Усереднення вироджених нелінійних задач в перфорованих областях

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут прикладної математики і механіки

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Усереднення вироджених нелінійних задач в перфорованих областях

Ларін Дмитро Вікторович

Донецьк - 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі нелінійного аналізу Інституту прикладної математики і механіки Національної академії наук України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор,

академік НАН України

Скрипник Ігор Володимирович,

Інститут прикладної математики і механіки НАН України, директор.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Панков Олександр Андрійович,

Вінницький державний педагогічний університет,

кафедра математики, професор;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Бородін Михайло Олексійович,

Донецький державний університет,

кафедра математичної фізики, доцент.

Провідна установа:

Інститут математики НАН Украіни, м.Київ, відділ диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Захіст відбудеться " 28 " квітня 1999 року о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою:

340114, м.Донецьк, вул.Р.Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки

НАН України за адресою:

340114, м.Донецьк, вул.Р.Люксембург, 74.

Автореферат розісланий " 25 " березня 1999 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Ковалевський О.А.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У багатьох розділах фізики та механіки часто досліджуються процеси в сильно неоднорідних середовищах, які описуються диференціальними рівняннями, що мають швидкоколивні коефіцієнти, або ж розглядаються в областях складної структури. Це приводить до необхідності побудови усереднених моделей для таких середовищ. Суть питання усереднення полягає в можливості побудови крайової задачі для рівняння з простими коефіцієнтами, або в простій області, розв'язки якої, в певному розумінні, мало відрізняються від розв'язків початкових задач.

Як приклад областей складної структури, що виникають в теорії усереднення, можна розглядати перфоровані області, які одержані із фіксованої області шляхом викидання великої кількості дрібних неперетинних компонент. Вперше питання усереднення крайових задач у таких областях були розглянуті в 60-ті роки у роботах В.О.Марченко та Є.Я.Хруслова. Результати їх монографії (Марченко В.А., Хруслов E.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. - К.:Наукова думка, 1974. - 278 с.), присвяченної цім питанням, отримали подальший суттєвий розвиток в роботах Є.Я.Хруслова. Їм були розроблені варіаційні методи дослідження асимптотичної поведінки розв'язків задач Діріхле та Неймана для лінійних рівнянь в змінних областях, взагалі кажучі, неперіодичної структури. У термінах збіжності спеціальних числових характеристик ціх областей Є.Я.Хруслов отримав достатні, а у деяких випадках і необхідні, умови збіжності розв'язків розглядаємих задач до розв'язків усереднених задач, у яких додатковий член визначається по границям ціх характеристик.

Методика розгляду питаннь усереднення, запропонована Є.Я.Хрусловим, у подальшому розвивалась в роботах Л.В.Бєрлянда, І.Ю.Чудіновича, М.В.Гончаренко, Є.В.Свіщевої, Л.С.Панкратова та ін.

Суттєві результати в дослідженні нелінійних задач Діріхле в областях складної неперіодичної структури були отримані І.В.Скрипником. Їм були розроблені методи усереднення задач Діріхле для нелінійних еліптичних рівнянь другого порядку в змінних областях, за допомогою яких були встановлені достатні умови збіжності послідовності розв'язків нелінійних задач в перфорованих областях, виписані у термінах місткості ціх областей і побудована гранична задача з додатковим членом, що має місткісний характер. Використовуваючи запропонований метод асимптотичного розкладу, І.В.Скрипник докладно вивчив питання усереднення нелінійних задач Діріхле в областях з дрібнозернистою межею, в областях з каналами, а також в перфорованих областях загальної структури, тобто без будь-яких геометричних припущень відносно структури змінних областей.

Аналогічний метод усереднення був розроблений І.В.Скрипником для нелінійних параболічних задач в послідовності перфорованих областей.

Подальший розвиток методи, запропоновані І.В.Скрипником, знайшли в роботах А.І.Прокопенко, І.І.Скрипника, М.А.Наумової та ін.

Відзначимо також роботи G. Dal Maso, F.Murat, A.Garroni, J.Casado-Diaz, D.Cioranescu, О.А.Ковалевського, присвячені питанням усереднення задач Діріхле для лінійних та квазілінійних рівнянь у змінних областях загальної структури.

Перші роботи по усередненню рівнянь з частинними похідними з періодичними швидкоколивними коефіцієнтами з'явилися на початку 70-х років. Це були, насамперед, роботи E.Sanchez-Palencia, М.С.Бахвалова, A.Bensoussan, J.-L. Lions, G.Papanicolaou. Подальше систематичне вивчання ціх питаннь пов'язане, перш за все, з роботами О.А.Олійник, В.В.Жикова, С.М.Козлова, М.С.Бахвалова, Г.А.Іосіфьяна. З проблемами усереднення крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними тісно пов'язана теорія G-збіжності операторів та Г-збіжності функціоналів. Питання G-збіжності та Г-збіжності досліджувалися в работах таких математиків, як E.De Giorgi, S.Spagnolo, О.А.Олійник, В.В.Жиков, С.М.Козлов, О.А.Панков, О.А.Ковалевський, G.Dal Maso та ін.

Але слід відзначити, що не зважаючи на велику кількість робіт з теорії усереднення, багато питаннь залишуються відкритими. Так, наприклад, цікавими для дослідження є питання усереднення вироджених нелінійних задач в перфорованих областях, де виродження розуміється по просторових змінних. Зокрема, становлять інтерес задачі усереднення для вироджених нелінійних еліптичних рівнянь другого порядку, типу вагового р-Лапласа

діріхле нелінійний еліптичний рівняння

де вага належить певному класу Макенхаупта. Такі класи функцій були впроваджені B.Muсkenhoupt на початку 70-х років (Muсkenhoupt В. Weighted norm inequalities for the Нardy maximal function // Trans. Amer. Math. Soc. - 1972. - V.165. - P.207-226). Подальше вивчення властивостей ваг Макенхаупта пов'язане, насамперед, з роботами R.L.Wheeden, C.Fefferman, C.Segovia, R.R.Coifman, N.Miller. У середині 80-х років E.Fabes, C.Kenig, R.Serapioni і S.Chanillo та R.L.Wheeden отримали вагові нерівності Соболєва та Пуанкаре, і почалося інтенсивне вивчення спочатку вироджених еліптичних рівнянь типу вагового р-Лапласа (E.Fabes, D.Jerison, C.Kenig, R.Serapioni, B.Franchi, J.Heinonen, T.Kilpelаinen, O.Martio, І.В.Скрипник, F.Nicolosi, С.К.Водопьянов, та ін.), а згодом і вироджених параболічних рівнянь (F.Chiarenza, R.Serapioni, C.Gutierrez, G.Nelson, R.L.Wheeden, І.В.Скрипник, F.Nicolosi, І.І.Скрипник та ін.). У теперешній час вивчення вироджених нелінійних рівнянь є одним з напрямків розвитку теорії діференціальних рівнянь з частинними похідними.

Таким чином, предметом дослідження даної дисертаційної роботи є питання усереднення сім'ї задач Діріхле для вироджених нелінійних еліптичних рівнянь другого порядку в послідовності перфорованих областей різної структури, при умові, що вагова функція належить певному класу Макенхаупта.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями відділу нелінійного аналізу Інституту прикладної математики і механіки НАН України, вона була виконана в рамках державної теми №0196U002838 "Асимптотична поведінка розв'язків нелінійних еліптичних і параболічних рівнянь".

Результати дисертаційної роботи були використані при виконанні проекту 1.4/148 "Дослідження асимптотичної поведінки розв'язків нелінійних еліптичних і параболічних граничних задач в перфорованих областях загальної структури" Державного фонду фундаментальних досліджень України та гранту INTAS №96-1061 "Homogenization of problems of mathematical physics".

Мета і задачі дослідження. Розглянути питання усереднення сім'ї задач Діріхле для вироджених нелінійних еліптичних рівнянь другого порядку в перфорованих областях різної структури, при умові, що вагова функція належить певному класу Макенхаупта. Для цього отримати різні інтегральні та поточкові оцінки розв'язків спеціальних модельних вироджених нелінійних задач Діріхле, на основі яких вивчити асимптотичну поведінку послідовності розв'язків розглядуваних задач, і показати, що розв'язки вироджених нелінійних задач Діріхле в сім'ї перфорованих областей близькі до розв'язку певної усередненої виродженої нелінійної задачі в неперфорованій області. З'ясувати умови, при яких існує усереднена крайова задача, і дати конкретний спосіб її побудови.

Наукова новизна одержаних результатів. Вперше розглянуто проблему усереднення сім'ї задач Діріхле для вироджених нелінійних еліптичних рівнянь другого порядку в послідовності перфорованих областей, при умові, що вагова функція належить певному класу Макенхаупта. Для послідовності областей з дрібнозернистою межею (у випадку об'ємного та поверхневого розподілу "зерен"), а також для перфорованих областей з "зернами", які густо упаковані (де, зокрема, не припускається малість діаметрів порожнин відносно віддалей між ними), вивчено асимптотичну поведінку послідовностей розв'язків розглядуваних задач; та отримано достатні умови збіжності розв'язків розглядуваних вироджених нелінійних задач Діріхле, побудовано коректори для наближення таких послідовностей розв'язків і крайові задачі для граничних функцій. У випадку областей з "зернами", які густо упаковані, вилучено сім'ю множин, що не впливають на побудову усередненої задачі.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер, її результати можуть бути використані для подальшого вивчення питаннь усереднення вироджених нелінійних еліптичних і параболічних крайових задач в областях складної структури.

Особистий внесок дисертанта. Робота [5] написана дисертантом у співавторстві. І.В.Скрипнику належить вибір напрямку досліджень, постановка задачі та обговорення отриманих результатів, доведення ж основних результатів належить дисертанту.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на об'єднаному семінарі відділу нелінійного аналізу та відділу рівняннь математичної фізики Інституту прикладної математики і механіки НАН України (керівники: доктор фіз.-мат. наук, професор, академік НАН України І.В.Скрипник, доктор фіз.-мат. наук, професор Б.В.Базалій); Міжнародній конференції "Nonlinear Differential Equations" (м.Київ, 1995 р.); Міжнародній конференції "Nonlinear Partial Differential Equations" (м.Київ, 1997 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-7], з яких [1-3,5] надруковано у виданнях з переліку №1, затвердженого ВАК України, а [4] - у виданні з переліку №5, затвердженого ВАК України.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел та викладена на 150 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 92 найменування.

2. Зміст роботи

У вступі дається короткий аналіз сучасного стану проблеми і обгрунтовується актуальність теми, подаються мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, апробація та структура роботи.

У першому розділі розглянута спеціальна модельна вироджена нелінійна задача Діріхле, для розв'язків якої отримані різні інтегральні та поточкові оцінки.

У підрозділі 1.1 даються основні означення та доводяться різні допоміжні твердження.

Нехай - локально інтегровна невід'ємна функція в -мірному евклідовому просторі і припускаємо, що майже скрізь. Будемо говорити, що належить класу Макенхаупта в (), або, що -вага, якщо для довільної кулі функція задовольняє умову

(1)

де стала не залежить від вибору кулі . Тут - міра Лебега множини .

Функція породжує вагову міру Радона-Нікодима



де - вимірна множина в

Нехай - обмежена область в і .

Через , будемо позначати простір всіх -майже скрізь на означених -вимірних функцій із значеннями в , таких, що

Через будемо позначати простір усіх -суттєво обмежених -вимірних функцій з

.

Для функції покладемо

.

Ваговий простір Соболєва визначимо як замикання по нормі . Простір визначимо як замикання в . Нехай - компактна підмножина . Через позначимо множину

.

Будемо називати ваговою - місткістю множини число

.

В підрозділах 1.2-1.3 розглядається спеціальна модельна вироджена нелінійна задача Діріхле.

Нехай - довільна замкнена обмежена множина в -мірному евклідовому просторі . Позначимо через мінімум радіусів куль, які містять , і нехай - центр такої кулі радіуса , що . Тут і далі - куля радіуса з центром в .

Нехай - функція класу , яка дорівнює одиниці в . Для довільного дійсного при розглядається наступна задача Діріхле

(2)

(3)

де .

Припускається, що функції , визначені при , і задовольняють наступні умови:

функції неперервні по при майже всіх , вимірні по при ;

існують додатні стали , такі, що при та всіх значеннях , виконані нерівності

,

де функція така що: .

Функцію назвемо узагальненим розв'язком задачі (2), (3), якщо і для довільної функції виконана інтегральна тотожність

В умовах 1), 2) однозначна розв'язність задачі (2), (3) виходить із загальної теорії монотонних операторів.

Використовуючі певну модіфікацію метода Мозера, у підрозділі 1.3 доведена наступна теорема, яка є основним результатом розділу 1.

Теорема 1. Нехай виконані умови 1), 2). Тоді існує стала , яка залежить лише від така що для розв'язку задачі (2), (3) та для довільної точки вірна наступна оцінка

, (4)

де , і - відстань від точки до множини .

У другому розділі розглядається вироджена нелінійна задача Діріхле в областях з дрібнозернистою межею.

В підрозділі 2.1 досліджуються питання усереднення сім'ї вироджених нелінійних задач Діріхле в послідовності областей з дрібнозернистою межею у випадку об'ємного розподілу "зерен".

Нехай - довільна обмежена область в -мірному евклідовому просторі , і припустимо, що при кожному натуральному значенні визначено скінченне число неперетинних замкнених множин , які містяться в .

В області розглядається квазілінійна еліптична задача

(5)

,(6)

де - певна відома функція.

Припускається, що функції , визначені при та задовольняють наступні умови:

А₁) функції неперервні по при майже всіх , вимірні по при будь-яких ; при

А₂) існують додатні стали , такі, що при та всіх значеннях виконані нерівності



,

де функція така, що:

.

Стала та функція в припущенні А₂) задовольняють умови

де - певне відоме число,

Позначимо через нижню грань радиусів куль, які містять , і нехай - центр такої кулі радіуса , що . Через позначимо відстань від до множини .

Припускається, що множини задовольняють наступні умови:

В₁) існує стала , яка не залежить від , така, що



і

В₂) існують стала , яка не залежить від , і неперервна неспадна функція , такі що

Тут і далі

Для формулювання ще однієї умови на введемо допоміжні функції , що визначаються як розв'язки модельних задач.

Нехай - функція класу , яка дорівнює одиниці в . Для довільного дійсного при позначимо через функцію, яка належить і задовольняє інтегральну тотожность

(8)

для . Тут .

Існування та однозначність визначення функції доводиться методами загальної теорії монотонних операторів. Далі поза покладемо .

Припускається виконання наступної умови:

С) існує неперервна при функція , така, що для довільної кулі виконана рівність

,(9)

причому наближення до границі в (9) є рівномірним по на будь-якому обмеженому інтервалі змінювання . В (9)

.

Узагальненим розв'язком задачі (5), (6) назвемо функцію , таку, що , і для довільної функції виконана інтегральна тотожність

.

При цьому припускається, що .

Використовуючи методи загальної теорії монотонних операторів, можна довести наступну теорему

Теорема 2. Нехай виконані умови А₁), А₂) і . Тоді при кожному задача (5), (6) має, принаймі, один розв'язок . Існує стала , яка не залежить від , така, що при всіх виконана оцінка

.

Нехай - один з можливих розв'язків задачі (5), (6). Отже послідовність вважаємо фіксованою. Функції , визначені при , продовжимо на , покладаючи при . Отримані таким чином функції належать і задовольняють оцінку

(10)

із сталою , яка не залежить від . Із (10) виходить, що послідовність містить слабко збіжну підпослідовність, тому , переходячи, якщо треба, до підпослідовністі, можемо вважати, що слабко збігається в до деякої функції .

Припускається, що крайова функція задовольняє умову

,(11)

де - певна обмежена область, яка містить , і таке саме, що і в умові (7).

Основним результатом підрозділу 2.1 є наступна теорема

Теорема 3. Нехай виконані умови А₁), А₂), В₁), В₂), С), (11), і - послідовність розв'язків задачі (5), (6), яка слабко збігається до в . Тоді послідовність сильно збігається в при будь-якому і функція є узагальненим розв'язком задачі

(12)

(13)

Доведенню теореми 3 присвячені пункти 2.1.2-2.1.4.

За допомогою метода Мозера, в пункті 2.1.2 доведено рівномірну обмеженість послідовності , а також отримано деякі допоміжні нерівності. В пункті 2.1.3 побудовано коректор для наближення послідовності , та вивчено асимптотичну поведінку даної послідовності. Граничний перехід в диференціальному рівнянні, на основі асимптотичного розкладу, зроблено в пункті 2.1.4, де і встановлено для граничної функції задачу (12), (13).

В підрозділі 2.2 досліджуються питання усереднення сім'ї вироджених нелінійних задач Діріхле в послідовності областей з дрібнозернистою межею у випадку поверхневого розподілу "зерен".

Нехай - довільна обмежена область в -мірному евклідовому просторі і припустимо, що при кожному натуральному значенні визначено скінченне число неперетинних замкнених множин , зосереджених поблизу певної гладкої ()-мірної поверхні, яка розташована усередині .

В області розглядається квазілінійна еліптична задача (5), (6). Припускається, що виконані умови А₁), А₂) із підрозділу 2.1 для функцій .

Нехай мають той же зміст, що і в підрозділі 2.1, і для довільної множини через будемо позначати множину точок простору , віддалених від на відстань, не більшу ніж .

Припускається, що множини задовольняють наступні умови:

в₁) існують замкнена поверхня класу , розташована усередині , і послідовність додатніх чисел , таких, що , і при виконані включення ;

в₂) існують додатні стали , такі, що при виконані нерівності

,

;

і ;

в₃) існують додатні стали , такі, що при виконана нерівність

;

с) існує неперервна при функція , така, що для довільної кулі виконана рівність

(14)

причому наближення до границі в (14) є рівномірним по на будь-якому обмеженому інтервалі змінювання . В (14) функції - це розв'язки модельних задач (8), мають той же зміст, що і в (9).

Аналогічно підрозділу 2.1, вважаємо, що фіксована послідовність узагальнених розв'язків задачі (5), (6) слабко збігається в до деякої функції .

Поверхня розбиває область на дві підобласті. Позначимо іх через та так, щоб . Для визначенної в (відповідно ) функції позначимо граничні значення на через (відповідно ).

Основним результатом підрозділу 2.2 є наступна теорема

Теорема 4. Нехай виконані умови А₁), А₂), в₁), в₂), в₃), с),, і - послідовність розв'язків задачі (5), (6), яка слабко збігається до в . Тоді послідовність сильно збігається в при будь-якому і функція є узагальненим розв'язком наступної задачі спряження

(15)

Тут - зовнішня по відношенню до нормаль до в точці .

Доведенню теореми 4 присвячені пункти 2.2.2-2.2.4.

За допомогою метода Мозера, в пункті 2.2.2 отримано певну модіфікацію поточкової оцінки (4) для розв'язку модельної задачі (8). Аналогічно пункту 2.1.3, в пункті 2.2.3 побудовано асимптотичний розклад послідовності та досліджено характер збіжності членів цього розкладу. В пункті 2.2.4 для граничної функції , за допомогою асимптотичного розкладу, побудовано задачу спряження (15).

У третьому розділі досліджуються питання усереднення сім'ї вироджених нелінійних задач Діріхле в послідовності перфорованих областей з "зернами", які густо упаковані (де, зокрема, не припускається малість діаметрів порожнин відносно віддалей між ними).

Нехай - довільна обмежена область в -мірному евклідовому просторі і припустимо, що при кожному натуральному значенні визначено скінченне число неперетинних замкнених множин , які містяться в .

В області розглядається квазілінійна еліптична задача (5), (6). Припускається, що виконані умови А₁), А₂) із підрозділу 2.1 для функцій .

Нехай мають той же зміст, що і в підрозділі 2.1, і введемо додаткові позначення:

де - сфера радіусу з центром в точці .

Припускається, що множини задовольняють наступні умови:

В₁) вірна рівність

де

В₂) існує неперервна неспадна функція , така, що

В₃) існують підмножини індексів такі, що

,

і виконано умови:

існують числова послідовність , яка наближається до нуля при , для якої вірна рівність

де , і додатня стала , такі що

при

де - довільна точка , ;

С) існує неперервна при функція , така, що для довільної кулі виконана рівність:

,(16)

причому наближення до границі в (16) є рівномірним по на будь-якому обмеженому інтервалі змінювання . В (16) функції - це розв'язки модельних задач (8), має той же зміст, що і в (9).

Аналогічно підрозділу 2.1, вважаємо, що фіксована послідовність узагальнених розв'язків задачі (5), (6) слабко збігається в до деякої функції .

Основним результатом розділу 3 є наступна теорема

Теорема 5. Нехай виконані умови А₁), А₂), В₁), В₂), В₃), С), (11), і - послідовність розв'язків задачі (5), (6), яка слабко збігається до в . Тоді послідовність сильно збігається в при будь-якому і функція є узагальненим розв'язком задачі

(17)

,(18)

Доведенню теореми 5 присвячені підрозділи 3.2-3.3.

Аналогічно пункту 2.1.3, в підрозділі 3.2 введено асимптотичний розклад послідовності , побудований на вилученні головного члена за допомогою функцій , і, використовуючи інтегральні та поточкові оцінки , досліджено характер збіжності членів цього розкладу. В підрозділі 3.3, на основі асимптотичного розкладу, для граничної функції побудовано крайову задачу (17), (18).

Висновки

У дисертаційній роботі вперше досліджено питання усереднення сім'ї вироджених нелінійних задач Діріхле в перфорованих областях різної структури та отримано наступні основні результати:

Доведено поточкову оцінку розв'язку спеціальної модельної виродженої нелінійної задачі Діріхле.

Вивчено асимптотичну поведінку послідовності розв'язків задач Діріхле для вироджених нелінійних еліптичних рівнянь другого порядку в сім'ї областей з дрібнозернистою межею у випадку об'ємного розподілу "зерен", при умові, що вагова функція належить певному класу Макенхаупта. Отримано достатні умови збіжності послідовності розв'язків розглядуваних задач, побудовано коректор для наближення такої послідовності розв'язків та крайову задачу для граничної функції.

Аналогічні результати отримано для сім'ї областей з дрібнозернистою межею у випадку поверхневого розподілу "зерен".

Аналогічні результати отримано для послідовності перфорованих областей з "зернами", які густо упаковані (де, зокрема, не припускається малість діаметрів порожнин відносно віддалей між ними). Для таких областей вилучено сім'ю множин, що не впливають на побудову додаткового члену в граничній задачі.

Список опублікованих автором праць за темою дисертації

Larin D.V. Pointwise estimate of solution of a model degenerate nonlinear elliptic problem // Nonlinear Boundary Value Problems. - 1997. - V.7. - P.132-137.

Ларин Д.В. Вырождающаяся квазилинейная задача Дирихле для областей с мелкозернистой границей // Доповіді НАН України. - 1997. - №10. - С.39-43.

Ларин Д.В. О сходимости решений вырождающейся квазилинейной задачи Дирихле при измельчении границы области // Доповіді НАН України. - 1998. - №8. - С.37-41.

Ларин Д.В. Вырождающаяся квазилинейная задача Дирихле для областей с мелкозернистой границей. Случай поверхностного распределения "зерен" // Труды ИПММ НАН Украины. - 1998. - Т.2. - С.104-115.

Скрыпник И.В., Ларин Д.В. Принцип аддитивности в усреднении вырождающихся нелинейных задач Дирихле // Укр. матем. журн. - 1998. - Т.50, №1. - С.118-135.

Larin D.V. A pointwise estimate of the solution of a model degenerate nonlinear elliptic problem // Book of abstracts of International Conf. "Nonlinear Differential Equations". - Kiev, 1995. - P.95.

Larin D.V. Homogenization of degenerate nonlinear elliptic boundary value problems in domains with finely granulated boundary // Book of abstracts of International Conf. "Nonlinear Partial Differential Equations". - Kiev, 1997 - P.113.

Анотації

Ларін Д.В. Усереднення вироджених нелінійних задач в перфорованих областях. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 1999.

Дисертацію присвячено питанням усереднення сім'ї задач Диріхле для вироджених нелінійних еліптичних рівнянь другого порядку в перфорованих областях різної структури, при умові, що вагова функція належить певному класу Макенхаупта. В роботі вивчено асимптотичну поведінку послідовності розв'язків розглядуваних задач для сім'ї областей з дрібнозернистою межею (у випадку об'ємного та поверхневого розподілу "зерен"), а також для перфорованих областей з "зернами", які густо упаковані, та отримано достатні умови збіжності розв'язків розглядуваних вироджених нелінійних задач Діріхле, побудовано коректори для наближення таких послідовностей розв'язків і крайові задачі для граничних функцій.

Результати основано на різних поточкових оцінках розв'язку спеціальної модельної виродженої нелінійної задачі Діріхле.

Ключові слова: усереднення, виродження, нелінійне еліптичне рівняння, класи Макенхаупта, перфоровані області, асимптотична поведінка, поточкова оцінка.

Аннотация

Ларин Д.В. Усреднение вырождающихся нелинейных задач в перфорированных областях. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 1999.

Диссертация посвящена вопросам усреднения семейства задач Дирихле для вырождающихся нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в перфорированных областях различной структуры, при условии, что весовая функция принадлежит некоторому

классу Макенхаупта.

Для решений специальных модельных вырождающихся нелинейных задач Дирихле, типа весового p-Лапласса, где вес принадлежит некоторому классу Макенхаупта, используя некоторую модификацию метода Мозера, получены различные интегральные и поточечные оценки, и показана точность таких оценок. На основе метода Мозера доказана равномерная ограниченность последовательности решений рассматриваемых вырождающихся нелинейных задач Дирихле в перфорированных областях. Для семейства областей с мелкозернистой границей (в случае объемного и поверхностного распределения "зерен"), а также для перфорированных областей с густо упакованными "зернами" (где, в частности, не предполагается малость диаметров полостей относительно расстояний между ними), построены корректоры для приближения последовательностей решений рассматриваемых задач, и, с помощью полученных оценок решений специальных модельных задач, используя доказанную равномерную ограниченность, изучено асимптотическое поведение таких последовательностей решений. Получены достаточные условия сходимости решений рассматриваемых вырождающихся нелинейных задач Дирихле для указанных выше областей, выписанные в терминах весовых емкостей этих областей и совпадающие с известными результатами для безвесового случая. Для предельных функций построены граничные задачи в неперфорированных областях с добавочными членами, имеющими емкостной характер.

В случае перфорированных областей с густо упакованными "зернами" выделено семейство множеств, не влияющих на построение усредненной граничной задачи.

Ключевые слова: усреднение, вырождение, нелинейное эллиптическое уравнение, классы Макенхаупта, перфорированные области, асимптотическое поведение, поточечная оценка.

Summary

Larin D.V. Homogenization of degenerate nonlinear problems in perforated domains. - Manusсript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.01.02 - differential equations. - The Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Science of Ukraine, Donetsk, 1999.

The dissertation is devoted to the questions of homogenization of a family of Dirichlet problems for degenerate nonlinear elliptic second order equations in perforated domains of various structure provided that the weight function belongs to a certain Muckenhoupt class. The asymptotic behavior of a sequence of solutions of problems under consideration is studied for a family of domains with a finely granulated boundary (in the case of the volume and surface distribution of "grains") and for perforated domains with densely packing "grains". Sufficient conditions of convergence of solutions of considered degenerate nonlinear Dirichlet problems are obtained. Correctors for approximation of such sequences of solutions and a boundary value problems for the limit functions are constructed.

The results are based on a various pointwise estimates of a solution of a special model degenerate nonlinear Dirichlet problem.

Key words: homogenization, degeneration, nonlinear elliptic equation, Muckenhoupt classes, perforated domains, asymptotic behavior, pointwise estimate.

Размещено на Allbest.ru