Элементарные функции и их график
Изучение свойств элементарных функций. Ознакомление с основными правилами построения графиков линейных, квадратичных и логарифмических функций. Рассмотрение деформации и преобразования графиков с параллельным переносом. Описание математических примеров.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.11.2013 |
| Размер файла | 570,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Содержание
элементарный функция график деформация
1. Элементарные функции и их график
1.1 Линейная функция
1.1.1 Функция вида y = kx
- 1.1.2 Функция вида y = kx + b
- 1.1.3 Функция вида у = b
1.1.4 Уравнение прямой х = с
1.2 Квадратичная функция
1.2.1 Функция вида у = ах2
1.2.2 Функция вида у = ах2 + n
1.2.3 Функция вида у = а(х + m)2
1.2.4 Функция вида у = а(х + m)2 + n
1.2.5 Функция вида у = ax2 + bx + c
1.3 Обратная пропорциональность
1.4 Функции вида у = х3; у =
1.5 Показательная функция у = ах
1.6 Логарифмическая функция у = logax
2. Преобразование графиков функции
2.1 Деформация графиков
2.1.1 Функция вида у = f(kx)
2.1.2 Функция вида у = Аf(x)
2.2 Преобразование графиков с параллельным переносом
2.2.1 График функции у = f(x) + n
2.2.2 График функции у = f(x+m)
2.2.3 График функции у = f(x+m) + n
2.3 Параллельный перенос осей
1. Элементарные функции и их график
1.1 Линейная функция
Функция вида y = kx + b называется линейной. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой необходимо и достаточно две точки.
1.1.1 Функция вида y = kx
Функция вида y = kx называется прямой пропорциональностью.
Графиком является прямая, проходящая через начало координат и располагающаяся в 1 и 3 четвертях, если k > 0, во 2 и 4 четвертях, если k < 0.
k - называется коэффициентом пропорциональности и определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ. k = tg б
Прямая у = х является биссектрисой 1 и 3 координатных углов, а прямая у = х является биссектрисой 1 и 4 координатных углов.
Пример. Построить графики функций у = 2х, у = х, у = 2х.
Функция прямая пропорциональная зависимость, графикам являются прямые.
Так как графики проходят через начало координат, то одна из точек имеет координаты (0; 0), поэтому можно взять еще одну точку.
у = х, у = 2х, у = 2х,
х = 1, у = 1; х = 1, у = 2; х = 1, у = 2.
1.1.2 Функция вида y = kx + b
Графиком функции является прямая, у = kx, смещенная параллельным переносом по оси У на b единиц, в сторону согласно знаку b.
Построение можно вести по двум точкам или параллельным смещением.
Пример. Построить график функции у = 3х 4.
Функция линейная, графиком является прямая.
|
X |
0 |
1 |
|
|
Y |
4 |
-1 |
Построение можно вести параллельным переносом прямой у = 3х на 2 единицы вниз по оси У.
1.1.3 Функция вида у = b
Графиком функции является прямая, параллельная оси Х, проходящая через точку с координатами (0; b).
Построить график функции у = 3.
Функция линейная, графиком является прямая, параллельная оси ОХ, проходящая через точку (0;3)
1.1.4 Уравнение прямой х = с
Прямая х = с не является функцией. Однако, графиком является прямая, параллельная оси О У и проходящая через точку с координатами ( с; 0).
1.2 Квадратичная функция
Функция, содержащая высшую вторую степень аргумента будет квадратичной. Графиком является парабола.
Ветви параболы симметричны относительно оси параболы.
1.2.1 Функция вида у = ах2
Графиком является парабола, с вершиной, расположенной в начале координат. В (0;0). При a > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 - вниз.
Построение можно вести по пяти точкам.
Пример. Построить график функции у = х2, у = - х2.
Функция квадратичная, графиком является парабола.
1.2.2 Функция вида у = ах2 + n
Функция квадратичная, графиком является парабола вида у = а х2, смещенная параллельным переносом по оси У на m единиц согласно знаку m. Координаты вершины параболы - В(0;n).
Построение можно вести по точкам.
Пример. Построить графики функций у = 2х2 - 1, у = 2х2 - 2
Функции квадратичные, графиком являются параболы.
у = 2х2 - 1
у = 2х2 - 2
В(0; - 1) В(0; - 2)
Построение можно вести через построение параболы у = 2х2 или у = - 2х2 и параллельным переносом ее по оси У на одну единицу вниз. При этом вводится запись: "Функция квадратичная, графиком является парабола вида у = 2х2 ( - 2х2), смещенная параллельным переносом по оси У на 1 единицу вниз." В(0; - 1)
1.2.3 Функция вида у = а(х + m)2
Функция квадратичная, графиком является парабола вида у = ах2, смещенная параллельным переносом по оси Х на n единиц в сторону, противоположную знаку n. Координаты вершины параболы - В (- m; 0).
Построение можно вести по точкам, выбирая х от оси параболы х = n.
Пример. Построить график функции у = (х - 2)2.
Функция квадратичная, графиком является парабола с вершиной в точке В (2; 0).
От х = 2 в обе стороны взять по две точки, например: х = 1; х = 0; х = 3; х = 4.
Построение можно вести путем параллельного смещения параболы по оси Х, для чего: построить график у = х2 и сместить его по оси Х на две единицы вправо, при этом вводится запись: "Функция квадратичная, графиком является парабола вида у = х2, смещенная параллельным переносом по оси Х на 2 единицы вправо. Координаты вершины параболы В( 2;0)".
1.2.4 Функция вида у = а(х + m)2 + n
Функция квадратичная, графиком является парабола вида у = ах2, смещенная параллельным переносом по оси Х на минус n единиц и на m единиц по оси У. Координаты вершины параболы В(m; n).
Построение можно вести путем параллельного переноса, определив координаты вершины параболы, с использованием шаблона или по точкам вблизи оси параболы х = n.
Пример. Построить график функции у = 2(х + 1)2 - 3.
Функция квадратичная, графиком является парабола у = 2х2, смещенная параллельным переносом по оси Х на 1 единицу влево и по оси У на 3 единицы вниз. Координаты вершины параболы В (- 1; - 3).
1.2.5 Функция вида у = ax2 + bx + c
Функция квадратичная, графиком является парабола.
Абсцисса вершины параболы хв = ;
Ордината вершины параболы ув = ;
Построение графиков по точкам.
Пункт 1. Определить координаты вершины параболы;
Пункт 2. Определить нули функции, т. е. значения х, при которых у = 0;
Пункт 3. Определить дополнительные точки: х = 0, у = с и точка симметричная.
Пример. Построить график функции у = х2 - 2х - 3.
Пункт 1.
хв = = ; ув = = В(1; - 4).
ув - можно вычислить, подставляя значение хв в выражение, задающее функцию:
ув = 1 - 2 - 3 = 4.
Пункт 2.
у = 0; х2 - 2х - 3 = 0; х1 = - 1; х2 = 3.
По теореме обратной теореме Виета.
Пункт 3.
х = 0, у = - 3
Построение путем выделения полного квадрата.
у = х2 - 2х - 3 = х2 - 2х + 1 - 1 - 3 = (х - 1)2 - 4.
Далее строить как функцию у = а(х + m)2 + n.
Помни! а > 0 - ветви параболы направлены вверх, a < 0 ветви параболы направлены вниз
1.3 Обратная пропорциональность
Графиком является гипербола.
Гипербола имеет две ветви.
Если k > 0, то ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях. Если k < 0, то ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях.
Ветви гиперболы симметричны относительно начала координат.
Так как х 0, деление на нуль неопределенно, то график функции будет приближаться к оси У, но не будет ее пересекать. Так как у 0, числитель не равен нулю, то график функции будет приближаться к оси Х, но не будет ее пересекать. Построение ведется по точкам.
Пример. Построить график функции . D(y) = R, но х 0. у = 0 - корней нет.
|
х |
-4 |
-2 |
-1 |
1/2 |
1/2 |
1 |
2 |
4 |
|
|
у |
-1/2 |
-1 |
-2 |
-4 |
4 |
2 |
1 |
1/2 |
Так как ветви гиперболы симметричны относительно начала координат, то можно построить одну ветвь, а вторую построить симметрично относительно началу координат.
|
х |
1/2 |
1 |
2 |
4 |
|
|
у |
4 |
2 |
1 |
1/2 |
1.4 Функции вида у = х3; у =
Графики этих функций строятся по точкам.
1.5 Показательная функция у = ах
Функция у = ах, где а 0, а 1, называется показательной.
D(у) = R; Е(у) = R+, (0; ). у = 0 - горизонтальная ассимптота.
Все графики пересекают ось У в точке (0; 1), т.к. а0 = 1
Построение вести по точкам.
1.6 Логарифмическая функция у = logax
Функция у = logax, где а 0, а 1, называется логарифмической.
D(у) = R+, (0; ); Е(у) = R; у = 0 - вертикальная ассимптота.
Все графики пересекают ось Х в точке (1; 0).
Построение вести по точкам.
2. Преобразование графиков функции
2.1 Деформация графиков
Деформация происходит при умножении аргумента или функции на какое либо число.
2.1.1 Функция вида у = f(kx)
График функции у = f(kx) такой же как график и у = f(x), но деформирован по оси Х (сжат, растянут в k раз).
Например, график функции у = sin2x такой же как и график у = sinx, но сжат по оси Х в два раза.
2.1.2 Функция вида у = Аf(x)
График функции вида у = Аf(x) такой же как и у = f(x), но деформирована по оси У . При А > 0 функция сохраняет свои знаки, при А < 0 меняет на противоположные. График сжат при 0 <| A|< 1 , растянут при |A|>1 в А раз).
При А = - 1 график функции у = - f(x) такой же как график у = f(x), но зеркально отражен относительно оси Х.
Пример. Построить графики функций у = - , у =- х3.
2.2 Преобразование графиков с параллельным переносом
Параллельный перенос графиков осуществляется если в функции прибавляется число к аргументу (параллельный перенос по оси Х) или к функции (параллельный перенос по оси У).
2.2.1 График функции у = f(x) + n
График функции у = f(x) + n такой же как и график у = f(x), смещенный параллельным переносом по оси У на n единиц в сторону согласно знаку n.
Пример. Построить графики функций у = + 2, у = х2 - 3
График функции у = + 2 такой же График функции у = х2 - 3 такой же как и график функции у = , но как и график функции у = х2, но смещенный параллельным переносом смещенный параллельным переносом по оси У на две единицы вверх. по оси У на три единицы вниз.
2.2.2 График функции у = f(x+m)
График функции у = f(x+m) такой же как и график у = f(x), смещенный параллельным переносом по оси X на m единиц в сторону противоположную знаку m.
Пример 1. Построить графики функций у = , у =(х - 3)2
График функции у = такой же График функции у = (х - 3)2 такой же как и график функции у = , но как и график функции у = х2, но смещенный параллельным переносом смещенный параллельным переносом по оси Х на две единицы влево, по оси Хна три единицы вправо.
Пример 2. Построить график функции у = (2х + 2)2.
Помнить! В функции вида у = f(x+m) число m прибавляется к "чистому" аргументу. Поэтому у функции вида у = f(kx+b) k надо вынести за скобку, тогда и определится m.
Вынесем 4 за скобку у = 4(х + 1)2
График функции у = 4(х + Ѕ)2 такой же, как и график функции у = 4х2, но смещен параллельным переносом по оси Х на Ѕ единицы влево.
2.2.3 График функции у = f(x+m) + n
График функции у = f(x+m) + n такой же как и график у = f(x), смещенный параллельным переносом по оси X на m единиц в сторону противоположную знаку m, по оси У на n единиц в сторону согласно знаку n.
Пример. Построить график функции у = 1 +.
D(у) = R, x 2.
График функции у = 1 + такой же как и график у = 1/х , смещенный параллельным переносом по оси X на 2 единицы вправо, по оси У на 1 единицу вверх.
Для построения эскиза графика сначала перенести асимптоты гиперболы у = 1/х. Вертикальную асимптоту х = 0 параллельным переносом на 2 единицы по оси Х вправо.
Горизонтальную асимптоту у = 0 параллельным переносом на 1 единицу по оси У вверх.
Точка пересечения асимптот является центром симметрии ветвей гиперболы. Далее найти дополнительную точку и изобразить ветви гиперболы.
х = 0, у = Ѕ
2.3 Параллельный перенос осей
При построении графиков можно не переносить график, а переносить оси. При этом ось Х переносится на n единиц в строну противоположную знаку, а ось У - на m единиц в сторону согласно знаку. На новых осях ставятся измененные единицы масштаба.
Пример. У = (х - 1)3 + 2. Ось Х переносится на 2 единицы вниз, а ось У на 1 единицу влево. При этом 0 будет в точке пересечения новых осей.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Основные правила преобразования графиков на примерах элементарных функций: преобразование симметрии, параллельный перенос, сжатие и растяжение. Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций.
презентация [2,4 M], добавлен 16.11.2010Общие сведения об элементарных функциях. Схема исследования функции и построения ее графика. Линейная, степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции. Простейшие преобразования графиков: параллельный перенос, деформация, отражение.
курсовая работа [910,5 K], добавлен 16.10.2011Построение графиков функций F(x), симметричное их отбражение относительно оси координат ОХ, ОУ, при значениях -F, -x. Особенности построения графиков функций и симметричное отображение относительно осей координат: f(x)+A; f(x+а); kf(x); |f(x)|; |f(|x|)|.
контрольная работа [82,1 K], добавлен 18.03.2010Понятие функции в древнем мире: Египет, Вавилон, Греция. Графическое изображение зависимостей, история возникновения. Вклад в развитие графиков функций Рене Декартом. Определение функций: понятие и способы задания. Методы построения графиков функций.
реферат [3,5 M], добавлен 09.05.2009Понятие и основные свойства обратной функции. Нахождение функции, обратной данной. Область определения функции. Обратимость монотонной функции. Построение графиков функций и определение их свойств. Симметричность графиков функций относительно прямой у=х.
презентация [98,6 K], добавлен 18.01.2015Рассмотрение и анализ основных свойств показательной функции: решение задач, способы построения графиков. Понятие и примеры применения гиперболических функций, их роль в различных приложениях математики. Способы нахождения области определения функции.
контрольная работа [902,6 K], добавлен 01.11.2012Ознакомление с принципами параллельного переноса, растяжения и сжатия функции y=f(x) вдоль осей Ох и Оу. Рассмотрение правил симметрического отображения функции относительно осей координат. Особенности сложения и умножения ординат точек графиков.
презентация [356,6 K], добавлен 16.12.2011Пределы функций и их основные свойства, операция предельного перехода, бесконечно малые функции. Производная функции, важнейшие правила дифференцирования, правило Лопиталя. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях, построение графиков.
методичка [335,2 K], добавлен 18.05.2010Понятие числовых функций с областью определения, аргумент и области их значений, свойства и графическое выражение. Определение четных и нечетных функций, периодичность тригонометрических функций. Свойства, используемые при построении их графиков.
презентация [22,9 K], добавлен 13.12.2011Сведения о графическом методе как особой знаковой системе. Техника составления статистических графиков. Требования к построению графического изображения. Классификация графиков по форме графического изображения и способу построения и задачам изображения.
контрольная работа [2,7 M], добавлен 01.08.2010
