Математичне моделювання двоточкових t-перiодичних крайових задач електродинамiки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Державний університет "Львівська політехніка"

УДК 681.142.2: 621.3.013

Математичне моделювання двоточкових t-перiодичних крайових задач електродинамiки

Спецiальнiсть 01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Чабан Андрій Васильович

Львів 1999

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі електропостачання та електротехніки Луцького державного технічного університету

Захист відбудеться “16” квітня 1999 р. о 14 год. 00 хв. на

засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.05 при Державному університеті “Львівська політехніка” (290646, м. Львів, вул. С. Бандери, 12).

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічній бібліотеці Державного університету “Львівська політехніка” (290646, м. Львів, вул. Професорська, 1).

Автореферат розісланий “ 12 ” березня 1999 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, кандидат технічних наук, доцент С. П. Ткаченко

двоточковий диференціальний рівняння

Анотацiя

Чабан А.В. Математичне моделювання двоточкових t-періодичних крайових задач електродинаміки. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Державний університет "Львівська політехніка", Львів, 1999.

Захищається 8 наукових праць, які присвячені розрахунку усталених фізичних полів, що описуються змішаними нелінійними диференціальними рівняннями з частинними й звичайними похідними. Методи аналізу грунтуються на розв'язанні двоточкових t-періодичних крайових задач. У результаті ітераційних циклів обчислюються такі початкові умови, що виключають перехідну реакцію й дають змогу ввійти безпосередньо в усталений періодичний процес. Просторова дискретизація вихідних рівнянь здійснюється за методами скінченних різниць або скінченних елементів, часова дискретизація - за явним або неявним методами. Розв'язуються одно- й двовимірні просторові задачі квазістаціонарного електромагнітного поля в суцільних і кусково-однорідних нелінійних середовищах.

Ключові слова: двоточкові крайові задачі, нелінійні диференціальні рівняння з частинними й звичайними похідними, просторові задачі електродинаміки.

Аннотация

Чабан А.В. Математическое моделирование двухточечных t-периодических краевых задач электродинамики. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Государственный университет "Львовская политехника", Львов, 1999.

Защищается 8 научных трудов, посвященых расчету установившихся физических полей, которые описываются смешаными нелинейными дифференциальными уравнениями с частными и обыкновенными производными. Методы анализа базируются на решении двухточечных t-периодических краевых задач. В результате итерационных циклов вычисляются такие начальные условия, которые исключают переходную реакцию и дают возможность войти непосредственно в установившийся периодический процес. Пространственная дискретизация исходных уравнений осуществляется методами конечных разностей либо конечных элементов, временная дискретизация - явным либо неявным методами. Решаются одно- и двухмерные пространственные задачи электродинамики в сплошных и кусочно-однородных нелинейных средах.

Ключевые слова: двухточечные краевые задачи, нелинейные дифференциальные уравнения с частными и обыкновенными производными, пространственные задачи электродинамики.

Abstract

Tchaban A.V. Mathematical modelling of two point t-periodical value problem of electrodynamics.- Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.05.02- mathematical modelling and computing methods. - State University "Lviv polytechnic", Lviv, 1999.

The dissertation is devoted to the calculation of steady-state physical fields, which circumscribed by mixed nonlinear differential equations with partial and ordinary derivatives. The methods of analysis are based on the two-point t-periodical boundary problems. As a result of integration cycles boundary conditions which exclude transient reaction and give opportunity to enter directly into steady-state periodical process are calculated. The spatial discretization of starting equations is done by finite difference method or finite elements method, the time discretization - by explicit or implicit methods. The spatial one- and two-dimensional problems of electrodynamics in continuous and piece-homogeneous nonlinear media are solved.

Such approach firstly give opportunity to obtain spatial-time distribution of sought functions on time period by one execution of a program. The known methods make it possible to obtain spatial distribution of such functions in the fixed moment of time only, and for obtaining spatial-time distribution it is necessary to solve the problem for the series of discrete means functions of time once more.

The two basic methods of boundary value problems solving are proposed in the work - the method of construction of models of sensitivities to the initial conditions and the method of correction by the intermediate mean. The first one is universal and can be used formally to any spatial-time boundary problems, but it is comparatively difficult in program realization. The second one is very simple but it is limited by the sought functions which have not constant components and if have it, then they must be known before. So the first method is proposed now for the system with correspondingly low order, and the second method may be used directly to the systems with high order, and for present time it is the single method which can solve such problems.

The both methods are the Cauchy problem for integration of nonlinear differential equations of state from given initial conditions, so the algorithm of calculation though they are intended for analysis of steady-state processes, but in advance they spread to the analysis of transient processes. Transient process we obtain as a result of integration of differential equations from any initial conditions, and steady-state one - from initial conditions, which except transient reaction. So, such initial conditions must be calculated as a result of transcendental equations solving of time periodicity, which are imposed on differential equations of state (target equations).

In the method which is based on the solving of matrix of sensitivities to the initial conditions the equations of periodicity are solved by Newton's method of iterations. The Jakobi matrix is found from the matrix of monodromy, which is calculated as a result of nonlinear differential equations of state and linear differential equation of first variation integration on the time interval which is equal one period.

The method of correction by the intermediate means of unknowns on the time period not needs integration of the additional variational equations. The iterative process is built by the maximal and minimal means of functions on the time period and it's means at the end of period which is obtained as a result of integration of equations of state on the period.

The resources of the proposed methods of solving t-periodical boundary problems of electrodynamics are illustrated by the next examples:

- one-dimensional spatial boundary problem for nonlinear differential equations with partial derivatives of calculation of steady-state process in the thin steel sheet;

- one-dimensional spatial boundary problem for nonlinear differential equations with partial derivatives of calculation of steady-state process in laminated ferromagnetic toroid, moreover, the laminated structure is equivalently by continuous anisotropic medium;

- one-dimensional spatial boundary problem for nonlinear mixed differential equations with partial and ordinary derivatives of calculation of steady-state process in toroidal choke;

- two-dimensional spatial boundary problem for nonlinear differential equations with partial derivatives of calculation of steady-state process in solid ferromagnetic toroid;

- two-dimensional spatial boundary problem for nonlinear algebraic-differential equations with partial derivatives of calculation of steady-state process in laminated ferromagnetic toroid, moreover, the laminated structure is considered as real piece-homogeneous structure as alternate ferromagnetic and air gaps.

All the presented methods have a good numerical stability of computation.

Key words: two-points boundary problems, nonlinear differential equations with partial and ordinary derivatives, spatial electrodynamics problems.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність проблеми. Задача аналізу будь-якої фізичної системи складається з чотирьох етапів: розрахунку перехідного й усталеного про-цесів, визначення статичної стійкості і, накінець, розрахунку парамет-ричної чутливості. До недавнього часу реалізація кожного з цих етапів здійснювалася різним математичним апаратом. Розрізнені алгоритми вимагали розрізнених знань з математики. Вони реалізувалися, за винятком першого етапу, в позачасовій області, а, відтак, були позбавлені можливості контролю точності, бо передбачали вольове втручання в обчислювальний процес. Тепер домінують обчислювальні методи. На їх підставі загальна теорія нелінійних диференціальних рівнянь уможливила розв'язати задачу аналізу вцілому на основі ідентичного математичного апарата в часовій області.

У даній роботі проблема звужується до аналізу усталених процесів у просторових задачах електродинаміки. Результати виконаних досліджень можна застосовувати до будь-яких фізичних процесів, що описуються диференціальними рівняннями із звичайними й частинними похідними. Оперуючи нелінійними диференціальними рівняннями в часовій області, ми автоматично охоплюємо етап аналізу перехідних процесів як такий, що є результатом інтегрування диференціальних рівнянь за часом.

Аналіз перехідних процесів полягає в розв'язанні задачі Коші для нелінійних диференціальних рівнянь. Найгрубіший метод одержання усталеного процесу - інтегрування диференціальних рівнянь стану аж до усталення, що невиправдано із-за непомірного накопичення похибок інтегрування і затрат машинного часу. Тому доцільно користуватись методами прискореного пошуку вимушених періодичних режимів. Методи позачасової області дають змогу визначити лише просторовий розподіл функції у певний момент часу, а для отримання її просторово-часового розподілу необхідне багаторазове розв'язання задачі для ряду дискретних значень часу t. Методи часової області дають можливість одержати просторово-часовий розподіл функції. Вони поділяються на методи, що грунтуються на побудові моделей чутливості до початкових умов, екстраполяційні та градієнтні. Розрахунок усталеного процесу в цих методах зводиться до інтегрування рівнянь стану від деяких початкових умов, що виключають перехідну реакцію. Проблема полягає саме у визначенні таких початкових умов. Для складних дво- і тривимірних просторових задач електродинаміки універсальні методи прискореного пошуку усталених процесів стають неефективні, тут доводиться звертатися до спрощених методів, якими за рахунок втрати універсальності, вдається розв'язати конкретне коло задач значно простіше. Один із таких методів, що охоплює порівняно широке коло задач, є метод корекції за середнім значенням, але він обмежений змінними, що не містять постійних складових.

Метод побудови моделей чутливостей до початкових умов і метод корекції за середнім значенням пропонуються нами як основні методи розрахунку усталених електромагнітних полів. Ці методи в математичному аспекті становлять двоточкову крайову задачу для звичайних нелінійних диференціальних рівнянь, яка є значно складніша за задачу Коші, оскільки тут на процес накладається додаткова умова періодичності.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в рамках науково-технічної програми "Режими роботи електропостачальних систем і методи оптимізації їх роботи" Луцького державного технічного університету.

Мета та задачі дослідження. Розробка методів математичного моделювання просторових задач електродинаміки та знаходження періодичних розв'язків їх нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними й систем змішаних нелінійних диференціальних рівнянь з частинними і звичайними похідними, які грунтуються на загальній теорії нелінійних диференціальних рівнянь.

Для досягнення цієї мети необхідно розв'язати такі задачі.

1. Адаптувати методи розв'язання двоточкових крайових задач до нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними і на системи змішаних нелінійних диференціальних рівнянь із звичайними й частинними похідними.

2. Розробити алгоритми знаходження періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними і систем змішаних нелінійних диференціальних рівнянь із звичайними й частинними похідними.

3. Розробити алгоритми знаходження періодичних розв'язків систем нелінійних стаціонарних і нестаціонарних рівнянь з частинними похідними.

4. Здійснити програмну реалізацію на прикладах розв'язання просторових задач електродинаміки.

Наукова новизна роботи. Вперше:

- розв'язано двоточкову t-перiодичну одновимiрну просторову задачу електродинамiки для нелiнiйних диференцiальних рiвнянь квазiстацiонарного електромагнітного поля у феромагнітному середовищі;

- розв'язано двоточкову t-перiодичну двовимірну просторову задачу електродинамiки для нелiнiйних диференцiальних рiвнянь квазiстацiо-нарного електромагнітного поля в суцiльному феромагнітному торi;

- розв'язано двоточкову t-перiодичну двовимiрну просторову задачу електродинамiки для змішаних нелінійних диференцiальних рiвнянь дроселя;

- розв'язано двоточкову t-перiодичну двовимiрну просторову задачу для системи нелiнiйних стаціонарних і нестаціонарних диференціальних рiвнянь електромагнітного поля в ламiнованому феромагнітному торi.

Методи дослідження. Теоретичні дослiдження грунтуються на загальній теорії нелінійних диференціальних рівнянь з частинними та звичайними похідними, рівняннях квазiстацiонарного електромагнітного поля в лiнiйних i нелiнiйних середовищах, чисельних методах розв'язання нелiнiйних диференцiальних i алгебраїчних рiвнянь.

Практичне значення одержаних результатів:

- комп'ютернi програми розв'язання двоточкових t-перiодичних крайових задач електродинамiки в суцiльних i кусково-однорiдних нелiнiйних середовищах дали змогу розв'язати задачі аналiзу усталених перiодичних процесiв електротехнічних пристроїв;

- запропонованi алгоритми розв'язання двоточкових t-перiодичних крайових задач електродинаміки дають змогу аналізувати усталені процеси в інших фiзичних полях - механiчних, теплових тощо.

Особистий внесок автора. Усі основні положення, що становлять суть дисертації, отримані автором самостійно. У спільних публікаціях автору належить: формування крайової задачі електромагнітного поля [2,3], розрахунок усталеного процесу в суцільному тороїді [4], розрахунок електричного поля в грунті [6], опис електромагнітного процесу в тонкій сталевій пластині [7], застосування лінійних перетворень і побудова різницевих шаблонів вектор-потенціалу електромагнітного поля [8], крім того, в усіх працях автор вибирав i обгрунтовував доцiльнi чисельнi методи, приймав участь у побудові алгоритмів і програм.

Впровадження результатів роботи. Результати роботи використані у відділі НДВ-1 НВО "Метрологія", м. Харків, на етапі проектування робочого еталона енергетичної освітленості сонячного випромінювання а також у НДП-46 НВК "Київський інститут автоматики" на етапі проектування систем керування й діагностики прокатними станами . Теоретичні результати впроваджені в навчальний процес у ДУ "Львівська політехніка".

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались:

- Школа молодих учених "Електромеханiчнi й напiвпровiдниковi перетворювачi електричної енергiї”. - Крим, Алушта, вересень, 1989;

- Українська конференцiя “Моделювання й дослiдження стiйкостi систем”, Київ, травень, 1996;

- The 2-nd International Modelling School. - Crimea, Alushta, Autumn'97;

- IV srodowiskowa konferencja matematyczna. - Rzeszow, 1997;

- The 3-rd International Modelling School. - Crimea, Alushta, Autumn'98.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 8 наукових праць (2 без співавторів), з них 5 статей у фахових виданнях України, 1 винахід.

Структура та об'єм роботи. Робота має вступ, 4 розділи, підсумок й список літератури 95 назв. і 33 рис. та додаток, разом 130 стор. Основний текст займає 118 стор. Список літератури займає 9 стор. і додаток - 3 с.

2. Основний змiст дисертацiї

У вступі обгрунтовано актуальність, наукову новизну та практичну цінність роботи, сформульовано мету досліджень.

У першому розділі подано одержані в результаті опрацювання літератури основні теоретичні положення, на яких грунтуються математичні результати наступних розділів.

Приведено рівняння квазістаціонарного електромагнітного поля в кусково-однорідному анізотропному нелінійному середовищі, а також їх просторово-часові дискретизовані аналоги, одержані за відомими методами просторової та часової дискретизації.

Подаються основні методи розв'язання двоточкових крайових задач звичайних нелінійних диференціальних рівнянь.

Рівняння векторів квазістаціонарного електромагнітного поля в суцільному нелінійному анізотропному середовищі мають вигляд

(1)

де H, E - вектори напруженостей магнетного й електричного полів; B - вектор магнітної індукцій; - діагональна матриця статичних релактивностей; Р- діагональна матриця питомих магнітних опорів; t - час.

Відповідні (1) рівняння вектор-потенціалу А набувають вигляду

(2)

При цьому (1),(2) передбачає задані початкові й крайові умови.

Електромагнітне поле в шихтованому феромагнетику еквівалентується деяким анізотропним однорідним середовищем.

Просторово дискретизовані рівняння (1) за методами скінченних різниць або скінченних елементів записуємо у матричному виглядi

(3)

де BD, HD , ED- колонки проекцiй векторiв B, H, E у внутрiшнiх вузлах; HГD - колонка проекцiй вектора H у граничних вузлах; C1-C4 - матрицi проcторової дискретизацiї; - матриця статичних релактивностей. Її формуємо безпосередньо з елементiв матриці N вiдповiдно до множини вузлiв просторової сiтки.

Внаслідок просторової дискретизацiї (2) отримуємо

(4)

де AD , AГD- колонки компонентів вектора A вiдповiдно до кількості внутрiшнiх і граничних вузлiв просторової сiтки; C6-C7 - матрицi просторової дискретизацiї.

Диференціальні рівняння (3), (4) записуємо в загальному вигляді

(5)

де X - колонка невiдомих.

Інтегруємо (5) залежно від жорсткості рівнянь за явними або неявними методами. У випадку застосування неявних методів дискретизовані рiвняння рoзв'язуємо iтерацiйними методами нульового (з покращанням збіжності за методом верхньої релаксації) або першого порядкiв.

Розглянемо основні методи розв'язання двоточкової крайової задачі для нелінійних диференціальних рівнянь (5). Припустимо, що iснує її перiодичний розв'язок з перiодом T. Це означає, що перехiдна реакцiя вiдсутня. Знайдемо такий початковий стан X(0), котрий при iнтегруваннi (5) на iнтервалi часу вiд 0 до Т, дав би можливiсть отримати безпосередньо перiодичний розв'язок, що задовiльняв би крайовiй умовi

(6)

Рiвняння (5) з крайовою умовою (6) становлять двоточкову крайову задачу для звичайних диференцiальних рiвнянь.

Двоточкова крайова задача набагато складнiша за задачу Кошi. Тут на початковi умови накладається жорстка умова - вони повиннi виключати перехiдну реакцiю, тобто дати можливiсть безпосередньо ввiйти у перiодичний режим, обминаючи перехідний. Такi початкові умови є невiдомі. Їх знаходження пов'язане з розв'язанням трансцендентних нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь (6). Невідомим у цьому рiвнянні є стовпець шуканих початкових умов Х(0).

Рiвняння (6) називають рiвнянням цiлi, або цiльовою функцiєю. Розв'язуємо його ітераційним методом Ньютона

(7)

Матрицю Якобi F X(0) отримуємо диференцiюванням (6) по X(0)

(8)

причому

(9)

Функцiя (9) - матриця монодромiї. Її визначаємо за варiацiйним рiвнянням, отриманим з рiвняння (5),

(10)

На k-ій iтерацiї формули Ньютона воно пiдлягає сумiсному iнтегруванню з (5) на iнтервалi часу Т. Матриця монодромiї є по сутi матрицею чутливостей до початкових умов. Тому рiвняння (10) трактується як модель чутливостi до початкових умов.

Із загальних методів, крім методу побудови моделі чутливостей до початкових умов, слід назвати екстраполяцiйний і градієнтний методи. Перший з них розглянуто, а другий із-за його складності опущено.

Якщо фізичне середовище має симетричнi вiдносно початку координат характеристики, а вимушувальнi сили є однiєї i тiєї ж частоти, то у такому випадку доцiльно застосувати бiльш простий метод - метод корекції за середніми значеннями (наївний алгоритм)

(11)

де Xmax, Xmin - cтовпці максимальних i мiнiмальних значень змiнних на періоді. Щоб отримати цi значення на к-й iтерацiї, треба iнтегрувати (5) у цих же межах.

У багатьох практичних задачах умови застосовності iтерацiйної формули (11) задовольняються і тому вона має достатньо широке застосування. Так, вона є застосовною у випадку гармонічного електромагнітного поля. Наївний алгоритм - найпростiший з вiдомих методiв прискореного пошуку вимушених перiодичних режимiв.

Методи прискореного пошуку вимушених перiодичних режимiв придатні також для усталених постiйними полів.

У другому розділі розв'язуються одновимірні просторові двоточкові крайові задачі для диференціальних рівнянь з частинними похідними й змішаних диференціальних рівнянь з частинними та звичайними похідними. Знаходиться усталений процес у сталевому тонкому феромагнітному листі, шихтованому феромагнітному торі та тороїдальному дроселі при гармонічних вхідних сигналах.

Розрахункові рівняння електромагнетного поля (3) у тонкому сталевому листі записуємо в декартових координатах

(12)

Область інтегрування (12): де d - товщина листа.

У дисертації приведено також рівняння векторного потенціалу.

У результаті просторової дискретизації (12) приходимо до (3)-(5).

Рівняння цілі (6 ) буде

(13)

Розв'язуємо (13) методом Ньютона( 7). При цьому (10) буде

(14)

де - диференціальні cтатичні релактивності у множині вузлів просторової сітки.



Рис. 1 Розрахункові криві усталених значень магнітної індукції в часі при різних значеннях просторової координати z = 0 (1), z = 0,01 м (2), z = 0,02 м (3) у тонкому сталевому листі в режимі заданої на його поверхні індукції

Задача розв'язувалася в режимах заданої індукції на поверхнях магнітного листа та магнітного потоку.

Інтегрування рівнянь здійснювалося за явним і неявним методами Ейлера. При інтегруванні неявним методом використовувався метод прогонки на підставі відомих рекурентних співвідношень. Резуль-тати розрахунку показано на рис. 1.

Другою розв'язаною задачею є двоточкова крайова задача для рівнянь з частинними похідними за криволінійною координатою - електромагнітний процес у шихтованому тороїдальному осерді. Розрахункові рівняння в циліндричних координатах використані у вигляді

(15)

Область інтегрування (15): де R1 - внутрішній радіус тороїда; R2 - зовнішній радіус тороїда. Крайові умови визначалися за законом Ампера згідно з заданою гармонічною магніторушійною силою.

Третьою розв'язаною задачею є двоточкова крайова задача для змішаних диференціальних рівнянь із звичайними й частинними похідними - електромагнітний процес у тороїдальному дроселі на прикладі рівнянь квазістаціонарного електромагнітного поля й рівнянь рівноваги напруг і електрорушійних сил обмотки намагнічування

(16)

де x - деякий сталий коефіцієнт, залежний від просторового кроку дискретизації;

(17)

причому a - обернена індуктивність дисипації обмотки; qk - коефіцієнти формули Сімпсона; - диференціальна релактивність, значення якої знаходимо за диференціальною релактивністю феромагнетика : , e - коефіцієнт анізотропнії ламінованого осердя.

Сумісному інтегруванню підлягає система змішаних нелінійних диференціальних рівнянь (15), (16). У результаті просторової дискретизації надаємо їм формального вигляду (5) за умови, що f(X,t) надалі - Т-періодична. Далі на (5) накладаємо умову Т-періодичності (6) і застосовуємо ітераційну формулу (11).

У третьому розділі розв'язуються двовимірні просторові задачі, пов'язані з розрахунком усталеного електромагнітного поля в суцільному торі та ламінованому торі як кусково-однорідному середовищі, в якому чергуються феромагнітні та немагнітні шари.

Розглянемо спочатку двоточкову крайову задачу рівнянь електромагнітного поля в суцільному тороїді.

Перші два розрахункові рівняння (1) записуємо в такому вигляді

(18)

Компоненти вектора Е напруженості електричного поля обчислюємо безпосередньо за останнім виразом (1)

(19)

Область інтегрування (18) обмежена площею поперечного перерізу тіла тороїда, або, виходячи з умови симетрії за аксіальною координатою, - півплощею цього перерізу. Крайові умови вздовж зовнішніх границь тороїда задаємо, виходячи із закону Ампера, в режимі заданої магніторушійної сили.

Просторово-часово дискретизоване диференціальне рівняння (18) за неявним методом Ейлера набуває вигляду

(20)

Нелінійне алгебраїчне рівняння (20) розв'язуємо ітераційним методом Ньютона (7) за умови, що ,

 (21)

(22)

, (23)

Матрицю Якобі знаходимо в результаті диференціювання (20) по

. (24)

Систему (21)-(24) розв'язуємо методом простої ітерації, або методом Ґаусса. У результаті чого знаходимо колонки значень індукції в усіх вузлах сітки в момент , що рівнозначно виконанню операції інтегрування (18) на інтервалі одного часового кроку.

Розв'язання двоточкової крайової задачі пов'язано, згідно з (6)-(10), з обчисленням значення матриці монодромії на кінці часового періоду. Для цього, як вказано вище, доводиться інтегрувати за часом систему лінійних варіаційних рівнянь (10). За неявним методом Ейлера одержуємо

. (25)

Диференціюючи (20) по , одержуємо шукану матрицю Якобі

. (26)

Як бачимо праві частини (24) і (26) збігаються.

Підставляючи (25), (26) в ітераційну формулу (21), одержимо знову систему лінійних алгебраїчних рівнянь вигляду (21), але тут на відміну від (22), (24) маємо

(27)

. (28)

Рис. 2 Розрахункові криві магнітної індукції як функції часу в точці поперечного перерізу тороїда з координатами r = 0,522 м; z = 0,0167 м на трьох ітераціях розв'язання двоточкової крайової задачі

Звертаємо увагу на відмінність рівнянь (21) для і . У першому випадку X є cтовпець значень індукції у вузлах просторової сітки в момент , а в другому випадку X є двовимірна матриця. Тому, застосовуючи метод Ґаусса, в останньому випадку розв'язок треба шукати постовпцево.

На рис. 2 показаний перебіг у часі магнітної індукції в одному з вузлів просторової сітки на двох ітераціях формули Ньютона, що призвели до усталеного процесу. Як бачимо, на кожній з ітерацій розв'язується задача Коші на часовому інтервалі одного періоду T. Третя ітерація - є власне усталений процес, одержаний як результат розв'язання двоточкової крайової задачі. По кривій В(t) бачимо, що суттєве уточнення відбулося вже на першій ітерації. На другій воно майже непомітне для неозброєного ока.

Наступна двоточкова крайова задача є більш складна - це випадок системи стаціонарних і нестаціонарних диференціальних рівнянь.

Розглянемо одну з найскладніших просторових задач електродинаміки - розрахунок електромагнітних процесів у ламінованих осердях. До цього часу ламіновані магнітні осердя, що складаються з шарів феромагнітних листів і ізоляційних проміжків, ми еквівалентували суцільним анізотропним середовищем. Але є ряд задач, де такий підхід недопустимий, наприклад, при дослідженні втрат при всеможливих пошкодженнях магнітопровода - коротких замиканнях листів, часткових або повних, розпресуваннях тощо. Особливо загострюється ця проблема при врахуванні температурних явищ. Цікаво, що за характером електромагнітного процесу в пошкоджених магнітопроводах штучні нейронні мережі можуть успішно здійснювати їх діагностику.

Складність математичного моделювання тут зумовлена в першу чергу двома важливими факторами. Перший з них це те, що процес описується не диференціальними рівняннями за часом, як це мало місце в усіх розглянутих до того задачах, а cтаціонарними. Другий з них вимагає застосування дуже дрібної просторової сітки, а це, в свою чергу, накладає жорсткі обмеження на вибір часового кроку задля забезпечення стійкості обчислювального процесу.

Розглянемо все те ж ламіноване тороїдальне осердя, збуджене синусоїдальним струмом. Відмінність даної задачі від розглянутої в третьому розділі полягає в тому, що тут ми відмовляємося від еквівалентування осердя, а розглядаємо реальну ламіновану структуру.

Отже, в області інтегрування, обмеженій поперечним перерізом тіла тороїда, чергуються феро- й немагнетики. У зоні феромагнетика фізичний процес описується все тими ж диференціальними за часом рівняннями (18), (19). Далі зберігають силу всі решта виразів. А це значить, що крайові умови та дискретизовані за часом рівняння електромагнітного поля не зміняться. Але тут виникають додаткові внутрішні крайові умови, що мають місце на межі феромагнетика та ізолаку

(29)

У зоні немагнетика, водночас він є ізолятором, . Тому диференціальне за часом рівняння (18) вироджується в стаціонарне

(30)

де - релактивність повітря.

Сумісному інтегруванню підлягає система алгебро-диференціальних рівнянь (18), (19), (29), (30). Оскільки на внутрішніх границях компоненти вектора В терплять розрив, то для однозначності розв'язку необхідно прийняти певні пріоритети. Ми приймаємо, що індукцію в граничних вузлах визначатимемо за диференціальними рівняннями, з наступним перерахунком її у цьому ж вузлі в зону немагнетика згідно з (29). У результаті просторової дискретизації одержуємо систему алгебро-диференціальних рівнянь

(31)

(32)

У (31), (32) індекси f і 0 указують відповідно на причетність до феро- і немагнетика. Запишемо систему (31), (32) в загальному вигляді

(33)

На систему (33) накладаємо умову t-періодичності й розв'язуємо двоточкову крайову задачу для алгебро-диференціальних рівнянь електромагнітного стану збудженого ламінованого тороїдального магнітного осердя на підставі наївного алгоритму (11).

Рис.3. Просторовий розподіл магніт ної індукції при t = 0, 005c усталеного процесу в тілі поперечного перерізу тороїдального ламінованого осердя

На рис. 3 показано результати розрахунку усталеного процесу в тороїдальному осерді, збудженому гармонічною магіторушійною силою. Реальна структура містить три електротехнічні сталеві листи, товщиною df = 2 мм і два проміжки ізоляційного лаку d0 = 0,85 мм. Електропровідність феромагнетика g = 2 106 См/м, характеристика намагнічування його приймалася такою, яка наведена в попередньому прикладі. Геометричні розміри тороїда: внутрішній радіус R1 = 0,1000 м; зовнішній радіус R2 = 0,107 м, висота а = 0,045 м. Розміри просторової сітки 5519, причому за радіальною координатою 55 вузлів, за аксіальною - 19. Періодичний розв'язок одержано за дві ітерації формули (11).

У четвертому розділі описано програмні продукти моделювання усталених електромагнітних полів у просторових задачах електродинаміки. Програмні засоби створені з використанням алгоритмічної мови Ms Fortran Pover Station 4.0 в операційному середовищі Windows'95.

Основнi результати роботи

1. У результаті опрацювання доступної нам літератури встановлено, що відомі методи знаходження усталеного періодичного стану квазістаціонарного електромагнітного поля в суцільному середовищі дають змогу лише знайти просторовий розподіл електромагнітного поля у фіксований момент часу. Для того, щоб знайти просторово-часовий розподіл електромагнітного поля, необхідне багаторазове розв'язання задачі від початку до кінця.

2. У результаті виконаних у роботі досліджень показано, що тільки в результаті розв'язання двоточкової t-періодичної (за часом) крайової задачі для нелінійних деференціальних рівнянь квазістаціонарного електромагнітного поля одержуємо повний просторово-часовий розподіл поля на періоді, причому результат одержуємо з заданою точністю, гарантованою ітераційними формулами.

3. У результаті виконаних в роботі досліджень застосовано методи розв'язання двоточкових крайових задач для звичайних нелінійних диференціальних рівнянь до нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними, змішаних нелінійніих диференціальних рівнянь із звичайними й частинними похідними й до систем нелінійних стаціонарних і нестаціонарних диференціальних рівнянь.

4. Часову дискретизацію рівнянь квазістаціонарного електромагнітного поля у випадку однорідного середовища доцільно здійснювати за явним принципом, у випадку кусково-однорідного - за неявним. Вибір того чи іншого методу диктується жорсткістю просторово дискретизованих рівнянь, яка, в свою чергу, залежить від розкиду параметрів середовищ кусково-однорідних зон. Нерідко доводиться звертатися до неявних принципів у випадках двох- і тривимірних задач однорідних середовищ при значних нелінійностях і з ростом частоти вимушуючих сигналів.

5. Метод розв'язання двоточкових крайових задач на підставі побудови матриць чутливостей до початкових умов є найуніверсальніший з усіх відомих, оскільки він дає можливість побудови єдиних алгоритмів аналізу фізичних систем вцілому - для розрахунку періодичних і усталених процесів, визначення статичної стійкості періодичних розв'язків, а також розрахунку параметричних чутливостей.

6. Розв'язання двоточкових t-періодичних просторових задач електродинаміки за методом побудови моделей чутливості до початкових умов із-за складності обмежене випадком порівняно нескладних задач.

7. Основним методом розв'язання t-періодичних дво- і тривимірних просторових задач електродинаміки є метод корекції за середніми значеннями, якщо дотримані його умови застосування . Перевагою цього методу є те, що тут відпадають потреби інтегрування додаткових варіаційних рівнянь і обчислення матриці Якобі вихідних рівнянь.

8. Програмна реалізація методів побудови моделей чутливості до початкових умов і корекції за середніми значеннями розв'язання двоточкових t-періодичних просторових задач електродинаміки підтвердила надійність, високу ефективність і перспективність їх застосування в просторових задачах предметних областей застосування.

9. Розроблені в роботі методи розв'язання t-періодичних двоточкових крайових задач електродинаміки придатні до розв'язання будь-яких систем змішаних лінійних і нелінійних диференціальних рівнянь, що описують фізичний процес іншої природи - механічний, тепловий, дифузійний тощо.

Список публiкацiй за темою дисертацiї

1. Чабан А.В. Прискорений пошук стацiонарних процесiв в одновимiрних просторових задачах електродинамiки// Вісник ДУ "Львівська політехніка" Електроенергетичні та електромеханічні системи". - 1991. - Вип. 253. - С. 99-102.

2. Чабан А.В., Ковівчак Я.В., Аль Рабабаг А.А., Крохмальний Б.І. Параметрична чутливість виконавчого асинхронного мотора з масивним феромагнетним ротором// Вісник ДУ "Львівська політехніка" Електроенергетичні та електромеханічні системи". - 1997. - Вип. 334.

3. Р.Гущак, А.Чабан, О.Нечай, Н.Рабчук. Комп'ютацiя електромагнетного поля в рухомих заструмлених зубчастих структурах// Технiчнi вiстi. - 1998/1 (6), 2 (7). - С. 50-53.

4. А.Чабан, П.Каленюк. Комп'ютацiя t-перiодичного розв'язку однiєї двовимiрної просторової задачi електродинамiки// Технiчнi вiстi. - 1998/1 (6), 2 (7). - С 73-76.

5. Чабан А.В. Уравнения асинхронного двигателя в однофазном режиме// Электроэнергетические системы. - 1989. - Вип. 234. - С. 110-112.

6. Голубятников В.Т., Процик С.Н., Чабан А.В. Формователь скважин в грунте// Авторское свидетельство СССР, № 1530693, 1988, 3 с.

7. Гущак Р., Рабабаг М., Чабан А. Комп'ютерне симулювання електромеханiчних процесiв у теорiї електромагнiтного поля// Тезисы докладов Украинской конференции “Моделирование и исследование устойчивости систем“. - Киев. - 1996, 20-24 май. - С. 42.

8. Пелешко Д., Рабабаг А., Чабан А. Комп'ютерне симулювання квазiстацiонарного поля електротехнiчних пристроїв// Тезисы докладов Украинской конференции “Моделирование и исследование устойчивости систем“. - Киев. - 1996, 20-24 май. С. 108.

Размещено на Allbest.ru