Методы решения линейных и квадратных уравнений
Нахождение корней линейных и квадратных уравнений методом последовательных приближений с использованием Microsoft Excel. Решение трансцендентного уравнения с двумя верными десятичными знаками методом проб; комбинированный метод хорд и касательных.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.11.2013 |
| Размер файла | 167,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Нахождение корней уравнения f(x)=0
Методы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще древним грекам. Решение уравнений третьей и четвертой степеней были получены усилиями итальянских математиков Ш. Ферро, Н. Тартальи, Дж. Картано, Л. Феррари в эпоху Возрождения. Затем наступила пора поиска формул для нахождения корней уравнений пятой и более высоких степеней. Настойчивые, но безрезультатные попытки продолжались около 300 лет и завершились в 20-х годах ХХ1Х века благодаря работам норвежского математика Н. Абеля. Он доказал, что общее уравне6ие пятой и более высоких степеней неразрешимы в радикалах. Решение общего уравнения n-ой степени
a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0, a00(1)
при n5 нельзя выразить через коэффициенты с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.
Для неалгебраических уравнений типа х-cos(x)=0(2) задача еще более усложняется. В этом случае найти для корней явные выражения, за редким случаем не удается.
В условиях, когда формулы «не работают», когда рассчитывать на них можно только в самых простейших случаях, особое значение приобретают универсальные вычислительные алгоритмы. Известен целый ряд алгоритмов, позволяющих решить рассматриваемую задачу.
Если записать уравнение в виде f(x) =0(3), то для применения этих алгоритмов нет необходимости накладывать какие-либо ограничения на функцию f(x), а предполагается только что она обладает некоторыми свойствами типа непрерывности, дифференцируемости и т.д.
Эти свойства, накладываемые на функцию f(x) обусловлены теоремами о существовании корня непрерывной функции.
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует, по крайней мере, один корень уравнения (3).
Утверждение этой теоремы легко проиллюстрировать графически, так как корень уравнения (3) - это точка пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс. Если же есть промежуток, на концах которого f(x) принимает значения разных знаков и функция непрерывна на этом промежутке, то, очевидно, существует, по крайней мере, одна точка, в которой график функции пересекает ось абсцисс.
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], принимает на его концах значения разных знаков и производная функции f(x) сохраняет знак, то на этом отрезке существует корень уравнения (3), причем единственный.
В качестве примера приложения этих теорем рассмотрим решение уравнения (2). Приведем его к виду (3):
х-cos(x) = 0, где f(x) = x - cos(x)
Процесс нахождения приближённых значений корней уравнения разбивается на 2 этапа:
Отделение корней.
Уточнение корней до заданной степени точности.
1. Отделение корней. Будем считать, что корень уравнения отделен на отрезке [a, b], если установлено, что он принадлежит этому отрезку, и других корней там нет.
Для решения данной задачи можно использовать программу Microsoft Excel. Вначале определим, на каком отрезке лежит искомый корень. Для этого:
Включите компьютер;
после того, как на экране монитора появится рабочий стол операционной системы Windows, откройте окно Microsoft Excel;
сделаем первую строку - строкой заголовка, т.е. занесём в ячейки A1, В1, С1 таблицы элементы х и cos(x) и F(x) соответственно;
активизируйте ячейку А2 и занесите в неё число -1, после чего нажмите на клавишу Enter;
в ячейке А3 запишите формулу: =А2+0,1, после чего автозаполнением заполните ячейки А4А22;
активизируйте ячейку В2 и запишите в неё формулу: =COS(A2), после чего нажмите на клавишу Enter;
автозаполнением заполните ячейки В3В22;
активизируйте ячейку С2 и запишите в неё формулу: =А2-COS(A2), после чего нажмите на клавишу Enter;
автозаполнением заполните ячейки С3С22.
В результате мы получаем таблицу значений функции. Выберем промежуток, на котором функция меняет знак. Из рисунка 1 видно, что это отрезок [0,1].
Рис. 1
Функция f(x)=xcos(x) непрерывна на этом отрезке, при этом f(0)=-1, f(1) = 0,4597, ее производная равна на всей области определения, следовательно, функция имеет единственный корень, который принадлежит отрезку [0, 1].
2. Уточнение корня до заданной точности. Рассмотрим различные алгоритмы уточнения корня.
Метод последовательных приближений
Предположим. Что уравнение (3) можно записать в виде: x = (x) (4)
Возьмем произвольное значение х0 из области определения функции (x) и будем строить последовательность чисел {xn}, определенных с помощью рекуррентной формулы xn+1=(xn), n=0,1,2,…(5).
Последовательность {xn}, называется итерационной последовательностью. При ее изучении возникают два вопроса:
Можно ли процесс вычисления чисел xn продолжать неограниченно, то есть, будут ли числа xn принадлежать области определения функции (х)?
Если итерационный процесс бесконечен, то как ведут себя числа xn, при n ?
Исследование этих вопросов показывают, что при определенных ограничениях на функцию (х) итерационная последовательность является бесконечной и сходится к корню уравнения (4):
, C = (C)
В качестве примера, иллюстрирующего данный метод, рассмотрим уравнение (2), в котором роль функции (х) играет cos(x). Теперь, в соответствии с рекуррентной формулой (5) уравнение (2) перепишем следующим образом
хn+1 = cos(xn)(6).
Корень этого уравнения будем искать на отрезке [0, 1], а в качестве нулевого приближения выбираем середину отрезка х0=0,5.
В программе Excel расчет по (6) произведем для n=19.
В этой таблице процесс вычислений остановлен на 19-ой итерации и можно написать для корня с двойное неравенство:
0,738912449332103с0,739201444135799,
где х18 = 0,738912449332103,
х19 = 0,739201444135799.
Члены итерационной последовательности х18 и х19 определяют с как с недостатком, так и с избытком, с погрешностью, которая не превышает разности х19х18:
19=х19х180,0003
Для иллюстрации зависимости поведения {xn} от n, построим график функции xn = xn(n) (см. рис. 2).
Рис. 2
Эта функция колеблется вокруг среднего значения с=, которое можно принять за корень с точностью указанной погрешности.
Уточнение корня методом проб
Пусть корень уравнения (3) отделен на отрезке [a, b], функция f(x) непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков. Для уточнения корня будем уменьшать промежуток таким образом: сначала выберем две соседние целочисленные точки, удовлетворяющие названным условиям, затем разобьем отрезок на 10 равных частей и вычислим значение функции f(x) в точках деления. Если значение функции в одной из точек окажется равным 0, то это значение и есть корень уравнения, иначе выбираем две соседние точки, в которых функция имеет значения разных знаков a1 и b1, очевидно . Числа a1 и b1 можно считать приближенными значениями корня с точностью до 0,1. Среднее арифметическое чисел a1 и b1 есть приближенное значение корня с погрешностью, не превышающей 0,05. Аналогично делим отрезок [a1, b1] на 10 равных частей и так далее. Процесс продолжаем до тех пор пока не получим значение корня с заданной точностью.
Рассмотрим применение этого метода в нашем примере. Корень уравнения xcosx=0 будем искать на отрезке [0, 1].
Откройте Лист 2 в программе Microsoft Excel и в ячейку А2 запишите 0;
активизируйте ячейку А3 и запишите в неё формулу: =А2+1/10;
автозаполнением заполните ячейки А4А12;
активизируйте ячейку В2 и запишите в неё формулу: =А2COS(А2);
автозаполнением заполните ячейки В3В12.
Получим таблицу (рис. 3)
Рис. 3
Рис. 4
Легко видеть, что при х = 0,7 функция отрицательна, а при х=0,8 - положительна.
Повторим действия 6-10, заменяя в ячейке А2 число 0 на число 0,7, а в ячейке А3 изменив в формуле 1/10 на 1/100. Легко видеть, что при х=0,73 функция отрицательна, а при х=0,74 - положительна.
Еще раз повторим действия 6-10, заменяя в ячейке А2 число 0,7 на число 0,73, а в ячейке А3 изменив в формуле 1/100 на 1/1000. Получим таблицу значений (см. рис. 4).
Значение можно считать корнем уравнения с точностью до 0,0005.
корень уравнение приближение проба хорда
Уточнение корня методом половинного деления
Одним из вариантов метода проб является метод половинного деления. Он отличается тем, что на каждом следующем шаге отрезок делится не на 10 частей, а на две. При этом получается последовательность отрезков [a0,b0]; [a1,b1];…;[an,bn], удовлетворяющих условиям:
f(ak)f(bk)<0 (k=0,1,2,3,…)
bk-ak=(k=0,1,2,3,…)
ak<x*<bk(k=0,1,2,3,…)
Процесс половинного деления прекращается в двух случаях:
когда середина одного из полученных отрезков окажется корнем уравнения;
когда получим отрезок, длина которого не превосходит заданной точности вычисления. Тогда за приближенное значение корня принимается число x*= с погрешностью, не превышающей .
Метод половинного деления не удобен для вычисления корня “безмашинным” способом, так как требуется выполнение большого объема вычислительной работы, но алгоритм решения этим методом очень прост и легко реализуется с помощью компьютера.
Рассмотрим решение этим методом уравнения xcos(x)=0
Корень уравнения xcos(x)=0 будем искать на отрезке [0, 1]
в ячейку А2 занесите число «0», а в ячейку А4 - 1;
активизируйте ячейку D3 и занесите в неё формулу: =(А4-А2)/2, после чего нажмите на клавишу Enter;
активизируйте ячейку А3 и вставьте в неё формулу: =А2+А3, после чего нажмите на клавишу Enter;
активизируйте ячейку В2 и запишите формулу: =А2-cos(А2), нажмите на клавишу Enter;
автозаполнением заполните ячейки А3А4.
Таким способом будем продолжать процесс половинного деления, пока в ячейке В39 мы не обнаружим, что число бесконечно мало, т.е. равно нулю 9 см. рис. 5.
Уточнение корня методом касательных (метод Ньютона)
Метод касательных, связанный с именем И. Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Предположим, что функция f(x), имеющая корень на отрезке [a; b], дифференцируема на этом отрезке и ее производная f(x) не обращается на нем в нуль. Возьмем произвольную точку х0 проведем касательную к графику функции f(x) в этой точке и запишем уравнение касательной:
y=f(x0)+f(x0)(x-x0)(7)
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 6 Построение последовательности {xn} по методу касательных
Найдем точку У пересечения касательной с осью абсцисс - х1. Для определения координаты этой точки можем использовать уравнение
f(x0)+f(x0)(x-x0)=0
Таким образом,
x1=x0(8)
Повторим проделанную процедуру: напишем уравнение касательной к графику функции в точке х1 и найдем точку пересечения этой касательной с осью Ох (см. рис. 1):
х2=x1
Продолжая этот процесс, получим последовательность хn, определенную с помощью рекуррентной формулы:
xn+1=xn, n=0,1,2,…(9).
При исследовании этой последовательности снова возникают два вопроса:
Можно ли процесс вычисления чисел xn продолжать неограниченно, иными словами, будут ли получившиеся значения принадлежать отрезку [a;b]?
Если процесс бесконечен, то как ведет себя последовательность хn при n?
Оказывается, что если значение х близко к искомому корню, то справедлива теорема о сходимости последовательности (9).
Применим данный метод для решения уравнения (2).
Итак, f(x)=x-cosx, рекуррентная формула имеет вид:
xn+1=xn, n=0,1,2,…(10).
Рис. 7
Выберем, как и ранее в качестве нулевого приближения х0=0,5 и вычислим несколько следующих приближений по формуле (10) с помощью программы Excel.
Активизруйте ячейку В14 и занесите в неё число 0,5;
в ячейке D14 запишите формулу: =В14-((B14-COS(B14))/(1+SIN(B14))), после чего нажмите на клавишу Enter;
в ячейку В15 занесите: =D14, и нажмите на Enter;
автозаполнением заполните ячейки B16D24.
Результаты вычислений представлены на рис. 15.7
Из рисунка видно, что, начиная с номера n=1, последовательность хn убывает и приближается к корню х=с сверху. После четвертого шага процесс останавливается. Остановка связана с тем, что расчеты ведутся с 12 знаками, и после достижения погрешности, не превышающей 10-12, становится невозможно уловить разницу между xn+1 и xn, лежащую за пределами ошибки округления.
Уточнение корня методом хорд
Пусть корень уравнения (3) отделен на отрезке [a, b], функция f(x) - непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков. График функции y=f(x) проходит через точки A(a, f(a)) и B(b, f(b)). Запишем уравнение хорды АВ:
Если у=0, то х=с1 - абсцисса точки пересечения хорды с осью Ох, может быть найдена по формуле:
c1=a-(11).
Теперь возьмем на данной кривой точку А1(c1,f(c1))
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 8
Найдем абсциссу с2 точки пересечения хорды А1В с осью Ох
с2=с1(12)
cn+1=cn
При возрастании числа n значение cn приближается к истинному значению корня. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получим приближенного значения корня с заданной точностью.
Мы рассмотрели случай, когда «перемещается» левая граница отрезка [a, b]. Возможен и другой вариант, в этом случае формулы (11-12) имеют вид:
Возможны следующие четыре типа расположения дуги кривой АВ:
Функция убывает, график - вогнутая кривая
Размещено на http://www.allbest.ru/
f(x)<0, f(x)>0
2. Функция убывает, график - выпуклая кривая
f(x)<0, f(x)0
Размещено на http://www.allbest.ru/
3. Функция возрастает, график - вогнутая кривая
f(x)0, f(x)>0
4. Функция возрастает, график - выпуклая кривая
Размещено на http://www.allbest.ru/
f(x)0, f(x)0
Из рисунков видно, что формулы (11-12) применяются в случаях (2) и (3), то есть тогда, когда f(x)f(x)0, а формулы (13) применяются в случаях (1) и (4), то есть тогда, когда f(x)f(x)0.
Методами математического анализа доказывается, что если f(x) и f(x) сохраняют знак на отрезке [a, b], то последовательность с1,с2,…cn,… сходится и ее предел равен истинному значению корня.
Рассмотрим решение эти методом уравнения xcosx=0. Корень уравнения xcosx=0 будем искать на отрезке [0, 1]
f(x)=1+sin(x))0, f(x)=cos(x))0 на отрезке [0, 1], то есть имеет место (3) случай, поэтому применяем формулы (11-12), получаем:
|
С1 |
0,685073 |
|
|
С2 |
0,736299 |
|
|
С3 |
0,738945 |
|
|
С4 |
0,739078 |
|
|
С5 |
0,739085 |
|
|
С6 |
0,739085 |
Из таблицы видно, что, начиная с номера n=1, последовательность сn возрастает и приближается к корню х=с снизу. После пятого шага процесс останавливается. Остановка обусловлена теми же причинами, что и в предыдущем методе.
Уточнение корня комбинированным методом хорд и касательных
Рассмотренные методы решения уравнений удобнее применять в сочетании друг с другом. Например, хороший результат дает комбинация методов хорд и касательных. При этом в случаях (1) и (4) метод хорд дает приближенное значение корня с избытком, а метод касательных - с недостатком, а в случаях (2) и (3) наоборот.
Рассмотрим решение этим методом уравнения xcos(x)=0. Корень уравнения xcos(x)=0 будем искать на отрезке [0, 1]. Как сказано ранее, имеет место 3 случай, поэтому применяем формулы (11-12) и формулы (9). Получим
|
a |
b |
|
|
0,685073 |
0,750364 |
|
|
0,738948 |
0,739113 |
|
|
0,739085 |
0,739085 |
Из таблицы видно, что результат достигается уже на третьем шаге.
Задания для самостоятельной работы
1) Применяя метод проб, найдите корень уравнения с точностью до 0,1:
х4 - 0,5х - 1=0.
Ответ:-0,9; 1,2.
2) Применяя метод проб, найдите корень трансцендентного уравнения с двумя верными десятичными знаками:
3) Найдите корень уравнения комбинированным методом хорд и касательных с точностью до трёх десятичных знаков:
x6+2x - 1=0 (положительный корень)ответ: 0,492
х2+lgx=5;ответ: 2,160
x+arctg x=10; ответ: 8,546
3x+sin x=7. ответ: 2,035
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Исследование метода квадратных корней для симметричной матрицы как одного из методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ различных параметров матрицы и их влияния на точность решения: мерность, обусловленность и разряженность.
курсовая работа [59,8 K], добавлен 27.03.2011Система линейных алгебраических уравнений. Основные формулы Крамера. Точные, приближенные методы решения линейных систем. Алгоритм реализации метода квадратных корней на языке программирования в среде Matlab 6.5. Влияние мерности, обусловленности матрицы.
контрольная работа [76,6 K], добавлен 27.04.2011Основные виды линейных интегральных уравнений. Метод последовательных приближений, моментов, наименьших квадратов и коллокации. Решение интегральное уравнение методом конечных сумм и методом моментов. Ненулевые решения однородной линейной системы.
контрольная работа [288,4 K], добавлен 23.10.2013Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009История развития формул корней квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Решение квадратных уравнений Диофантом. Квадратные уравнения в Индии, в Хорезмии и в Европе XIII - XVII вв. Теорема Виета, современная алгебраическая запись.
контрольная работа [992,3 K], добавлен 27.11.2010Изучение истории квадратных уравнений. Анализ общего правила решения квадратных уравнений, изложенного итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки, с помощью номограммы, способом "переброски".
презентация [840,6 K], добавлен 16.01.2011Изучение способов решения нелинейных уравнений: метод деления отрезка пополам, комбинированный метод хорд и касательных. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений. Особенности математической обработки результатов опыта, полином Лагранжа.
курсовая работа [181,1 K], добавлен 13.04.2010Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Решение нелинейных уравнений. Отделения корней уравнения графически. Метод хорд и Ньютона. Система линейных уравнений, прямые и итерационные методы решения. Нормы векторов и матриц. Метод простых итераций, его модификация. Понятие про критерий Сильвестра.
курсовая работа [911,6 K], добавлен 15.08.2012Сущность и содержание метода Крамера как способа решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Содержание основных правил Крамера, сферы и особенности их практического применения в математике.
презентация [987,7 K], добавлен 22.11.2014
