Віковські *-алгебри та їх зображення

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський Університет імені Тараса Шевченка

УДК 512.5

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ВІКОВСЬКІ *-АЛГЕБРИ ТА ЇХ ЗОБРАЖЕННЯ

01.01.06 -- алгебра і теорія чисел

Проскурін Данило Павлович

Київ -- 1999

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Київському Університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: САМОЙЛЕНКО Юрій Стефанович, доктор фізико-математичних наук, професор, провідний науковий співробітник Інституту математики НАН України, м. Київ

Офіційні опоненти:

КЛІМИК Анатолій Улянович, доктор фізико-математичних наук, завідувач відділу Інституту теоретичної фізики НАН України, м. Київ

СЕРГІЙЧУК Володимир Васильович, доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник Інституту математики НАН України, м. Київ

Провідна установа: Львівський державний університет імені Івана Франка

Захист відбудеться 4 жовтня 1999 року о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 Київського Університету імені Тараса Шевченка за адресою: 252127, м. Київ - 127, проспект академіка Глушкова , 6, Київський Університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського Університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано 3 вересня 1999 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.В. Кириченко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

віковський алгебраїчний канонічний однорідний

Дисертаційна робота належить до одного з сучасних напрямків алгебри та теорії операторів -- теорії зображень інволютивних алгебр.

Теорія зображень алгебр з інволюцією (*-алгебр) має різноманітні застосування в аналізі та математичній фізиці. Зокрема при побудові моделей теоретичної фізики ; в теорії квантових груп та квантових однорідних просторів і їх застосуваннях у теорії точних розв'язків диференціальних рівнянь в частинних похідних ; в теорії несамоспряжених операторів при вивченні алгебраїчно заданих класів операторів; при побудові символів оборотності сингулярних інтегральних операторів та інш.

Одним з важливих напрямків досліджень пов'язаних з теорією *-алгебр є вивчення *-алгебр заданих твірними та визначальними співвідношеннями та їх зображень (обмеженими та необмеженими операторами в гільбертовому просторі). Так Й. Кунтцем (1977) вивчалась *-алгебра породжена сімейством взаємно ортогональних ізометрій (скінченим або зліченим). В роботах В.Л. Островського та Ю.С. Самойленка (1989)вивчались набори самоспряжених операторів пов'язаних нелієвськими співвідношеннями а також “динамічні” *-алгебри. В роботі Ю.С. Самойленка, Л.Б. Туровської та В.С. Шульмана (1996) вивчались набори операторів пов'язаних напівлінійними співвідношеннями.

Багато прикладів *-алгебр заданих твірними та співвідношеннями пов'язані з деформаціями класичних співвідношень квантової механіки.

А. Макфарлейн та незалежно від нього Л.Біеденхарна (1989) в рамках узагальнення одновимірного гармонічного осцилятору ввели до розгляду та дослідили *-алгебру породжену твірними пов'язаними співвідношенням

 (1)

Пізніше К. Даскалоянісом (1991) був введений клас “нелінійних” узагальнень одновимірного осцилятору та вивчені умови існування Фоківського зображення для алгебр цього класу.

Серед багатовимірних узагальнень виділимо *-алгебру введену в роботах О. Грінберга (1991) та незалежно від нього в спільній роботі М. Божейко та Р. Шпайхера (1991) в зв'язку з вивченням моделей некомутативної теорії ймовірностей, яка дістала назву q-канонічних комутаційних співвідношень (q-CCR). Ця алгебра породжується твірними , які задовольняють співвідношенням

К. Дікема та А. Ніка (1993) довели, що ля досить малих q -алгебра породжена операторами Фоківського зображення q-CCR ізоморфна розширенню алгебри Кунтца за допомогою компактних операторів.

Іншим прикладом є зкручені канонічні комутаційні співвідношення введені В. Пушем та С. Вороновичем (1989) .

Зкручений аналог класичних антикомутаційних співввідношень був побудований та вивчений в роботі В. Пуша (1989)



Відмітимо, що в усіх наведених вище прикладах *-алгебри є квадратичними (тобто визначальні співвідношення є некомутативними поліномоми другого степеню відносно твірних). Більше того, як неважко помітити, всі вони містять правила комутації між та для всіх . Тому в роботі П.Е.Т. Йоргенсена, Л.М. Шмітта та Р.Ф. Вернера (1995) було запропоновано до розгляду клас Віковських *-алгебр, що є прямими узагальненням наведених вище прикладів. А саме, Віковською алгеброю називається *-алгебра, що надалі позначатиметься W(T), породжена твірними та визначальними співвідношеннями вигляду

Важливими задачами пов'язаними з вивченням Віковських алгебр є класифікація незвідних *-зображень з точністю до унітарної еквівалентності, дослідження Фоківського зображення, зокрема додатньої визначеності Фоківського скалярного добутку, знаходження додаткових співвідношень між твірними сумісних з визначальними співвідношеннями, зокрема вивчення будови Віковських ідеалів та однорідних віковських ідеалів а також виділення класів Віковських алгебр для якіх має місце теорема про існування додаткових співвідношень між твірнімі, що виконуються в довільному незвідному обмеженому зображенні.

Мета роботи. Дослідження необхідних та достатніх умов існування однорідних Віковських ідеалів вищих степенів, зокрема узагальнення результатів Йоргенсена та інш. доведених для випадку однорідних Віковських ідеалів степеню 2 на загальний випадок; знаходження точної формули для обчислення твірних Віковських ідеалів вищих степенів;

Побудова класу Віковських алгебр для яких існують додаткові співвідношення між твірними, що задовольняються в довільному обмеженому зображенні та опис незвідних зображень алгебр цього кдасу обмеженими та необмеженими операторами в гільбертовому просторі;

Розв'язання окремих задач поставлених в роботі Йоргенсена, а саме класифікація незвідних зображень Віковської алгебрі, пов'язаної з зкрученими антикомутаційними співвідношеннями (алгебра Пуша) , поширення інтервалу строгої додатньості Фоківського скалярного добутку для Віковських алгебр з косовим оператором коефіцієнтів а також опис ядра Фоківського скалярного добутку в виродженому випадку.

Методика досліджень

В роботі використовуються методи теорії асоціативних алгебр, зокрема групових *-алгебр, теорії зображень, динамічних систем, спектральної теорії операторів та інш. .

Наукова новизна

Основні результати роботи є новими.

Доведена необхідна і достатня умова існування однорідного віковського ідеалу довільного степеню.

Наведена формула для обчислення твірних кубічного Віковського ідеалу для косового оператору коефіцієнтів.

Одержана відповідь на питання Йоргенсена , а саме доведено, що в довільному обмеженому зображенні - CAR алгебри мають місце додаткові співвідношення між твірними, які породжують квадратичний (не максимальний) Віковський ідеал.

Розширений інтервал строгої додатньості Фоківського скалярного добутку для Віковських алгебр з косовим оператором коефіцієнтів. У випадку виродженого скалярного добутку, доведено, що ядро співпадає з максимальним квадратичним ідеалом.

Для Віковських алгебр з косовим оператором коефіцієнтів доведено, що ядро Фоківського зображення співпадає з *-ідеалом породженим ядром Фоківського скалярного добутку.

Побудований клас Віковських алгебр з квадратичним ідеалом максимального рангу з некосовим оператором коефіціентів. Для алгебр цього класу доведена теорема типу Клєніке-Широкова та надано опис класів унітарної еквівалентності незвідних зображень обмеженими операторами в гільбертовому просторі.

Теоретичне та прикладне значення.

Результати мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані при вивченні зображень *-алгебр заданих твірними та визначальними співвідношеннями та їх застосуваннях в теорії операторів та математичній фізиці.

Апробація роботи.

Результати роботи доповідались на семінарі "Алгебраїчні проблеми функціонального аналізу" Інституту математики НАН України, на семінарі з теорії зображень у Київському Університеті імені Тараса Шевченка, на семінарі відділу математичних методів теоретичної фізики Інституту теоретичної фізики НАН України; на міжнародній конференції "Symmetry 95" (м. Київ, 1995 рік), на міжнародній конференції "Representations theory and computer algebra" (м. Київ, 1997), на міжнародній конференції "Mathematical Physics -- Today, Priority Technologies -- for tomorrow" (м. Київ, 1997).

Публікації

Результати дисертації опубліковано в роботах [1- 4], список яких наведено в кінці автореферату. З них 3 роботи надруковано в журналах з переліку затвердженого ВАК України.

Структура і обєм роботи

Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Обсяг дисертації -- 115 сторінок. Список використаних джерел містить 40 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано короткий огляд історії питань, вивченню яких присвячена дисертація, наведені основні результати роботи.

Перший розділ присвячений основним означенням та вивченню алгебраїчних властивостей Віковських алгебр.

В підрозділі 1.1 наводяться означення Віковської алгебри, її канонічна реалізація, поняття Віковськи впорядкованих мономів.

Розглянемо H = < e₁ , … , e_d > скінченовимірний гільбертів простір та його формально спряжений простір . Побудуємо також повну тензорну алгебру над . Тоді W(T) канонічно реалізується як

У цій реалізіції підалгебра породжена ототожнюється з підалгеброю , а простір однорідних поліномів від степені n ототожнюється з простором .

Неважко пересвідчитись, що використовуючи визначальні співвідношення, довільний елемент W(T) можна подати у вигляді лінійної комбінації елементів вигляду (слово, що відповідає дорівнює 1). Такі елементи називаються Віковські впорядкованими мономами. Зауважимо, що Віковські впорядкованя мономи утворюють базу W(T).

В підрозділі 1.2 наводяться означення оператору побудованого за коефіцієнтами алгебри W(T), в термінах якого будуть сформульовані всі результати першого розділу.

Розглянемо також розширення цього оператору на вищі степені .

Введемо також оператор знищення у повному Фоківському просторі:

За допомогою цих операторів в твердженні 1.2.1 наводиться формула , за якою можна отримати розклад довільного моному з W(T) за базисом, складеним з Віковськи впорядкованих мономів.

Твердження 1.2.1 Для довільних та має місце тотожність в W(T)

Підрозділ 1.3 присвячений поняттю віковського ідеалу. На неформальному рівні, Віковські ідеали описують додаткові співвідношення між твірними які “не суперечать” визначальним співідношенням. Означення 1.3.1 (Йоргенсен та інш.) Двосторонній ідеал називається Віковським ідеалом, якщо . Якщо ж ідеал породжується деяким підпростором в , то називається однорідним Віковським ідеалом степені .

Основними результатами цього підрозділу є наступні твердження. Твердження 1.3.2 формулює критерій того, що підпростір в породжує однорідний Віковський ідеал.

Твердження 1.3.2 Нехай -- проектор. Двосторонній ідеал породжений підпростором є Віковським ідеалом тоді і лише тоді коли виконуються наступні умови:

( оператори діють в просторі )

(оператори діють в просторі ).

Причому, якщо оператор є косовим і -- проектор на , то друга умова виконується автоматично.

В твердженні 1.3.3 доводиться, що в випадку Віковської алгебри з косовим оператором T існування однорідних Віковських ідеалів є необхідною умовою існування загальних Віковських ідеалів.

В підрозділі 1.4 більш детально вмвчаються властивості однорідних Віковських ідеалів. Основним результатом є теорема 1.4.1 яка стверджує, що в випадку косового T , існування квадратичного Віковського ідеалу є необхідною умовою існування однорідних Віковських ідеалів. Нагадаємо, що в косовому випадку максимальний Віковський однорідний ідеал степені породжується простором .

Теорема 1.4.1 Нехай є косовим і задовольняє умові , тоді

Наслідок Якщо -1<q<1, то q-CCR не має Віковських ідеалів.

В твердженні,1.4.3доводиться, що твірні однорідного Віковського ідеалу разом із спряженими до них породжують *-алгебру

Твердження 1.4.3 Нехай -- однорідний Віковський ідеал, тоді .

П.Е.Т. Йоргенсен та інш. довели це твердження лише для квадратичних віковських ідеалів (тобто однорідних віковських ідеалів степені 2).

Основним результатом підрозділу 1.5 є теорема 1.5.1, в якій, за певних обмежень щодо оператору коефіцієнтів, наводиться формула, що дозволяє обчислити твірні максимального кубічного Віковського ідеалу, якщо відомі твірні квадратичного. Результат цієї теореми використовується у розділі 3 при вивченні *-зображень деяких відомих віковських алгебр.

Теорема 1.5.1 Нехай оператор є косовим і , тоді

.

В підрозділі 1.6 наводяться означення Фоківського зображення Віковської алгебри та Фоківського скалярного добутку. Застосовується результат теореми 1.4.1 для покращення інтервалу строгої додатності Фоківського скалярного добутку та опису ядра Фоківського зображення.

Означення 1.6.1 (Йоргенсен та інш.) Фоківським зображенням віковської алгебри W(T) називається зображення , що діє у просторі і визначається на твірних наступним чином

Відмітимо, що ці формули разом з вимогою , що є гомоморфізмом, задають дію на однозначно. Проте не є *-зображенням відносно стандартного скалярного добутку на . Але існує єдина півторалінійна ермітова форма на , яка дістала назву фоківського скалярного добутку, відносно якої Фоківське зображення є *-зображенням. При цьому підпростори є ортогональними відносно якщо , і для довільних має місце рівність , . На компонентах степені Фоківський скалярний добуток співпадає з стандартним. Очевидно, що Фоківське зображення буде *-зображенням операторами в гільбертовому просторі тоді і лише тоді, коли Фоківський скалярний добуток є невід'ємновизначеним, тобто коли для всіх . Тобто теорема 1.4.1 дає достатню умову строгої додатньості Фоківського скалярного добутку.

Другий розділ присвячено вивченню динамічних віковських алгебр. Нагадаємо, що умовну назву "динамічні" мають -алгебри, породжені твірними {a_i ,a_i , i= 1,…, d}, та визначальними співвідношеннями

a_i^*a_i = F_i (a₁a₁^*, … , a_da_d^*) , i= 1, …, d

a_i^*a_j = _ij a_ja_i^* , 1 i<j d

a_ja_i = _ij a_i a_j , 1 i<j d

Ми розглядаємо наступний клас Віковських алгебр вигляду

(1)

В підрозділі 2.1 наводиться опис, з точністю до перестановки твірних, алгебр, що належать класу (1) та мають максимальний квадратичний Віковський ідеал породжений підпростором (зауважимо, що в цьому випадку оператор T не є косовим і потрібна перевірка обох умов критерія ).

Теорема 2.1.1 З точністю до перестановок твірних алгебри класу (1), в яких породжує Віковський ідеал задаються наступними співвідношеннями

(2)

де -- цілочисельний вектор, координати якого задовольняють характеристичній властивості: якщо i<j та , то .

В підрозділі 2.2 вивчаються зображення алгебр класу (2) обмеженими операторами в гільбертовому просторі. Класифікація обмежених зображень базується на теоремі 2.2.1

Теорема 2.2.1 В довільному зображенні алгебри класу (2) обмеженими операторами .

В теоремі 2.2.2 наводиться опис класів унітарної еквівалентності обмежених *-зображень алгебр вигляду (2).

У третьому розділі вивчаються *-зображення декількох Віковських алгебр, пов'язаних з класичними комутаційними співвідношеннями.

В підрозділі 3.1 доводиться, що множина класів еквівалентності незвідних (необмежених) зображень Віковської алгебри пов'язаної з зкрученими класичними комутаційними співвідношеннями, в яких образ максимального кубічного ідеалу дорівнює нулю, співпадає з множиною зображень, в яких образ максимального квадратичного ідеалу дорівнює нулю.

В підрозділі 3.2 доводиться, що для зображень “прямих добутків” q-CCR, тобто співвідношень вигляду

умова обернення в нуль твірних максимального кубічного ідеалу також еквівалентна умові обернення в нуль твірних максимального квадратичного ідеалу. В підрозділі 3.3 розглядається Віковський аналог зкручених класичних антикомутаційних співвідношень, який має назву -CAR:

Основним результатом є теорема 3.3.1, яка стверджує, що існує квадратичний Віковський ідеал, відмінний від максимального, образ якого в довільному зображенні -CAR дорівнює нулю. Ця теорема дає відповідь на питання поставлене Йоргенсеном, Шміттом та Вернером.

Теорема 3.3.1 Позначимо двосторонній ідеал в підалгебрі породжений множиною елементів. Тоді є Віковським ідеалом і в довільному зображенні образ дорівнює нулю. В підрозділі 3.4 вивчаються *-зображення Віковського аналогу канонічних комутаційних співвідношень, в яких образ максимального кубічного ідеалу дорівнює нулю. А саме, розглядається *-алгебра WCCR породжена твірними , що задовольняють співвідношенням



Максимальний квадратичний ідеал має вигляд . Максимальний кубічний Віковський ідеал породжується множиною елементів .

Теорема 3.4.1 Нехай , побудуємо за цим набором наступну множину операторів

де числа визначаються рекурентно:

а оператор задовольняє співвідношенню причому пара є незвідною. Тоді рівності визначають незвідне зображення WCCR, причому . І довільне зображення, в якому образ кубічного ідеалу дорівнює нулю унітарно еквівалентно описаним вище.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі одержано відповіді на деякі питання поставлені П.Е.Т. Йоргенсеним, зокрема доведена необхідна і достатня умова існування однорідного Віковського ідеалу довільної степені, розширений інтервал строгої додатньості Фоківського скалярног добутку.

Побудовано клас Віковських *-алгебр з некосовим оператором коефіцієнтів, що мають квадратичний Віковський ідеал та надано класифікацію незвідних зображень алгебр цього класу обмеженими операторами в гільбертовому просторі.

Також вивчено незвідні зображення Віковських аналогів відомих деформацій класичних комутаційних та антикомутаційних співвідношень.

Автор висловлює глибоку подяку своєму науковому керівникові Ю.С. Самойленку за постійну увагу та підтримку в роботі.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

D.P. Proskurin, Homogeneous ideals in Wick *-algebras // Proc. of Amer. Math. Soc.--1998.-- V. 126, № 11.-- P.3371-3376.

D.P. Proskurin, About positivity of Fock inner product of a certain Wick *-algebras // Methods of Funct. Anal. Topol.--1999.-- V. 5, № 1.-- P.88-94.

Д.П. Проскурін, Про *-зображення Віковських CCR // Вісн. Київського Ун-ту Сер. Фіз-Мат. науки,--1999.-- Т. 1.-- С.220-222.

D.P. Proskurin, Wick algebras with non-trivial quadratic ideal and their representations// Spectral and evolutionary problems.--1996.-- V. 6, .-- P.212-216.

D. Proskurin, Yu. Samoilenko. On representations of Wick algebras, multidimensional q - CCR and q - CAR // “Mathematical Physics -- Today, Priority Technologies -- for tomorrow ”, Collection of abstracts. Kyiv, 12-17 May 1997.

АНОТАЦІЇ

Проскурін Д.П. Віковські *-алгебри та їх зображення.-- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 -- алгебра і теорія чисел. -- Київський університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, 1999.

Дисертацію присвячено дослідження алгебраїчних властивостей та зображень Віковських *-алгебр. Доведена необхідна і достатня умова існування однорідних Віковських ідеалів довільної степені. Посилена теорема Божейко та Шпайхера про додатність Фоківського скалярного добутку. В виродженому випадку надано опис ядра Фоківського скалярного добутку . Побудовано клас Віковських *-алгебр з некосовим оператором коефіцієнтів, що мають квадратичний Віковський ідеал та класифіковано незвідні зображення алгебр цього класу обмеженими операторами. Вивчено зображення Віковських аналогів деформацій канонічних комутаційних та антикомутаційних співвідношень.

Ключові слова: незвідне зображення, Віковський ідеал, Фоківське зображення, косові співвідношення.

Proskurin D.P. Wick *-algebras and their representations.-- Manuscript.

Thesis of a dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06-- algebra and number theory.--Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 1999.

The algebraic properties and representations of Wick algebras are studied in the dissertation. The necessary and sufficient condition for the existence of homogeneous Wick ideal of arbitrary degree is proved. The theorem of M/ Bozejko and R. Speicher about positivity of Fock inner product is improved. In the degenerated case the kernel of Fock inner product is described. The family of Wick algebras with non-braided operator of coefficients having the largest quadratic Wick ideal is constructed. The representations of algebras from this class by bounded Hilbert space operators are classified. The representations of Wick analogues of deformations of canonical commutation and anticommutation relations are studied.

Key words: irreducible representation, Wick ideal, Fock representation, braided relations.

Проскурин Д.П. Виковские *-алгебры и их представления.-- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степены кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 -- алгебра и теория чисел.-- Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1999.

Диссертация посвящена изучению алгебраических свойств и представлений Виковских *-алгебр. В первом разделе диссертации изучаются условия существования и свойства однородных Виковских идеалов, а также их связь с Фоковским представлением. Во втором разделе построен класс Виковских алгебр с некосовым оператором коэффициентов, имеющих максимальный квадратический Виковский идеал. Для алгебр построенного класса доказана теорема о существовании дополнительных соотношений, которые выполняются в любом представлении ограниченными операторами а также проведена классификация неприводимых представлений. В третьем разделе изучаются представления Виковских аналогов известных деформаций классических коммутационных соотношений таких как скрученные канонические соотношения и некоторые другие.

Основные результаты диссертации:

Доказано необходимое и достаточное условие сущуествоания однородного Виковского идеала произвольной степени.

Приведена формула для нахождения образующих максимального кубического Виковского идеала для алгебр с косовым оператором коэффициентов. Доказано, что в любом представлении Виковского аналога скрученных антикоммутационных соотношений имеют место дополнительные соотношения между образующими, порождающие (не максимальный) квадратический Виковский идеал.

Расширен интервал строгой положительности Фоковского скалярного произведения для алгебр с косовым оператором коэффициентов. В вырожденном случае доказано, что ядро совпадает с максимальным квадратическим Виковским идеалом.

Для алгебр с косовым оператором коэффициентов доказано, что ядро Фоковского представления порождается ядром Фоковского скалярного произведения.

Построен класс Виковских алгебр с некосовым опеартором коэффициентов имеющих квадратический идеал. Для этих алгебр доказана теорема типа Клейнике-Широкова и дано описание классов унитарной эквивалентности неприводимых представлений ограниченными операторами в гильбертовом пространстве.

Ключевые слова: неприводимое представление, Виковский идеал, Фоковское представление, косовые соотношения.

Размещено на Allbest.ru