Применение ОДУ в решении прикладных задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Тверской государственный университет»

Факультет прикладной математики и кибернетики

Направление Прикладная математика и информатика

Курсовая работа

по дифференциальным уравнениям

на тему: «Применение ОДУ в решении прикладных задач»

студента 24 группы

Киселева Ильи Игоревича

Тверь 2011

1. Основные понятия

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) - это выражения вида

,

где x - некоторая переменная, y(x) - неизвестная функция, n - порядок уравнения (максимальный порядок производных).

Для решения ОДУ необходимо найти его общее решение.

Общим решением ОДУ - называется такая функция , которая при подстановке в уравнение вида обращает его в верное тождество.

С1, С2, …, Сn - произвольные константы.

Если дано условие Коши, то решение ОДУ сводится к решению задачи Коши.

Условие Коши - дополнительное условие вида y(x0) = y0, где x0 и y0 - заданные числа.

Задача Коши - это система, составленная из самого ОДУ и условия Коши, при решении которой получают частное решение дифференциального уравнения.

Частным решением ОДУ - называется функция y = ц(x), которая при подстановке в уравнение вида обращает его в верное тождество.

Дифференциальные уравнения играют существенную роль в решении прикладных задач во многих науках, таких, как биология, физика, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного описания явлений или присутствуют динамические процессы. В зависимости от условий и искомых данных, задачи можно разделить на несколько видов.

дифференциальный уравнение коши

2. Геометрические задачи

В задачах связанных с геометрией ОДУ применяют для нахождения уравнений кривых y = ц(x). В таких задачах обычно даны координаты точек, через которые проходят кривые или точек пересечения их касательных или нормалей с осями координат или прямыми.

Для нахождения уравнения кривой необходимо сформулировать задачу Коши, состоящую из ОДУ и условия коши, и решить ее. Условие коши - это обычно координаты точки, через которую проходит кривая. Обыкновенное дифференциальное уравнение выражается из уравнения касательной или нормали, проведенной к кривой. Для нахождения уравнений касательной и нормали существуют формулы (2.1) и (2.2) соответственно:

(2.1)

(2.2)

Пример:

Найти кривую y = ц(x), проходящую через точку (1,2) так, что любая касательная к ц(x) пересекает прямую y = 1 в точке с абсциссой равной удвоенной абсциссе точки касания.

Решение:

Найдем уравнение касательной в точке х0 к ц(x) по формуле (2.1):

.

Подставим y(2x0) = 1 (по условию):

1 .

- уравнение искомой кривой.

По условию искомая кривая проходит через точку (1,2):

ц(3) = 3 - условие Коши.

Теперь составим задачу Коши и решим ее:

Находим общее решение ОДУ:

,

C - здесь произвольная константа.

Подставим условие Коши в уравнение кривой и найдем C:

Подставив C получаем решение задачи Коши:

- ответ.

3. Задачи, в которых задан закон

В задачах такого типа, как правило, задана величина N(t), про которую известно, что скорость ее изменения пропорциональна ее текущему значению. То есть

. (3.1)

Пояснение:

Пусть даны N(t) и N(t + ?t) - величины, зависящие от времени (в экологических задачах, например, это может быть численностью вида, или количеством нерастворенного сахара в химической задаче), в моменты времени t и (t + ?t), тогда изменение этой величины за время ?t будет равно:

(3.2)

Если известно начальное значение N(0) = N0 (здесь t = 0, начальный момент времени), то имеем задачу Коши:

(3.3)

Пример:

В стакан бросили шарик с температурой T0. Скорость изменения температуры прямо пропорционально разности текущей Тш и окружающей среды Т*. Найти как изменится Тш.

Решение:

Пусть T(t) - температура шарика в момент времени t, тогда скорость остывания шарика рассчитывается по формуле (3.1) :

Минус здесь означает, что, если Тш > Т*, то (т. е. температура убывает), а иначе возрастает.

Задача Коши будет иметь следующий вид:

Из ОДУ получим:

Найдем C и найдем решение задачи Коши:

- ответ.

4. Задачи, в которых закон надо составить

В отличие от задач, где задано отношение зависимости скорости изменения величины и ее текущего значения, нужно самим составить закон изменения величины (массы, объема, площади, и т.д.), для нахождения искомого значения.

Прежде всего, нужно выбрать, какую из величин взять за независимую переменную, а какую - за искомую функцию. Затем выразить разность через величины, о которых говорится в задаче. Разделив эту разность на , и перейдя к пределу , получим дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомую функцию.

Пример:

Найти площадь треугольника, если известно, что его основание равно a, а высота, проведенная из вершины к основанию, равна H.

Решение:

Пусть S(x) - площадь треугольника ниже сечения x, тогда S(x + ?x) - площадь ниже сечения x + ?x. Тогда получаем неравенство:

При

То есть

Теперь составим задачу Коши:

Подставив x = H, получаем геометрическую формулу нахождения площади треугольника:

5. Решение задачи Коши в Maple

>

>

>

Литература

1. Лекции Васильева А. А.

2. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: учебное пособие для вузов/ А. Ф. Филиппов. -6-е изд., стер. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 128с.

3. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений: учебник/ А. Ф. Филиппов. -2-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 240 с.

4. Зайцев В. Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям/ В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. - М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

5. Справочное пособие по высшей математике: в 5 т. - т. 5.: Дифференциальные уравнения в примерах и задачах/ А. К. Боярчук, Г. П. Головач. -М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 384 с.

Размещено на Allbest.ru