством относительно суммы чисел :

( +) A = A + A.

Замечание : Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу C тех же порядков, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись : C = A - B.

Перемножение матриц :

Произведением матрицы A = (Aij) ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ), имеющей порядки соответственно равные m и n, на матрицу B = (Bij) ( i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p ), имеющую порядки соответственно равные n и p, называется матрица C = (Сij) ( i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p ), имеющая порядки, соответственно равные m и p, и элементы Cij, определяемые формулой

Cij = ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p ) (1.4)

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись

C = AB. Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B : необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B. Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы C, являющейся произведением матрицы A на матрицу B. Это правило можно сформулировать и словесно : Элемент Cij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы C = AB, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

=

Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B :

сочетательное свойство : (AB) C = A (BC);

распределительное относительно суммы матриц свойство :

(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Элементарные примеры показывают, что произведений двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если положить

A = , B = , то AB = , а BA =

Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство, принято называть коммутирующими.

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Среди всех диагональных матриц с совпадающими элементами на главной диагонали особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается, когда все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей n-ого порядка и обозначается символом E . Вторая матрица получается при всех элементах равных нулю и называется нулевой матрицей n-ого порядка и обозначается символом O. Допустим, что существует произвольная матрица A, тогда

AE = EA = A, AO = OA = O.

Первая из формул характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную то роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул, но и элементарно проверяемое равенство : A + O = O + A = A. Понятие нулевой матрицы можно вводить и не для квадратных матриц.

3. Единичная матрица, транспортированная матрица, симметричная матрица, невырожденная матрица

Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице (), называется единичной матрицей и обозначается символом E.

Элементы единичной матрицы могут быть представлены с помощью дельта-символа Кронекера:

. (1)

В матричной алгебре матрица E играет ту же роль, что число единица в системе вещественных чисел, а именно - при умножении на единичную матрицу (справа или слева) исходная матрица не изменяется:

. (2)

Действительно, пусть - произвольная матрица размера mЧn. Рассмотрим i,j-ый элемент матричного произведения AE, где E - единичная матрица n-го порядка.

Согласно определению матричного произведения и с учетом свойств дельта-символа,

(3)

для любых допустимых значений индексов i,j и, следовательно, AE = A.

Рассмотрим теперь i,j-ый элемент матричного произведения EA, где E - единичная матрица m-го порядка:

(4)

Попарное равенство матричных элементов для всех i,j влечет за собой равенство соответствующих матриц: EA = A.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов.

Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если

, то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование - это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде

.

Свойства транспонированных матриц.

1). Если E-единичная матрица, то E=ET.

2). Двукратное транспонирование не изменяет матрицу (AT)T=A.

3). Транспонирование суммы матриц равносильно сложению транспонированных матриц:

(A+B)T=AT+BT

4).Транспонирование произведения матриц равносильно умножению транспонированных матриц:

.

5). Транспонирование обратной матрицы равносильно вычислению обратной к транспонированной матрице:

(A-1)T=(AT)-1 .

6). Если транспонированная матрица AT совпадает с данной матрицей A, то матрица A называется симметрической.

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу A, что .

Это означает, что она равна её транспонированной матрице:

A = AT

Невырожденная матрица Ї квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.

Для квадратной матрицы M над полем невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

M обратима, то есть существует обратная матрица;

строки (столбцы) матрицы M линейно независимы;

элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицу M можно привести к единичной матрице;

ранг матрицы равен её размерности.

Размещено на Allbest.ru